精品解析：江苏省无锡市惠山区洛社中学2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题

无锡市洛社初级中学2025-2026学年第一学期 初三阶段性复习数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校，以及考试证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 3 B. C. D. 1 2. 某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 5. 已知的半径为3，点到圆心的距离恰好是一元二次方程的根，则点与的位置关系是（ ） A. 点在的内部 B. 点在上 C. 点在的外部 D. 点在的内部或点在的外部 6. 如图，已知且．若，则值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ） A. 3米 B. 10米 C. 12米 D. 20米 8. 下列说法中，正确的个数为（ ） （1）等弧所对的圆心角相等；（2）三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 （3）优弧一定比劣弧长：（4）圆心角等于所对弦上圆周角的两倍． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④⑤ 10. 如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11. 方程的解是______． 12. 的直径为8，圆心到直线的距离为3，则直线与的位置关系是________． 13. 如图，是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于__________. 14. 如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则弦的长是________． 15. 根据物理学定律，若把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过秒离地面的高度（单位：）为．那么物体经过________秒落回地面． 16. 若实数、，满足，，且，则的值为_______． 17. 如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为________ 18. 如图，中，，．动点，同时分别从点，出发，分别沿着射线和射线的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接，以为直径作交射线于点，连接，设运动的时间为．在整个运动过程中，当为________时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 三、解答题：（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，在中，，为上一点，连接交于点，． （1）求的值； （2）当时，求的长度． 21. 如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． （1）求证． （2）若E为的中点，求的长． 22. 阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程． ，，， ． 解得； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： （1）已知代数式对应的方程解为和，则代数式分解后为 ，的值为 ； （2）将代数式分解因式． 23. （1）如图①，用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法,保留作图痕迹）； （2）如图②，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）． 24. 某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． （1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 25. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 26. 【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 （1）如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； （2）如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 27. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点、分别在边、上运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似： （2）点、在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 28. 问题背景：在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小军在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上． （1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 直接应用： 当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决． （2）如图3，的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F． 求证：为的边上的高． 拓展延伸：在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题： （3）在（2）的条件下连接、、（如图4），设，则的度数为________．（用含α的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市洛社初级中学2025-2026学年第一学期 初三阶段性复习数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校，以及考试证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项． 根据一元二次方程的一般式即可求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项是． 故选C． 2. 某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，正确理解变化率问题及降低率公式是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意得， 故选：C． 3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程-配方法，先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边同时加16得，， 即：， 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根，方程没有实根． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选B． 5. 已知的半径为3，点到圆心的距离恰好是一元二次方程的根，则点与的位置关系是（ ） A. 点在的内部 B. 点在上 C. 点在的外部 D. 点在的内部或点在的外部 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，解一元二次方程，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 先解方程求出x的值，再根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵解方程得，，， ∴当，时，点P在圆内； 当，时，点P在圆外， ∴点在的内部或点在的外部． 故选：D． 6. 如图，已知且．若，则值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ） A. 3米 B. 10米 C. 12米 D. 20米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米， 故选：B． 8. 下列说法中，正确的个数为（ ） （1）等弧所对的圆心角相等；（2）三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 （3）优弧一定比劣弧长：（4）圆心角等于所对弦上圆周角的两倍． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，三角形内心的等腰，优弧与劣弧的概念，等弧的概念，在同圆或等圆中能够互相重合的弧叫做等弧，据此可判断①；三角形内心是三角形三条角平分线的交点，即三角形的内心到这个三角形的三边距离相等，据此可判断②；同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，据此可判断③；一条弦对应两个圆周角，圆心角等于所对弦上圆周角（优弧上的圆周角），据此可判断④． 【详解】解：（1）等弧所对的圆心角相等，原说法正确； （2）三角形的内心到这个三角形的三边距离相等，原说法错误； （3）同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，原说法错误： （4）圆心角等于所对弦上圆周角（优弧上的圆周角）的两倍，原说法错误． ∴正确的只有1个， 故选：A． 9. 如图，矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读和、和的数量关系，从而判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤． 【详解】解：由折叠性质可得：，，， ，，，， ，， ， ，故①正确； 设，，则，， ， 在中，， ， 解得：， ，故②错误； 在中，设，则， ， 解得：， ，， 在中，， ，，故③④正确； 无法证明， 无法判断，故⑤错误； 综上，正确的是①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键． 10. 如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，延长交于E，作交的延长线于F，连接，证明是等腰直角三角形，即可推出，，再利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于E，作交的延长线于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故选：C． 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 12. 的直径为8，圆心到直线的距离为3，则直线与的位置关系是________． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交． 求出的半径，进而根据直线与圆的位置关系作答即可． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵圆心到直线的距离为3，， ∴直线与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 13. 如图，是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于__________. 【答案】25° ； 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：∵∠AOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOC=50°， ∴∠D=∠AOC=25°． 故答案为：25°． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 14. 如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则弦的长是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8 15. 根据物理学定律，若把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过秒离地面的高度（单位：）为．那么物体经过________秒落回地面． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即可． 【详解】解：当时， 解得：（舍去）， 即物体经过秒落回底面． 故答案为：． 16. 若实数、，满足，，且，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式及其变式，灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键． 由已知和是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式的变式即可解决问题． 【详解】解：若实数、，满足， 和是一元二次方程，即的两根， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 如图，中，，．动点，同时分别从点，出发，分别沿着射线和射线的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接，以为直径作交射线于点，连接，设运动的时间为．在整个运动过程中，当为________时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 【答案】秒或秒 【解析】 【分析】此题考查圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定与性质；解题关键在于熟练掌握相似比表示两线段之间的关系和计算线段的长；会运用分类讨论的数学思想解决问题． 分三种情况分析：当E点在线段 上，（）；当E点在线段的延长线上，；当时，分别利用相似三角形的判定和性质及圆周角定理求解即可． 【详解】解：根据题意得：当E点在线段 上，（） ，则 ． ∵ 为直径， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ①如图1中，若时，， ∴， 即，解得（舍去）． ②若时，， ∴ 即，解得（成立）． 当E点在线段的延长线上，，如图2中， 显然， ∴不成立， 只有，当点F运动到C点时， ∵， ∴，此时（成立）； 当时，由题意， 若，此时，则=，即， 解得（舍弃）， 若，此时，则=，即， 解得（舍弃）， 综上所述，满足条件的t的值为秒或秒， 故答案为：秒或秒． 三、解答题：（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用平方差公式分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20. 如图，在中，，为上一点，连接交于点，． （1）求的值； （2）当时，求的长度． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论； （2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． （1）求证． （2）若E为的中点，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据，得到，等角对等弧，即可得证； （2）等弧对等弦，得到，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴． 22. 阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程． ，，， ． 解得； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： （1）已知代数式对应的方程解为和，则代数式分解后为 ，的值为 ； （2）将代数式分解因式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求根法即可得到结论； （2）先令得到关于的一元二次方程，用求根公式求出它的两根，然后代入即可． 【小问1详解】 解：代数式对应的方程解为和， 代数式分解后为， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 令，得到一个关于的一元二次方程， ，，， ． 解得， ． 【点睛】本题考查的是利用因式分解法解，公式法解一元二次方程，此类题目根据它提供的解题方法进行解题是解题的关键． 23. （1）如图①，用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法,保留作图痕迹）； （2）如图②，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）． 【答案】如图： 【解析】 【详解】试题分析：根据垂径定理，作出一条弦长的中垂线得出答案；连接AC，BD，根据中垂线的性质得出答案． 试题解析：略 考点：垂径定理 24. 某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． （1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 【答案】（1）平均下降率为 （2）单价应降低27元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键． （1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可． 【小问1详解】 设平均下降率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均下降率为； 【小问2详解】 设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵要减少库存， ∴． 答：单价应降低27元． 25. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． （1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 26. 【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 （1）如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； （2）如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 【答案】（1）1； （2） 解：，证明如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明，可得，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得，即可； （2）根据题意可推出，得到，设，则，再利用勾股定理得到，从而推出，即可求得答案； 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； 【小问2详解】 略 27. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点、分别在边、上运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似： （2）点、在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． （1）分和分别讨论即可； （2）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； 【小问2详解】 存在，理由如下： 如图，过P作，垂足为E，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 28. 问题背景：在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小军在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上． （1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 直接应用： 当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决． （2）如图3，的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F． 求证：为的边上的高． 拓展延伸：在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题： （3）在（2）的条件下连接、、（如图4），设，则的度数为________．（用含α的式子表示） 【答案】 （1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 连接，， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 连接，取的中点N，连接，，如图， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）证明：连接，由点B、C、D、E四点共圆得， 由点A、D、O、E四点共圆得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的边上的高 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆的定义结合直角三角形斜边上的中线的性质进行解答即可； （2）证明，由三角形内角和定理可得，从而可得结论； （3）由圆周角定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，最后根据周角可计算出结果． 【详解】证明：（1）略 （2）略 （3）∵是边上的高， ∴ ∴点B、F、O、E四点共圆 ∴ ∵点A、D、O、E四点共圆 ∴ ∵ ∴ ∵，是的高， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了圆的定义，圆周角定理以及三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，运用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合是圆）是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $