3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数最大（小）值，涵盖概念理解、几何意义、图象与单调性求法及实际应用。课堂导入以罗布泊气温变化曲线为情境，通过三个思考问题从实际气温最值过渡到函数概念，搭建生活与数学的认知支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，如气温曲线问题引导观察现实；通过概念辨析和单调性证明发展数学思维，如例1严格证明单调性；实际应用问题（如利润计算）强化数学语言表达。采用问题驱动和分层训练，小结提炼数形结合等思想，帮助学生提升直观理解与应用能力，为教师提供系统教学素材和方法支持。

第2课时　函数的最大(小)值 课标要求 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．　2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．　3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题． 返回导航 科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是该地某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图说说气温的变化情况． 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　该天的最高气温和最低气温分别是多少？ 提示：该天的最高气温为25 ℃，最低气温为－5 ℃. 思考2　设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？ 提示：该天某时刻的气温f(x)的变化范围是[－5，25]℃. 思考3　从函数图象上看，气温的最大值、最小值在什么时刻取得？ 提示：气温的最大值在17时取得，气温的最小值在6时取得． 返回导航 新课导入 问题思考 内 容 索 引 知识点　 1 1 应用点一 2 应用点二 3 知识点　函数的最大(小)值 第一部分 5 最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： ∀x∈D，都有____________ ∀x∈D，都有____________ ∃x0∈D，使得____________ ∃x0∈D，使得____________ 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 f(x)≤M f(x)≥M f(x0)＝M f(x0)＝M 返回导航 提醒　(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值． (2)对于定义域内的任意x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略． 返回导航 × √ 即时练 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)任何函数都有最大值或最小值．(　　) (2)函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．(　　) (3)一个函数可能有多个最小值．(　　) (4)函数f(x)在[a，b]上的最值不一定是f(a)(或f(b)).(　　) × √ 返回导航 2．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)   A．－2，f(2) B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) 解析：由题图知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5). C 返回导航 3．已知函数f(x)＝－|x－1|＋2，则函数的最大值是________，值域是________． 2 (－∞，2] 返回导航 【感悟提升】　图象法求最值的一般步骤 返回导航 应用点一　利用单调性求函数的最值 第二部分 12 返回导航 (2)求函数f(x)在[1，5]上的最值． 返回导航 母题探究　本例条件不变，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最值． 解：由本例(1)知，函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以当x＝2时，f(x)有最大值f(2)＝1，f(x)无最小值． 返回导航 【感悟提升】　函数的最值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). (3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 返回导航 训练 返回导航 第三部分 应用点二　实际问题中的最值 例2　(对接教材例4)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．设该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y(万元)与x(件)的函数关系式； 返回导航 (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ 【解】　当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156.当x＝16时，ymax＝156；当x>20时，160－x<140.故当x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元． 即当该工厂的年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元． 返回导航 【感悟提升】　解实际应用问题的步骤 (1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系． (2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数． (3)列：根据已知条件列出正确的数量关系． (4)解：解方程或解不等式求函数的最值． 返回导航 训练 　　　　某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：   x 45 50 y 27 12 返回导航 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)； 返回导航 (2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 解：由题意得， P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x) ＝－3x2＋252x－4 860 ＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]. 当x＝42时，日销售利润最大，最大值为432元，即当销售单价为42元时，才能获得最大的日销售利润． 返回导航 课堂巩固自测 B 返回导航 C 返回导航 3．若函数f(x)＝ax＋b在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1或1 C．2 D．－2或2 解析：方法一：依题意，当a＝0时，不符合题意；当a>0时，f(x)＝ax＋b在[1，2]上单调递增，所以f(2)－f(1)＝2a＋b－(a＋b)＝2，得a＝2；当a<0时，f(x)＝ax＋b在[1，2]上单调递减，所以f(1)－f(2)＝a＋b－(2a＋b)＝2，得a＝－2. D 返回导航 方法二：由题意得，a≠0，则f(x)＝ax＋b在区间[1，2]上单调，且f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，所以|f(1)－f(2)|＝2，即|(a＋b)－(2a＋b)|＝2，解得a＝2或a＝－2. 返回导航 4．(教材P86T4改编)已知将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，此时这种商品每涨价1元，其销量就减少10个，为获得最大利润，则售价应为________元，最大利润为____________元． 解析：设售价为x元，利润为y元，则涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个， 则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000，50≤x<100. 故当x＝70时，ymax＝9 000. 即当售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元． 70　 9 000 返回导航 课堂小结 1．已学习：函数最大(小)值的概念，利用单调性求函数的最值，解决生活中的最值问题． 2．须贯通：利用函数的单调性、图象求最值，体现了分类讨论、数形结合的数学思想． 3．应注意：利用单调性求最值时，函数的定义域优先考虑． 返回导航 $