专题08 求函数解析式的常用方法与抽象函数赋值（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题08 求函数解析式的常用方法与抽象函数赋值 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 待定系数法求函数解析式 题型02 换元法求函数解析式 题型03 解方程组法求函数解析式 题型04 配凑法求函数解析式 题型05 抽象函数赋值法的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求解析式的常用方法 已知函数类型用待定系数法；已知 求 用换元 / 配凑法；同时出现 与 、 用方程组消元法 选择填空常见；换元后忘记新元取值范围是高频失分点。 抽象函数赋值 对 、 等结构，令 、、 等特殊值，求 、、奇偶性 选择填空压轴小问常见；赋值方向靠观察结构，无固定套路。 知识点01 待定系数法 核心概念：已知函数类型（一次、二次、正比例、反比例等），设出一般式，利用条件列方程求系数。 适用题型：题目明确说”一次函数”“二次函数”。 常见一般式： 函数类型 一般式 一次函数 （） 二次函数 （） 二次（顶点式） 二次（零点式） 解题原理：设出一般式 代入已知条件 解方程组求系数。 示例： 已知 是一次函数，且 ，求 。 解：设 ，则 对比系数： 故 或 。 易错点： - 易错点总结：二次函数设错形式——已知顶点时用一般式，导致计算量大。 - 注意事项总结：已知顶点用顶点式 ，已知零点用零点式 ，已知任意三点才用一般式。 知识点02 换元法（配凑法） 核心概念：已知 的表达式，求 。 两种方法： 1. 换元法：令 ，反解 ，代入得 ； 2. 配凑法：把 当成整体，直接把原式配成关于 的式子。 示例（换元法）： 已知 ，求 。 解：令 ，则 。 故 。 示例（配凑法）： 已知 ，求 。 解： 故 （注意定义域：）。 易错点： - 易错点总结：换元后忘写新变量范围，导致 的定义域扩大。 - 注意事项总结：换元后必须注明 的范围，如 需 ，这是定义域的一部分。 知识点03 方程组法（消元法） 核心概念：函数方程中同时出现 与 或 ，通过替换变量构造方程组，解出 。 核心技巧：把 替换成 或 ，得到第二个方程，联立求解。 示例： 已知 ，求 。 解：把 换成 ： 联立原方程： 消去 ，解得 。 易错点： - 易错点总结：替换后第二个方程写错，导致解错。 - 注意事项总结：替换时每一项都替换—— 变 ，常数不变，但含 的项都要变。 知识点04 抽象函数的赋值法 核心概念：没有具体解析式，只给出函数方程关系（如 ），通过对变量赋特殊值求解。 常用赋值： 目的 赋值 求 令 证明奇函数 令 求 令 求 令 证明周期性 令 或递推 求具体函数值 令 取已知值 示例（求 与奇偶性）： 已知 ，且 不恒为 0，判断奇偶性。 解： ① 令 ：； ② 令 ：。 故 为奇函数。 示例（求函数值）： 已知 ，，求 。 解：令 ：； 令 ：。 易错点： - 易错点总结：赋值盲目试，没有目的。 - 注意事项总结：赋值要有目标——求 就令 ，证奇偶就令 ，求周期就找递推关系。 题型一 待定系数法求函数解析式 解｜题｜技｜巧 - 已知函数类型（一次、二次、反比例等），设出一般式，代入已知条件列方程（组）求解。 - 二次函数三种形式： - 一般式：； - 顶点式：； - 零点式：。 - 根据已知条件选最简形式：给顶点用顶点式，给零点用零点式，给三点用一般式。 易｜错｜点｜拨 - 形式选择不当，增加计算量。 - 代入点时坐标对不齐（横纵坐标代反）。 - 解方程组计算错误。 答｜题｜模｜板 1. 根据函数类型设一般式（选最简形式）； 2. 代入已知点/条件列方程（组）； 3. 解方程组求系数； 4. 写出解析式并验证。 【典例1】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【变式1】（25-26高一上·山东烟台·期中）若一次函数满足，则__________. 【变式2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是二次函数，且，若，则的解析式为______. 题型二 换元法求函数解析式 解｜题｜技｜巧 - 已知 ，求 。 - 令 ，反解 ，代入得 。 - 换元后必须写 的范围（即 的值域）。 易｜错｜点｜拨 - 换元后忘写新元 的范围。 - 反解 时出错（尤其开方取正负）。 - 与 的对应关系搞错。 答｜题｜模｜板 1. 设 ，求 的范围； 2. 反解 ； 3. 代入得 ； 4. 换回 ，注明定义域。 【典例1】（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·湖南株洲·期中）若，则的定义域为______，______. 【变式2】（25-26高一上·辽宁大连·期中）若，且，则__________． 题型三 解方程组法求函数解析式 解｜题｜技｜巧 - 适用于 与 、 等成对出现的抽象方程。 - 用 或 替换原方程中的 ，得到第二个方程。 - 联立两方程，消元解出 。 易｜错｜点｜拨 - 替换后方程列错。 - 消元时系数处理错误。 - 忽略定义域（替换后表达式必须有意义）。 答｜题｜模｜板 1. 观察方程结构，确定替换对象（、 等）； 2. 替换得第二个方程； 3. 联立消元解 ； 4. 注明定义域。 【典例1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·四川成都·期中）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·辽宁本溪·期中）已知函数满足，则__________. 【变式2】（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数满足关系式，则______. 题型四 配凑法求函数解析式 解｜题｜技｜巧 - 已知 ，将 配凑成关于 的表达式。 - 如 ，配成 。 - 配凑后直接得 。 - 与换元法本质相同，但省去反解步骤。 易｜错｜点｜拨 - 配凑不彻底，未完全化为 的表达式。 - 忽略新元范围（如 或 ）。 答｜题｜模｜板 1. 将右端 配凑为左端括号内 的表达式； 2. 直接读出 ； 3. 注明 的范围。 【典例1】（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知，则的解析式是__________. 【变式2】（25-26高一上·山东威海·期中）已知，则=___________. 题型五 抽象函数赋值法的综合应用 解｜题｜技｜巧 - 抽象函数无具体解析式，通过对 赋特殊值求函数值、判断奇偶性、单调性。 - 常用赋值： - 令 、、； - 令 、（证奇偶性）； - 令 、。 - 求 ：令 ； - 证奇偶性：令 ，找 与 关系； - 证单调性：令 ，比较 与 。 易｜错｜点｜拨 - 赋值盲目，无目标乱试。 - 证奇偶性时未先求 并判断是否为0。 - 单调性证明中增量构造不合理。 答｜题｜模｜板 1. 明确目标（求函数值/证奇偶/证单调）； 2. 根据目标选赋值： - 求值→令 ； - 奇偶→令 ； - 单调→令 ； 3. 推导结论； 4. 验证逻辑闭环。 【典例1】（25-26高一上·山东青岛·期中）定义在上的偶函数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·广西南宁·期中）定义在R上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·辽宁大连·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【变式2】（25-26高一上·湖北十堰·期中）函数对任意的都有，并且当时， (1)判断函数是否为奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，解不等式 ； 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·江西赣州·期中）已知函数，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东广州·期中）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 3．（25-26高一上·天津西青·期中）函数，则__________. 4．（25-26高一上·广东江门·期中）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·广东江门·期中）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江丽水·期中）下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________. 4．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数满足，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 2．（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知函数，其定义域为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的定义域为 D．的图象关于对称 3．（25-26高一上·上海青浦·期中）已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 4．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 求函数解析式的常用方法与抽象函数赋值 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 待定系数法求函数解析式 题型02 换元法求函数解析式 题型03 解方程组法求函数解析式 题型04 配凑法求函数解析式 题型05 抽象函数赋值法的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求解析式的常用方法 已知函数类型用待定系数法；已知 求 用换元 / 配凑法；同时出现 与 、 用方程组消元法 选择填空常见；换元后忘记新元取值范围是高频失分点。 抽象函数赋值 对 、 等结构，令 、、 等特殊值，求 、、奇偶性 选择填空压轴小问常见；赋值方向靠观察结构，无固定套路。 知识点01 待定系数法 核心概念：已知函数类型（一次、二次、正比例、反比例等），设出一般式，利用条件列方程求系数。 适用题型：题目明确说”一次函数”“二次函数”。 常见一般式： 函数类型 一般式 一次函数 （） 二次函数 （） 二次（顶点式） 二次（零点式） 解题原理：设出一般式 代入已知条件 解方程组求系数。 示例： 已知 是一次函数，且 ，求 。 解：设 ，则 对比系数： 故 或 。 易错点： - 易错点总结：二次函数设错形式——已知顶点时用一般式，导致计算量大。 - 注意事项总结：已知顶点用顶点式 ，已知零点用零点式 ，已知任意三点才用一般式。 知识点02 换元法（配凑法） 核心概念：已知 的表达式，求 。 两种方法： 1. 换元法：令 ，反解 ，代入得 ； 2. 配凑法：把 当成整体，直接把原式配成关于 的式子。 示例（换元法）： 已知 ，求 。 解：令 ，则 。 故 。 示例（配凑法）： 已知 ，求 。 解： 故 （注意定义域：）。 易错点： - 易错点总结：换元后忘写新变量范围，导致 的定义域扩大。 - 注意事项总结：换元后必须注明 的范围，如 需 ，这是定义域的一部分。 知识点03 方程组法（消元法） 核心概念：函数方程中同时出现 与 或 ，通过替换变量构造方程组，解出 。 核心技巧：把 替换成 或 ，得到第二个方程，联立求解。 示例： 已知 ，求 。 解：把 换成 ： 联立原方程： 消去 ，解得 。 易错点： - 易错点总结：替换后第二个方程写错，导致解错。 - 注意事项总结：替换时每一项都替换—— 变 ，常数不变，但含 的项都要变。 知识点04 抽象函数的赋值法 核心概念：没有具体解析式，只给出函数方程关系（如 ），通过对变量赋特殊值求解。 常用赋值： 目的 赋值 求 令 证明奇函数 令 求 令 求 令 证明周期性 令 或递推 求具体函数值 令 取已知值 示例（求 与奇偶性）： 已知 ，且 不恒为 0，判断奇偶性。 解： ① 令 ：； ② 令 ：。 故 为奇函数。 示例（求函数值）： 已知 ，，求 。 解：令 ：； 令 ：。 易错点： - 易错点总结：赋值盲目试，没有目的。 - 注意事项总结：赋值要有目标——求 就令 ，证奇偶就令 ，求周期就找递推关系。 题型一 待定系数法求函数解析式 解｜题｜技｜巧 - 已知函数类型（一次、二次、反比例等），设出一般式，代入已知条件列方程（组）求解。 - 二次函数三种形式： - 一般式：； - 顶点式：； - 零点式：。 - 根据已知条件选最简形式：给顶点用顶点式，给零点用零点式，给三点用一般式。 易｜错｜点｜拨 - 形式选择不当，增加计算量。 - 代入点时坐标对不齐（横纵坐标代反）。 - 解方程组计算错误。 答｜题｜模｜板 1. 根据函数类型设一般式（选最简形式）； 2. 代入已知点/条件列方程（组）； 3. 解方程组求系数； 4. 写出解析式并验证。 【典例1】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【典例2】（25-26高一上·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】根据条件求出，得的解析式，进而代入求值即可. 【详解】∵，∴且，解得， ∴，∴. 故选：C. 【变式1】（25-26高一上·山东烟台·期中）若一次函数满足，则__________. 【答案】或 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】设，则， 所以，解得或， 当时，，此时，， 当时，，此时， 故答案为：或 【变式2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是二次函数，且，若，则的解析式为______. 【答案】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【详解】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 题型二 换元法求函数解析式 解｜题｜技｜巧 - 已知 ，求 。 - 令 ，反解 ，代入得 。 - 换元后必须写 的范围（即 的值域）。 易｜错｜点｜拨 - 换元后忘写新元 的范围。 - 反解 时出错（尤其开方取正负）。 - 与 的对应关系搞错。 答｜题｜模｜板 1. 设 ，求 的范围； 2. 反解 ； 3. 代入得 ； 4. 换回 ，注明定义域。 【典例1】（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令代入可得. 【详解】令， 则，故，. 故选：C 【典例2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用换元法求函数解析式即可 【详解】令，则， 所以，. 所以. 故选：B. 【变式1】（25-26高一上·湖南株洲·期中）若，则的定义域为______，______. 【答案】 【详解】设，因为，所以， 故的定义域为； 因为 ， 所以 ，故. 【变式2】（25-26高一上·辽宁大连·期中）若，且，则__________． 【答案】 【分析】令，利用换元法求解. 【详解】令，则， 因为， 所以， 故. 故答案为：. 题型三 解方程组法求函数解析式 解｜题｜技｜巧 - 适用于 与 、 等成对出现的抽象方程。 - 用 或 替换原方程中的 ，得到第二个方程。 - 联立两方程，消元解出 。 易｜错｜点｜拨 - 替换后方程列错。 - 消元时系数处理错误。 - 忽略定义域（替换后表达式必须有意义）。 答｜题｜模｜板 1. 观察方程结构，确定替换对象（、 等）； 2. 替换得第二个方程； 3. 联立消元解 ； 4. 注明定义域。 【典例1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，运用解方程组法求解析式即可. 【详解】因为①，所以②， 得，即. 故选：B. 【典例2】（25-26高一上·四川成都·期中）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得. 【详解】由，得， 联立两个等式消去，得， 所以. 故选：A 【变式1】（25-26高一上·辽宁本溪·期中）已知函数满足，则__________. 【答案】 【分析】利用解方程组法和换元法即可求解. 【详解】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数满足关系式，则______. 【答案】6 【分析】用方程组法求得，代入求值即可解答. 【详解】因为，所以， 解得，所以. 故选：6 题型四 配凑法求函数解析式 解｜题｜技｜巧 - 已知 ，将 配凑成关于 的表达式。 - 如 ，配成 。 - 配凑后直接得 。 - 与换元法本质相同，但省去反解步骤。 易｜错｜点｜拨 - 配凑不彻底，未完全化为 的表达式。 - 忽略新元范围（如 或 ）。 答｜题｜模｜板 1. 将右端 配凑为左端括号内 的表达式； 2. 直接读出 ； 3. 注明 的范围。 【典例1】（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式. 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 【典例2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，由求解. 【详解】因为，且， 所以． 故选：B． 【变式1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知，则的解析式是__________. 【答案】， 【分析】把看成一个整体，用配凑方法化简即可得出结果，再利用基本不等式求出定义域范围即可. 【详解】因为，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，. 故答案为：，. 【变式2】（25-26高一上·山东威海·期中）已知，则=___________. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，其中. . 题型五 抽象函数赋值法的综合应用 解｜题｜技｜巧 - 抽象函数无具体解析式，通过对 赋特殊值求函数值、判断奇偶性、单调性。 - 常用赋值： - 令 、、； - 令 、（证奇偶性）； - 令 、。 - 求 ：令 ； - 证奇偶性：令 ，找 与 关系； - 证单调性：令 ，比较 与 。 易｜错｜点｜拨 - 赋值盲目，无目标乱试。 - 证奇偶性时未先求 并判断是否为0。 - 单调性证明中增量构造不合理。 答｜题｜模｜板 1. 明确目标（求函数值/证奇偶/证单调）； 2. 根据目标选赋值： - 求值→令 ； - 奇偶→令 ； - 单调→令 ； 3. 推导结论； 4. 验证逻辑闭环。 【典例1】（25-26高一上·山东青岛·期中）定义在上的偶函数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令代入表达式中即可判断选项A，令代入表达式中分析即可得出选项B，利用函数周期性和函数为偶函数分析即可判断选项C，根据已知条件得出函数值的规律即可得出选项D. 【详解】对A，因为是定义在上的偶函数，所以， 由，令，则， 即 ，故A选项正确， 对B，由取可得， ， 所以，故B选项不正确， 对C，由， 所以函数的周期为2， 又函数是定义在上的偶函数，所以， 所以，故C选项正确， 对D，由，所以， 所以 ，所以 ，故D选项正确. 【典例2】（25-26高一上·广西南宁·期中）定义在R上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由于对于任意的，都有，采用赋值法求解逐项判断即可得结论. 【详解】对于任意的，都有， 令，得， 因为，所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C正确； ，故D正确． 【变式1】（25-26高一上·辽宁大连·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上是单调递减的函数，证明： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数. (2) 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （2）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）令，得，所以. 令，得， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以. 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 【变式2】（25-26高一上·湖北十堰·期中）函数对任意的都有，并且当时， (1)判断函数是否为奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，解不等式 ； 【答案】(1) 不是奇函数. (2)任取 ，且 ，则 . 由题设，，于是 . 因为 ，由题意得 ，所以 ，即 . 所以 在 上是增函数. (3). 【分析】（1）令 可得 ，可得 不可能是奇函数. （2）任取 ，将 拆为 代入题设等式，得 ，再由 时 即得差为正. （3）由 解出 ，将 换成 ，利用 在 上单调递增脱去 ，解二次不等式 即可. 【详解】（1）令 可得 ，而奇函数在原点处的函数值必须为 ，故 不可能是奇函数. （2）略. （3）令 ，则 ，解得 . 于是 . 因为 在 上是增函数，所以 ，即 ，因式分解得 . 解得 ，所以不等式的解集为 . 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·江西赣州·期中）已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过换元法替换已知式中的，反解代入表达式化简并确定定义域，即可得到的解析式. 【详解】令，由已知，可得，即，可得， 已知，将代入， 得 ，其中， 所以. 2．（25-26高一上·广东广州·期中）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 【答案】BCD 【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误. 【详解】对于A，设，则， 因为，所以，解得或， 故函数的解析式为或，A错误； 对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确； 对于C，， 且的取值范围是R，所以，C正确； 对于D，由，得，联立解得，D正确． 3．（25-26高一上·天津西青·期中）函数，则__________. 【答案】 【分析】利用换元法令求解即可. 【详解】令 ，则 ，所以 ，所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·广东江门·期中）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复合函数的定义写出解析式． 【详解】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·广东江门·期中）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 2．（25-26高一上·浙江丽水·期中）下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对各选项解析式分别求出即可判断. 【详解】对于A：，则，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：，则，而， 所以，故C错误； 对于D：，则，故D正确. 故选：AD 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________. 【答案】 【分析】令，得，结合得到，进而得到，代入求出，令，求得，即可求出答案. 【详解】令，有，即， 因为当时，， 所以， 又， 所以， 即，所以， 所以， 令，得，所以， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数满足，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】利用赋值法，分别令、、和，代入运算，即可得答案. 【详解】令，则，解得或， 当时，令，则，解得， 令，则，矛盾， 则， 又，且，所以， 令，则，所以. 2．（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知函数，其定义域为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的定义域为 D．的图象关于对称 【答案】BD 【分析】代入求函数值判断A，整体法求函数解析式和定义域判断B、C，由函数图象的平移关系判断D. 【详解】令，得，A错误， ，故， 的定义域为，则，故的定义域为，B正确，C错误， 由是上的奇函数，是向右平移一个单位，故的图象关于点成中心对称，D正确. 故选：BD 3．（25-26高一上·上海青浦·期中）已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 【答案】 【分析】根据所给关系式利用赋值法求出，推得和，联立计算即得. 【详解】因为， 令得，所以； 当时， 令得，则①， 又②， 用替换可得③， 由②③，可得， 将①式代入，可得， 又，两式相加，整理得， 显然当时也成立， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出的值，再令，求出即可； （2）令，即可求出的解析式； （3）令，得到，再运用均值不等式即可求出. 【详解】（1）令，则，即， 解得或， 当时，令，则，即（舍去）， 当时，令，则， 又，， . （2）令，得， 即， 故的解析式为. （3）由题意得，， 令，，，， ，. ， 当且仅当，即时等号成立. 此时，解得. 故的最小值为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $