专题04 函数的概念及其表示（期中复习课件）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题04 函数的概念及其表示 高一年级数学上学期 期中复习大串讲 人教A版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 4.1 函数定义(对应关系f)的理解 能判断给定对应关系是否为函数,理解f(x)的含义. 概念题,是理解整个函数章节的基础. 4.2 求具体函数的定义域 能根据解析式中分式、偶次根式、对数式等要求,列出不等式组求定义域. 高频基础题,必须掌握. 4.3 求抽象函数的定义域 能理解定义域始终是自变量x的范围,并能据此求解复合函数的定义域. 高频易错点,对概念理解要求深. 4.4 函数的解析式求法(待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法) 能根据已知条件,选择适当方法求出函数解析式. 中档题,换元法和配凑法是难点. 4.5 值域 直接观察/图象法、配方法、换元法基本不等式法. 能掌握求简单函数值域的基本方法,理解值域是由定义域和对应关系共同决定的. 承上启下的重要考点.易错点是求值域时忽略函数的定义域限制.此为后续专题(如指数/对数函数、复合函数值域)打下基础 4.6 分段函数的求值与求参 能根据自变量的值选择正确的解析式进行求值,或根据函数值反求参数. 必考点,易错在代入错误的段. 4.7 分段函数图象的识别与绘制 能识别简单分段函数的图象,并能绘制含两段的分段函数图象. 数形结合思想的直接体现 3 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 4 任意一个数x 唯一确定的数f(x) 定义域 值域 5 定义域 对应关系 6 7 解析式 列出表格 取值区间 对应方式 8 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 9 10 B 11 D 12 AD 13 D 14 D 15 B 16 C 17 D 18 C 19 C 20 B 21 C 22 B 23 BC 24 D 25 A 26 D 27 28 29 30 B 31 32 C 33 34 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 35 A 36 C 37 C 38 D 39 AB 40 41 42 43 D 44 D 45 A 46 A 47 AB 48 49 50 51 B 52 53 54 1 55 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 56 (1). 一般地,对于函数,,则称集合为函数的___________,称集合为函数的____________. 设,是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的________________,在集合中都有____________________和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作___________________. 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同___________,有不同的___________,则称其为分段函数. 题型一 求函数值及己知函数值求参数 解｜题｜技｜巧 1. 直接代入法：若函数解析式明确,已知自变量具体值(或可通过条件求出),直接将自变量值代入解析式计算 . 2. 反复代入法和等价替换法 【分析】采用“赋值法”探索函数的性质.令,则,根据递推关系,可以求解. 【详解】当时,,所以； 令,得,所以； ,,……,. 【典例1】(24-25高一上.河南开封.期中)已知函数的定义域为,都有,且,则( ) A． B． C． D． 【分析】根据已知等式化简得出定值再计算求解即可. 又因为,所以,则. 【变式1】(24-25高一上.浙江)如果且,则的 值为( ) A．1012 B．2024 C．1013 D．2026 【分析】利用赋值法逐项求解判断即可. 【详解】令,得,因为,所以,即,故A正确； 令,得,即,所以,所以,故B错误； ,, ,, 所以,故D正确. 故选：AD 【变式2】(多选)定义在上的函数,对于任意的,都有,且,则( ) A． B． C． D． A． B． C． D． 【分析】求出使解析式有意义的的范围即可. 即函数的定义域为. 题型二 函数定义域 【典例1】(24-25高一上.浙江杭州.期中)函数的定义域为( ) 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】∵函数的定义域为, ∴要使函数有意义, ∴,即函数的定义域为. 【典例2】(23-24高一上.山东.期中)若函数的定义域为,则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【分析】求出函数的定义域,对于函数,可得出关于的不等式,即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数,有,可得, 故函数的定义域为, 故函数的定义域为. 【变式1】(24-25高一上.湖北武汉.期中)已知函数的定义域为,则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【分析】由的范围,得到,求解即可. 【详解】因为的定义域为,所以在中,有,则, 则在中,有,解得,故的定义域为． 【变式2】(24-25高一上.四川泸州.期中)已知函数的定义域为,则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为,所以,故函数的值域为. 题型三 值域问题 A． B． C． D． 【分析】令,,可得,利用函数单调性求值域. 【详解】令,,则, 所以函数,函数在上单调递增, 【典例2】函数的值域为( ) A． B． C． D． 【分析】分离常数可得函数单调性,进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为, 且,则, 即, 【变式1】(24-25高一上.河北石家庄.期中)函数的值域是( ) A． B． C． D． 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令,则,,则, 令,,则,所以函数的值域为. A． B． C． D． ① ② ③ ④ 【详解】对于①,易知函数定义域都是,令,则,故①正确； 对于②③,易知函数的定义域为,函数的定义域为,故②③错误； 对于④,由,故④错误； 对于⑤,易知函数定义域都是,由,故⑤正确. 题型四 判断函数相等 【典例1】(24-25高一上.福建福州.期中)下列各组函数中,是同一个函数的有( ) 【分析】利用函数三要素对选项逐一进行判断即可得出结论. 【详解】易知函数的定义域为,值域为, 对于B,函数的定义域为,值域为,符合题意, 对于C,函数的定义域为,不合题意； 对于D,函数,对应法则不同,不合题意. 【变式1】(24-25高一上.江苏南京.期中)下列函数与表示同一函数的是( ) A． B． C． D． C．与D．与 【详解】对于A,函数中,,解得或,即的定义域为, 对于B,,且与的定义域都为,B是； 对于C,当时,；当时,；又当时,, 因此,函数与的定义域相同,对应法则相同,C是； 对于D,函数的定义域为,函数的定义域为,D不是. 【变式2】(24-25高一上.福建福州.期中)(多选)下列各组函数中,两个函数是同一函数的有( ) A．与B．与 A． B． C． D． 【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度,可得问题答案. 【详解】开始注水时,水注入烧杯中,水槽内无水,高度不变；烧杯内注满水后,继续注水,水槽内水面开始上升,且上升速度较快；当水槽内水面和烧杯水面持平以后,继续注水,水槽内水面继续上升,且上升速度减慢. 题型五 函数的图象及其应用 【典例1】(24-25高一上.江苏苏州.期中)如图所示,正方体容器内放了一个圆柱形烧杯,向放在容器底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满正方体容器,则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是( ) A．(2)：降低成本,票价不变；(3)：成本不变,提高票价. B．(2)：提高成本,票价不变；(3)：成本不变,降低票价. C．(2)：成本不变,提高票价；(3)：提高成本,票价不变. D．(2)：降低成本,提高票价；(3)：降低成本,票价不变. 【详解】解：(2)直线向上平移,当乘客量为0时,差额绝对值变小,又收入为0,说明降低成本,两直线平行,说明票价不变； (3)：当乘客量为0时,差额未变,又收入为0,说明成本没变,直线的倾斜角变大,说明相同的乘客量时收入变大,即票价 提高了. 【变式1】(24-25高一上.浙江.期中)图(1)是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象 由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图(2)(3)所示,这两种建议是( ) 【分析】根据奇偶性可排除B和C；根据时,可排除A. 【详解】函数的定义域为,, 所以函数为奇函数,故排除B和C；当时,,故排除A. 【变式2】(24-25高一上.浙江杭州.期中)函数的图象大致是( ) A．   B．  C．   D．   (2)已知,求函数的解析式； (3)已知函数满足,求函数的解析式. 【详解】(1)因为为一次函数,可设. 所以. 所以,解得或.所以或. (2)设,则,,即,所以, ． (3)由①,用代替,得②, 得：,即,. 令,则,.则：,. 题型六 求函数解析式 所以,. 【典例1】(24-25高一上.四川眉山.期中)(1)已知是一次函数,且,求的解析式； (2). 【详解】(1)由题意,设因为,所以, 则所求函数解析式为. (2)因为,将原式中的x与互换,得,于是得关于的方程组：,解得. 【变式1】(24-25高一上.安徽芜湖.期中)根据下列条件,求的解析式. (1)是一次函数,且满足； (3)已知,求的解析式. 【详解】(1)设,则,,即, 由,得, 整理得,所以,所以,所以． (3)用替换中的x,得, 由,解得. 【变式2】(1)已知,求函数的解析式； (2)已知是二次函数,且满足,,求函数的解析式； A． B． C． D． 【详解】因为, 所以, 题型七 分段函数 【典例1】(24-25高一上.江苏南京.期中)设函数,则( ) (2)若,求的值； (3)作出函数的大致图象,并求时,的值域． 所以,,. (2)当时,,∴；当时,,∴； 当时,,∴或(舍).综上所述,m的值为或1或. (3)函数的图象,如图所示： 当,, 当,, 【典例2】(24-25高一上.广东惠州.期中)已知函数． (1)求,,的值； 【分析】根据解析式得出在上有,由题意可得,然后求解即可. 【详解】当时,单调递增,所以在上有, 所以要使函数的值域为, 则需,解得.    【变式1】已知函数的值域为,那么a的取值范围是( ) A． B． C． D． (2)画出函数的图像； (3)若,求的取值范围． (2)函数的图像为： (3)当时,由可得,解得,所以；当时,由 可得,解得,所以；当时,由可得,解得, 所以；综上所述,实数的取值范围为. (1),. (1)求； 1．(24-25高一上.山西.期中)函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【分析】根据分母不为及偶次方根的被开方数非负得到不等式组,解得即可. 【详解】对于函数,令,解得, 所以函数的定义域为. 期中基础通关练(测试时间：10分钟) 一、单选题 C．与 D．与 【详解】对于A,与的定义域分别为,故A错误； 对于B,与的定义域分别为,故B错误； 对于D,与的定义域分别为,故D错误. 2．(24-25高一上.天津.期中)下列各组函数是同一个函数的是( ) A．与 B．与 【详解】设(),由,则, 由,则, 整理可得,则,解得, 所以. 3．(24-25高一上.福建福州.期中)若函数是二次函数,满足,则=( ) A． B． C． D． 【分析】根据分段函数的定义代入即可求解. 【详解】. A．4 B．3 C．2 D．1 A． B．() C． D．() 【详解】A选项,,A正确； C选项,,显然,C错误 二、多选题 5．(24-25高一上.广东广州.期中)设,则下列结论成立的是( ) 【详解】令,则, 可得,所以. 三、填空题 6．(24-25高一上.安徽.期中)已知,则_________________. (2)求的值域； (3)已知,求的解析式． 【详解】(1)函数中,,解得, 函数的定义域为,则,函数中,,解得, 所以函数的定义域. 所以的值域是. (3)令,则,由,得, 所以的解析式是. 7．(24-25高一上.河南.期中)(1)已知函数,求函数的定义域； 【详解】(1)由可得：(i)(舍去)； (ii). 综上,或； (2)由可得： (i)； (ii).综上可得． 8．(24-25高一上.重庆.阶段练习)已知函数． (1)若,求的值； 9．(24-25高一上.重庆.期中)若函数的定义域为,则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【分析】根据定义域满足的不等式关系,即可列不等式组求解. 【详解】由于函数的定义域为,所以的定义域需要满足： 故定义域为： 期中重难突破练(测试时间：30分钟) 一、单选题 【分析】首先求出函数的定义域,令,将两边平方,求出取值范围, 再由,即可求出的取值范围. 【详解】令,则,解得,所以函数的定义域为, 所以,则,所以, 显然,所以,即该函数的值域为. 10．(24-25高一上.浙江.期中)已知函数,则该函数的值域是( ) A． B． C． D． 【详解】结合题意：, 当且仅当,即,原式取得最小值；另一方面,因为,,所以,即； 当时,, 当且仅当,即,原式取得最大值； 另一方面因为,令,则,所以, 所以,所以,即； 故选：A 11．(24-25高一上.福建福州.期中)函数的值域是( ) A． B． C． D． 【详解】当时,由, 若时,,即,故； 此时；当时,由, 若时,,即,显然无解； 若时,,即,故； 综上,实数的取值范围是. 12．(24-25高一上.江苏徐州.)已知函数.若,则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． A． B． C． D． 【详解】因为函数、在上均为增函数,故函数在上为增函数, 当时,,即函数在的值域为, 由于函数的值域为, 则函数在上的值域包含, 所以,,解得, 13．(24-25高一上.江苏淮安.期中)已知函数的值域为,那么的取值可以是( ). 【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义,再结合函数定义域即可转化 为不等式恒成立问题,利用一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由题意可知,函数的定义域为, 当时, 在上恒成立, 当时,则满足,解得, 综上,实数的取值范围是. 三、填空题 14．(24-25高一上.宁夏银川.期中)若函数的定义域为,则实数的取值范围是________. 即,解得； 且在上单调递增,可得； 且需满足,解得； 综上可得实数的取值范围为. 15．(24-25高一上.内蒙古包头.期中)已知函数在R上单调递增,则实数的取值范围为____________． 【分析】由分段函数单调性得出对应的不等关系,解不等式即可求得结果. ②对任意的,都有成立； ③对于,都有成立, 则___________． 【详解】由①得,∴,因此由②得, 又,而, 所以,所以, 从而,由③得时,, 所以, 16．(24-25高一上.上海.期中)已知函数,且同时满足下列三个条件： 而,所以,所以, , ,则依次下去可知,则B正确； A． B． C． D． 【分析】代入得到,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时,所以, 又因为,则, , , 期中综合拓展练(测试时间：10分钟) , ,则依次下去可知,则B正确； 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故, 二、填空题 18．(2024.上海.高考真题)已知则____________． 当 时, . 综上: 的值域为 . 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知, 【详解】函数,所以. 20．(2023.北京.高考真题)已知函数,则____________． 【分析】根据给定条件,把代入,利用指数、对数运算计算作答. $