3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，涵盖利用奇偶性求解析式、结合单调性比较大小及解不等式三大核心知识点。通过复习奇偶性定义衔接上一课时，以“定义理解→应用策略”为学习支架，引导学生从性质认知过渡到问题解决。 其亮点在于以逻辑推理和数学运算为核心，通过定义法求解析式的步骤总结、方程组法的技巧归纳，结合例4中奇函数单调性解不等式的实例，形成“例题解析-规律提炼-分层训练”的教学闭环。小结与自测环节帮助学生梳理知识，提升推理能力和运算素养，教师可直接使用分层资源，提高教学效率。

3.2.2　奇偶性 第二课时　函数奇偶性的应用 第三章　函数的概念与性质 1 课标 要求 1.进一步掌握函数的奇偶性，能用奇偶性求解析式（逻辑推理）. 2.理解奇偶性对单调性的影响，并能用以比较函数值的大小和求解简单的不等式（逻辑推理、数学运算）. 目 录 CONTENTS 知识点一　利用函数的奇偶性求解析式 知识点二　利用函数的单调性和奇偶性比较大小 知识点三　利用函数的单调性和奇偶性解不等式 小结与自测 课时作业 知识点一　利用函数的奇偶性求解析式 目录 4 角度1　定义法求函数解析式 若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3，求f （x）的解析式. 解：设x＜0，则－x＞0， 将－x代入已知的解析式得f（－x）＝（－x）2－2（－x）＋3＝x2＋2x ＋3， 由于f（x）是奇函数，故f（x）＝－f（－x）＝－x2－2x－3. 即当x＜0时，f（x）＝－x2－2x－3. 又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0. 故f（x）＝ 数学·必修第一册 目录 规律方法 利用函数奇偶性的定义求解析式的一般步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； （2）利用已知区间的解析式进行代入； （3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）. 提醒：若函数f（x）的定义域内含0且为奇函数，则必有f（0）＝0，但若 为偶函数，未必有f（0）＝0. 数学·必修第一册 目录 角度2　方程组法求函数解析式 设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函 数f（x）、g（x）的解析式. 解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数， ∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）. 由f（x）＋g（x）＝， ① 用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝， 数学·必修第一册 目录 ∴f（x）－g（x）＝， ② （①＋②）÷2，得f（x）＝. （①－②）÷2，得g（x）＝. 数学·必修第一册 目录 规律方法 方程组法求函数解析式的技巧 　　已知函数f（x），g（x）的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为－ x，构造方程组求解. 数学·必修第一册 目录 训练1　（1）已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x（x －1），则当x＞0时，f（x）＝ ⁠； 解析： 当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝－x（－x－1）＝x（x＋ 1），因为函数f（x）为R上的偶函数，故当x＞0时，f（x）＝f（－x）＝x （x＋1）. x（x＋1） 数学·必修第一册 目录 （2）已知函数f（x）＝为奇函数，则g（x） ＝ ⁠. 解析： 因为函数f（x）＝为奇函数，所以f（0）＝g （0）＝0.设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1，所以f（x） ＝g（x）＝－f（－x）＝－x2－1.综上可得g（x）＝ ​ 数学·必修第一册 目录 知识点二　利用函数的单调性和奇偶性比较大小 目录 12 设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递 增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是 ⁠ ⁠. 解析：由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递 增，则x∈（－∞，0）时，f（x）单调递减，故其图象的几何特征是自变 量的绝对值越小，则其函数值越小，∵｜－2｜＜｜－3｜＜π，∴f（π）＞ f（－3）＞f（－2）. f（π）＞f（－3）＞f （－2）　 数学·必修第一册 目录 规律方法 比较函数值大小的求解策略 　　奇函数在对称区间上单调性一致（相同）；偶函数在对称区间上单调 性相反. （1）若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化 到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 数学·必修第一册 目录 训练2　（1）已知f（x）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则f （－0.5），f（1），f（2）的大小关系是（　B　） A. f（－0.5）＜f（2）＜f（1） B. f（－0.5）＜f（1）＜f（2） C. f（2）＜f（－0.5）＜f（1） D. f（1）＜f（2）＜f（－0.5） B 解析： 因为函数f（x）为奇函数，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调 递增，所以f（x）在R上为增函数，所以f（－0.5）＜f（1）＜f（2）. 数学·必修第一册 目录 （2）（2026·江门月考）已知函数f（x）在[－5，5]上是偶函数，在[0， 5]上是单调函数，且f（－4）＜f（－2），则下列不等式一定成立的是 （　D　） A. f（－1）＜f（3） B. f（2）＜f（3） C. f（－3）＜f（5） D. f（0）＞f（1） 解析：因为函数f（x）在[－5，5]上是偶函数，且f（－4）＜f（－2），所 以f（4）＜f（2）.又f（x）在[0，5]上是单调函数.所以f（x）在[0，5]上 单调递减，从而f（0）＞f（1），故选D. D 数学·必修第一册 目录 知识点三　利用函数的单调性和奇偶性解不等式 目录 17 已知定义在[－2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f （1－m）＜f（m），求实数m的取值范围. 解：因为f（x）在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递 减，所以f（x）在区间[－2，2]上是减函数. 又f（1－m）＜f（m），所以 即解得－1≤m＜. 故实数m的取值范围是. 数学·必修第一册 目录 变式　若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为 “[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调递 减，所以函数在区间[0，2]上单调递增， 原不等式可化为f（｜1－m｜）＜f（｜m｜）， 故可得即 解得＜m≤2.故实数m的取值范围为. 数学·必修第一册 目录 规律方法 利用函数的单调性和奇偶性解不等式的方法 （1）充分利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f （x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2）的形式，再利用单调性脱掉“f”求解； （2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反， 列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参 数的影响. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没 有写成“f（x）”的形式时，需转化为“f（x）”的形式，如0＝f（1），f （x－1）＜0，则f（x－1）＜f（1）.注意偶函数f（x）中结论f（x）＝f （｜x｜）的灵活运用. 数学·必修第一册 目录 训练3　（1）已知函数f（x）在R上单调递增，且为奇函数，若f（－2）＝ －3，则满足－3≤f（2x－3）≤3的x的取值范围是（　D　） A. [－2，2] B. ［，］ C. ［，］ D. ［，］ 解析： 因为函数f（x）在R上单调递增，且为奇函数，若f（－2）＝ －3，则f（2）＝3，由－3≤f（2x－3）≤3可得－2≤2x－3≤2，解得 ≤x≤. D 数学·必修第一册 目录 （2）若定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0] （x1≠x2）有＜0，则满足f（2x－1）＜f（）的x的取值范 围是 ⁠. 解析： 由题意得函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，而f（x）是R 上的偶函数，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以不等式f（2x－1）＜ f（），即f（｜2x－1｜）＜f（），于是｜2x－1｜＜，解得＜x＜，所 以所求x的取值范围是（，）. （，）　 数学·必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 23 数学·必修第一册 目录 1. 如果奇函数f（x）在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函 数f（x）在区间[1，3]上（　　） A. 单调递增且最小值为－5 B. 单调递增且最大值为－5 C. 单调递减且最小值为－5 D. 单调递减且最大值为－5 √ 解析： 　∵f（x）为奇函数，∴f（x）在[1，3]上的单调性与[－3，－1] 上一致且有最小值－5. 数学·必修第一册 目录 2. 若对于任意实数x总有f（－x）＝f（x），且f（x）在区间（－∞，－1] 上单调递增，则（　　） A. f＜f（－1）＜f（2） B. f（2）＜f＜f（－1） C. f（2）＜f（－1）＜f D. f（－1）＜f＜f（2） √ 数学·必修第一册 目录 解析： 　由题意得，f（x）为偶函数，∴f（2）＝f（－2）.又f（x）在区 间（－∞，－1]上单调递增，且－2＜－＜－1，∴f（2）＝f（－2）＜ f＜f（－1），故选B. 数学·必修第一册 目录 3. 已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x－1，则当x＜0时，f（x） ＝ ⁠. 解析：当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x－1.由奇函数的性质可知，当x ＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（－x－1）＝x＋1. x＋1 数学·必修第一册 目录 4. 已知偶函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，且f（2）＝0，若f （x＋1）≤0，求x的取值范围. 解：因为偶函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，且f（2）＝0，所 以f（－2）＝f（2）＝0， 则不等式f（x＋1）≤0等价为f（｜x＋1｜）≤f（2），则｜x＋1｜≥2，解 得x≤－3或x≥1. 故x的取值范围为{x｜x≤－3或x≥1}. 数学·必修第一册 目录 课时作业 >> （时间：60分钟　满分：101分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 30 1. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　） A. y＝x2 B. y＝x5＋1 C. y＝ D. y＝x3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　A选项，y＝x2是偶函数，故A错误；B选项，y＝x5＋1是非奇非 偶函数，故B错误；C选项，y＝在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递 减，故C错误；D选项，y＝x3既是奇函数又是增函数，故D正确.故选D. 数学·必修第一册 目录 2. 若奇函数f（x）在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大值 为7，最小值为－1，则f（－3）＋2f（－6）＝（　　） A. 13 B. －13 C. 5 D. －5 √ 解析： 　由f（x）在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为 7，最小值为－1，得f（3）＝－1，f（6）＝7.∵f（x）是奇函数，∴f（－ 3）＝－f（3）＝1，f（－6）＝－f（6）＝－7，∴f（－3）＋2f（－6）＝1 ＋2×（－7）＝－13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 3. 已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）＜f （1）的x的取值范围是（　　） A. （－1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （－1，1） √ 解析： 　首先函数定义域是R，再者根据f（2x－1）＜f（1）和偶函数f （x）在区间[0，＋∞）上单调递增，可得｜2x－1｜＜1，解得0＜x＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 4. 若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－ 2）的大小关系为（　　） A. f（0）＞f（－2）＞f（1） B. f（－2）＞f（0）＞f（1） C. f（0）＞f（1）＞f（－2） D. f（1）＞f（0）＞f（－2） √ 解析： 　当m＝1时，f（x）＝6x＋2不符合题意；当m≠1时，由题意可 知，其图象关于y轴对称，∴m＝0，∴f（x）＝－x2＋2，∴f（x）在（－ ∞，0）上单调递增，在[0，＋∞）上单调递减.又0＜1＜2，∴f（0）＞f （1）＞f（2）＝f（－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 5. 已知函数f（x）与g（x）分别是相同定义域上的奇函数与偶函数，且f （x）＋g（x）＝x2－－2，则f（2）＝（　　） A. － B. C. －2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 解析： 　因为f（x）＋g（x）＝x2－－2，所以f（2）＋g（2）＝4－－2 ＝　①.又函数f（x）与g（x）分别是相同定义域上的奇函数与偶函数， 所以f（－2）＋g（－2）＝－f（2）＋g（2）＝4＋－2＝　②.联立①② 可得f（2）＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 6. 〔多选〕已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2＋x ＋a－2，则（　　） A. a＝2 B. f（2）＝2 C. f（x）是R上的增函数 D. f（－3）＝－12 √ √ √ 解析： 　f（x）是R上的奇函数，故f（0）＝a－2＝0，得a＝2，故A 正确.f（2）＝4＋2＝6，故B错误.当x≥0时，f（x）＝x2＋x在[0，＋∞） 上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0]上单调递 增，故f（x）是R上的增函数，故C正确.f（－3）＝－f（3）＝－9－3＝－ 12，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 7. 已知函数f（x）＝为奇函数，则3a＋2b＝ ⁠. 解析：当x＜0时，－x＞0，∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.即 ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.故3a＋2b＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 8. 已知函数f（x）＝－x2－3｜x｜在区间（－∞，0）上单调递增，则满足 f（x－1）＞f（1）的x的取值范围为 ⁠. 解析：函数f（x）＝－x2－3｜x｜的定义域为R，关于原点对称，且f（－ x）＝－（－x）2－3｜－x｜＝－x2－3｜x｜＝f（x），即f（x）＝－x2－ 3｜x｜为偶函数，又函数f（x）在区间（－∞，0）上单调递增，则f（x） 在区间（0，＋∞）上单调递减，所以不等式f（x－1）＞f（1），即f（｜x －1｜）＞f（1），则｜x－1｜＜1，即－1＜x－1＜1，解得0＜x＜2，即满 足f（x－1）＞f（1）的x的取值范围为（0，2）. （0，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 9. （10分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x2＋ 3x，求函数f（x）的解析式. 解：由题意得，当x＜0时，－x＞0，f（x）＝－f（－x）＝－[－（－x）2 ＋3（－x）]＝x2＋3x， 所以当x＜0时，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2＋3x. 又f（0）＝0，故f（x）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 10. （15分）设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）＝x5＋x3＋b. （1）求b的值； 解： 因为函数f（x）是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f（0）＝ 0，解得b＝0（经检验符合题意）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 （2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）＋f（m－1）＞0，求实数m 的取值范围. 解： 因为函数f（x）在[0，2]上单调递增，又f（x）是奇函数，所以f （x）在[－2，2]上是增函数. 因为f（m）＋f（m－1）＞0， 所以f（m－1）＞－f（m）＝f（－m）， 所以m－1＞－m， ① 又需要不等式f（m）＋f（m－1）＞0在函数f（x）定义域内有意义， 所以 ② 解①②得＜m≤2， 所以m的取值范围为（，2］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 11. 已知f（x）＝x3＋2x，若a，b，c∈R，且a＋b＞0，a＋c＞0，b＋c＞ 0，则f（a）＋f（b）＋f（c）的值（　　） A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 解析： 　因为f（x）＝x3＋2x的定义域为R，关于原点对称，又f（－x） ＝（－x）3＋2（－x）＝－x3－2x＝－f（x），所以f（x）＝x3＋2x是R上的 奇函数，又y＝x3在R上单调递增，y＝2x在R上单调递增，所以f（x）＝x3 ＋2x在R上单调递增，又因为a＋b＞0，a＋c＞0，b＋c＞0，所以a＞－b， c＞－a，b＞－c，所以f（a）＞f（－b），f（c）＞f（－a），f（b）＞f （－c），所以f（a）＞－f（b），f（c）＞－f（a），f（b）＞－f（c）， 所以f（a）＋f（c）＋f（b）＞－f（b）－f（a）－f（c），所以2[f（a）＋ f（c）＋f（b）]＞0，所以f（a）＋f（b）＋f（c）＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 12. 函数f（x）＝的图象大致为（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 解析： 　函数f（x）＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），所 以f（－x）＝＝＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故排 除选项B、C；当x＞0时，f（x）＝＝x－，又y＝x在（0，＋∞）上单 调递增，y＝在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）在（0，＋∞）上单 调递增，故排除选项A. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 13. 若函数y＝f（x）是奇函数，且函数F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋ ∞）上有最大值8，则函数y＝F（x）在（－∞，0）上有（　　） A. 最大值－8 B. 最小值－8 C. 最小值－6 D. 最小值－4 √ 解析： 　∵y＝f（x）和y＝x都是奇函数，∴T（x）＝af（x）＋bx也为奇 函数.又∵F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋∞）上有最大值8，∴T（x） ＝af（x）＋bx在（0，＋∞）上有最大值6，∴T（x）＝af（x）＋bx在（－ ∞，0）上有最小值－6，∴F（x）＝af（x）＋bx＋2在（－∞，0）上有最 小值－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 14. 已知定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（3） ＝0，则满足（x＋1）f（x）≥0的x的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：因为定义域为R的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f （3）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（－3）＝0，f（0） ＝0，所以当x∈（－∞，－3）∪（0，3）时，f（x）＞0，当x∈（－3， 0）∪（3，＋∞）时，f（x）＜0，所以由（x＋1）f（x）≥0，可得 或 或x＝0，解得0≤x≤3或－3≤x≤－1，所以满 足（x＋1）f（x）≥0的x的取值范围为[－3，－1]∪[0，3]. [－3，－1]∪[0， 3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 15. （15分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f（x） ＝. （1）求函数f（x）在（－∞，0）上的解析式； 解： 因为f（x）是偶函数， 所以当x＜0时，－x＞0， f（x）＝f（－x）＝＝， 所以f（x）＝（x＜0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 （2）用定义证明f（x）在（－∞，0）上的单调性，并求函数f（x）的 值域； 解： ∀x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝－＝， 又x1＜x2＜0， 所以x2－x1＞0，x1－4＜0，x2－4＜0， 所以f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2）， 所以f（x）在（－∞，0）上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 又f（x）是偶函数，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增， 所以f（x）min＝f（0）＝0，又当x≥0时，f（x）＝＝＝4－ ＜4， 所以函数f（x）的值域是[0，4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 （3）解关于x的不等式f（2x－1）＞f（1－x）. 解： 因为f（x）是偶函数，则不等式f（2x－1）＞f（1－x）可化为f （｜2x－1｜）＞f（｜x－1｜）， 又f（x）在[0，＋∞）上单调递增， 所以｜2x－1｜＞｜x－1｜， 所以（2x－1）2＞（x－1）2，即3x2－2x＞0， 解得x＜0或x＞， 所以不等式的解集为（－∞，0）∪（，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 $