专题07 函数的定义域与值域（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题07 函数的定义域与值域（期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 具体函数的定义域 题型02 抽象函数的定义域 题型03 由函数的定义域求参数 题型04 利用函数的图像与单调性求值域 题型05 换元法求值域 题型06 分离常数法求值域 题型07 利用基本不等式求值域 题型08 判别式法求值域 题型09 由函数的值域求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 定义域的求法 列出全部约束：分母≠0、偶次根号下≥0、对数真数>0、零次幂底数≠0，最后取交集；实际问题符合实际意义 选择填空高频；漏约束、忘取交集是主要失分点 值域的常用求法 按解析式选法：二次型用配方法、型用分离常数、含根号用换元、复合式用单调性，必要时配基本不等式 贯穿全卷的基本功，常与定义域、单调性交汇考查 抽象、复合函数定义域 抓住"同一对应法则 f 作用范围相同"：f(x) 定义域为 D ⇒ f(g(x)) 中 g(x)∈D，反解 x 易错题重灾区；学生常把 f(g(x)) 定义域误写成 D 知识点01 函数的概念与三要素 核心概念：设 是非空数集，若按对应法则 ，对 中任意 ，在 中都有唯一确定的 与之对应，则 为函数。 三要素： · 定义域 ：自变量 的取值范围； · 值域 ：函数值 的集合（）； · 对应法则 ： 与 的对应关系。 相等函数：定义域相同 且 对应法则相同（两要素缺一不可）。 易错点： · 易错点总结：只看解析式相同就认为是同一函数，忽略定义域。 · 注意事项总结：判断两函数相同，先看定义域，再看对应法则，两者都相同才是同一函数。 知识点02 具体函数定义域的求法 核心法则（各限制条件）： 函数类型 限制条件 分式 偶次根式 零次幂 实际问题 符合实际意义（长度、人数等） 解题原理：把所有限制条件列出，取交集。 示例： 求 的定义域。 解：列条件： 取交集：。 易错点： · 易错点总结：漏列某个限制条件（如对数真数>0、分母≠0、零次幂底数≠0）。 · 注意事项总结：求定义域时，逐个数式检查——看到分式查分母、看到根号查被开方数、看到对数查真数、看到零次幂查底数，全部列出再取交集。 知识点03 复合函数的定义域 核心概念： 的定义域是使 的值落在 的定义域内的 的集合。 核心法则： 1. 已知 的定义域为 ，则 的定义域由 解得； 1. 已知 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域。 示例 1：已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解：，即定义域 。 示例 2：已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解： 时，，即 的定义域为 。 易错点： · 易错点总结：混淆” 的定义域”和” 的定义域”——前者是 的范围，后者是 的范围。 · 注意事项总结：定义域永远是自变量 的范围。 的定义域指 的范围，不是 的范围。 知识点04 抽象函数定义域 核心模型：没有具体解析式，由 的定义域求 的定义域。 解题原理：抓住同一对应法则 的作用范围相同。 示例：已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解： ① 中 ，则 ，即 的作用范围是 ； ② 对 ，需 。 故定义域为 。 易错点： · 易错点总结：把 的定义域 直接当成 的作用范围。 · 注意事项总结：两步走——先由 的定义域求出 的”总作用范围”（即 的值域），再据此求 中 的范围。 知识点05 值域求法——配方法（二次函数型） 核心模型：二次函数或可化为二次函数的分式。 核心方法：配方成 ，结合开口方向和定义域求值域。 示例： 求 ， 的值域。 解：，开口向上，对称轴 。 最小值 ；最大值 。 值域 。 易错点： · 易错点总结：不看定义域，直接套顶点公式——对称轴不在区间内时顶点取不到。 · 注意事项总结：二次函数在闭区间上的值域，必须讨论对称轴与区间位置，最小值看顶点（若轴在区间内）或端点，最大值总在端点。 知识点06 值域求法——分离常数法（分式型） 核心模型：（一次比一次）。 核心方法：把分子配成分母的倍数，分离出常数。 示例： 求 的值域。 解：。 因 ，故 。 值域 。 易错点： · 易错点总结：直接令 求 ，以为就是值域。 · 注意事项总结：一次分式的值域是不等于分离出的常数，即 。 知识点07 值域求法——换元法 核心模型：含根式、复合结构，通过换元化为熟悉函数。 方法：令 或 ，注意新变量范围。 示例： 求 的值域。 解：令 ，则 。 时单调递增，。值域 。 易错点： · 易错点总结：换元后忘写新变量范围，导致值域扩大。 · 注意事项总结：换元后立刻写 的范围，这是最容易丢分的一步。 知识点08 值域求法——单调性法 核心模型：函数在区间上单调，直接代端点求值域。 原理：单调增函数 在 上的值域为 ；单调减则反过来。 示例： 求 在 上的值域。 解：令 ，， 在 上单调递增，，。 值域 。 易错点： · 易错点总结：不判断单调性就代端点，结果端点不是最值点。 · 注意事项总结：用单调性法前，先证明或判断函数单调，再代端点。 知识点09 值域求法——基本不等式法与判别式法 基本不等式法：适用于 型。 判别式法：适用于 型，整理成关于 的二次方程，令 求 范围。 示例： 求 的值域。 解：整理 。 · 时 不成立； · 时 ， 得 ，即 。 值域 。 易错点： · 易错点总结：判别式法忘讨论二次项系数为 0；或不检验等号。 · 注意事项总结：判别式法最后要检验端点能否取到，尤其分离出的常数。 知识点10 定义域与值域的综合（含参数） 核心模型：已知定义域为 或值域为 ，求参数。 对照关系（分式函数 ）： 条件 等价 定义域为 分母恒不为 0 值域为 分母能取遍所有正数（结合对数） 示例： 若函数 的定义域为 ，求 的范围。 解：需 对 恒成立。 ① ： 恒成立； ② ：。 综上 。 易错点： · 易错点总结：忘 的讨论，直接套二次不等式。 · 注意事项总结：含参数的”定义域为 “问题，先分 和 。 题型一 具体函数的定义域 解｜题｜技｜巧 - 基本约束： - 分式：分母 ； - 偶次根式：被开方数 ； - 对数：真数 ，底数 且 ； - 零次幂：底数 。 - 多个约束取交集。 易｜错｜点｜拨 - 对数忘记底数限制（ 且 ）。 - 多个条件取并集而非交集。 - 实际问题中自变量的实际范围（如长度 ）被忽略。 答｜题｜模｜板 1. 列出函数所有约束条件； 2. 分别解每个不等式； 3. 取交集写定义域。 【典例1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据偶次方根被开方数大于等于零和分母不为零的要求直接求解即可. 【详解】由于，需满足， 解得：且，. 故选：C. 【典例2】（25-26高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定的函数有意义，列不等式求解作答. 【详解】由题意知，解得，所以的定义域为. 故选：D. 【变式1】（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知的定义域为，函数的定义域为______． 【答案】 【分析】根据题意列不等式组求解即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，须有：，解得且. 函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高三上·上海·开学考试）函数的定义域为________． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由， 可得：， 解得：， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型二 抽象函数的定义域 解｜题｜技｜巧 - 两条原则： - 同一对应法则 下，括号内整体范围相同； - 定义域是自变量 的取值范围。 - 已知 定义域 ，求 定义域：解 ； - 已知 定义域 ，求 定义域：求 在 上的值域。 易｜错｜点｜拨 - 混淆”括号范围”与”自变量范围”。 - 已知 定义域求 定义域时，把 的范围直接搬过去。 答｜题｜模｜板 1. 确认已知的是 还是 的定义域； 2. 利用”括号整体范围相同”列不等式； 3. 解出目标自变量范围。 【典例1】（25-26高一上·安徽六安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助抽象函数定义域与具体函数定义域求法计算即可得. 【详解】由题意得，解得或， 故函数的定义域为. 故选：C. 【典例2】（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【详解】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D 【变式1】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）若函数的定义域为，则的定义域为_________． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为，偶次方根的被开方数大于等于求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·山东济宁·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【分析】由函数满足得函数满足，解该不等式即可求解. 【详解】由题可知，对于函数满足，所以， 所以对于函数有，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 题型三 由函数的定义域求参数 解｜题｜技｜巧 - 定义域为 ：对应不等式在 上恒成立（回扣恒成立问题）。 - 定义域为某区间：端点即对应方程的根，用韦达定理。 - 分母型： 恒成立 易｜错｜点｜拨 - 漏讨论二次项系数为0。 - 定义域为与值域为 混淆。 答｜题｜模｜板 1. 将定义域条件翻译为不等式恒成立/方程有根； 2. 按恒成立或根分布列条件； 3. 解参数范围。 【典例1】（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，问题转化为一次或者二次不等式恒正的问题，先检验一次不等式是否符合题意，对于二次不等式，联立二次项系数范围，判别式范围求解. 【详解】∵函数的定义域为，∴对任意实数恒成立. 若，不等式转化为：，显然成立； 若，要使对任意实数恒成立，则，解得，综上所述， 故选：A 【典例2】（25-26高一上·宁夏石嘴山·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知的解集为R，分，两种情况讨论，即可求解. 【详解】函数的定义域为R，可知的解集为R， 若，则不等式为恒成立，满足题意； 若，则，解得． 综上可知，实数k的取值范围是． 故选：B． 【变式1】（25-26高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化 为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·四川成都·期中）若函数的定义域为，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】由函数有意义列不等式，对m分类讨论求出m的取值范围. 【详解】要使原函数有意义，必须mx2＋x＋3≠0， 由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立． 当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意． 当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，解得. 故综上可知，m的取值范围是. 故答案为：. 题型四 利用函数的图像与单调性求值域 解｜题｜技｜巧 - 画出函数图像，观察最高点和最低点。 - 单调函数在闭区间上的值域在端点处取得。 - 二次函数、对勾函数、指数对数函数等基本初等函数，直接用图像性质。 易｜错｜点｜拨 - 区间开闭导致端点取不到。 - 单调区间判断错误，最值点找错。 答｜题｜模｜板 1. 确定函数单调性； 2. 找极值点和端点； 3. 计算比较，写出值域。 【典例1】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 【典例2】（25-26高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，， 当时，，即. 故选：B 【变式1】（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 【变式2】（25-26高一上·河南平顶山·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数整理成，然后利用二次函数的性质即可求解 【详解】，， 故，故函数值域为. 故选：B 题型五 换元法求值域 解｜题｜技｜巧 - 适用于含根式、复合结构的函数。 - 令 ，确定 的范围，原函数化为 的二次函数等基本函数。 - 换元后必须写 的范围。 易｜错｜点｜拨 - 换元后忘写新元范围。 - 新元范围求错（如 的范围是 ）。 答｜题｜模｜板 1. 设 ，求 的范围； 2. 原函数化为 的函数； 3. 求新函数在 范围内的值域。 【典例1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 【典例2】（25-26高三上·河南鹤壁·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，故， 所以， 因为二次函数在上为增函数，故当时，. 因此函数的值域为. 故选：A. 【变式1】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可. 【详解】由题意得，令， 可得，则，即原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，当时，， 可得，即的值域为，故B正确. 故选：B 【变式2】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，则，， 则， 令，， 则，所以函数的值域为. 故选：B 题型六 分离常数法求值域 解｜题｜技｜巧 - 适用于 型分式。 - 分离常数：，由分式不为零得值域。 - 如 ，值域为 。 易｜错｜点｜拨 - 分离常数计算错误。 - 遗漏”分式部分不为零”这一关键结论。 答｜题｜模｜板 1. 分子按分母倍数拆分； 2. 分离出常数； 3. 由分式部分不为零得值域。 【典例1】（25-26高一上·贵州黔东南·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得答案. 【详解】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 【典例2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分离常数法将原函数变形为，再根据自变量的条件逐步推导出最终的值域. 【详解】由题意得， 因为，所以，所以，所以，所以， 即函数的值域为． 【变式1】（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】采用分离常数法对函数解析式进行变形，根据其结构特点即可求出值域. 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. . 因为，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的值域为_________. 【答案】 【分析】将函数变形为，由可求得答案. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 题型七 利用基本不等式求值域 解｜题｜技｜巧 - 型： 时 ； 时 。 - 注意”一正二定三相等”。 - 取不到等号时改用对勾函数单调性。 易｜错｜点｜拨 - 忽视 的正负直接用基本不等式。 - 等号取不到时仍写最值。 答｜题｜模｜板 1. 凑出 型； 2. 验证正、定、等； 3. 写出值域；取不到等号时用单调性。 【典例1】（25-26高一上·山西运城·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，再利用为奇函数，可得当时的取值范围，从而可得答案． 【详解】令，， 为奇函数，又当时，， 当时，． 的值域为，，． 故选：D． 【点睛】本题考查基本不等式，着重考查双钩函数的性质，属于基础题． 【典例2】（25-26高一上·山西吕梁·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行化简，然后使用基本不等式计算即可. 【详解】由 即 由，所以，所以 当且仅当，即时，取等号 所以函数的值域是 故选：D 【变式1】（25-26高一上·上海静安·期中）函数的值域为______. 【答案】 【分析】先得，再由基本不等式解决即可. 【详解】由题知，， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·云南昆明·期中）当时，求函数的值域为________． 【答案】 【分析】首先根据判断的正负，再将函数式转化为，根据均值不等式求解. 【详解】因为，所以，即， 所以， 又因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，则函数的值域为. 故答案为：. 题型八 判别式法求值域 解｜题｜技｜巧 - 适用于分子分母为二次的分式函数 。 - 整理为关于 的方程 。 - 为实数 ，解出 的范围。 - 注意二次项系数为0的单独讨论。 易｜错｜点｜拨 - 漏讨论二次项系数为0。 - 未检验端点是否对应真实的 。 - 定义域有限制时不能直接用判别式法。 答｜题｜模｜板 1. 整理为关于 的方程； 2. 讨论二次项系数为0； 3. 由 解 ； 4. 检验端点。 【典例1】（25-26高一上·河南南阳·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 【典例2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为_____________． 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·浙江湖州·期中）函数的值域是______. 【答案】 【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域. 【详解】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 题型九 由函数的值域求参数 解｜题｜技｜巧 - 值域为给定区间：端点即函数取到最值的位置，列方程。 - 值域为R：分式型需分母能取遍所有正数，对应判别式条件。 - 与恒成立问题互逆：值域含某范围 最值满足条件。 易｜错｜点｜拨 - 值域与定义域条件混淆。 - 端点能否取到判断错误。 答｜题｜模｜板 1. 将值域条件翻译为最值/判别式条件； 2. 列方程或不等式； 3. 解参数范围，验证端点。 【典例1】（25-26高一上·江苏南京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性确定时的的范围，再根据函数的值域为列不等式组即可求得的取值范围. 【详解】当时，，则函数在递增， 所以，则此时； 当时，，要使得的值域为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【典例2】（25-26高一上·广东广州·期中）若函数的值域是，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，分别求在和内的值域，结合题意列式求解即可 【详解】设在，内的值域分别为，由题意可知：， 1.当时，则， 可知在内单调递减，可得， 所以在内的值域为； 2.当时，因为的图象开口向上，对称轴为， （1）若，可知在内单调递减，则， 可得在内的值域， 因为，可得，解得； （2）若，可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得在内的值域， 因为，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 【变式1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若的值域为，则实数c的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据给定条件，由函数最小值为2可得，再按结合的取值情况求解即得. 【详解】函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，即，又，则有， 当时，函数在上的取值集合为，在 上 ，不符合题意， 于是，函数在上单调递增，则， 有，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·河南信阳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出各选项中函数的定义域与值域，可得符合题意的选项. 【详解】对于A：的定义域与值域均为R，故A符合； 对于B：的定义域为，值域为，故B不符合； 对于C：的定义域与值域均为，故C符合； 对于D：的定义域为， 值域：令，则，原式为， 根据二次函数的性质可知，，故D符合. 故选：ACD. 3．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知函数的值域为________. 【答案】 【分析】由题意可得，再由幂函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 4．（25-26高一上·云南红河·期中）已知点在函数的图象上. (1)求的定义域； (2)求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入求解可得，再根据分式定义域求解即可； （2）根据分式的值域求解即可. 【详解】（1）由题意，解得，故. 故，即，故的定义域为. （2），故的值域为. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得在上恒成立. 当时，则不等式可化为，在上恒成立； 当时，由在上恒成立，可得， 解得. 综上可知. 2．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于A，利用复合函数单调性即可判断，对于B由即可判断，对于C令，则，根据的情况，分类讨论即可判断，对于D，由对恒成立，根据的情况，分类讨论即可判断. 【详解】对于A，若，，令， 由得或， 则函数的定义域为， 在单调递增，且在单调递增， 所以函数的递增区间为，故A错误； 对于B，由，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，若的值域为，令，则， 当时，，解得，满足题意， 当时，，所以， 当时，不满足题意，所以，故C正确； 对于D，若的定义域为，则对恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，，所以，故D错误. 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________. 【答案】 【分析】由抽象函数与具体函数定义域求解即可. 【详解】由题可得：，解得：或， 所以函数的定义域为 故答案为： 4．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为． (1)若集合为函数的定义域，求集合； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据抽象函数的定义域解答即可； （2）利用分离常量法可得，利用换元法可得（），结合定义法讨论函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 即，所以， 由，得， 所以集合. （2）由（1）知， 令，则， 令， 对于任意，不妨令， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递减， 同理得在上单调递增， 又，则， 所以，即， 所以，所以， 所以的值域为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得，平方化简得，则，解不等式组可求得结果. 【详解】由，得或，则函数定义域为， 由，得， 所以，得， 显然，所以， 所以， 由，得， 所以，所以， ，解得或， 由，得，，解得， 由，得，，解得， 综上，或， 所以函数的值域为， 故选：D 2．（25-26高一上·广东汕头·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．函数与函数为同一个函数 B．若的定义域为，则的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的最小值为2 【答案】BC 【分析】根据定义域相同，对应关系一致判断A；根据复合函数的定义域求解判断B；利用分离常数法求解C；根据基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故不是同一个函数，错误； 对于B，由的定义域为，得，即，故的定义域为，正确； 对于C，，故的值域为，正确； 对于D，函数当且仅当，即时等号成立，显然等号不成立，故错误； 故选：BC 3．（25-26高一上·北京·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由对勾函数的单调性得到在和的单调性上，讨论与情况下，的最大值和最小值，再根据的值域为，列出的方程或不等式，求解即得. 【详解】， 由对勾函数的单调性知， 时，单调递减；时，单调递增； ∴在处取得极小值 若，则在上单调递减，，， 因为的值域为，所以，解得； 若，则在上单调递减，在上单调递增， ，， 因为的值域为，所以，解得， 又，所以. 综上， 故答案为：. 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知函数， (1)若在R上有解，求实数的取值范围； (2)若在区间的最小值为3，求实数的取值； (3)若，是否存在实数，使得在区间上单调递减，且在上的值域为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在； 【分析】（1）根据一元二次不等式能成立问题结合判别式运算求解即可； （2）根据题意讨论函数的单调性，结合最值分析求解即可； （3）根据题意结合二次函数的单调性可得，再根据值域列式求解即可. 【详解】（1）因为在R上有解， 则，解得或， 所以实数的取值范围是. （2）因为在区间的最小值为3，且函数的图象开口向上，对称轴为， ①当时，在区间上单调递增， 则，解得； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，解得或（舍去）， 所以； ③当时，在区间上单调递减， 则，解得（舍去）； 综上所述：或. （3）若，则的图象开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递减，且在上值域为， 则，且， 可得，解得， 所以存在实数满足题意，. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数的定义域与值域（期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 具体函数的定义域 题型02 抽象函数的定义域 题型03 由函数的定义域求参数 题型04 利用函数的图像与单调性求值域 题型05 换元法求值域 题型06 分离常数法求值域 题型07 利用基本不等式求值域 题型08 判别式法求值域 题型09 由函数的值域求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 定义域的求法 列出全部约束：分母≠0、偶次根号下≥0、对数真数>0、零次幂底数≠0，最后取交集；实际问题符合实际意义 选择填空高频；漏约束、忘取交集是主要失分点 值域的常用求法 按解析式选法：二次型用配方法、型用分离常数、含根号用换元、复合式用单调性，必要时配基本不等式 贯穿全卷的基本功，常与定义域、单调性交汇考查 抽象、复合函数定义域 抓住"同一对应法则 f 作用范围相同"：f(x) 定义域为 D ⇒ f(g(x)) 中 g(x)∈D，反解 x 易错题重灾区；学生常把 f(g(x)) 定义域误写成 D 知识点01 函数的概念与三要素 核心概念：设 是非空数集，若按对应法则 ，对 中任意 ，在 中都有唯一确定的 与之对应，则 为函数。 三要素： · 定义域 ：自变量 的取值范围； · 值域 ：函数值 的集合（）； · 对应法则 ： 与 的对应关系。 相等函数：定义域相同 且 对应法则相同（两要素缺一不可）。 易错点： · 易错点总结：只看解析式相同就认为是同一函数，忽略定义域。 · 注意事项总结：判断两函数相同，先看定义域，再看对应法则，两者都相同才是同一函数。 知识点02 具体函数定义域的求法 核心法则（各限制条件）： 函数类型 限制条件 分式 偶次根式 零次幂 实际问题 符合实际意义（长度、人数等） 解题原理：把所有限制条件列出，取交集。 示例： 求 的定义域。 解：列条件： 取交集：。 易错点： · 易错点总结：漏列某个限制条件（如对数真数>0、分母≠0、零次幂底数≠0）。 · 注意事项总结：求定义域时，逐个数式检查——看到分式查分母、看到根号查被开方数、看到对数查真数、看到零次幂查底数，全部列出再取交集。 知识点03 复合函数的定义域 核心概念： 的定义域是使 的值落在 的定义域内的 的集合。 核心法则： 1. 已知 的定义域为 ，则 的定义域由 解得； 1. 已知 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域。 示例 1：已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解：，即定义域 。 示例 2：已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解： 时，，即 的定义域为 。 易错点： · 易错点总结：混淆” 的定义域”和” 的定义域”——前者是 的范围，后者是 的范围。 · 注意事项总结：定义域永远是自变量 的范围。 的定义域指 的范围，不是 的范围。 知识点04 抽象函数定义域 核心模型：没有具体解析式，由 的定义域求 的定义域。 解题原理：抓住同一对应法则 的作用范围相同。 示例：已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解： ① 中 ，则 ，即 的作用范围是 ； ② 对 ，需 。 故定义域为 。 易错点： · 易错点总结：把 的定义域 直接当成 的作用范围。 · 注意事项总结：两步走——先由 的定义域求出 的”总作用范围”（即 的值域），再据此求 中 的范围。 知识点05 值域求法——配方法（二次函数型） 核心模型：二次函数或可化为二次函数的分式。 核心方法：配方成 ，结合开口方向和定义域求值域。 示例： 求 ， 的值域。 解：，开口向上，对称轴 。 最小值 ；最大值 。 值域 。 易错点： · 易错点总结：不看定义域，直接套顶点公式——对称轴不在区间内时顶点取不到。 · 注意事项总结：二次函数在闭区间上的值域，必须讨论对称轴与区间位置，最小值看顶点（若轴在区间内）或端点，最大值总在端点。 知识点06 值域求法——分离常数法（分式型） 核心模型：（一次比一次）。 核心方法：把分子配成分母的倍数，分离出常数。 示例： 求 的值域。 解：。 因 ，故 。 值域 。 易错点： · 易错点总结：直接令 求 ，以为就是值域。 · 注意事项总结：一次分式的值域是不等于分离出的常数，即 。 知识点07 值域求法——换元法 核心模型：含根式、复合结构，通过换元化为熟悉函数。 方法：令 或 ，注意新变量范围。 示例： 求 的值域。 解：令 ，则 。 时单调递增，。值域 。 易错点： · 易错点总结：换元后忘写新变量范围，导致值域扩大。 · 注意事项总结：换元后立刻写 的范围，这是最容易丢分的一步。 知识点08 值域求法——单调性法 核心模型：函数在区间上单调，直接代端点求值域。 原理：单调增函数 在 上的值域为 ；单调减则反过来。 示例： 求 在 上的值域。 解：令 ，， 在 上单调递增，，。 值域 。 易错点： · 易错点总结：不判断单调性就代端点，结果端点不是最值点。 · 注意事项总结：用单调性法前，先证明或判断函数单调，再代端点。 知识点09 值域求法——基本不等式法与判别式法 基本不等式法：适用于 型。 判别式法：适用于 型，整理成关于 的二次方程，令 求 范围。 示例： 求 的值域。 解：整理 。 · 时 不成立； · 时 ， 得 ，即 。 值域 。 易错点： · 易错点总结：判别式法忘讨论二次项系数为 0；或不检验等号。 · 注意事项总结：判别式法最后要检验端点能否取到，尤其分离出的常数。 知识点10 定义域与值域的综合（含参数） 核心模型：已知定义域为 或值域为 ，求参数。 对照关系（分式函数 ）： 条件 等价 定义域为 分母恒不为 0 值域为 分母能取遍所有正数（结合对数） 示例： 若函数 的定义域为 ，求 的范围。 解：需 对 恒成立。 ① ： 恒成立； ② ：。 综上 。 易错点： · 易错点总结：忘 的讨论，直接套二次不等式。 · 注意事项总结：含参数的”定义域为 “问题，先分 和 。 题型一 具体函数的定义域 解｜题｜技｜巧 - 基本约束： - 分式：分母 ； - 偶次根式：被开方数 ； - 对数：真数 ，底数 且 ； - 零次幂：底数 。 - 多个约束取交集。 易｜错｜点｜拨 - 对数忘记底数限制（ 且 ）。 - 多个条件取并集而非交集。 - 实际问题中自变量的实际范围（如长度 ）被忽略。 答｜题｜模｜板 1. 列出函数所有约束条件； 2. 分别解每个不等式； 3. 取交集写定义域。 【典例1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知的定义域为，函数的定义域为______． 【变式2】（25-26高三上·上海·开学考试）函数的定义域为________． 题型二 抽象函数的定义域 解｜题｜技｜巧 - 两条原则： - 同一对应法则 下，括号内整体范围相同； - 定义域是自变量 的取值范围。 - 已知 定义域 ，求 定义域：解 ； - 已知 定义域 ，求 定义域：求 在 上的值域。 易｜错｜点｜拨 - 混淆”括号范围”与”自变量范围”。 - 已知 定义域求 定义域时，把 的范围直接搬过去。 答｜题｜模｜板 1. 确认已知的是 还是 的定义域； 2. 利用”括号整体范围相同”列不等式； 3. 解出目标自变量范围。 【典例1】（25-26高一上·安徽六安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）若函数的定义域为，则的定义域为_________． 【变式2】（25-26高一上·山东济宁·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 题型三 由函数的定义域求参数 解｜题｜技｜巧 - 定义域为 ：对应不等式在 上恒成立（回扣恒成立问题）。 - 定义域为某区间：端点即对应方程的根，用韦达定理。 - 分母型： 恒成立 易｜错｜点｜拨 - 漏讨论二次项系数为0。 - 定义域为与值域为 混淆。 答｜题｜模｜板 1. 将定义域条件翻译为不等式恒成立/方程有根； 2. 按恒成立或根分布列条件； 3. 解参数范围。 【典例1】（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·宁夏石嘴山·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________. 【变式2】（25-26高一上·四川成都·期中）若函数的定义域为，则m的取值范围为________． 题型四 利用函数的图像与单调性求值域 解｜题｜技｜巧 - 画出函数图像，观察最高点和最低点。 - 单调函数在闭区间上的值域在端点处取得。 - 二次函数、对勾函数、指数对数函数等基本初等函数，直接用图像性质。 易｜错｜点｜拨 - 区间开闭导致端点取不到。 - 单调区间判断错误，最值点找错。 答｜题｜模｜板 1. 确定函数单调性； 2. 找极值点和端点； 3. 计算比较，写出值域。 【典例1】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·河南平顶山·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 题型五 换元法求值域 解｜题｜技｜巧 - 适用于含根式、复合结构的函数。 - 令 ，确定 的范围，原函数化为 的二次函数等基本函数。 - 换元后必须写 的范围。 易｜错｜点｜拨 - 换元后忘写新元范围。 - 新元范围求错（如 的范围是 ）。 答｜题｜模｜板 1. 设 ，求 的范围； 2. 原函数化为 的函数； 3. 求新函数在 范围内的值域。 【典例1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·河南鹤壁·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 题型六 分离常数法求值域 解｜题｜技｜巧 - 适用于 型分式。 - 分离常数：，由分式不为零得值域。 - 如 ，值域为 。 易｜错｜点｜拨 - 分离常数计算错误。 - 遗漏”分式部分不为零”这一关键结论。 答｜题｜模｜板 1. 分子按分母倍数拆分； 2. 分离出常数； 3. 由分式部分不为零得值域。 【典例1】（25-26高一上·贵州黔东南·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·四川绵阳·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的值域为_____. 【变式2】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的值域为_________. 题型七 利用基本不等式求值域 解｜题｜技｜巧 - 型： 时 ； 时 。 - 注意”一正二定三相等”。 - 取不到等号时改用对勾函数单调性。 易｜错｜点｜拨 - 忽视 的正负直接用基本不等式。 - 等号取不到时仍写最值。 答｜题｜模｜板 1. 凑出 型； 2. 验证正、定、等； 3. 写出值域；取不到等号时用单调性。 【典例1】（25-26高一上·山西运城·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·山西吕梁·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·上海静安·期中）函数的值域为______. 【变式2】（25-26高一上·云南昆明·期中）当时，求函数的值域为________． 题型八 判别式法求值域 解｜题｜技｜巧 - 适用于分子分母为二次的分式函数 。 - 整理为关于 的方程 。 - 为实数 ，解出 的范围。 - 注意二次项系数为0的单独讨论。 易｜错｜点｜拨 - 漏讨论二次项系数为0。 - 未检验端点是否对应真实的 。 - 定义域有限制时不能直接用判别式法。 答｜题｜模｜板 1. 整理为关于 的方程； 2. 讨论二次项系数为0； 3. 由 解 ； 4. 检验端点。 【典例1】（25-26高一上·河南南阳·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【典例2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为_____________． 【变式1】（25-26高一上·浙江湖州·期中）函数的值域是______. 题型九 由函数的值域求参数 解｜题｜技｜巧 - 值域为给定区间：端点即函数取到最值的位置，列方程。 - 值域为R：分式型需分母能取遍所有正数，对应判别式条件。 - 与恒成立问题互逆：值域含某范围 最值满足条件。 易｜错｜点｜拨 - 值域与定义域条件混淆。 - 端点能否取到判断错误。 答｜题｜模｜板 1. 将值域条件翻译为最值/判别式条件； 2. 列方程或不等式； 3. 解参数范围，验证端点。 【典例1】（25-26高一上·江苏南京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·广东广州·期中）若函数的值域是，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若的值域为，则实数c的取值范围是_______________． 【变式2】（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·河南信阳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知函数的值域为________. 4．（25-26高一上·云南红河·期中）已知点在函数的图象上. (1)求的定义域； (2)求的值域. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________. 4．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为． (1)若集合为函数的定义域，求集合； (2)若，求函数的值域． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东汕头·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．函数与函数为同一个函数 B．若的定义域为，则的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的最小值为2 3．（25-26高一上·北京·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知函数， (1)若在R上有解，求实数的取值范围； (2)若在区间的最小值为3，求实数的取值； (3)若，是否存在实数，使得在区间上单调递减，且在上的值域为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $