专题03 常用逻辑用语中的参数与恒成立问题（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题03 常用逻辑用语中的参数与恒成立问题 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 根据充分条件求参数 题型02 根据必要条件求参数 题型03 根据充要条件求参数 题型04 根据全称量词命题的真假求参数 题型05 根据存在量词命题的真假求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 由充分条件求参数 熟练利用命题的充分性求参数 中档题，容易混淆充分性的定义导致出错。 由必要条件求参数 熟练利用命题的必要性求参数 中档题，容易混淆必要性的定义导致出错。 由命题的真假求参 熟练利用命题的真假求参数 中档题，对命题的否定理解有误导致出错。 恒成立问题与能成立问题求参数 熟练掌握参变分离法与分类讨论思想解决恒成立问题与能成立问题 压轴题，对参变分离法与分类讨论思想掌握不充分导致出错。 知识点01 充分条件与必要条件中的参数 核心概念： · 充分条件：，则 是 的充分条件（有它就行）； · 必要条件：，则 是 的必要条件（没它不行）； · 充要条件：，即互推。 核心转化（集合法）： 设 对应集合 ， 对应集合 ，则： 条件关系 集合关系 记忆口诀 是 的充分不必要 小推大 是 的必要不充分 大被小推 是 的充要 等大互推 是 的既不充分也不必要 互不包含 — 解题原理：把 、 翻译为集合，利用“小推大”列不等式求参数。 示例： 已知 ：，：，若 是 的充分不必要条件，求 的范围。 解： 即 ， 数轴上得 （若 ，则 ，是充要而非充分不必要）。 故 。 易错点： · 易错点总结：方向搞反——把“ 是 的充分条件”错当成 。 · 注意事项总结：记住“谁小谁充分，谁大谁必要”—— 的集合小， 就能推出 （小范围推大范围）；含端点时单独检验是否取等。 知识点02 全称量词与存在量词 核心概念： · 全称量词 （任意、所有、每一个）： 表示对 中所有 都成立； · 存在量词 （存在、至少有一个）： 表示 中至少有一个 使 成立。 命题的否定（必考）： 原命题 否定 法则：量词互换 + 结论否定。 示例： 命题“”的否定是： 易错点： · 注意事项总结：命题的否定是“量词互换 + 结论否定”两步；而“否命题”是既否条件又否结论，两者完全不同，不要混淆。 知识点03 恒成立问题（∀ 型） 核心模型：（或 、、）恒成立，求参数 的范围。 核心公式（最值法）： 分离参数法（首选技巧）： 把参数 单独分离到不等号一侧： · 恒成立 ； · 恒成立 。 易错点： · 易错点总结：把 对应成最大值，方向搞反——“ 恒成立”是 小于等于 的最小值（最小的那个都 ，其他更不用说）。 · 注意事项总结：记住口诀“大于等于找最小，小于等于找最大”—— 恒成立， 不能超过 的下界（最小值）。 知识点04 存在性问题（∃ 型 / 能成立问题） 核心模型： 成立（能成立），求参数 的范围。 核心公式（最值法）： 恒成立与能成立对比（必考对照）： 类型 命题 等价转化 恒成立 恒成立 能成立 能成立 易错点： · 易错点总结：恒成立和能成立混用——把“存在”也按“任意”做，取错最值。 · 注意事项总结：“任意找最值，存在也找最值”，但方向相反：恒成立 找最小，能成立 找最大。可记为“恒成立最严（找最差），能成立最松（找最好）”。 知识点05 由命题真假求参数 核心题型：给出含参数的命题 、，已知“ 真”“ 假”或“ 真”等，求参数范围。 真值表： （且） （或） 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 解题原理： 1. 先分别求出 真、 真时参数的范围； 1. 根据复合命题的真假，判断 、 各自真假； 1. 取交集/并集。 易错点： · 易错点总结：只考虑 真，忘了 的真假也要判断；或把“且”“或”的真值表用反。 · 注意事项总结：“ 真”要求两个都真；“ 真”只需至少一个真；“ 真”即 假。 题型一 根据充分条件求参数 解｜题｜技｜巧 - 转化为集合包含关系： 是 的充分条件 。 - 设 对应集合 ， 对应集合 ，则 ，画数轴列端点不等式。 - 若 是 的充分不必要条件，则 （真子集）。 易｜错｜点｜拨 - 方向搞反：“ 是 的充分条件”是 ，不是 。记”充分小推大”——小集合推大集合。 - 端点取舍：子集关系的端点能否取等，由集合的开闭决定，单独核对。 - 漏讨论 的情形。 答｜题｜模｜板 1. 写出 、 对应的集合 、； 2. 由” 是 的充分条件”得 ； 3. 画数轴，列端点不等式组（注意开闭、讨论空集）； 4. 解出参数范围，检验端点。 【典例1】（25-26高一上·四川成都·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由交集和并集定义计算即可； （2）先由题意得集合是集合的真子集，进而列关于a的不等式组即可计算求解. 【详解】（1）若，则集合. 则，； （2）由题意可知集合是集合的真子集， 因此或，解得或， 所以实数的取值范围为． 【典例2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的定义域运算直接得出结果； （2）根据充分条件、必要条件的定义可得，结合集合的包含关系建立关于的不等式组，解之即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集. 由，知集合为非空集合， 则且等号不能同时成立，解得， 即实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知 (1)求； (2)若，求的范围； (3)若“”是“”的充分条件，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的交集和并集的基本概念，求出两个集合的交集和并集即可. （2）根据集合交集的结果，判断集合的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围； （3）根据充分条件，判断集合之间的包含关系，列出不等式，求出结果. 【详解】（1）由可得，. （2）当时，，可得， 即的范围为. （3）当“”是“”的充分条件时，可知， 即，可得，即的范围为. 【变式2】（25-26高一上·广东茂名·期中）已知集合，集合   (1)若，求实数m的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围   【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，则，然后求解即可； （2）由题知是的真子集，再分和讨论求解． 【详解】（1）因为， 所以，解得， 所以实数m的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 当时，即，可得； 当时，，即，     又，解得，所以， 综上，实数m的取值范围为. 题型二 根据必要条件求参数 解｜题｜技｜巧 - 转化为集合包含关系： 是 的必要条件 。 - 与充分条件方向相反： 对应集合是 对应集合的子集。 - 若 是 的必要不充分条件，则 。 易｜错｜点｜拨 - 与充分条件方向混淆：必要条件是”后推前”，方向正好相反。 - 把” 的必要条件是 “与” 是 的必要条件”搞混——主语不同，方向相反。 - 端点漏检、空集漏讨论。 答｜题｜模｜板 1. 写出 、 对应的集合 、； 2. 由” 是 的必要条件”得 （方向与充分条件相反）； 3. 画数轴列端点不等式组； 4. 解出参数范围，检验端点与空集。 【典例1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由集合的并集与补集运算求解即可； （2）由于“”是“”的必要条件，所以，分与求解a的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 【典例2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空集的定义求解； （2）根据、求解. 【详解】（1）因，则，即， 故实数的取值范围为； （2）由题意得，且，则，得， 故实数的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·陕西商洛·期中）已知集合，． (1)若，求和； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）代入，再根据集合交、并、补运算即可； （2）根据题意知，得到，再解不等式组即可． 【详解】（1）由， 当时，，，     所以；； （2）由（1）得，，     因为是的必要条件，所以， 所以，解得，     所以实数的取值范围是． 【变式2】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知全集，集合，. (1)若，求和； (2)设：，：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合间的运算法则直接计算； （2）根据命题的充分必要性可知，分情况讨论和，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）全集，集合， 若，则， 则，或， 则； （2）设：，：，若是成立的必要不充分条件，则， 当时，，即，符合题意； 当时，则需满足，且两等号不能同时取得，解得， 故实数的取值范围为. 题型三 根据充要条件求参数 解｜题｜技｜巧 - 是 的充要条件 。 - 两集合相等 端点重合，列方程求解。 - 证明充要条件要分充分性和必要性两步分别证明，不能只证一面。 易｜错｜点｜拨 - 证明充要条件时只证一个方向，漏掉另一方向。 - 集合相等时端点对应错误，左右端点配对混乱。 - 把”充要”当成”充分”或”必要”处理，方向错位。 答｜题｜模｜板 1. 写出 、 对应的集合 、； 2. 由充要条件得 ，端点一一对应列方程； 3. 解方程求出参数； 4. 证明类题目：分充分性、必要性两步书写，双向互推。 【典例1】若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 【典例2】若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为恒成立即可求解. 【详解】恒成立，，所以，解得． 故选：B 【变式1】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 【变式2】已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 题型四 根据全称量词命题的真假求参数 解｜题｜技｜巧 - 全称命题” 为真” 在 上恒成立。 - 恒成立问题转化为最值问题： - 恒成立 ； - 恒成立 。 - 常见方法：分离参数法、二次函数判别式法、基本不等式法。 易｜错｜点｜拨 - 最值方向搞反：恒大于等于用最小值，恒小于等于用最大值。 - 分离参数时未考虑参数系数正负对不等号方向的影响。 - 忽略定义域范围，最值取错位置。 - 全称命题为假的否定是存在命题，别把”假”当”不成立”直接解。 答｜题｜模｜板 1. 将全称命题翻译为”恒成立”问题； 2. 分离参数（或直接研究函数），转化为函数最值； 3. 求 在给定区间上的最值； 4. 列最值不等式，解出参数范围。 【典例1】已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【详解】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 【典例2】（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)或. 【分析】（1）先求出集合，再根据交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而根据包含关系求解. 【详解】（1）当时，，而或， 则，或. （2）若命题“，都有”是真命题，则， 由题意，则或，即或， 故的取值范围为或. 【变式1】已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可. （2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可. 【详解】（1）由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需，解得， 综上，，即实数的取值范围为. （2）若是真命题，则，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 【变式2】已知，命题恒成立；命题存在，使得． (1)若p为真命题，求m的取值范围； (2)若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意得，即，接着解不等式即可； （2）先求出q为真命题时，m的取值范围，再分p真q假和p假q真讨论求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， 解得， 故实数m的取值范围是， ∴m的最大值为3； （2）当q为真命题时，则，解得， ∵p，q有且只有一个真命题， 当p真q假时，，解得； 当p假q真时，，解得； ∴或． 题型五 根据存在量词命题的真假求参数 解｜题｜技｜巧 - 存在命题” 为真” 在 上能成立（有解）。 - 能成立问题转化为： - 能成立 ； - 能成立 。 - 与恒成立方向正好相反：存在用相反方向的最值。 - 二次方程在区间上有解：判别式 + 根的分布。 易｜错｜点｜拨 - 与恒成立最值方向混淆：存在命题用反向最值。 - 有解问题只考虑判别式，忽略区间限制（根必须在给定区间内）。 - 把”存在”当成”任意”处理。 - 注意参数系数为零的特殊情况。 答｜题｜模｜板 1. 将存在命题翻译为”能成立/有解”问题； 2. 分离参数，转化为函数最值（方向与恒成立相反）； 3. 求 在给定区间上的最值； 4. 列最值不等式，解出参数范围，检验端点。 【典例1】（25-26高一上·河北张家口·期中）已知命题：，使得不等式成立，命题：. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由为假命题，则“，”为真命题. ，解得. 为假命题时，实数的取值范围为. （2）若为真命题，则，解得. 若为真命题，则. 当为真命题，为假命题时，则，解得； 当为假命题，为真命题时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 【典例2】设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的包含关系求出； （2）根据列关系式求解或利用结合补集思想求出. 【详解】（1）由题意，得． “”是“”的充分条件，． 又， ，解得， 实数的取值范围为． （2）方法一：命题“，”是真命题，． 下面讨论的情形： ①当时，，，满足； ②当时，，若，则或，解得或，所以， 当时，，当时，． 综上，命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 方法二：命题“，”是真命题，． ． 即命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 【变式1】（25-26高一上·安徽安庆·期中）设集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据必要不充分条件得出集合间的包含关系，分集合为空集和非空集合两种情况讨论，即可求解； （2）根据存在性命题为真命题得出集合交集非空，同样结合集合非空进行分析即可. 【详解】（1）因为“”是“”的必要不充分条件，所以， 当时，则，解得， 当时，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为命题“，”为真命题，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式2】已知命题：，.命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）问题转化为，求解. （2）先根据命题和均为真命题，分别求实数的取值范围，再求它们的交集即可. 【详解】（1）命题为真命题，， ，，则， 实数的取值范围是． （2）为真命题，由（1）得. ，为真命题， ，得. 由命题和均为真命题，得. 实数的取值范围是． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 是的必要不充分条件， 是的真子集， 又， ， 则，解得． 2．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 3．（25-26高一上·河北沧州·期中）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 4．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，结合二次函数的图像与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题“，使得”是假命题， 可得命题的否定：“，使得”是真命题， 设，则在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，. （2）因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 因为，所以恒成立，所以集合， 所以，解得， 当时，，此时集合是集合的真子集； 当时，，此时集合是集合的真子集. 故实数的取值范围为． 2．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），把代入： ，，，，即. （2）”是“”的充分条件即，则. ①时，，解得. ②当时，即时，令，即，因为 所以，得到，解得. 由①②得出. 3．（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有，讨论、列不等式求参数范围； （2）法一：根据已知有，讨论集合中不等式的两个端点值与集合的关系列不等式求参数范围；法二：假设，讨论集合是否为空，求出对应的参数范围，再由及集合的补运算，求最终参数范围. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，方程组无解． 综上所述，实数的取值范围为； （2）因为命题“”是真命题，所以，则， 法一：所以，或，或， 解得，或，或， 所以实数的取值范围为． 法二：假设， 当，则，满足， 当，则，此时或，解得或， 所以时，或， 即命题“”是真命题时，实数的取值范围为. 4．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题真且假，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据为真命题,分离参数得到，得到答案； （2）当命题为真命题时，的范围，结合（1）问即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当命题为假命题时，命题为真命题，， 当时，， ∴，即 ∴实数的取值范围为． （2）当命题为真命题时，，解得或， 当命题为真，命题为假时， ，解得， 所以实数的取值范围为 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）先求，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先求命题p为真命题时，的范围，再由q是p的必要不充分条件即可求解. 【详解】（1）：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； （2）若为真命题，则当时，则，显然不成立； 当时，，解得或. ∴p为真命题时，或. ∵q是p的必要不充分条件，∴，且， ∴且，即， ∴实数的取值范围是 . 2．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知命题任意满足，都有恒成立； 命题：存在，使得成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若，有且只有一个为真，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意有，解出即可求解； （2）先求命题为真命题时的取值范围，再分类讨论即可求解. 【详解】（1）由命题为真命题，所以，即， 所以实数的取值范围； （2）若命题为真命题，当时，满足题意， 当时，若，则总有解， 若，结合， 所以命题为真命题，实数的取值范围为， 若，有且只有一个为真， 当真假时， ， 当假真时， ， 综上所述，实数的取值范围为. 3．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据命题p是真命题，则列式计算即可； （2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解之即得； （3）分命题为真，命题为假或命题为假，命题为真两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 常用逻辑用语中的参数与恒成立问题 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 根据充分条件求参数 题型02 根据必要条件求参数 题型03 根据充要条件求参数 题型04 根据全称量词命题的真假求参数 题型05 根据存在量词命题的真假求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 由充分条件求参数 熟练利用命题的充分性求参数 中档题，容易混淆充分性的定义导致出错。 由必要条件求参数 熟练利用命题的必要性求参数 中档题，容易混淆必要性的定义导致出错。 由命题的真假求参 熟练利用命题的真假求参数 中档题，对命题的否定理解有误导致出错。 恒成立问题与能成立问题求参数 熟练掌握参变分离法与分类讨论思想解决恒成立问题与能成立问题 压轴题，对参变分离法与分类讨论思想掌握不充分导致出错。 知识点01 充分条件与必要条件中的参数 核心概念： · 充分条件：，则 是 的充分条件（有它就行）； · 必要条件：，则 是 的必要条件（没它不行）； · 充要条件：，即互推。 核心转化（集合法）： 设 对应集合 ， 对应集合 ，则： 条件关系 集合关系 记忆口诀 是 的充分不必要 小推大 是 的必要不充分 大被小推 是 的充要 等大互推 是 的既不充分也不必要 互不包含 — 解题原理：把 、 翻译为集合，利用“小推大”列不等式求参数。 示例： 已知 ：，：，若 是 的充分不必要条件，求 的范围。 解： 即 ， 数轴上得 （若 ，则 ，是充要而非充分不必要）。 故 。 易错点： · 易错点总结：方向搞反——把“ 是 的充分条件”错当成 。 · 注意事项总结：记住“谁小谁充分，谁大谁必要”—— 的集合小， 就能推出 （小范围推大范围）；含端点时单独检验是否取等。 知识点02 全称量词与存在量词 核心概念： · 全称量词 （任意、所有、每一个）： 表示对 中所有 都成立； · 存在量词 （存在、至少有一个）： 表示 中至少有一个 使 成立。 命题的否定（必考）： 原命题 否定 法则：量词互换 + 结论否定。 示例： 命题“”的否定是： 易错点： · 注意事项总结：命题的否定是“量词互换 + 结论否定”两步；而“否命题”是既否条件又否结论，两者完全不同，不要混淆。 知识点03 恒成立问题（∀ 型） 核心模型：（或 、、）恒成立，求参数 的范围。 核心公式（最值法）： 分离参数法（首选技巧）： 把参数 单独分离到不等号一侧： · 恒成立 ； · 恒成立 。 易错点： · 易错点总结：把 对应成最大值，方向搞反——“ 恒成立”是 小于等于 的最小值（最小的那个都 ，其他更不用说）。 · 注意事项总结：记住口诀“大于等于找最小，小于等于找最大”—— 恒成立， 不能超过 的下界（最小值）。 知识点04 存在性问题（∃ 型 / 能成立问题） 核心模型： 成立（能成立），求参数 的范围。 核心公式（最值法）： 恒成立与能成立对比（必考对照）： 类型 命题 等价转化 恒成立 恒成立 能成立 能成立 易错点： · 易错点总结：恒成立和能成立混用——把“存在”也按“任意”做，取错最值。 · 注意事项总结：“任意找最值，存在也找最值”，但方向相反：恒成立 找最小，能成立 找最大。可记为“恒成立最严（找最差），能成立最松（找最好）”。 知识点05 由命题真假求参数 核心题型：给出含参数的命题 、，已知“ 真”“ 假”或“ 真”等，求参数范围。 真值表： （且） （或） 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 解题原理： 1. 先分别求出 真、 真时参数的范围； 1. 根据复合命题的真假，判断 、 各自真假； 1. 取交集/并集。 易错点： · 易错点总结：只考虑 真，忘了 的真假也要判断；或把“且”“或”的真值表用反。 · 注意事项总结：“ 真”要求两个都真；“ 真”只需至少一个真；“ 真”即 假。 题型一 根据充分条件求参数 解｜题｜技｜巧 - 转化为集合包含关系： 是 的充分条件 。 - 设 对应集合 ， 对应集合 ，则 ，画数轴列端点不等式。 - 若 是 的充分不必要条件，则 （真子集）。 易｜错｜点｜拨 - 方向搞反：“ 是 的充分条件”是 ，不是 。记”充分小推大”——小集合推大集合。 - 端点取舍：子集关系的端点能否取等，由集合的开闭决定，单独核对。 - 漏讨论 的情形。 答｜题｜模｜板 1. 写出 、 对应的集合 、； 2. 由” 是 的充分条件”得 ； 3. 画数轴，列端点不等式组（注意开闭、讨论空集）； 4. 解出参数范围，检验端点。 【典例1】（25-26高一上·四川成都·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【典例2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【变式1】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知 (1)求； (2)若，求的范围； (3)若“”是“”的充分条件，求的范围. 【变式2】（25-26高一上·广东茂名·期中）已知集合，集合   (1)若，求实数m的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围   题型二 根据必要条件求参数 解｜题｜技｜巧 - 转化为集合包含关系： 是 的必要条件 。 - 与充分条件方向相反： 对应集合是 对应集合的子集。 - 若 是 的必要不充分条件，则 。 易｜错｜点｜拨 - 与充分条件方向混淆：必要条件是”后推前”，方向正好相反。 - 把” 的必要条件是 “与” 是 的必要条件”搞混——主语不同，方向相反。 - 端点漏检、空集漏讨论。 答｜题｜模｜板 1. 写出 、 对应的集合 、； 2. 由” 是 的必要条件”得 （方向与充分条件相反）； 3. 画数轴列端点不等式组； 4. 解出参数范围，检验端点与空集。 【典例1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【典例2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·陕西商洛·期中）已知集合，． (1)若，求和； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【变式2】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知全集，集合，. (1)若，求和； (2)设：，：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型三 根据充要条件求参数 解｜题｜技｜巧 - 是 的充要条件 。 - 两集合相等 端点重合，列方程求解。 - 证明充要条件要分充分性和必要性两步分别证明，不能只证一面。 易｜错｜点｜拨 - 证明充要条件时只证一个方向，漏掉另一方向。 - 集合相等时端点对应错误，左右端点配对混乱。 - 把”充要”当成”充分”或”必要”处理，方向错位。 答｜题｜模｜板 1. 写出 、 对应的集合 、； 2. 由充要条件得 ，端点一一对应列方程； 3. 解方程求出参数； 4. 证明类题目：分充分性、必要性两步书写，双向互推。 【典例1】若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【典例2】若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【变式2】已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 题型四 根据全称量词命题的真假求参数 解｜题｜技｜巧 - 全称命题” 为真” 在 上恒成立。 - 恒成立问题转化为最值问题： - 恒成立 ； - 恒成立 。 - 常见方法：分离参数法、二次函数判别式法、基本不等式法。 易｜错｜点｜拨 - 最值方向搞反：恒大于等于用最小值，恒小于等于用最大值。 - 分离参数时未考虑参数系数正负对不等号方向的影响。 - 忽略定义域范围，最值取错位置。 - 全称命题为假的否定是存在命题，别把”假”当”不成立”直接解。 答｜题｜模｜板 1. 将全称命题翻译为”恒成立”问题； 2. 分离参数（或直接研究函数），转化为函数最值； 3. 求 在给定区间上的最值； 4. 列最值不等式，解出参数范围。 【典例1】已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【典例2】（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【变式1】已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【变式2】已知，命题恒成立；命题存在，使得． (1)若p为真命题，求m的取值范围； (2)若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围． 题型五 根据存在量词命题的真假求参数 解｜题｜技｜巧 - 存在命题” 为真” 在 上能成立（有解）。 - 能成立问题转化为： - 能成立 ； - 能成立 。 - 与恒成立方向正好相反：存在用相反方向的最值。 - 二次方程在区间上有解：判别式 + 根的分布。 易｜错｜点｜拨 - 与恒成立最值方向混淆：存在命题用反向最值。 - 有解问题只考虑判别式，忽略区间限制（根必须在给定区间内）。 - 把”存在”当成”任意”处理。 - 注意参数系数为零的特殊情况。 答｜题｜模｜板 1. 将存在命题翻译为”能成立/有解”问题； 2. 分离参数，转化为函数最值（方向与恒成立相反）； 3. 求 在给定区间上的最值； 4. 列最值不等式，解出参数范围，检验端点。 【典例1】（25-26高一上·河北张家口·期中）已知命题：，使得不等式成立，命题：. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【典例2】设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高一上·安徽安庆·期中）设集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 【变式2】已知命题：，.命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北沧州·期中）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 4．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 2．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 3．（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题真且假，求实数的取值范围． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 2．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知命题任意满足，都有恒成立； 命题：存在，使得成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若，有且只有一个为真，求实数的取值范围. 3．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $