5.3 一元一次方程的应用-第2课时 “盈不足”问题 课件 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的“盈不足”问题应用，以《九章算术》古题创设情境，通过问题链引导分析已知量与未知量，用表格梳理数量关系，搭建从方程解法到实际应用的学习支架。 其亮点在于融入传统文化激发兴趣，培养数学眼光中的抽象能力。通过表格分析法和设不同未知数体现算法多样化，发展数学思维的推理意识与模型意识，如对比算术与方程解法，助力学生提升问题解决能力，教师可借结构化流程高效教学。

第五章 一元一次方程 主题情境·探索《九章算术》之旅 5.3 一元一次方程的应用 第2课时 “盈不足”问题 七年级上│BS 1. 借助表格分析复杂问题中的数量关系，寻找等量关系，从而建立方程解决实际问题. 2. 对同一问题设不同未知数列出不同的方程，体会算法多样化. 学习目标 今有共买物 人出八，盈三. 人出七，不足四. 情境串新知 问题一： 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问人数、物价各几何? 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱. 合伙人数、物品的价格分别是多少? (1)问题中有哪些已知量和未知量? 已知量：第一次每人出的钱数、剩余的钱数、第二次每人出的钱数、 不足的钱数； 未知量：人数、第一次和第二次出钱总数、物价. 情境串新知 第一次每人出的钱数×人数=第一次出钱总数； 第二次每人出的钱数×人数=第二次出钱总数； 第一次出钱总数-剩余钱数=物价； 第二次出钱总数+不足钱数=物价. 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱. 合伙人数、物品的价格分别是多少? (2)它们之间有怎样的等量关系? 情境串新知 (3)设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗? 请完成下表. 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数 x 出钱总数 物价 利用表格分析数量关系是一种有效方法. 8x 8x-3 x 7x 7x+4 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱. 合伙人数、物品的价格分别是多少? 情境串新知 设人数为x. 根据等量关系，列出方程：___________________ . 解这个方程，得x=________. 因此，人数为_____，物价为________钱. 8x-3=7x+4 7 7 53 如果设物价为y钱，你能列出怎样的方程? (4)根据等量关系，你能列出怎样的方程? 情境串新知 有关量 每人出8钱 每人出7钱 物价 y 出钱总数 人数 y+3 y y-4 设物价为y钱. 根据等量关系，列出方程：_________________ . 解这个方程，得y=________. 因此，人数为_____，物价为________钱. 53 7 53 情境串新知 思考 如果每人出 9 钱，则会多出 7 钱，物价可能是 53 钱吗？为什么？ 解：设人数为x. 根据等量关系，列出方程：9x-7=53. 解这个方程，得x= . 因为人数不可能是分数， 所以物价不可能是 53 钱. 一定要检验方程的解是否符合实际！ 情境串新知 问题二： 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百. 问：人数、金价各几何? 题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱. 合伙人数、金价各是多少? 分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗? 有关量 每人出400钱 每人出300钱 人数 x 出钱总数 金价 400x 400x-3400 x 300x 300x-100 情境串新知 解：设合伙人数为x，则金价可表示为(400x-3400)钱，还可表示为(300x-100)钱，根据等量关系，列出方程： 400x-3400=300x-100. 解这个方程，得 x=33. 300×33-100=9800. 因此，人数为33，金价为9800钱. 方程的两边就是金价的两种不同的表达式. 情境串新知 思考·交流 (1)对于问题二，如果设金价为y钱，能列出怎样的方程? 有关量 每人出400钱 每人出300钱 金价 y 出钱总数 人数 y+3400 y y+100 情境串新知 解：设金价为y钱，则人数可表示为 或 ，根据等量关系，列出方程： 解这个方程，得 y=9800. 因此，人数为33，金价为9800钱. 情境串新知 思考·交流 (2)对于问题二，《九章算术》给出了一种算法： 人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价=每人出的钱数×人数-剩余钱数. 你能理解这种解法吗? 与方程的求解过程相比，有什么不同? 因为“第一次每人出的钱数×人数-第一次剩余的钱数”， “第二次每人出的钱数×人数-第二次剩余的钱数” 都表示金价， 所以第一次每人出的钱数×人数-第一次剩余的钱数= 第二次每人出的钱数×人数-第二次剩余的钱数， 即人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差. 情境串新知 《九章算术》给出的是算术解法. 算术解法的运算对象均是已知量，每一个运算步骤都有实际含义；所求的量作为已知量的一系列运算结果，只在最后出现. 与算术解法不同，方程解法的运算对象既包括已知量，也包括未知量，已知量和未知量平等参与运算，所求的量始终出现在运算过程之中. 实际上，算术方法就是把方程解法的过程用一个算式直接表达出来. 情境串新知 例 隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.问人、银各几何?(选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两.有多少个人?有多少两银子? 分析：①银子数=人数×每人分到的较少银子数+剩余银子数； ②银子数=人数×每人分到的较多银子数-不足银子数. 这里的“斤”“两”是我国古代质量单位，1斤=16两. 现代1斤=10两. 情境串新知 方法一：设人数为x. 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 x 分银子总数 银子数 7x 7x+4 x 9x 9x-8 解：设人数为x，则银子数可表示为(7x+4)两或(9x-8)两，根据等量关系，列出方程： 7x+4=9x-8. 解这个方程，得 x=6. 9×6-8=46. 因此，人数为6，银子数为46两. 情境串新知 方法二：设银子数为y两. 有关量 每人分7两 每人分9两 银子数 y 分银子总数 人数 y-4 y y+8 情境串新知 解：设银子数为y两，则人数可表示为 或 ，根据等量关系，列出方程： 解这个方程，得 y=46. 因此，人数为6，银子数为46两. 情境串新知 变式 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？ 解：设客房有x间，则房客可表示为(7x+7)人或(9x-9)人，根据等量关系，列出方程： 7x+7=9x-9. 解这个方程，得 x=8. 7×8+7=63. 因此，该店有客房8间，房客63人． 情境串新知 1.《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为(　　 ) A. 4x+2(94-x)=35 B. 4x+2(35-x)=94 C. 2x+4(94-x)=35 D. 2x+4(35-x)=94 D 随堂练习 B 2. 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为 2:3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为 4:5，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯 120 个，则乙桶内的果汁最多可装满大纸杯 (　　 ) A. 64 个 B. 100 个 C. 144 个 D. 225 个 随堂练习 3.(2025吉林)《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问车几何?其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少辆车?为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为_______________. 3(x-2)=2x+9 随堂练习 方法一：解:设小组成员共有x名，则计划作中国结的总数可表示为(6x-8)个或(5x+2)个，根据等量关系，列出方程： 6x-8=5x+2. 解这个方程，得 x=10. 6×10-8=52. 答:小组成员共有10名，他们计划做52个“中国结”. 4. 某小组计划做一批“中国结”，如果每人做6个，那么比计划多了8个；如果每人做5个，那么比计划少了2个.小组成员共有多少名？他们计划做多少个“中国结”? 随堂练习 方法二：解: 设计划做 y 个“中国结”，则小组成员人数可表示为 或 ，根据等量关系，列出方程： 解这个方程，得 y = 52. 答:小组成员共有10名，他们计划做52个“中国结”. 4. 某小组计划做一批“中国结”，如果每人做6个，那么比计划多了8个；如果每人做5个，那么比计划少了2个.小组成员共有多少名？他们计划做多少个“中国结”? 随堂练习 列一元一次方程 分配问题的解 (一元一次方程的解) “盈不足”问题 找等量关系 物品数=人数×人均物品数±多余(缺少)物品数 设未知数 根据 已知条件 解方程 注：一定要检验方程的解是否符合实际！ 课堂小结 null 26282.664 $