专题10 指数与对数运算及比较大小（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题10 指数与对数运算及比较大小（期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 指数与指数幂的运算 题型02 对数的概念与相关运算 题型03 指数运算与对数运算的综合 题型04 指对幂比较大小 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 指数与对数运算法则 熟练正用逆用：、；、、换底公式 选择填空基础高频；公式记混、系数位置写错是主要失分 指数式与对数式互化 ；掌握对数恒等式 ，会把未知量移到指数或对数位置求解 常作为比较大小、解指对方程的中间步骤 指数、对数比较大小 同底用单调性；同指数用幂函数单调性；不同底不同指找 、、 作中间量搭桥，必要时作差 / 作商 / 取对数 选择填空压轴小问常见；“找中间量搭桥”是核心技巧 知识点01 指数幂的运算 核心公式： 性质 公式 同底相乘 同底相除 幂的乘方 积的乘方 负指数 （） 零指数 （） 分数指数 （） 示例： 化简 。 解： 易错点： · 易错点总结：分数指数运算方向错—— 是先开立方再平方再取倒，不是先平方再开方。 · 注意事项总结：负指数先取倒，分数指数”分子乘方、分母开方”，顺序不影响结果但要算准。 知识点02 对数的概念与运算性质 核心定义：（，，）。 核心运算性质： 性质 公式 积的对数 商的对数 幂的对数 换底公式 倒数关系 恒等式 常用对数 自然对数 示例： 计算 。 解：。 易错点： · 易错点总结： 乱拆——。 · 注意事项总结：对数只能拆乘除为加减，不能拆加减；。 知识点03 指数式与对数式互化 核心关系： 常用互化： · ； · ； · ； · 。 示例： 已知 ，用 表示 和 。 解：；。 易错点： · 易错点总结：换底公式用错—— 写反。 · 注意事项总结：换底公式”底真互换”——分子是真数的对数，分母是底数的对数。 知识点04 比较大小——单调性法 核心方法：利用指数函数或对数函数的单调性直接比较。 示例： 比较 与 。 解：， 单调递减。 因 ，故 。 易错点： · 易错点总结：底数 时单调性搞反。 · 注意事项总结：先判断底数与 1 的关系，再定单调方向。 知识点05 比较大小——中间值法（0、1分界） 核心方法：当两数不同底不同指数/真数时，找中间量（通常是 0、1 或同底对数）。 常用分界： · 指数：，； · 对数：，。 示例： 比较 、、 的大小。 解： · ； · ； · 且 。 需进一步细分：（同指数底大幂大；同底数小幂大，）。 而 。 综合：？再验：，，，故 。 易错点： · 易错点总结：只分 0 和 1，同一区间内不会再细分。 · 注意事项总结：同区间内继续找中间值——同指数不同底，或同底不同指数，再用单调性比。 知识点06 比较大小——作差法与作商法 作差法：，适用于多项式、对数差。 作商法： 且 ，适用于指数、幂。 示例： 比较 与 。 解：用作差 + 换底： 分子用基本不等式：，故分子 ，。 易错点： · 易错点总结：作商后符号不讨论——必须先确定 的正负。 · 注意事项总结：作商法前提是两数同号，异号直接用中间值法。 知识点07 比较大小——图像法与取对数法 图像法：画指数/对数函数图像，观察点的位置高低。 取对数法：比较 与 ，取对数 ，转化为乘法比较。 示例： 比较 与 。 解：取对数：，。 因 ，故 。 易错点： · 易错点总结：取对数后方向搞反——对数增，取对数后不等号方向不变。 · 注意事项总结：常用对数 是增函数，取对数后不等号方向不变。 题型一 指数与指数幂的运算 解｜题｜技｜巧 · 分数指数幂：（）。 · 运算性质： · ； · ； · 。 · 负指数：；零指数：（）。 · 化简原则：化根式为分数指数幂，统一底数。 易｜错｜点｜拨 · 忽略底数 的限制（尤其偶次根）。 · 运算性质用错： 与 混淆。 · 负指数化倒数时漏项。 答｜题｜模｜板 1. 根式化分数指数幂； 2. 统一底数； 3. 用运算性质化简； 4. 写出结果。 【典例1】（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 【典例2】化简下列各式： (1)； (2)． 【变式1】求值与化简． (1)； (2)． 【变式2】用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 题型二 对数的概念与相关运算 解｜题｜技｜巧 · 定义：（）。 · 运算性质： · ； · ； · 。 · 换底公式：。 · 常用推论：，。 易｜错｜点｜拨 · 真数必须 ，忽略定义域。 · 不能拆成 。 · 换底公式分子分母写反。 答｜题｜模｜板 1. 统一底数（常用换为同底）； 2. 用运算性质展开/合并； 3. 化简求值。 【典例1】计算： (1)； (2) 【典例2】完成下列2个小题： (1)化简； (2)已知，，求的值. 【变式1】（1）求的值； （2）设，用表示. 【变式2】求下列各式中的值： (1)； (2)； (3). 题型三 指数运算与对数运算的综合 解｜题｜技｜巧 · 互化：，。 · 已知对数式求指数式：设 ，则 ，代入目标式。 · 整体代换：如已知 ，，用 表示其他对数值。 易｜错｜点｜拨 · 互化时方向搞反。 · 整体代换时漏项。 · 忽略真数范围。 答｜题｜模｜板 1. 设中间量，实现指对互化； 2. 用已知对数表示未知； 3. 化简结果。 【典例1】求值：__________． 【典例2】（25-26高一下·河北保定·期中）_________. 【变式1】求值：_______________． 【变式2】计算_________ 题型四 指对幂比较大小 解｜题｜技｜巧 · 方法： · 同底数：用单调性； · 同指数：用幂函数单调性； · 同真数：用对数函数图像； · 不同底不同指：找中间量（0、1）或作差/作商。 · 常用中间量： · 指数值与0、1比（）； · 对数值与0、1比（，）。 · 函数图像法：同一坐标系画指对幂函数图像，直观比较。 易｜错｜点｜拨 · 底数 与1的大小关系决定单调性，讨论遗漏。 · 负数、0附近的函数值判断错误。 · 找中间量时选错分界值。 答｜题｜模｜板 1. 归类：同底/同指/同真； 2. 同底用单调性； 3. 不同类找中间量（0、1）； 4. 必要时作差/作商法。 【典例1】（25-26高一上·四川巴中·期中）已知，，，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·辽宁锦州·期中）三个数，的大小顺序是 （   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）设，则的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【变式2】比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山东青岛·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川泸州·期中）以下说法正确的有（　　） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）计算：______________． 4．化简下式：. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山西吕梁·期中）已知，，，那么a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北武汉·期中）若，则（       ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则___________ 4．计算： (1)； (2). 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·北京石景山·期中）在信息通信技术领域中，香农公式是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中称为信噪比．以下有关于香农公式的个命题，其中正确的是（    ） ①若将视为常数，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢； ②令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍； ③由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到，则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约．（取） A．①② B．①②③ C．①③ D．① 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）利用 算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数.已知 ，设， .对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖北十堰·期中）下列四个数：的大小顺序为______ 4．化简计算 (1)； (2)； (3) (4). 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 指数与对数运算及比较大小（期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 指数与指数幂的运算 题型02 对数的概念与相关运算 题型03 指数运算与对数运算的综合 题型04 指对幂比较大小 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 指数与对数运算法则 熟练正用逆用：、；、、换底公式 选择填空基础高频；公式记混、系数位置写错是主要失分 指数式与对数式互化 ；掌握对数恒等式 ，会把未知量移到指数或对数位置求解 常作为比较大小、解指对方程的中间步骤 指数、对数比较大小 同底用单调性；同指数用幂函数单调性；不同底不同指找 、、 作中间量搭桥，必要时作差 / 作商 / 取对数 选择填空压轴小问常见；“找中间量搭桥”是核心技巧 知识点01 指数幂的运算 核心公式： 性质 公式 同底相乘 同底相除 幂的乘方 积的乘方 负指数 （） 零指数 （） 分数指数 （） 示例： 化简 。 解： 易错点： · 易错点总结：分数指数运算方向错—— 是先开立方再平方再取倒，不是先平方再开方。 · 注意事项总结：负指数先取倒，分数指数”分子乘方、分母开方”，顺序不影响结果但要算准。 知识点02 对数的概念与运算性质 核心定义：（，，）。 核心运算性质： 性质 公式 积的对数 商的对数 幂的对数 换底公式 倒数关系 恒等式 常用对数 自然对数 示例： 计算 。 解：。 易错点： · 易错点总结： 乱拆——。 · 注意事项总结：对数只能拆乘除为加减，不能拆加减；。 知识点03 指数式与对数式互化 核心关系： 常用互化： · ； · ； · ； · 。 示例： 已知 ，用 表示 和 。 解：；。 易错点： · 易错点总结：换底公式用错—— 写反。 · 注意事项总结：换底公式”底真互换”——分子是真数的对数，分母是底数的对数。 知识点04 比较大小——单调性法 核心方法：利用指数函数或对数函数的单调性直接比较。 示例： 比较 与 。 解：， 单调递减。 因 ，故 。 易错点： · 易错点总结：底数 时单调性搞反。 · 注意事项总结：先判断底数与 1 的关系，再定单调方向。 知识点05 比较大小——中间值法（0、1分界） 核心方法：当两数不同底不同指数/真数时，找中间量（通常是 0、1 或同底对数）。 常用分界： · 指数：，； · 对数：，。 示例： 比较 、、 的大小。 解： · ； · ； · 且 。 需进一步细分：（同指数底大幂大；同底数小幂大，）。 而 。 综合：？再验：，，，故 。 易错点： · 易错点总结：只分 0 和 1，同一区间内不会再细分。 · 注意事项总结：同区间内继续找中间值——同指数不同底，或同底不同指数，再用单调性比。 知识点06 比较大小——作差法与作商法 作差法：，适用于多项式、对数差。 作商法： 且 ，适用于指数、幂。 示例： 比较 与 。 解：用作差 + 换底： 分子用基本不等式：，故分子 ，。 易错点： · 易错点总结：作商后符号不讨论——必须先确定 的正负。 · 注意事项总结：作商法前提是两数同号，异号直接用中间值法。 知识点07 比较大小——图像法与取对数法 图像法：画指数/对数函数图像，观察点的位置高低。 取对数法：比较 与 ，取对数 ，转化为乘法比较。 示例： 比较 与 。 解：取对数：，。 因 ，故 。 易错点： · 易错点总结：取对数后方向搞反——对数增，取对数后不等号方向不变。 · 注意事项总结：常用对数 是增函数，取对数后不等号方向不变。 题型一 指数与指数幂的运算 解｜题｜技｜巧 · 分数指数幂：（）。 · 运算性质： · ； · ； · 。 · 负指数：；零指数：（）。 · 化简原则：化根式为分数指数幂，统一底数。 易｜错｜点｜拨 · 忽略底数 的限制（尤其偶次根）。 · 运算性质用错： 与 混淆。 · 负指数化倒数时漏项。 答｜题｜模｜板 1. 根式化分数指数幂； 2. 统一底数； 3. 用运算性质化简； 4. 写出结果。 【典例1】（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 【答案】（1）；（2）①7；②47；③18. 【详解】（1）； （2）①两边平方得，， 故； ②两边平方得， 故； ③. 【典例2】化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2) 【分析】（1）将带分数化为假分数，利用分数指数幂与负整数指数幂的运算法则逐项化简，最后合并同类项即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则计算，最终将结果写回根式形式． 【详解】（1）原式 ． （2）原式． 【变式1】求值与化简． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将小数化为分数，利用分数指数幂和负整数指数幂的运算法则逐项化简，再合并计算即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则化简，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 【变式2】用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式. 题型二 对数的概念与相关运算 解｜题｜技｜巧 · 定义：（）。 · 运算性质： · ； · ； · 。 · 换底公式：。 · 常用推论：，。 易｜错｜点｜拨 · 真数必须 ，忽略定义域。 · 不能拆成 。 · 换底公式分子分母写反。 答｜题｜模｜板 1. 统一底数（常用换为同底）； 2. 用运算性质展开/合并； 3. 化简求值。 【典例1】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用对数运算法则和指数运算法则计算即可； （2）利用对数运算法则计算即可求解. 【详解】（1） （2）原式 ． 【典例2】完成下列2个小题： (1)化简； (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， 故原式. （2）由得；由得， 所以. 【变式1】（1）求的值； （2）设，用表示. 【答案】（1）1；（2） 【详解】（1）； （2）因为， 所以 . 【变式2】求下列各式中的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)2 (2)100 (3) 【详解】（1）因为，所以.所以. （2）因为，所以.所以. （3）. 题型三 指数运算与对数运算的综合 解｜题｜技｜巧 · 互化：，。 · 已知对数式求指数式：设 ，则 ，代入目标式。 · 整体代换：如已知 ，，用 表示其他对数值。 易｜错｜点｜拨 · 互化时方向搞反。 · 整体代换时漏项。 · 忽略真数范围。 答｜题｜模｜板 1. 设中间量，实现指对互化； 2. 用已知对数表示未知； 3. 化简结果。 【典例1】求值：__________． 【答案】 【分析】由对数，指数运算性质可得答案. 【详解】原式. 【典例2】（25-26高一下·河北保定·期中）_________. 【答案】 【详解】 【变式1】求值：_______________． 【答案】/5.875 【详解】 ． 【变式2】计算_________ 【答案】 【详解】原式 . 题型四 指对幂比较大小 解｜题｜技｜巧 · 方法： · 同底数：用单调性； · 同指数：用幂函数单调性； · 同真数：用对数函数图像； · 不同底不同指：找中间量（0、1）或作差/作商。 · 常用中间量： · 指数值与0、1比（）； · 对数值与0、1比（，）。 · 函数图像法：同一坐标系画指对幂函数图像，直观比较。 易｜错｜点｜拨 · 底数 与1的大小关系决定单调性，讨论遗漏。 · 负数、0附近的函数值判断错误。 · 找中间量时选错分界值。 答｜题｜模｜板 1. 归类：同底/同指/同真； 2. 同底用单调性； 3. 不同类找中间量（0、1）； 4. 必要时作差/作商法。 【典例1】（25-26高一上·四川巴中·期中）已知，，，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】函数在上单调递减，，故； 函数在上单调递增，，故； 函数在上单调递减，，故， 综上，. 故选：B. 【典例2】（25-26高一上·辽宁锦州·期中）三个数，的大小顺序是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为，而，故， 而，故，即， 故， 故选：B. 【变式1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）设，则的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数与对数函数的性质，可得，所以. 故选：A. 【变式2】比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵函数在上是增函数，， ∴. （2）∵函数在上是增函数，， 所以， 又∵函数在上是减函数，， ， ∴. （3）函数和的图象如图所示. 当时，的图象在图象上方. 由可得. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山东青岛·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数单调性分别判断各选项. 【详解】A选项：由函数在上单调递增，所以，A选项错误； B选项：由函数在上单调递减，则，B选项错误； C选项：，， 又函数在上单调递增，所以，即，C选项正确； D选项：，函数在上单调递增， 则，即，D选项错误； 故选：C. 2．（25-26高一上·四川泸州·期中）以下说法正确的有（　　） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A，利用根式的性质即可判断；对于B，综合利用幂函数与指数函数的性质即可判断；对于C，利用完全平方公式即可判断；对于D，利用指数式与对数式转换，结合对数运算性质即可判断. 【详解】对于A，等式左边中蕴含即，而等式右边，等式左右不相等，故A错误； 对于B，，所以即，故B正确； 对于C，即，所以，故C错误； 对于D，，那么即，故D正确. 3．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）计算：______________． 【答案】 【详解】原式 . 4．化简下式：. 【答案】 【详解】 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山西吕梁·期中）已知，，，那么a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 2．（25-26高一上·湖北武汉·期中）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过同构构造函数，利用该函数的单调性推导出，结合函数的单调性逐一验证各个选项即可. 【详解】由题意得，设， 因为单调递增， 单调递增，所以单调递增，则， 对于A，因为单调递增，所以，故A正确， 对于B，等价于，无法由得出，故B错误， 对于C，，因为，且单调递增， 所以，故C正确， 对于D， 单调递减，所以，即，故D正确. 3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则___________ 【答案】 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以，解得. 4．计算： (1)； (2). 【答案】(1)111 (2) 【详解】（1） ； （2）. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·北京石景山·期中）在信息通信技术领域中，香农公式是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中称为信噪比．以下有关于香农公式的个命题，其中正确的是（    ） ①若将视为常数，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢； ②令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍； ③由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到，则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约．（取） A．①② B．①②③ C．①③ D．① 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性与增长速度可判断①；利用对数的运算性质可判断②③. 【详解】对于①，因为对数函数为增函数，且， 由对数函数的单调性可知，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢，①对； 对于②，由， 即令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍，②对； 对于③，由 ， 由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到， 则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约，③错. 故选：A. 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）利用 算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数.已知 ，设， .对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将选项A，B，C等号右侧分别代入定义展开化简，观察是否与左侧相等，即可做出判断；选项D逐层拆解右侧表达式，最终化简为，与左侧不一定相等. 【详解】选项A，由题意知右式为，展开得，化简得， 即左式等于右式，故A正确； 选项B，右式为，展开得，即，化简得， 即，不一定等于左式，故B错误； 选项C，右式为，展开得，即，化简得， 即，即左式等于右式，故C正确； 选项D，右式中最内层等于 即，中间层等于， 即 ，则最外层等于，展开得 ，即，不一定等于左式，故D错误. 3．（25-26高一上·湖北十堰·期中）下列四个数：的大小顺序为______ 【答案】 【分析】利用对数函数性质可得，然后结合不等式性质及对数函数单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以，则. 所以. 所以． 所以四个数的大小关系为，即． 4．化简计算 (1)； (2)； (3) (4). 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】根据指数与对数的运算性质,化简即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4） 原式 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $