专题02 等式与不等式性质、基本不等式（期中复习课件）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题02 等式与不等式性质、基本不等式 高一年级数学上学期 期中复习大串讲 人教A版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 2.1 不等式的基本性质(对称性、传递性、可加/乘性) 能依据性质进行简单的数值比较和不等式推导. 基础题,乘负变号是必考点. 2.2 基本不等式的形式与推导 能准确写出基本不等式,理解其几何意义. 理解性考点,是应用的基础. 2.3 “一正二定三相等”的运用条件 能准确判断给定问题是否满足基本不等式的使用条件. 高频易错点,是解题的第一步,常被忽略. 2.4 直接利用基本不等式求最值 能对符合“积定”或“和定”条件的表达式直接应用公式求最值. 最基础的考查方式. 2.5 “配凑法”应用基本不等式 能通过拆项、添项、凑系数等技巧,将表达式转化为可用基本不等式的形式. 期中解答题核心考法,是能力的区分点. 2.6 换元法(化繁为简) 当表达式复杂时,能通过代换简化问题,转化为基本不等式模型. 重要技巧,常用于含根式条件最值问题. 2.7 “1”的代换法(条件等式) 当已知条件能巧妙地运用或变形“1”,可将目标式乘以“1”进行计算. 高频题型,技巧性强,是高分的关键. 2.8 分式型最值问题 能处理形如(二次式) / (一次式)”或 (一次式) / (二次式)”的函数,通过分离常数、换元或基本不等式求最值. 常见中档题,分离常数是常用技巧. 2.9 二次使用基本不等式(连续放缩) 能判断在什么情况下需要两次或多次使用基本不等式,并保证每次放缩的等号能同时成立. 难度最高的题型之一,常用于证明或求复杂式子的最值,对逻辑严谨性要求高. 2.10 恒成立问题中求参数范围(综合应用) 对于恒成立的问题,能将其转化为求目标式的最小值或最大值,从而确定参数a的范围. 期中压轴题常见模式,综合性强,易错点在于混淆“≥最大值”与“≤最小值”的逻辑关系. 2.11 基本不等式在实际问题(如面积、成本最优化)中的应用 能根据实际问题建立函数模型,并利用基本不等式求解最值. 命题趋势偏向应用,考查数学建模能力 3 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 4 5 6 7 算术平均数 几何平均数 8 9 10 11 12 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 13 14 C 15 BC 16 B 17 ABD 18 19 A 20 D 21 AC 22 > 23 24 > 25 C 26 A 27 28 29 C 30 A 31 A 32 B 33 34 D 35 D 36 C 37 D 38 11 39 40 41 42 D 43 44 45 46 8 47 D 48 2 49 35 50 4 51 C 52 53 54 B 55 24500 56 32 57 20 1152 58 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 59 B 60 A 61 D 62 B 63 C 64 AB 65 BCD 66 67 C 68 C 69 B 70 D 71 AB 72 AD 73 74 75 76 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 77 性质4：如果,那么__________； 性质5：如果,,那么__________. 知识点01 等式的性质 性质1：如果,那么__________； 性质2：如果,,那么__________； 性质3：如果,那么______________； __________. __________； 知识点02 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有： __________； 性质 别名 性质内容 1 对称性 2 传递性 , 3 可加性 推论1： 推论2：, 4 可乘性 ,；, 推论3：, 推论4：(,) 推论5：(,) 5 取倒数 ； 知识点03 不等式的性质 ② 我们把不等式(,)称为基本不等式,也可以表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数； ③ “当且仅当时取等号”这句话的含义是：一方面,当时__________,有；另一方面,当____________时,有； ① 对于非负数,,我们把平均数称为,的____________,称为,的___________； 知识点04 基本不等式 如果,,那么(当且仅当______时取等号). ① 已知,是正数,如果积等于定值,那么当且仅当时,和有最小值_______； ② 已知,是正数,如果和等于定值,那么当且仅当时,积有最大值________. (2) 基本不等式：____________(,)(当且仅当时取等号). 变形式：(,)；(,)(当且仅当时等号成立). (3) (,,)(当且仅当时取等号). (4) 若,则；(当且仅当时取等号). 拓展：当时,. 知识点06 几个重要不等式 (1) (,)(当且仅当时取等号). 变形式：____________(,)(当且仅当时取等号). (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用,足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) (,)(当且仅当时取等号). 若,,,,则(当且仅当时取等号). 设,,则有：. 若,,则一定有. 通俗的理解：克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜. 知识点10 糖水不等式的倒数形式 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 解｜题｜技｜巧 直接法：依据不等式基本性质(对称性、传递性、可加性、可乘性等 ),结合已知条件直接推导判断. (2)特殊值法：选取满足已知条件的特殊数值代入不等式,验证是否成立. (3)作差(商)法：对不等式两边作差(商),结合已知条件判断差(商)的正负,进而确定不等式是否成立(作商法需注意正负),部分复杂式子判断可用此思路延伸. 【详解】由不等式性质,,故A错误, 由,故B错误； 由,故C正确； 由,故D错误. 【典例1】(24-25高一上.江苏徐州.期中)已知,则( ) A． B． C． D． C．若,则 D．若,则 【分析】利用不等式的性质,逐个验证各选项的条件下结论是否成立. 【详解】对于A,时,满足,此时,A选项错误； 对于B,时,有,又,所以,B选项正确； 对于D,,则,所以,D选项错误. 【典例2】(24-25高一上.山东潍坊.期中)(多选)已知实数,,,则( ) A．若,则 B．若,,则 C．若,则 D．若,则 【分析】举例说明判断AD；利用不等式的性质推理判断BC. 【详解】对于A,取,得,A错误； 对于B,由,得,而,则,B正确； 对于C,由,得,C错误； 对于D,取,满足,而,D错误. 【变式1】(24-25高一上.湖北黄冈.期中)下列命题正确的是( ) A．若,则 B．若,,则 【分析】举反例可判断ABD；利用不等式的性质可判断C. 【详解】对于A,当,,时,,故A错误； 对于B,当,,时,,故B错误； 对于C,因为,所以,故C正确； 对于D,当,,时,,故D错误． A． B． C． D． 题型二 由不等式关系,求解不等式范围 解｜题｜技｜巧 (1)直接运算：依据不等式基本性质,对已知不等式变形求解即可． (2)线性组合：若求多个式子线性组合的范围,先将目标式表示为已知范围式子的线性组合,再利用不等式性质,分别求各组合部分范围后“同向可加”即可. C． D． 【分析】将用和表示,然后根据不等式的性质求解范围即可. 【详解】因为,又,, 所以,,所以, 即的取值范围是. A． B． C．的取值范围为 D．取值范围为 【详解】对于A,因为, 所以,即, 所以的取值范围为,故A正确,不符合题意； 对于B,因为,所以, 因为,所以,即, 所以的取值范围为,故B正确,不符合题意； 对于C,因为,则, 所以,则, 【变式1】(24-25高一上.广东广州.阶段练习)已知,则下列结论错误的是( ) 所以的取值范围为,故C正确,不符合题意； 对于D,因为,所以,则, 因为,所以,则, A．的取值范围为 B．的取值范围为 【分析】利用不等式的性质逐项分析即可. 【详解】A：因为,所以,即,故正确； B：因为,所以,即,故错误； C：因为,所以,所以,所以,故正确； D：因为,所以,所以,所以,故错误； 【变式2】(24-25高一上.浙江台州.)(多选)设x,y为实数,满足,则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 【详解】,故. 题型三 作差法比较式子大小关系 【分析】作差法比较大小. 【详解】因为, 故. 【变式1】(24-25高一上.福建莆田.期中),,,则有________. (请填“”、“”、“”、“”、“”) 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. , 因为a,b为正数,且,所以, 所以. 【变式2】(24-25高一上.湖南郴州.期中)若a,b为正数,且,则________ (用符号>、<、≥、≤填空). 【分析】作差法比较出大小. 【详解】由题意可知糖水原浓度为,加糖之后的浓度为,则有. 题型四 糖水不等式及其应用(跨章节) 【典例1】已知克糖水中含有克糖,再添加克糖()(假设全部溶解),糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是( ) A． B． C． D． 【详解】对于A,由得,,故A正确； 对于B,因为,故B错误； 对于D,由糖水不等式得,所以,故D错误. 【变式1】克糖水中含有克糖,糖的质量与糖水的质量比为,这个质量比决定了糖水的甜度,如果再添加克糖(假设全部溶解),生活经验告诉我们糖水会变甜,对应的不等式为,这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式,下列不等式正确的是( ) A． B． C． D． (2)已知a,b,c是三角形的三边,求证：． 【详解】(1),因为, 所以,所以,即． 所以, 又,所以 所以原不等式成立． 【变式2】如果向一杯糖水里加糖,糖水变甜了,这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； 题型五 直接用基本不等式求和或积的最值 解｜题｜技｜巧 (1)定条件：确认“一正(各项为正)、二定(和或积为定值)、三相等(等号能取到,即存在实数使等号成立)” . (2)选公式：和定求积最大,用；积定求和最小,用. [(3)代计算：代入定值,结合等号成立条件(验证是否满足“三相等” ),算出最值. A．1 B．2 C． D． 【分析】由基本不等式进行求解即可. 【详解】,,, 由基本不等式得,当且仅当时,等号成立. 【典例1】(24-25高一上.四川德阳.期中)若实数,,且,则的最大值为( ) A． B． C．4 D． 【详解】, 当切仅当即时取等号. 【典例2】(24-25高一上.浙江台州.期中)已知,则的最小值为( ) 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为x,,所以, 即,所以,当且仅当且,即,时等号成立. 【变式1】(24-25高一上.安徽.阶段练习)设,,且,则xy的最大值是( ) A． B． C． D．100 【详解】因为,所以, 所以, 当且仅当即时等号成立, 所以的最小值是7. 【变式2】(24-25高一上.福建龙岩.期中)已知实数,则的最小值是( ) A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】将变形为,再利用基本不等式即可计算求解. 【分析】根据得,利用“1”的代换化简,结合基本不等式,即可得出答案. ∴, ∴ , 当且仅当,即,时,等号成立. 【典例1】(24-25高一上.广西.期中)已知实数满足,且,则的最小值 为( ) A．6 B．7 C． D． 【分析】变形得到,由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】, 当且仅当,即时,等号成立, 故的最小值为4. 【变式1】(24-25高一上.山东济宁.期中)已知,则的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】因为,均为正实数,,均为正实数,且, 整理得：,因为,, 所以, 即,当且仅当时,即时,等号成立. 【变式2】(24-25高一上.江苏无锡.阶段练习)已知,均为正实数,且,则的最小值 为( ) A． B． C． D． A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：由题意得,, , ∴,当且仅当时取等号,即, 则函数的最小值是4. 题型七 二次与二次(一次)的商式求最值 【典例1】若,则的最小值为(     ) 【详解】由,又, 所以,当且仅当,即时等号成立, 所以原函数的最小值为. 【变式1】函数的最小值为____________. 【分析】将函数化为,利用基本不等式求其最小值,注意取值条件即可. (2)求的最小值. (3)已知,且,若恒成立,求实数的取值范围. 【详解】(1)当时, 当且仅当时,即当时,等号成立, 所以,函数的最大值为. (2)当时,, 则, 当且仅当时,即当时,等号成立, 【变式2】(24-25高一上.甘肃兰州.期中)求解下列各题： 故函数的最小值为. (1)求的最大值. 因为恒成立,则,即,解得. 因此,实数的取值范围是. (3)因为,且,则, (3)已知,且,若恒成立,求实数的取值范围. 当且仅当时,即当时,等号成立,即的最小值为, 设,则, 因此 因,当且仅当,即时取等号, 所以. 故的最大值为. 题型八 换元法求最值 【典例1】已知,求的最大值. 【详解】正数,,满足,故, 令,故,, , , 当且仅当,等号成立, 故. 【典例2】已知正数,,满足,则的最小值为( ) A． B． C． D． 当且仅当且,即,时等号成立. 【变式1】已知正实数满足且,则的最小值为_________. 【详解】设,则, 则,,,,,所以, 所以 当且仅当,,即,时等号成立． 【变式2】已知,,,则的最大值为__________． 【详解】令,, 【详解】任意的正实数,满足, 由于为正实数,故由基本不等式得, 当且仅当,即时,等号成立, , 当且仅当,即时,等号成立. 题型九 两次应用基本不等式求最值 【典例1】对任意的正实数,满足,则的最小值为__________. ∴ 当且仅当,即时等号成立 【详解】因为,所以, A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】根据题设得到且,代入目标式并应用基本不等式求最小值,注意取值条件. 所以的最小值为8. 题型十 条件等式变形求最值 【典例1】(24-25高一上.海南省直辖县级单位.期中)已知,,,则的最小值为( ) 即当或时,的最大值是； 因,,即得, 当且仅当,即或时取等号, 即当或时,的最小值是. 【典例2】(24-25高一上.重庆.期中)若满足,则的最大值是________,的最小值是__________. 【详解】因,由,可得, 【详解】因为,且,所以, 所以, , 当且仅当,即时,等号成立, 【分析】由,得到,再利用“1”的代换,结合基本不等式求解. 所以,显然与矛盾,所以, 由上,由,即,则, 所以 ,当且仅当时等号成立, 所以,,即,时,目标式最小值为4. 【变式2】(24-25高一上.重庆.期中)若正实数,满足,则的最小值是____________. 【详解】设,则,即, A． B． C． D． 【详解】不等式恒成立, 当且仅当,即时取等号 ,即解得故实数的取值范围是 【典例1】(23-24高一上.安徽六安.期中)对满足的任意正实数、,不等式 恒成立,则实数的取值范围是( ) 所以, 当且仅当,即时取等号. 又因为恒成立,所以,解得. 【变式1】已知,若恒成立,则实数m的取值范围是___________. 【详解】∵,∴,,, , , 当且仅当时等号成立, 所以,即的最大值是． 【变式2】已知且恒成立,则实数的最大值是____________. A． B． C． D． 【详解】设,则, 因为,所以,解得,其中, , 当且仅当即时等号成立, 故花园的面积的最大值为, 题型十二 基本不等式的应用 【典例1】(24-25高一上.四川绵阳.期中)某公园有如图所示一块直角三角形空地,直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园,点在斜边上(不包括端点),则花园的面积的最大值为( ) 【详解】设阴影部分矩形的底边长为,则其高为, 所以,矩形广告的总面积为 , 【分析】设阴影部分矩形的底边长为,则其高为,根据题意可得出矩形广告的总面积关于的函数关系式,结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设矩形菜园的长为,宽为,可得, 则围成的菜园的面积, 所以围成菜园的最大面积为. 【变式1】(24-25高一上.四川眉山.期中)用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长,则能围成的菜园面积的最大值为__________. 【分析】设矩形菜园的长为,宽为,得到,得到围成的菜园的面积,结合基本不等式,即可求解. 当时,即, 所以当时,最少的纸的用量为. 【变式2】(24-25高一上.北京.期中)如图是一份纸制作的矩形的宣传单,其排版面积(矩形)为P,两边都留有宽为a的空白,顶部和底部都留有宽为的空白.若,,则当__________时,才能使纸的用量最少,最少的纸的用量是__________. 【详解】设,纸的用量为,则, A． B． C． D． 【详解】对A,由,所以,错误； 对B,由,,所以,正确； 对C,由,所以,错误； 对D,由,所以,错误. 期中基础通关练(测试时间：10分钟) 一、单选题 1．(24-25高一上.广东汕头.期中)若,则下列不等式正确的是( ) C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 则由不能得到；当,时,,,则由可得到, 故是的充分不必要条件. 2．(24-25高一上.重庆.期中)已知：,；：,,则是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 【分析】利用基本不等式求最值即可. 因为(当且仅当,时取“”). 3．(24-25高一上.福建福州.期中)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园(菜园的一边靠墙),菜园的面积 最大是( ) A．36 B．144 C．60 D．72 【详解】因为知、,且满足, 当且仅当时,即当时,等号成立,因此,的最小值为. 4．(24-25高一上.福建南平.期中)已知、,且满足,那么的最小值为( ) A． B． C． D． 【分析】根据基本不等式求解积的最值. 当且仅当时等号成立,此时的值为1. 5．(24-25高一上.河北邯郸.期中)若正数满足：,则当取最大值时的值为( ) A． B． C．1 D． A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 对于B,取,满足,而,B错误； 对于C,由,得,则,因此,C正确； 对于D,由,得,而,则,D正确. 二、多选题 6．(24-25高一上.贵州.期中)下列命题中,不正确的是( ) 【详解】对于A,因为,,所以,又所以, 所以,当且仅当时取等号,故A错误； 对于B,, 当且仅当,即时取等号,故B正确； 当且仅当时取等号,故C正确； 对于D,,所以, 当且仅当时取等号,故D正确. 7．(24-25高一上.重庆.期中)已知,,且,则( ) A． B． C． D． (2)若,求的最小值． 【详解】(1),,,, ,即的取值范围为. (2),,, (当且仅当,即,时取等号),的最小值为. 三、解答题 8．(24-25高一上.江苏宿迁.期中)已知,． A． B． C． D． 所以, (当且仅当即时取“”). 期中重难突破练(测试时间：20分钟) 一、单选题 9．(23-24高一上.广东珠海.阶段练习)设,且,则的最小值为( ) 【详解】因为,则,,且, 所以, , 因此,的最小值为. 10．(24-25高一上.安徽.期中)已知,且,则的最小值为( ) A． B． C． D． 不等式 恒成立,即恒成立, , 当且仅当,即时等号成立, 所以,即实数m的最大值为. 11．(24-25高一上.四川达州.期中)已知,,若不等式恒成立,则实数的最大值为( ) A．64 B．25 C．13 D．12 【详解】,,即. ,即. 当且仅当即时等号成立. 故的最小值为. A． B． C． D． A． B． 【详解】对于A,因为,, 所以,,所以, 而,所以,故A正确； 对于B,因为,, 所以,,所以, 由选项A知,所以,故B正确； 对于C,取,满足, 且, 但,故C错误； 二、多选题 对于D,取,满足, 且, 但,故D错误. 但,故D错误. 由选项A知,所以,故B正确； 13．(24-25高一上.湖南.期中)若,且,则( ) 【详解】因为,所以,所以, 当,此时,当,此时或, 14．(24-25高一上.辽宁丹东.期中)若实数满足,则( ) A．有最大值为 B．有最小值为 (2)设,, 三、填空题 15．(24-25高一上.广东江门.期中)已知,(1)若,都是正数,且,则的最小值为___________；(2)若,则的最大值为___________. (1)求的值； (3)若,求的最小值. 【详解】(1)∵,∴,∵x,y为正数,∴,∴． , 当且仅当即时等号成立,故的最小值为． 四、解答题 16．(24-25高一上.浙江杭州.期中)已知正实数x,y满足. 当且仅当,即时等号成立,故的最小值为． (3)若,求的最小值. (3)∵, ∴ $