3.2.2 函数的最大(小)值课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的最大(小)值 第三章 3.2　3.2.2　函数的最大(小)值 索引 课时精练 一、函数的最大(小)值 二、利用函数的单调性求最值 三、二次函数的最值 课堂达标 内容索引 四、实际问题中的最值 函数的最大(小)值 一 探究1 如图所示是函数y=-x2-2x,y=1-2x(x≥-1)及y=f(x)的图象,观察三个函数的图象,你能描述它们的共同特征吗? 提示　函数y=-x2-2x的图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)的图象有最高点B,函数y=f(x)的图象有最高点C,也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点. 4 探究2 针对y=-x2-2x,你是如何理解图象最高点的?请用数学符号语言刻画. 提示　令g(x)=-x2-2x,该函数图象最高点的纵坐标是函数的最大值,即对∀x∈R,g(x)≤1,且存在x=-1,使g(-1)=1. 5 函数的最大值与最小值. 知识梳理   最大值 最小值 条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 ∀x∈D,都有__________ ∀x∈D,都有_________ ∃x0∈D,使得____________ 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上______点的_________ f(x)图象上______点的_______ f(x)≤M f(x)≥M f(x0)=M 最高 纵坐标 最低 纵坐标 6 (1)最值首先是一个函数值,即存在一个自变量x0,使得f(x0)等于最值. (2)对于定义域内的任意x,都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),“任意”两个字不可省略. 温馨提示 7 已知函数f(x)=作出函数y=f(x)的图象,并指出f(x)的最大值、最小值. 例1 作出函数f(x)的图象,如图. 由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(1)=f(-1)=1. 当x=0时,f(x)取最小值为f(0)=0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0. 8 利用图象求函数最值的一般步骤 思维升华 9 用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为____________.  训练1 6 在同一个平面直角坐标系内画出函数y=x+2和y=10-x的图象. 根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图象应为图中的实线部分. 解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点为(4,6). 所以f(x)=其最大值为交点的纵坐标, 所以f(x)的最大值为6. 10 利用函数的单调性求最值 二 11 (链接教材P81例5)已知函数f(x)=,x∈[3,5]. (1)判断函数f(x)的单调性,并证明; 例2 f(x)在[3,5]上单调递增,证明如下:∀x1,x2∈[3,5],且x1<x2, f(x1)-f(x2)=-=, 因为3≤x1<x2≤5,所以x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在[3,5]上单调递增. 12 (2)求函数f(x)的最大值和最小值. 由(1)知,f(x)在[3,5]上单调递增, 则f(x)max=f(5)=, f(x)min=f(3)=. 13 思维升华 1.利用单调性求最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性.(2)利用单调性写出最值. 2.函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b). (2)若函数在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a). (3)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. 14 (链接教材P81练习T3)已知函数f(x)=x+. (1)求证:f(x)在[1,+∞)上单调递增; 训练2 设∀x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=. 因为1≤x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>1,所以x1x2-1>0, 所以<0, 即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[1,+∞)上单调递增. 15 (2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值. 由(1)可知f(x)在[1,4]上单调递增, 所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=2, 当x=4时,f(x)取得最大值, 最大值为f(4)=. 综上所述,f(x)在[1,4]上的最大值是,最小值是2. 16 二次函数的最值 三 17 (链接教材P86习题3.2T7)已知二次函数f(x)=x2-2x+3. (1)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值. 例3 f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2. 则f(x)的图象的对称轴为x=1,且开口向上. f(x)在[-2,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增, 所以f(x)min=f(1)=2. 又因为f(-2)>f(3), 所以f(x)max=f(-2)=11. (2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t). 当t>1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增, 所以g(t)=f(t)=t2-2t+3. 当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,g(t)=f(1)=2. 当t+1<1,即t<0时,f(x)在[t,t+1]上单调递减, 所以g(t)=f(t+1)=t2+2, 综上可得g(t)= 19 思维升华 1.求二次函数的最值,主要利用配方法,借助二次函数的单调性求解. 2.对于含参数的二次函数的最值问题,一般有如下几种类型: (1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值; (2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值; (3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 已知函数f(x)=ax2+2bx+1,x∈[1,3],且a,b为常数. (1)若a=1,求f(x)的最大值; 训练3 当a=1时,f(x)=x2+2bx+1,x∈[1,3], 易知f(x)的图象关于x=-b对称. 当-b>2,即b<-2时,f(x)max=f(1)=2b+2, 当-b≤2,即b≥-2时,f(x)max=f(3)=6b+10, 综上,f(x)max= 21 (2)若a>0,b=-1,且f(x)的最小值为-4,求a的值. 当b=-1时,f(x)=ax2-2x+1,x∈[1,3], 又a>0,∴f(x)的对称轴x=>0. 当≤1,即a≥1时,f(x)min=f(1)=a-1, ∴a-1=-4,解得a=-3,不合题意,舍去. 当≥3,即0<a≤时, f(x)min=f(3)=9a-5=-4, 22 解得a=满足题意. 当1<<3,即<a<1时, f(x)min=f=1-=-4, 解得a=,不合题意,舍去. 故a的值为. 23 实际问题中的最值 四 24 (链接教材P80例4)某公司在甲、乙两地销售同一种农产品,利润(单位:万元)分别为y1=5x-x2,y2=3x,其中x为销售量(单位:吨),若该公司在这两地共销售10吨农产品,则能获得的最大利润为多少万元? 例4 设在甲地销售农产品x吨, 则在乙地销售农产品(10-x)吨, 由题意可得利润y=5x-x2+3(10-x)=-x2+2x+30=-(x-4)2+34, 所以当x=4时,获得最大利润y=34万元. 思维升华 1.对于实际应用问题,首先要审清题意,确定自变量和因变量的条件关系,列出函数关系式,建立数学模型,同时要注意自变量的取值范围. 2.分析函数的性质(多涉及二次函数、分段函数),选择合适的数学方法从而解决数学问题,进行验证或评估,回归题意. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: R(x)= 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数f(x); 训练4 从而f(x)= 设月产量为x台,则总成本为20 000+100x, 27 (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) 当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)2+25 000; ∴当x=300时,f(x)max=25 000, 当x>400时,f(x)=60 000-100x是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当x=300时 ,f(x)max=25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元. 28 【课堂达标】 1.函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[-4,1]上的最小值是 √ 由题图知,函数在[-4,-3]上单调递减,在[-3,1]上单调递增,当x=-3时取最小值0. A.-4 B.-3 C.0 D.1 2 3 4 1 2.已知函数f(x)=,则f(x)在区间[2,6]上的最大值为 A. B.3 C.4 D.5 √ f(x)==2+, 而f(x)在[2,6]上单调递减,f(x)max=f(2)=4. 2 3 4 1 3.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是____________.  f(x)=(x-1)2+2的图象关于x=1对称, ∵f(x)min=2,f(x)max=3,且f(1)=2,f(0)=f(2)=3, ∴1≤m≤2. [1,2] 2 3 4 1 4.如果一个直角三角形两直角边边长之和为4,那么该直角三角形斜边长的最小值为____________.  设一个直角边长为x,x∈(0,4),则另一个直角边长为4-x, 所以斜边长为==≥2,当且仅当x=2时取等号. 2 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是 由图象可知,此函数的最小值是f(-2),最大值是2. A.f(-2),0 B.0,2 C.f(-2),2 D.f(2),2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.下列函数在[1,4]上的最大值为3的是 A.y=+2 B.y=3x-2 C.y=x2 D.y=1-x 选项B,C中的函数在[1,4]上均单调递增,选项A,D中的函数在[1,4]上均单调递减,代入端点值,可知A正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.已知函数f(x)的定义域为R,有以下三种说法:①若存在常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M是f(x)的最大值;②若存在x0∈R,使得对任意x∈R,有f(x)≤f(x0),则f(x0)是f(x)的最大值;③若存在x0∈R,使得对任意x∈R,且x≠x0,有f(x)≤f(x0),则f(x0)是f(x)的最大值.其中正确说法的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 由函数最大值的概念知②③正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ A.1 B.2 C. D. 当x≥1时,函数f(x)=单调递减,此时f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1; 当x<1时,函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2. 综上可得,f(x)的最大值为2. 4.函数f(x)=的最大值为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为 A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 设公司在甲地销售x辆, 则在乙地销售(15-x)辆,公司获利为 L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-+30+, ∴当x=9或10时,L最大值为120万元. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.已知函数f(x)=x-,若f(x)≤m对任意x∈[1,4]恒成立,则实数m的取值范围为 A.(-∞,-3) B.(-∞,-3] C.(3,+∞) D.[3,+∞) √ 因为y=x在x∈[1,4]上单调递增,y=-在x∈[1,4]上单调递增, 所以f(x)=x-在x∈[1,4]上单调递增, 所以f(x)max=f(4)=4-=3. 因为f(x)≤m对任意x∈[1,4]恒成立, 所以m≥f(x)max=3,故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)若函数f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m可以取 A. B. C.3 D. √ √ √ f(x)=x2-3x-4图象的对称轴为x=. 当x∈[0,m]时,f(x)的值域是, 由于f=-,所以m≥. 当y=-4时,x=0,3,因此m≤3, 综合可得,m的取值范围是. 结合选项,知m可取,,3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.已知函数f(x)=|x2-4x|,x∈[2,5],则f(x)的最小值是____________,最大值是____________.  0 5 f(x)=|x2-4x|= 作出函数y=f(x)的图象,如图. 故f(x)的最小值为f(4)=0,f(x)的最大值为f(5)=5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是____________.  (-∞,0) 令f(x)=-x2+2x, 则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1. 又∵x∈[0,2], ∴f(x)min=f(0)=f(2)=0, ∴a<0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为_________m.  20 设矩形花园的宽为y,则=, 即y=40-x(0<x<40), 矩形花园的面积S=x(40-x)≤=400, 当且仅当x=20时,取等号,即当x=20 m时,面积最大. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.已知函数f(x)=(x>0). (1)求证:f(x)在(0,1]上单调递增; ∀x1,x2∈(0,1],且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-==, 当0<x1<x2≤1时,x2-x1>0,x1x2-1<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,1]上单调递增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)求函数f(x)的最大值和最小值. 当1≤x1<x2时,x2-x1>0,x1x2-1>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在[1,+∞)上单调递减. ∴结合(1)(2)可知,f(x)max=f(1)=,无最小值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值为 A.2 B.1 C.-1 D.无最大值 √ 在同一坐标系中作出函数y=2-x2与y=x的图象. 由f(x)的定义知,函数y=f(x)的图象(如图中实线部分) 联立得点A(1,1). 结合f(x)的图象知f(x)max=f(1)=1. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.函数f(x)=-的最小值是____________.  -1 由得f(x)的定义域为[1,+∞). 又函数y=在区间[1,+∞)内单调递增,函数y=-在区间[1,+∞)内单调递增, 所以函数f(x)=-在区间[1,+∞)内单调递增. 所以当x=1时,f(x)min=-=-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系: 因为f(x)是一次函数, 设f(x)=ax+b(a≠0), 由题设,得 x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数定义域); 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 所以y=f(x)=-3x+162. 又y≥0,所以30≤x≤54, 故所求函数关系式为y=-3x+162,x∈[30,54]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)若日销售利润为P元,根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润? 由题意得, P=(x-30)y=(x-30)(162-3x) =-3x2+252x-4 860 =-3(x-42)2+432,x∈[30,54]. 当x=42时,最大的日销售利润P=432, 即当销售单价为42元时,获得最大的日销售利润. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.已知函数f(x)=2x2-ax+1,x∈[-1,a],且f(x)的最大值为f(a),则实数a的取值范围为____________.  [2,+∞) f(x)=2+1-的图象关于x=对称, 当-1<a≤0时,f(x)在[-1,a]上单调递减, 则f(x)max=f(-1),不合题意; 当a>0时,则∈[-1,a],∴f(x)在上单调递减,在上单调递增, 要使f(a)为最大值,只需a-≥-(-1),解得a≥2. 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小值-2. (1)求a,b的值; ∵f(x)=a(x-2)2+b-4a, 又a>0, ∴函数图象开口向上,对称轴x=2, ∴f(x)在[0,1]上是减函数, ∴f(0)=b=1,且f(1)=b-3a=-2, ∴a=b=1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>-x+m恒成立,求实数m的取值范围. f(x)>-x+m⇔x2-4x+1>-x+m, 即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立, 只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0得,m<-1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $