3.2.3 奇偶性课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

奇偶性 第三章 3.2　3.2.3　奇偶性 索引 课时精练 一、函数奇偶性的概念及判断 二、奇(偶)函数的图象及应用 三、利用函数的奇偶性求值 课堂达标 内容索引 函数奇偶性的概念及判断 一 探究1 观察下列两个函数的图象,它们有什么共同特征?如何从自变量和函数值的角度描述这种特征? 提示　两个函数的图象关于y轴对称. 当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等.实际上,任意x∈R,f(-x)= f(x),g(-x)=g(x). 4 探究2 观察函数f(x)=x和g(x)=的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?如何从自变量和函数值的角度描述这种特征? 提示　两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.当自变量取一对相反数时,相应的函数值也是一对相反数.实际上,任意x∈R,f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x). 5 函数的奇偶性 知识梳理 f(x) -f(x) y轴 原点 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D 结论 f(-x)=_________ f(-x)=_________ 图象特点 关于_______对称 关于______对称 6 (1)定义域关于原点对称是函数为奇函数、偶函数的必要条件. (2)奇偶性是函数的“整体”性质,只有对函数定义域内的每一个x,都有 f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说函数为奇函数(或偶函数). (3)既奇又偶的函数有且只有一类:f(x)=0,x∈D,且D是关于原点对称的集合. 温馨提示 7 (链接教材P84例6)判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2-|x|;(2)f(x)=+;(3)f(x)=. 例1 (1)函数f(x)的定义域为R, ∵∀x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),∴f(x)为偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{-1,1},∵∀x∈{-1,1},都有-x∈{-1,1},且f(x)=0, 又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1},存在-1∈{x|x≠1},但是1∉{x|x≠1}, ∴f(x)是非奇非偶函数. 角度1　一般函数奇偶性的判断 8 例2 函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),因为∀x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 当x>0时,-x<0,∴f(-x)=-(-x)+1=1+x=f(x); 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)+1=1-x=f(x). 综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数. 角度2　分段函数奇偶性的判断 判断函数f(x)=的奇偶性. 9 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数的定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性. (2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数. 思维升华 10 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=(1-x); 训练1 由≥0,得-1≤x<1. ∴函数f(x)的定义域为[-1,1), 存在-1∈[-1,1),但是1∉[-1,1). 故函数f(x)是非奇非偶函数. 11 函数f(x)=的定义域为R,因为∀x∈R,都有-x∈R, 当x>0时, -x<0,则f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x=f(x); 当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+3(-x)=x2-3x=f(x). 且f(0)=0, 所以函数f(x)=是偶函数. (2)f(x)= 12 奇(偶)函数的图象及应用 二 13 (链接教材P85练习T1)已知函数y=f(x)是定义在R 上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示. 例3 (1)请补全函数y=f(x)的图象; 由题意补全函数图象,如图所示. 15 (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间; (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. (2)由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). (3)由图象可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<0,或0<x<2}. 16 若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题? (2)由图可知,单调递增区间为(-1,1). (3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为 {x|-2<x<0,或x>2}. 迁移 (1)由题意补全函数图象,如图所示. 17 思维升华 1.利用奇偶性作函数的图象的步骤: (1)确定函数的奇偶性; (2)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(-∞,0]或[0,+∞)上的图象. 2.利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题. 定义在[-3,-1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数,其部分图象如图所示. 训练2 (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象; (2)比较f(1)与f(3)的大小. (1)由于f(x)在定义域上是奇函数,图象关于原点对称,其图象如图所示. (2)观察图象,知f(3)<f(1). 19 利用函数的奇偶性求值 三 20 (1)已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=2 026x3-5x+b+2,则f(a)+f(b)的值为____________.  例4 0 ∵f(x)=2 026x3-5x+b+2是定义在[a-4,2a-2]上的奇函数. ∴a-4+(2a-2)=0,且f(0)=b+2=0. 解得a=2且b=-2. 所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0. (2)已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=____________.  7 令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,则g(x)是奇函数, ∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2, 又f(-3)=-3,∴g(3)=5, 又f(3)=g(3)+2,∴f(3)=5+2=7. 思维升华 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值:若自变量的取值不在已知的范围内,可利用奇偶性将未知的值(区间)转化为已知的值(区间);有时需构造奇函数或偶函数便于求值. －1 (1)设函数f(x)=为奇函数,则a=____________.  训练3 因为f(x)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 即=-, 显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,得a=-1. 24 (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+mx+1,若f(2)=3f(-1),则m=____________.  - 因为x>0时,f(x)=x2+mx+1, 所以f(2)=5+2m,f(1)=2+m, 又f(-1)=-f(1)=-2-m, 所以5+2m=3(-2-m), 解得m=-. 25 【课堂达标】 1.函数y=f(x)是奇函数,图象上有一点为(a,f(a)),则图象必过点 A.(a,f(-a)) B.(-a,f(a)) C.(-a,-f(a)) D. √ 因为函数y=f(x)是奇函数,图象上有一点为(a,f(a)),所以f(-a)=-f(a), 故图象必过点(-a,-f(a)). 2 3 4 1 2.(多选)下列函数中,是奇函数的有 A.f(x)=x2-2x+2 B.f(x)=x3+2x C.f(x)=x- D.f(x)=|x|+ √ √ 对于f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,函数既不是奇函数也不是偶函数,A错误; 对于f(x)=x3+2x,其定义域为R,有f(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x),则函数是奇函数,B正确; 对于f(x)=x-,其定义域为{x|x≠0},f(-x)=-x+=-=-f(x),则函数是奇函数,C正确; 对于f(x)=|x|+,其定义域为{x|x≠0},f(-x)=|-x|+=f(x),则函数是偶函数,D错误. 2 3 4 1 3.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为____________.  f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2. -2 2 3 4 1 4.已知定义在[m-5,1-2m]上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(m)=____________.  由f(x)是定义在[m-5,1-2m]上的奇函数, 可得m-5=-(1-2m),解得m=-4. 又当x≥0时,f(x)=x2-2x, 所以f(m)=f(-4)=-f(4)=-(42-2×4)=-8. -8 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 A.- B. C.- D. 依题意得f(-x)=f(x),所以b=0. 因为a-1=-2a,所以a=. 所以a+b=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 2.下列图形中,是函数图象,且表示的函数具有奇偶性的是 √ 对于A,易知它是函数图象,但图象既不关于y轴对称,也不关于原点对称,则图象表示的函数不具有奇偶性; 对于B,易知它是函数图象,图象关于y轴对称,故图象表示的函数是偶函数; 对于C,D,均不是函数图象.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=2x+1 排除法.偶函数只有B,C,而函数y=|x|+1在(0,+∞)上单调递增,函数y=-x2+1在(0,+∞)上单调递减. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(x-1),则f(2)= A.-6 B.6 C.-2 D.2 根据题意,当x<0时,f(x)=x(x-1), 则f(-2)=(-2)(-2-1)=6. 又由f(x)为奇函数,则f(2)=-f(-2)=-6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.已知f(x)=ax3+bx-4,其中a,b为常数,若f(-1)=2,则f(1)= A.-10 B.-2 C.10 D.2 根据题意,因为f(x)=ax3+bx-4, 所以f(-x)=-ax3-bx-4. 则有f(-x)+f(x)=-8. 若f(-1)=2, 则f(1)=-8-f(-1)=-8-2=-10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.若定义在R上的函数f(x)不是奇函数,则下列命题一定为真命题的是 A.∀x∈R,f(x)+f(-x)≠0 B.∀x∈R,f(x)=f(-x) C.∃x∈R,f(x)+f(-x)≠0 D.∃x∈R,f(x)=f(-x) √ 若定义在R上的函数f(x)是奇函数, 则∀x∈R,f(-x)+f(x)=0. 若定义在R上的函数f(x)不是奇函数, 则∃x∈R,f(x)+f(-x)≠0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)下列叙述正确的是 A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.奇函数的图象一定通过原点 C.若奇函数f(x)在x=0处有定义,则恒有f(0)=0 D.若函数f(x)为偶函数,则有f(x)=f(-x)=f(|x|) √ √ 函数f(x)=是偶函数,但与y轴不相交,所以A不正确; 函数f(x)=是奇函数,但图象不过原点, 所以B不正确; 由奇偶性的定义知C,D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.函数f(x)=为奇函数,则实数a=____________.  -2 由于函数f(x)=为奇函数,则f(-x)=-f(x). ∴=-, 变形可得(a+2)x=0,必有a=-2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=____________.  1 在f(x)-g(x)=x3+x2+1中, 令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1, 又f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1), ∴f(1)+g(1)=1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.如图,已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(3)=0,则不等式f(x)<0的解集为_________________.  (-3,0)∪(0,3) 由条件利用偶函数的性质,画出函数f(x)在定义域上的简图: 数形结合可得不等式f(x)<0的解集为(-3,0)∪(0,3). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x4-3x2; f(x)=x4-3x2的定义域是R,因为∀x∈R,都有-x∈R, 且f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x), ∴f(x)=x4-3x2是偶函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)f(x)=. 由 得-1≤x<0或0<x≤1, ∴f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],因为∀x∈[-1,0)∪(0,1],都有-x∈[-1,0)∪(0,1], ∴f(x)==. 又f(-x)==-f(x), 故f(x)为奇函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (3)f(x)= 法一　作出函数f(x)的图象如图所示,因为函数f(x)的图象关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数. 法二　当x>0时,f(x)=1-x2,此时-x<0, 所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1,所以f(-x)=-f(x); 当x<0时,f(x)=x2-1,此时-x>0,f(-x)=1-(-x)2=1-x2,所以f(-x)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0. 综上,对∀x∈R,总有f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=____________.  f(x)==1+, 则f(x)-1=是奇函数, ∴f(a)-1+[f(-a)-1]=0. 又f(a)=,∴f(-a)=2-f(a)=2-=. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.已知函数f(x)=x+,则f(x)是____________函数(填“奇”或“偶”);f(x)在区间(0,+∞)上的最小值是____________.  奇 2 f(x)=x+的定义域为{x|x≠0},因为∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0}, 且f(-x)=-x-=-f(x),所以f(x)是奇函数. f(x)=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以f(x)在区间(0,+∞)上的最小值是f(1)=2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知函数f(x)=,令g(x)=f. (1)已知f(x)在区间[0,+∞)上的图象如图,请据此在该坐标系 中补全函数f(x)在定义域内的图象,请说明你的作图依据; ∵f(x)=, ∴f(x)的定义域为R.∀x∈R,都有-x∈R, 且f(-x)===f(x), ∴f(x)为偶函数, 故f(x)的图象关于y轴对称,其图象如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)求证:f(x)+g(x)=1(x≠0). ∵g(x)=f==(x≠0), ∴f(x)+g(x)=+==1, 故f(x)+g(x)=1(x≠0). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.(多选)下列关于奇、偶函数的说法正确的是(除既奇又偶函数f(x)=0外) A.偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数 B.奇函数的和、差仍为奇函数 C.奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数 D.一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为偶函数 √ √ √ 若函数f(x)和g(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数(g(x)≠0). 设H(x)=f(x)·g(x), ∵f(x),g(x)的定义域为R,∴H(x)的定义域为R,关于原点对称. 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 又f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), ∴H(-x)=f(-x)·g(-x) =-f(x)·g(x)=-H(x), ∴H(x)为奇函数, 即f(x)·g(x)为奇函数, 同理(g(x)≠0)为奇函数,故D错误. 易判断选项A,B,C均正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数; 由已知f(x+y)=f(x)+f(y), 令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x), 令x=y=0得f(0)=2f(0), 所以f(0)=0,所以f(x)+f(-x)=0, 即f(-x)=-f(x),又函数f(x)的定义域为R,∀x∈R,都有-x∈R, 故f(x)是奇函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)若f(-3)=a,试用a表示f(12). 由(1)知f(x)为奇函数. 所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a. 又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3), 所以f(12)=-4a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $