5.3一元一次方程的应用（课时1）（教学课件）——2026-2027学年北师大版数学七年级上册

5.3一元一次方程的应用（课时1） 第五章 一元一次方程 北师大版(2024) Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 1 素养目标 2.通过对几何图形问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系； 1.能根据几何图形问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想； 3.经历运用方程解决几何图形问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 2 知识回顾 回顾解一元一次方程的一般步骤： 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 去分母 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 3 新知导入 如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱. 圆柱的底面直径是否变化了? 还有哪些量改变了?哪些量没有变化? 圆柱的底面直径变大了，高度减小了，体积没变. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 4 探究新知 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米? (1)这个问题中包含哪些量? 它们之间有怎样的等量关系? 包含的量：圆柱形易拉罐改造前、后的底面直径、高、容积 等量关系：改造前易拉罐容积 = 改造后易拉罐容积 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 5 探究新知 容积不变，但直径(半径)和高有变化 改造前 直径(半径)减少，高变大 改造后 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 6 探究新知 (2)设新包装的高度为 x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？ 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 容积/cm3 3.3 3 12 x π×3.32×12 π×32×x Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 7 探究新知 (3)根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 设新包装的高度为 x cm 根据等量关系列出方程 等量关系：改造前易拉罐容积 = 改造后易拉罐容积 π×3.32×12 π×32×x = 解得 x = 14.52 因此易拉罐的高度变为14.52cm Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 8 归纳总结 1.列方程的关键： 找出问题中的等量关系 2.解决实际问题的基本步骤： 理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 9 探究新知 用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? 长方形的周长始终不变 你能找到怎样的等量关系? (长+宽)× 2 = 周长. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 10 探究新知 用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (长+宽)× 2 = 周长. x m (x+1.4) m 解：(1)设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x+1.4)m. 2 ( x+1.4 +x ) =10. 解得 x=1.8. 长为：1.8+1.4=3.2（米） 此时长方形的长为3.2米，宽为1.8米. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 11 探究新知 用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形. (2)使得该长方形的长比宽多 0.8 m，此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比，面积有什么变化? 解：(2)设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x + 0.8)m 2(x +0.8+ x) =10. x m (x+0.8) m 解得 x =2.1. 长为： 2.1+0.8=2.9（米） 此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米. (长+宽)× 2 = 周长. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 12 探究新知 2.1m 2.9m 1.8m 3.2m 此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m， 面积为 2.9×2.1 = 6.09(m2)， (1)中长方形所围成的面积为 3.2×1.8 = 5.76(m2). 此时长方形的面积比(1)中面积增大 6.09 – 5.76 = 0.33(m2). Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 13 探究新知 用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形. (3)如果该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? 边长×4 = 周长 解：(3)设正方形的边长为 x m. 4x = 10 解得 x=2.5 x m x m 此时正方形的边长为 2.5 m，它所围成的面积为 2.5×2.5 = 6.25(m2)， 比(2)中面积增大 6.25 – 6.09 = 0.16(m2). Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 14 归纳总结 长方形的周长不变时，它的面积会随着长和宽的变 化而变化，当_________（即为 ）时，面积最大. 2.1 2.9 2.5 2.5 5.76 m2 6.09 m2 6.25 m2 长=宽 正方形 1.8 3.2 等量关系：周长不变 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 15 归纳总结 利用一元一次方程解决一般几何图形问题： 一般几何图形问题的大致类别 解决方案 等体积变形 以体积为不变量，用不同方式表示出体积，据此等量关系列方程求解 等面积变形 以面积为不变量，用不同方式表示出面积，据此等量关系列方程求解 等周长变形 以周长为不变量，用不同方式表示出周长，据此等量关系列方程求解 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 16 A Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 17 B Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 18 12.8 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 19 18 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 20 10 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 21 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 22 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 23 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 24 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 25 小结 变形前体积 = 变形后体积. 线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变. 长方形周长不变时，当且仅当长与宽相等时，面积最大. 等长和等积变形： Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 26 谢谢同学们的聆听 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 27 练习1 一个长方形的周长为 ，若这个长方形的长减少 ，就可成为一个正方形，设这个长方形的长为 ，可列方程为( ) A. B. C. D. 解析：因为这个长方形的长为 ，所以宽为 ，依题意得 .故选A. 练习2 用一个底面为 的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是 ， ， 的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了( ) A. B. C. D. 解析：设长方体容器中水的高度下降了 . 由题意得， ，解得 2， 所以长方体容器中水的高度下降了 .故选B. 练习3 一根内径为 的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为 、高为 的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了_________cm.（圆柱体积=底面积×高） 解析：设试管中的水的高度下降了 ， 由题意得 ,解得 . 所以试管中的水的高度下降了 . 练习4 用一根长为 的铁丝围成一个长方形，已知长比宽的1.5倍少 ，设长方形的宽为 ，则a的值为___________. 解析：由题意，得长方形的长为， 则有，解得 . 解析：设减去的小正方形的边长为 , 根据题意得： , 解得 , ∴该长方体盒子的高为 . 练习5 如图,把一个长为 ,宽为 的长方形硬纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形,再折成一个无盖的长方体盒子,使得该长方体盒子的底面周长是 ,则该长方体盒子的高为______ . 练习6 用一根 长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的1.5倍.长方形的长和宽各应是多少米？ 解：设长方形的宽是 ，则长是 . 根据题意，得 . 解得 . 所以 . 答：长和宽分别是 和 . 解：设杯子的高度为 . 根据题意,得 . 解这个方程,得 . 所以,杯子的高度是 . 练习7 好朋友给小亮过生日,如图,现有底面直径为 ,高为 的圆柱形容器,里面装满了果汁,小亮要把果汁分装到底面直径为 的 个小圆柱形杯子里(每个杯子刚好装满),与好友分享,请你帮他计算杯子的高度. 练习8 已知一个长方体合金的底面长为80，宽为40，高为60. （1）现要锻压成新的长方体，其底面是边长为40的正方形，则新长方体合金的高为多少？ 解：（1）设新长方体合金的高为x. 根据题意，得 ，解得 . 答：新长方体合金的高为120. 练习8 已知一个长方体合金的底面长为80，宽为40，高为60. （2）若将长方体合金锻压成圆柱体，其底面是直径为80的圆，则新圆柱体合金的高为多少？（π取3） 解：（2）设新圆柱体合金的高为y. 根据题意，得 ，解得 . 答：新圆柱体合金的高为40. $