专题12 函数的零点与方程根的分布（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题12 函数的零点与方程根的分布（期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 确定函数的零点 题型02 零点存在性定理的应用 题型03 根据函数零点范围求参数范围 题型04 函数零点（方程根）的数量问题 题型05 二次函数零点分布问题 题型06 指对幂函数的零点分布问题 题型07 求函数零点的和 题型08 二分法与方程的近似解 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 零点存在性定理 在 上连续且 内至少有一个零点；注意逆命题不成立、须先连续 选择填空高频；忽略”连续不断”、误把逆命题当定理是主要失分 零点个数判断 转化为 图像与 轴交点，或两函数图像交点；单调区间内 则零点唯一 常与分段函数、指对函数图像交汇；数形结合是核心手段 含参函数零点分布 二次型按” + 对称轴位置 + 端点函数值符号”列条件组；其他类型优先分离参数后看图像交点 解答题压轴小问常见；分类讨论不全、漏 与端点取等是主要失分 知识点01 函数零点的概念 核心概念：使 的实数 称为函数 的零点。 三个等价关系： 注意：零点是数，不是点——零点是 的值，不是 这个点。 示例： 函数 的零点是 和 （不是点 、）。 易错点： · 易错点总结：把零点当成点，写成 。 · 注意事项总结：零点是 的值，是一个实数，不是坐标点。 知识点02 零点存在性定理 核心定理：若 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，且 则函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 使 。 关键点： 1. 图像连续不断； 1. 端点函数值异号（）； 1. 结论是至少有一个零点，不一定只有一个。 推论：若再加 在 上单调，则 内有且仅有一个零点。 示例： 证明 在 内有零点。 证：，，，且 连续，故 内至少有一个零点。 易错点： · 易错点总结： 推出”仅有一个零点”——定理只保证至少一个，不一定唯一。 · 注意事项总结：定理是”存在性”不是”唯一性”；要唯一必须再加单调性。反之， 也可能有零点（如 在 ， 但有两个零点）。 知识点03 零点个数的判断 核心方法： 1. 解方程法：直接求 的根； 1. 图像交点法： 的零点个数 = 两函数图像交点个数； 1. 单调性+存在性定理：先定单调区间，再用定理定零点个数。 示例： 判断 的零点个数。 解： 在 上单调递增。 ，，。 故 内有且仅有一个零点。 易错点： · 易错点总结：不判断单调性就用定理，得出”至少一个”就停。 · 注意事项总结：判断零点个数，先定单调性，再用存在性定理——单调区间内最多一个零点。 知识点04 二分法 核心概念：对于区间 上连续不断且 的函数，通过不断取中点把区间一分为二，逐步逼近零点。 步骤： 1. 取中点 ； 1. 判断 符号； 1. 若 ，则零点在 ；否则在 ； 1. 重复直到区间长度足够小。 精度要求：若要求精确到 ，则区间长度 时停止。 示例： 用二分法求 在 内的近似解（精度 0.1）。 解：，，中点 ，； 区间 ，中点 ，； 区间 ，中点 ，； 区间 ，长度 ，继续…… 直到区间长度 时取中点作近似解。 易错点： · 易错点总结：精度与近似解关系搞反——精度 0.1 要求区间长度 ，不是 。 · 注意事项总结：区间长度小于两倍精度时，中点作为近似解才能保证精度。 知识点05 二次方程根的分布（函数零点视角） 核心模型：二次函数 （）在指定区间的零点个数。 核心结论（见上一讲”根的分布”，此处强化零点视角）： 条件 零点分布 无零点 一个零点（重根） 两个零点 一个零点在 左侧，一个在右侧 内至少有一个零点 示例： 若 在 内有两个零点，求 。 解：需 、、、。 ① ； ② ； ③ ； ④ 。 由 ②③ 知 且 ，矛盾，无解。 易错点： · 易错点总结：只列 就说有两个零点——这只保证至少一个。 · 注意事项总结：区间内零点个数问题，、对称轴、端点值都要列。 知识点06 复合函数零点 核心模型：已知 的零点，求 的零点。 方法：换元——令 ，先解 得 ，再解 。 示例： 已知 的根为 ，求 的根。 解：令 ， 的根为 。 故 或 ，即 。 示例（嵌套）： 若 ，求 的根。 解：令 ，。 ① ； ② 。 共 3 个零点：。 易错点： · 易错点总结：换元后只解一层，忘回代求 。 · 注意事项总结：复合函数零点分层解——先解外层得 ，再解内层得 。 知识点07 零点与函数图像交点（高频） 核心模型： 的解个数 ⟺ 两函数图像交点个数。 常用转化： · 的零点个数； · 画 与 图像，数交点。 示例： 方程 的实根个数随 变化。 解：画 与 图像。 · （）：0 个； · （）：2 个； · （）：4 个； · （）：3 个； · （）：2 个。 易错点： · 易错点总结：画图不精确，漏交点。 · 注意事项总结：数形结合题画准关键点——顶点、交点、渐近线，数交点时从下往上数。 知识点08 含参数的零点个数问题 核心模型：讨论方程 的解个数随 变化。 方法：分离参数 ，画 图像与水平线 ，数交点。 示例： 讨论方程 的解个数。 解：画 图像。 · ：0 个； · ：1 个（）； · ：2 个； · ：1 个（）； · ：1 个。 易错点： · 易错点总结：不分类讨论，直接给一个答案。 · 注意事项总结：含参零点个数问题，分类讨论参数范围，每种范围画一次图。 知识点09 零点与存在性、恒成立的综合 核心转化： · 有解 ⟺ 有零点； · 有解 ⟺ 两图像有交点； · 恒成立 ⟺ 最小值 ； · 使 ⟺ 最大值 。 示例： 若方程 有解，求 的范围。 解：分离参数 。 令 ，， 时取最大值 。 ，故 。 易错点： · 易错点总结：有解与恒成立方向搞反。 · 注意事项总结：有解 → 求值域（最大值/最小值）；恒成立 → 分离参数求最值。 题型一 确定函数的零点 解｜题｜技｜巧 - 零点定义： 的实数根。 - 求法： - 代数法：解方程 ； - 图像法：找 与 轴交点。 - 分段函数分段求零点。 易｜错｜点｜拨 - 零点是数不是点（零点是 值，不是 ）。 - 忽略定义域限制。 - 解方程漏根。 答｜题｜模｜板 1. 令 ； 2. 解方程求根； 3. 检验是否在定义域内； 4. 写出零点。 【典例1】函数的零点为（　　） A．1 B． C． D． 【典例2】若是函数的零点，则________. 【变式1】函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】函数的零点是______. 题型二 零点存在性定理的应用 解｜题｜技｜巧 - 定理： 在 上连续，且 ，则 内至少有一个零点。 - 推论： + 单调 唯一零点。 - 用于判断零点是否存在、二分法求近似值。 易｜错｜点｜拨 - 是充分不必要条件：乘积为负必有零点，但乘积为正不一定没零点。 - 忽略连续性前提。 - 只证存在不证唯一。 答｜题｜模｜板 1. 验连续性； 2. 算端点函数值符号； 3. 得存在； 4. 加单调性得唯一。 【典例1】已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【典例2】已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 题型三 根据函数零点范围求参数范围 解｜题｜技｜巧 - 零点落在区间 内 。 - 两个零点分别在区间两侧 且 （）。 - 转化为区间端点函数值符号问题。 易｜错｜点｜拨 - 端点能否取到（开闭）导致不等号方向变化。 - 忽略二次项系数为0。 - 漏判别式条件。 答｜题｜模｜板 1. 设函数 ； 2. 由零点位置列端点函数值符号条件； 3. 解不等式求参数； 4. 验证端点。 【典例1】若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【变式2】函数的零点在区间内，则_________． 题型四 函数零点（方程根）的数量问题 解｜题｜技｜巧 - 方法： - 代数法：解方程数根； - 图像法：画 与 轴交点数，或分离参数画两函数交点数。 - 分离参数： 化为 ，数 与 交点数。 - 含参讨论：按参数范围分类数交点。 易｜错｜点｜拨 - 图像法漏交点（尤其相切、渐近线附近）。 - 分离参数后新函数值域求错。 - 忽略定义域。 答｜题｜模｜板 1. 分离参数或直接画图； 2. 画 图像； 3. 数水平线与曲线交点数； 4. 写结论。 【典例1】方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 【变式1】已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】方程的解的个数为__. 题型五 二次函数零点分布问题 解｜题｜技｜巧 - 回扣根分布四件套：判别式、对称轴、端点函数值、开口方向。 - 两根正负：韦达定理 + 。 - 两根与常数 比较：对称轴 + + 。 - 两根在区间内： + 对称轴在区间内 + 两端点函数值同号。 易｜错｜点｜拨 - 四条件漏写。 - 开口方向未化正，函数值符号全反。 - 端点开闭导致不等号方向变化。 答｜题｜模｜板 1. 化 ； 2. 按零点分布类型列四条件； 3. 解不等式组； 4. 验证。 【典例1】（25-26高一下·安徽安庆·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·河南郑州·期中）若函数在区间内恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六 指对幂函数的零点分布问题 解｜题｜技｜巧 - 指对函数零点：解方程 或 。 - 复合函数零点：换元化归。 - 指对混合：分离参数 + 图像法。 - 注意： 恒成立， 有解需 。 易｜错｜点｜拨 - 忽略指对函数值域限制（，）。 - 换元后新元范围忽略。 - 图像交点漏算。 答｜题｜模｜板 1. 换元或分离参数； 2. 画图像； 3. 数交点； 4. 写零点。 【典例1】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【典例2】（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数函数有四个不同的零点，且，则（    ） A．的取值范围是 B． C．的最小值是 D．越大，的值越大 【变式1】（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．若方程有5个不同的实根，则 D．若方程有5个不同的实根，则 【变式2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 题型七 求函数零点的和 解｜题｜技｜巧 - 代数法：求所有零点相加。 - 对称法：若函数有对称轴 ，对称零点成对出现，和为 的倍数。 - 二次函数：韦达定理 。 - 指对函数：利用反函数对称性， 与 交点关于 对称。 易｜错｜点｜拨 - 漏零点。 - 对称零点配对错误。 - 韦达定理符号记错。 【典例1】（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的所有零点之和为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1】（25-26高一上·重庆·期中）已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的所有实数根的和是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·贵州安顺·期中）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 题型八 二分法与方程的近似解 解｜题｜技｜巧 - 二分法：对区间 上连续且 的函数，不断取中点 ，缩小区间，逼近零点。 - 原理：零点存在性定理 + 区间逐次减半。 - 精确度 ：当区间长度 时，区间内任意值都可作为近似解。 易｜错｜点｜拨 - 只适用于 的情形（穿过 轴）；相切型零点不适用二分法。 - 忽略函数必须连续。 - 精确度 与精确到 混淆。 答｜题｜模｜板 1. 定初始区间 ，验 ； 2. 取中点 ，算 ； 3. 按 符号缩区间； 4. 重复至 ； 5. 写出近似解。 【典例1】（25-26高一上·江西赣州·期中）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·江西景德镇·期中）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【变式1】（25-26高一上·河南新乡·期中）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·四川眉山·期中）函数 的零点所在的一个区间是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 4．（25-26高一上·河南信阳·期中）关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是__________. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）设，若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西九江·期中）已知函数，且时，，则的取值范围是____________. 4．（25-26高一上·山西晋城·期中）已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，且，则（    ） A．a的取值范围是 B． C． D． 3．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数 (1)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (2)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 4．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 函数的零点与方程根的分布（期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 确定函数的零点 题型02 零点存在性定理的应用 题型03 根据函数零点范围求参数范围 题型04 函数零点（方程根）的数量问题 题型05 二次函数零点分布问题 题型06 指对幂函数的零点分布问题 题型07 求函数零点的和 题型08 二分法与方程的近似解 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 零点存在性定理 在 上连续且 内至少有一个零点；注意逆命题不成立、须先连续 选择填空高频；忽略”连续不断”、误把逆命题当定理是主要失分 零点个数判断 转化为 图像与 轴交点，或两函数图像交点；单调区间内 则零点唯一 常与分段函数、指对函数图像交汇；数形结合是核心手段 含参函数零点分布 二次型按” + 对称轴位置 + 端点函数值符号”列条件组；其他类型优先分离参数后看图像交点 解答题压轴小问常见；分类讨论不全、漏 与端点取等是主要失分 知识点01 函数零点的概念 核心概念：使 的实数 称为函数 的零点。 三个等价关系： 注意：零点是数，不是点——零点是 的值，不是 这个点。 示例： 函数 的零点是 和 （不是点 、）。 易错点： · 易错点总结：把零点当成点，写成 。 · 注意事项总结：零点是 的值，是一个实数，不是坐标点。 知识点02 零点存在性定理 核心定理：若 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，且 则函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 使 。 关键点： 1. 图像连续不断； 1. 端点函数值异号（）； 1. 结论是至少有一个零点，不一定只有一个。 推论：若再加 在 上单调，则 内有且仅有一个零点。 示例： 证明 在 内有零点。 证：，，，且 连续，故 内至少有一个零点。 易错点： · 易错点总结： 推出”仅有一个零点”——定理只保证至少一个，不一定唯一。 · 注意事项总结：定理是”存在性”不是”唯一性”；要唯一必须再加单调性。反之， 也可能有零点（如 在 ， 但有两个零点）。 知识点03 零点个数的判断 核心方法： 1. 解方程法：直接求 的根； 1. 图像交点法： 的零点个数 = 两函数图像交点个数； 1. 单调性+存在性定理：先定单调区间，再用定理定零点个数。 示例： 判断 的零点个数。 解： 在 上单调递增。 ，，。 故 内有且仅有一个零点。 易错点： · 易错点总结：不判断单调性就用定理，得出”至少一个”就停。 · 注意事项总结：判断零点个数，先定单调性，再用存在性定理——单调区间内最多一个零点。 知识点04 二分法 核心概念：对于区间 上连续不断且 的函数，通过不断取中点把区间一分为二，逐步逼近零点。 步骤： 1. 取中点 ； 1. 判断 符号； 1. 若 ，则零点在 ；否则在 ； 1. 重复直到区间长度足够小。 精度要求：若要求精确到 ，则区间长度 时停止。 示例： 用二分法求 在 内的近似解（精度 0.1）。 解：，，中点 ，； 区间 ，中点 ，； 区间 ，中点 ，； 区间 ，长度 ，继续…… 直到区间长度 时取中点作近似解。 易错点： · 易错点总结：精度与近似解关系搞反——精度 0.1 要求区间长度 ，不是 。 · 注意事项总结：区间长度小于两倍精度时，中点作为近似解才能保证精度。 知识点05 二次方程根的分布（函数零点视角） 核心模型：二次函数 （）在指定区间的零点个数。 核心结论（见上一讲”根的分布”，此处强化零点视角）： 条件 零点分布 无零点 一个零点（重根） 两个零点 一个零点在 左侧，一个在右侧 内至少有一个零点 示例： 若 在 内有两个零点，求 。 解：需 、、、。 ① ； ② ； ③ ； ④ 。 由 ②③ 知 且 ，矛盾，无解。 易错点： · 易错点总结：只列 就说有两个零点——这只保证至少一个。 · 注意事项总结：区间内零点个数问题，、对称轴、端点值都要列。 知识点06 复合函数零点 核心模型：已知 的零点，求 的零点。 方法：换元——令 ，先解 得 ，再解 。 示例： 已知 的根为 ，求 的根。 解：令 ， 的根为 。 故 或 ，即 。 示例（嵌套）： 若 ，求 的根。 解：令 ，。 ① ； ② 。 共 3 个零点：。 易错点： · 易错点总结：换元后只解一层，忘回代求 。 · 注意事项总结：复合函数零点分层解——先解外层得 ，再解内层得 。 知识点07 零点与函数图像交点（高频） 核心模型： 的解个数 ⟺ 两函数图像交点个数。 常用转化： · 的零点个数； · 画 与 图像，数交点。 示例： 方程 的实根个数随 变化。 解：画 与 图像。 · （）：0 个； · （）：2 个； · （）：4 个； · （）：3 个； · （）：2 个。 易错点： · 易错点总结：画图不精确，漏交点。 · 注意事项总结：数形结合题画准关键点——顶点、交点、渐近线，数交点时从下往上数。 知识点08 含参数的零点个数问题 核心模型：讨论方程 的解个数随 变化。 方法：分离参数 ，画 图像与水平线 ，数交点。 示例： 讨论方程 的解个数。 解：画 图像。 · ：0 个； · ：1 个（）； · ：2 个； · ：1 个（）； · ：1 个。 易错点： · 易错点总结：不分类讨论，直接给一个答案。 · 注意事项总结：含参零点个数问题，分类讨论参数范围，每种范围画一次图。 知识点09 零点与存在性、恒成立的综合 核心转化： · 有解 ⟺ 有零点； · 有解 ⟺ 两图像有交点； · 恒成立 ⟺ 最小值 ； · 使 ⟺ 最大值 。 示例： 若方程 有解，求 的范围。 解：分离参数 。 令 ，， 时取最大值 。 ，故 。 易错点： · 易错点总结：有解与恒成立方向搞反。 · 注意事项总结：有解 → 求值域（最大值/最小值）；恒成立 → 分离参数求最值。 题型一 确定函数的零点 解｜题｜技｜巧 - 零点定义： 的实数根。 - 求法： - 代数法：解方程 ； - 图像法：找 与 轴交点。 - 分段函数分段求零点。 易｜错｜点｜拨 - 零点是数不是点（零点是 值，不是 ）。 - 忽略定义域限制。 - 解方程漏根。 答｜题｜模｜板 1. 令 ； 2. 解方程求根； 3. 检验是否在定义域内； 4. 写出零点。 【典例1】函数的零点为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解得， 故的零点为. 【典例2】若是函数的零点，则________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入求解即可. 【详解】由题意可得， 解得. 【变式1】函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 【变式2】函数的零点是______. 【答案】 【详解】由知， 令，解得：或， 所以函数的零点是. 题型二 零点存在性定理的应用 解｜题｜技｜巧 - 定理： 在 上连续，且 ，则 内至少有一个零点。 - 推论： + 单调 唯一零点。 - 用于判断零点是否存在、二分法求近似值。 易｜错｜点｜拨 - 是充分不必要条件：乘积为负必有零点，但乘积为正不一定没零点。 - 忽略连续性前提。 - 只证存在不证唯一。 答｜题｜模｜板 1. 验连续性； 2. 算端点函数值符号； 3. 得存在； 4. 加单调性得唯一。 【典例1】已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点存在性定理判断即可. 【详解】已知， ，，， ，， ， 根据零点存在性定理可知，区间一定包含的零点. 【典例2】已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】由题意得， 故， 在上至少有1个零点， 故在区间上的零点至少有3个. 【变式1】函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 【变式2】方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 题型三 根据函数零点范围求参数范围 解｜题｜技｜巧 - 零点落在区间 内 。 - 两个零点分别在区间两侧 且 （）。 - 转化为区间端点函数值符号问题。 易｜错｜点｜拨 - 端点能否取到（开闭）导致不等号方向变化。 - 忽略二次项系数为0。 - 漏判别式条件。 答｜题｜模｜板 1. 设函数 ； 2. 由零点位置列端点函数值符号条件； 3. 解不等式求参数； 4. 验证端点。 【典例1】若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在定理可知，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 【典例2】已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 【变式1】函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 【变式2】函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 题型四 函数零点（方程根）的数量问题 解｜题｜技｜巧 - 方法： - 代数法：解方程数根； - 图像法：画 与 轴交点数，或分离参数画两函数交点数。 - 分离参数： 化为 ，数 与 交点数。 - 含参讨论：按参数范围分类数交点。 易｜错｜点｜拨 - 图像法漏交点（尤其相切、渐近线附近）。 - 分离参数后新函数值域求错。 - 忽略定义域。 答｜题｜模｜板 1. 分离参数或直接画图； 2. 画 图像； 3. 数水平线与曲线交点数； 4. 写结论。 【典例1】方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】在同一坐标系中画出函数与的图象， 如图所示： 由图象可得，函数与的图象有3个交点， 则方程的实数解的个数是3. 【典例2】若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 【答案】 【分析】结合函数周期性和解析式可作出与在上的图象，根据图象交点个数可得所求函数零点个数. 【详解】，是周期为的周期函数； 当时，；当时，；， 又，，， 可作出与在上的图象如下图所示， 由图可知：与在上有个交点， 函数在区间内的零点个数为. 【变式1】已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合基本不等式分情况讨论计算即可. 【详解】解方程，得或. 当时，，当且仅当时取等号， 即，. 当时，，此时在上单调递增，值域为. 当，时，，解得，此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 综上，方程共有3个实根. 【变式2】方程的解的个数为__. 【答案】2 【分析】方程的解的个数，即函数和函数的图象的交点个数，画出两函数图象即可得. 【详解】方程的解的个数， 即函数和函数的图象的交点个数， 如图所示，数形结合可得， 函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2. 题型五 二次函数零点分布问题 解｜题｜技｜巧 - 回扣根分布四件套：判别式、对称轴、端点函数值、开口方向。 - 两根正负：韦达定理 + 。 - 两根与常数 比较：对称轴 + + 。 - 两根在区间内： + 对称轴在区间内 + 两端点函数值同号。 易｜错｜点｜拨 - 四条件漏写。 - 开口方向未化正，函数值符号全反。 - 端点开闭导致不等号方向变化。 答｜题｜模｜板 1. 化 ； 2. 按零点分布类型列四条件； 3. 解不等式组； 4. 验证。 【典例1】（25-26高一下·安徽安庆·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 【典例2】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在区间上有两个零点，即函数在上与x轴有两个交点，则需要满足，根据二次函数图像列出不等式即可求解. 【详解】由函数在区间内有两个零点，得到函数在上与x轴有两个交点， 所以，即， 整理得，解得 所以则的取值范围为. 故选：A. 【变式1】（25-26高一上·河南郑州·期中）若函数在区间内恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根， 当时，方程可化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，. 若，，此时方程的解为，满足题意； 若，即当且时， 由题意只需，解得且， 又时，，即， 其实数根为，满足题意， 时，，即， 其实数根为，满足题意， 所以且； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式2】设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，结合直线与函数 图象的交点个数可得出的取值范围，再利用对称轴将所求式子消元处理，再整体换元令，转化为求的值域可得. 【详解】令， 由有四个不同的零点， 则与有四个不同的交点， 令，解得或， 故当或时，；当时，； 且当，； 解方程，得； 作函数的图象，对称轴为.    要使与有四个不同的交点，如图可得. 又满足， 则，可得. 因为图象关于对称，所以， 则， 则，令，则， 构造函数，， 由，函数在单调递增， 则，即. 故选：A 题型六 指对幂函数的零点分布问题 解｜题｜技｜巧 - 指对函数零点：解方程 或 。 - 复合函数零点：换元化归。 - 指对混合：分离参数 + 图像法。 - 注意： 恒成立， 有解需 。 易｜错｜点｜拨 - 忽略指对函数值域限制（，）。 - 换元后新元范围忽略。 - 图像交点漏算。 答｜题｜模｜板 1. 换元或分离参数； 2. 画图像； 3. 数交点； 4. 写零点。 【典例1】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【答案】ABD 【分析】画出函数的图象后可判断A的正误，由图象的局部对称性可判断B的正误，利用换元法可判断CD的正误. 【详解】图像如下， 可知时，与恰有四个不同交点，所以A正确： 由对称性可知，而，所以， 则，所以， 当且仅当时等号成立，B成立： 对于，令， 则有两个不同根，， 各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误； 对于D，令在时有三个根：， 而有2个不同根，有4个不同根，有2个不同根， 共8个，所以D正确． 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，一般刻画出内外两个方程对应函数的图象，再根据外方程的解判断内方程的解，从而得到原方程的解的个数. 【典例2】（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数函数有四个不同的零点，且，则（    ） A．的取值范围是 B． C．的最小值是 D．越大，的值越大 【答案】BCD 【分析】首先画出函数图像，根据图像即可判断选项A错误，再利用函数的性质，列出等式即可得到选项B正确，由将选项C化为，利用对勾函数的单调性即可判断C,D的对错. 【详解】对于选项A:画出的大致图象，由图可知，则A错误. 对于选项B：因为，所以， 所以，则B正确. 对于选项C：由图可知，所以， 当且仅当时，等号成立，则C正确. 对于选项D：在上单调递减. 因为越大，越小，所以的值越大，则D正确. 故选：BCD 【变式1】（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．若方程有5个不同的实根，则 D．若方程有5个不同的实根，则 【答案】BCD 【分析】根据解析式画出函数大致图象，令得，数形结合可得且，结合函数零点知识依次判断各项正误. 【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，令，则，    所以且，故，A错； 由，而从过程中对应从， 注意端点值取不到，所以，B对； 由，可得或， 由图知，对应有2个不同解，故对应必有3个不同解，所以，C对； 由图，当时原方程无解； 当时，，此时原方程只有1个解，不符； 当时，且，此时原方程有1或2或3个解，不符； 令，得或或， 当时，或或， 若，原方程无解； 若，原方程有2个解； 若，原方程有1个解， 故原方程共有3个不同解，不符； 当时，或或，原方程共有4个解，不符； 当时，或或， 若，原方程有2个解； 若，原方程有2个解； 若，原方程有1个解， 故原方程共5个不同解，符合； 当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符； 当时，，原方程只有1个解，不符； 综上，满足题设，D对. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D项，注意从负到正依次讨论的范围，结合图象确定对应范围，进而判断解的个数. 【变式2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】作出函数图象，结合图象可得的范围，再由，即可求得的取值范围。 【详解】根据题干可画出函数图象，如下图： 根据图象可知，，根据得不出， 所以选项A正确，B错误； 由于，所以，即， 所以，又在单调递增， 因此，所以选项C正确； 由于，所以，所以， 又在上单调递增，所以，所以选项D正确。 故答案为：ACD 题型七 求函数零点的和 解｜题｜技｜巧 - 代数法：求所有零点相加。 - 对称法：若函数有对称轴 ，对称零点成对出现，和为 的倍数。 - 二次函数：韦达定理 。 - 指对函数：利用反函数对称性， 与 交点关于 对称。 易｜错｜点｜拨 - 漏零点。 - 对称零点配对错误。 - 韦达定理符号记错。 【典例1】（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断含糊的对称性以及函数的单调性，数形结合，可判断出函数的零点，即可求解.. 【详解】由， 可得， 故，即的图象关于点对称； 由于单调递增，故在R上单调递增，且增加的趋势较平缓， 当时，，当时，， 为增函数，其图象也关于点对称， 作出函数的图象如图： 由此可知的图象有唯一的交点， 所以1是的唯一零点， 所以函数的所有零点之和是1. 【典例2】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的所有零点之和为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】应用指对数转化，再换元得出，最后应用指数运算律及指对数转化求解. 【详解】  令，可得． 设，则， 解得，， 则． 故的所有零点之和为． 故选：A. 【变式1】（25-26高一上·重庆·期中）已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的所有实数根的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设，求出方程的解，利用函数的奇偶性作出函数在时的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】设，则关于的方程， 等价，解得或， 当时，，此时不满足方程． 作出当时，的图象如下图：    当时，对应个实根，且这三个根之和为， 当时，对应个实根，且这四个根之和为， 因为函数是奇函数，所以方程对应个实根，且这四个根之和为， 因此关于的方程的所有实数根的和是. 故选：A. 【变式2】（25-26高一上·贵州安顺·期中）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，结合同底的对数函数和指数函数互为反函数，根据反函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 题型八 二分法与方程的近似解 解｜题｜技｜巧 - 二分法：对区间 上连续且 的函数，不断取中点 ，缩小区间，逼近零点。 - 原理：零点存在性定理 + 区间逐次减半。 - 精确度 ：当区间长度 时，区间内任意值都可作为近似解。 易｜错｜点｜拨 - 只适用于 的情形（穿过 轴）；相切型零点不适用二分法。 - 忽略函数必须连续。 - 精确度 与精确到 混淆。 答｜题｜模｜板 1. 定初始区间 ，验 ； 2. 取中点 ，算 ； 3. 按 符号缩区间； 4. 重复至 ； 5. 写出近似解。 【典例1】（25-26高一上·江西赣州·期中）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 【典例2】（25-26高一上·江西景德镇·期中）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【答案】A 【分析】根据题意数据结合二分法分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 【变式1】（25-26高一上·河南新乡·期中）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 【变式2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】通过二分法的精确度公式求解. 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·四川眉山·期中）函数 的零点所在的一个区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】结合选项可知，因为函数和在均为增函数， 所以函数在上单调递增， 又， ， ， 所以函数的零点在区间上. 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取，显然在区间上有零点，且零点为， 但，所以函数在区间上有零点推不出， 又由零点存在性定理知，若，函数在区间上的图象是一条不间断的曲线， 则函数在区间上有零点， 所以“函数在区间上有零点”是“”的必要不充分条件. 3．（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 【答案】AC 【分析】求解方程的根，即可得零点，进而可判断AC，根据函数的图像即可求解BD. 【详解】时，令，即，则， 当时，令，即，得或，故有3个零点，A正确， 当时，为开口向下的二次函数，且对称轴为，此时在单调递减，当时，，此时在单调递减，但，因此在上不是单调递减，B错误， 由于有3个零点，分别为或或，结合，故有3个零点，分别为，故的零点之积为，C正确， 作出的大致图像如下，当时，此时有四个交点，故有四个实数根，由于，故也有四个实数根，D错误. 4．（25-26高一上·河南信阳·期中）关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】把原方程的解转化为方程在上有两个不同的正数解，利用判别式及韦达定理可求参数的范围. 【详解】令，则，则原方程可化为， 因为关于的方程有4个不同的实数根， 故方程在上有两个不同的正数解， 故，解得. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）设，若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据解析式作出函数的图像，上下平移直线，使其与图像有且仅有两个交点，得出的范围. 【详解】由题意可知，当时，，则此时在上为单调递减，且值域为. 当时，由 可知，函数是以为周期的周期函数， 且， 结合函数的图像，当满足时，与有且仅有两个交点， 即有且仅有两个解. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为函数和函数均为减函数， 所以函数为减函数，若实数是函数的一个零点，则， 由题设＜0知，或， 根据零点存在定理有：或 3．（25-26高一上·江西九江·期中）已知函数，且时，，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】由题意画出图形，得出各自的范围以及关系，进一步即可求解. 【详解】    ， 结合图形可得，，， ∵，∴，∴， ∴，∴. 故答案为：. 4．（25-26高一上·山西晋城·期中）已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 【答案】(1)，， 即.又， ，则，. 又，，. (2)由题意得在内选取二等分点，则. ，∴在区间和内至少各有一个零点. 又最多有两个零点，∴方程在上有两个实根. 【分析】（1）根据已知条件列出不等式，进而证明即可. （2）根据零点存在定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 【答案】B 【分析】根据分段函数分别讨论方程在与上的解的个数，由存在三个不同实根确定的范围，再表示并逐项判断． 【详解】当时，． 若在上有两个不同的解，则且，即． 当时，在上单调递增，且值域为，因此方程有唯一解． 于是存在使当且仅当，故A错误． 由，得，故B正确． 又，故C错误； 并且从而，其最大值不能取到，故D错误． 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，且，则（    ） A．a的取值范围是 B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出图形，根据函数的零点、方程的根与函数图象的交点的横坐标之间的关系可得，，且，，结合对数的运算性质和基本不等式的应用依次判断选项即可. 【详解】因为函数有四个不同的零点， 所以方程有四个不同的解， 即函数与图象有四个不同的交点，如图， 由图可知，，， 且，， 得，解得， 所以， 当且仅当即时等号成立，但，故等号不成立， 所以. 故选：BC 3．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数 (1)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (2)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 【答案】(1)任取，且， 则 因为，所以， 又， 所以，即， 所以在上单调递增 (2) 【分析】（1）由单调性的定义，通过作差法即可求证； （2）通过函数单调性和奇偶性，将问题转换成有两个不同的实根，再换元，通过研究函数的图象和最值即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为，所以， 所以函数是奇函数， 因为， 所以， 因为在上单调递增，所以有两个不同的实根，即有两个不同的实根， 令，则有两个不同的正解， 即直线与的图象有两个不同的交点， 作出的图象，如图所示． 由图可知，所以的最大值为， 结合图象可知：实数的取值范围为． 4．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】(1)由偶函数定义可直接求解m； (2)已知函数存在零点，转化成方程有解，通过计算的值域得出的范围； (3)函数与的图象有且只有一个公共点，令，则方程可化为，转化成一元二次方程有且只有一个正根讨论. 【详解】（1）因为是偶函数，所以对任意恒成立，                     即，                                               因为， 即，                                           所以对任意恒成立，                                                   解得； （2）由（1）得：， 所以，                                                     因为函数存在零点，所以， 即方程有解，                                                 令，                             因为，所以的取值范围为， 则的值域为，故实数a的取值范围是； （3）函数与的图象有且只有一个公共点， 即方程有且只有一个解， 化简得：， 即；                                                           令，则方程可化为，且方程有且只有一个正根，     ①当，即时，方程可化为， 解得，不合题意，舍去；                                               ②当时，则方程为关于的一元二次方程. （i）若方程有两个相等的正根， 则由，解得， 此时方程为,方程的根为,不合题意，舍去，                              （ii）若方程有一个正根和一个负根， 则由且，解得，                 综上所述，实数b的取值范围是． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $