第1章 因式分解（单元自测卷）数学新教材湘教版八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦八年级上册第1章因式分解，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合几何直观、密码解码等真实情境，有效培养抽象能力与应用意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解概念、公因式、公式法|第1题辨析因式分解本质，第5题判断公式法适用性，夯实基础认知| |填空题|6/18|公因式提取、十字相乘、几何模型|第15题结合劳动基地面积计算，第16题融入杰曼合数历史背景，体现文化传承| |解答题|8/72|公式应用、分组分解、实际问题|第20题通过图形面积推导乘法公式发展几何直观，第22题以密码生成考查因式分解应用，第24题分组分解法强化推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第1章 因式分解 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 4．计算 等于（ ） A． B． C． D． 5．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（     ） A． B． C． D． 7．现有如图所示的甲、乙两种边长不同的正方形纸片和丙种长方形纸片若干张，小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需要取丙纸片的张数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 9．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 10．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 12．已知可分解因式为，其中，均为整数，则________，________． 13．请写一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是．符合要求的多项式可以是________． 14．若，，则_______． 15．如图，为宣城市某校七年级（1）、（2）班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示七（1）、（2）两个班级的基地面积．若，，则________． 16．阅读材料，并填空： 索菲·杰曼是18世纪法国著名女数学家，被誉为“数学花木兰”． 她猜想并证明了“（，且m为自然数）一定是合数”．为了纪念她的发现，后人称为杰曼合数．她的证明过程就是对二项式进行因式分解．此二项式既没有公因式可提，也不能直接利用公式．她发现该二项式可化为平方和形式：，与完全平方式“”对比，缺少了中间项“”．于是原式加上，为了不改变原式的值再减去，原式变为，化简得到（______），最后利用平方差公式再进行一次因式分解，可得______，由此得证：当且为自然数时，一定能化为两个非“1”整数乘积的形式，所以一定是合数． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（本题6分）因式分解 (1) (2) 18．（本题6分）若，，求的值． 19．（本题8分）一次课堂练习，嘉嘉同学做了如下四道因式分解的题目： ①；②； ③；④ (1)嘉嘉做错的或不完整的题目是______（填序号）； (2)把你选出（1）题中题目写出正确的解答过程． 20．（本题8分）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形（如图2所示）． (1)通过观察比较图1与图2中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________； (2)已知：，，求的值； (3)计算：． 21．（本题10分）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 22．（本题10分）阅读下面材料，并解决问题 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下： 对于多项式，分解因式的结果是．当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决 (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 23．（本题12分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 24．（本题12分）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第1章因式分解 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是() A.8m2m2=2m2.4n2 B.m(m-x)=m2-mx C.r+2x+1=(c+1)2 D.t-广+1=(x+0x-y)+1 2.将多项式6ry+3xy2-12ry 分解因式时，应提取的公因式是() A.-3x -3x2y B C.-3xy2 D.-3xy 3.已知m2=5n+6,n2=-5m+6,m+n≠0，则m2-2mn+n的值为() A.36 B.25 C.5 D.无法确定 4计室（-2m+(-2等于（) A.-22024 B.-22025· C.22024 D.-2 5.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是() A.-x2+162 B.-x2-2x-1 C.m22 1 D.-x2-y2 6.一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是() Ar-广=(x+x-) B.x2-2y+y2=(x-》2 c.xy-2=x(x-y) D.r-x=x(x2-） 7.现有如图所示的甲、乙两种边长不同的正方形纸片和丙种长方形纸片若干张，小明要用这三种纸片紧 密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需要取丙纸片的张数为( 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e 甲 丙 A.4 B.5 C.6 D.8 8.设三角形的三边ab、c满足a-b-c4-2bc2=0,则这个三角形的形状是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.无法确定 9.设M=20222-2021×2023,N=20222-4044×2023+20232,，则M与N的关系是() A.M>N B.M=N C.M<N D.M=±N 10.某课外密码研究小组接收到一条密文： 8x(m2-n2)-8y(m2-n2） 已知密码手册的部分信息如下表所 示： 密文 m-n m+n x-y x+y 8 明文 中 爱 国 美 我 丽 把密文 8x(m2-n2)-8ym2-n2 用因式分解解码后，明文可能是( A.我爱中国 B.美丽中国 C.我爱美丽 D.中国美丽 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.把多项式0+-)-)提取公因式x-少后，余下的部分是 12.已知（2x-23x-7)-(3x-7x-13B)可分解因式为Bx+a(x+),其中4，b均为整数，则a+36- ab= 13.请写一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是49a.符合要求的多项 式可以是 14.若2m+n=6,4m2-n2=24,则2m-n= 216 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，为宣城市某校七年级(1)、(2)班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n 的正方形，其中m>”,其中重叠部分P为池植，阴影都部分8、S分别表示七（①、（②）两个班级的基 地面积。若m+n=1B,m=0,则9-5 S 16.阅读材料，并填空： 索菲杰曼是18世纪法国著名女数学家，被誉为“数学花木兰”. 她猜想并证明了“m+4(m>1,且m为自然数)一定是合数”，为了纪念她的发现，后人称m+4为杰 曼合数.她的证明过程就是对二项式m+4进行因式分解.此二项式既没有公因式可提，也不能直接利用 公式.她发现该二项式可化为平方和形式： (m+2,与完全平方式“口2+2ab+B”对比，缺少了中间 项“2b”.于是原式加上2m2·2,为了不改变原式的值再减去2m2,2,原式变为 (m}+2m2+22-2m2:2,化简得到（一）24m2,最后利用平方差公式再进行一次因式分解，可 由此得证：当m>1且为自然数时，m+4一定能化为两个非“1”整数乘积的形式，所以 m+4 一定是合数. 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(本题6分)因式分解 a④2m3n-10mn 316 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(x+y2-4x2y 18.(本题6分)若a-b=1,ab=6,求ab-2ab2+ab的值. 19.(本题8分)一次课堂练习，嘉嘉同学做了如下四道因式分解的题目： ①-4r=x-2+20:②-4a=a(c-4) ③ry-g=g(x-),@2m2+4mm+2n=(2m+2m :④ (1)嘉嘉做错的或不完整的题目是一（填序号）； (2)把你选出(1)题中题目写出正确的解答过程. 20.(本题8分)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成 一个长方形（如图2所示）. a 图1 图2 (1)通过观察比较图1与图2中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (2)已知： x2-y2=8x+y=2 2,求-y的值 (3)计算：1002-992+982-972 21。(本题10分)材料：如何将++9)x+四型的式子分解因式呢： 我们知道x+px+g)=r+(p+g)x+p ，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例如：(+lx+2)=r+3x+22+3x+2=(c+10x+2) 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下 4/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项 的系数，如图： x2+3x+2=（x+1)(x+2) 这样，我们可以得到： 1×2+1×1=3 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将x2+5x+6分解因式的结果为： ②)若r+px-15利用十字相乘法可分解为+x+5)(a,p均为整数)，求a和p的值。 22.(本题10分)阅读下面材料，并解决问题 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种 利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下： 对于多项武-广，分解因式的结哭是(+少x+x-刊.当x=9,=9时， x2+y2=162x+y=18x-y=0 ,将162,18,0这三个数值按从大到小的顺序排 列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码. 问题解决 (1)按照上述方法，小军将多项式“x4-1”分解因式后利用x的数值设置密码，当x=10时，求所生成的密 码： ②根据上述方法，若将多项式(-2)+2x-》分解因式，则当=21，)=7时，生成的密码是多少？ 23.(本题12分》下面是某同学对多项式？-6x+10(女-6x+8)+'进行因式分解的过程. 解：设-6=y,则原武-+10+8)+1（第一步） =y2+18y+81 (第二步) 516 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-(心+9（第三步) =(x2-6x+9) (第四步) 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是」 A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解 的最后结果 (③)请你模仿以上方法尝试对多项式(：-2x(?-2x+2小+ 进行因式分解。 24.(本题12分)【阅读材料】要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组， 再把它的后两项分成一组，从而得am+am+bm+bn-(am+am)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b) 这种分解因式的方法称为分组分解法。 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】3x-18+y-6y= (2)【解决问题】因式分解：ab-bc+a2-c2: (3)【拓展应用】己知三角形的三边长分别为a,b,c,且满足a2-2ac+b2-2bc+2c2=0,试判断这个三 角形的形状，并说明理由. 616 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第1章 因式分解 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程，根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：A. 左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解； B. 变形是整式乘法，是从积到多项式的转化，不属于因式分解； C. 是将多项式化为整式的积的形式，属于因式分解； D. 右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解. 2．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将多项式分解因式时，应提取的公因式是． 3．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 5．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 6．一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，分解彻底，不符合要求； B选项：，分解彻底，不符合要求； C选项：，分解彻底，不符合要求； D选项：，其中仍可利用平方差公式继续分解为，因此该选项分解不彻底，符合题意． 7．现有如图所示的甲、乙两种边长不同的正方形纸片和丙种长方形纸片若干张，小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需要取丙纸片的张数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个． 先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可． 【详解】解：取甲纸片1张，取乙纸片9张， 面积为， 小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为，， 还需6张丙纸片． 8．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键． 把、、组合在一起，用完全平分公式分解因式，再与一起用平方差分解因式，根据因式的积为0，可得，用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∵a、b、c是三角形的三边， ∴ ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：A． 9．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出M、N的值，然后进行比较即可． 【详解】解： ， ， ． 10．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 【答案】A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：， ， ， ∵8对应明文“我”， 对应明文“爱”， 对应明文“中”， 对应明文“国”， ∴组合后明文可为“我爱中国”． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 【答案】 【详解】解： 把多项式提取公因式后，余下的部分是． 12．已知可分解因式为，其中，均为整数，则________，________． 【答案】 56 【分析】首先提取公因式，进而合并同类项得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵ ， ， ∴，， 故， ． 13．请写一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是．符合要求的多项式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平方差公式的结构特征，能利用平方差公式因式分解的多项式满足两项均为平方项，且两项符号相反，已知一项为，只需构造符号相反的另一项平方项即可得到符合要求的多项式； 【详解】解：能利用平方差公式因式分解的多项式，需符合的结构， 已知多项式有一项为，令，取，可得多项式为，该多项式符合要求； 故符合要求的多项式可以是 （答案不唯一） 14．若，，则_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 15．如图，为宣城市某校七年级（1）、（2）班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示七（1）、（2）两个班级的基地面积．若，，则________． 【答案】39 【分析】根据题意得到，再求出，再根据因式分解得到即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ． ． ∴ ， 又． ． 16．阅读材料，并填空： 索菲·杰曼是18世纪法国著名女数学家，被誉为“数学花木兰”． 她猜想并证明了“（，且m为自然数）一定是合数”．为了纪念她的发现，后人称为杰曼合数．她的证明过程就是对二项式进行因式分解．此二项式既没有公因式可提，也不能直接利用公式．她发现该二项式可化为平方和形式：，与完全平方式“”对比，缺少了中间项“”．于是原式加上，为了不改变原式的值再减去，原式变为，化简得到（______），最后利用平方差公式再进行一次因式分解，可得______，由此得证：当且为自然数时，一定能化为两个非“1”整数乘积的形式，所以一定是合数． 【答案】 【分析】第一空，利用完全平方公式把前面三项分解因式即可；第二空，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（本题6分）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．（本题6分）若，，求的值． 【答案】6 【分析】把提公因式后，再根据完全平方差公式分解因式得，最后把，代入化简后的式子计算即可得答案． 【详解】解： ， ，， ∴原式． 19．（本题8分）一次课堂练习，嘉嘉同学做了如下四道因式分解的题目： ①；②； ③；④ (1)嘉嘉做错的或不完整的题目是______（填序号）； (2)把你选出（1）题中题目写出正确的解答过程． 【答案】(1)②④ (2)②； ④ 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据提公因式法和公式法因式分解，进行判断即可； （2）根据提公因式法和公式法因式分解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉做错的或不完整的题目是； （2）略 20．（本题8分）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形（如图2所示）． (1)通过观察比较图1与图2中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________； (2)已知：，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2)4 (3)394 【分析】（1）根据题意可得图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，即可求解； （2）由（1）得：，即可求解； （3）利用（1）中的公式解答即可． 【详解】（1）解：图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为， ∴可以得到乘法公式为； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴ ∵， ∴， 即； （3）解： ． 21．（本题10分）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得， 均为整数， ， ． 22．（本题10分）阅读下面材料，并解决问题 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下： 对于多项式，分解因式的结果是．当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决 (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)所生成的密码为101119 (2)生成的密码是282114 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）先分解因式再求出当时各个式子的值，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先根据单项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，再把化简结果分解因式，并求出当，时，各个式子的值，从而求出密码． 【详解】（1）解：， 当时，，，， 将101，11，9从大到小排列为101，11，9，所以生成的密码是101119． 答：所生成的密码为101119． （2）解：， 当，时，，， 将28，21，14从大到小排列为28，21，14，所以生成的密码是282114． 答：生成的密码是282114． 23．（本题12分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底； (3) 【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可； （2）根据因式分解结果，结合完全平方公式进行判断即可； （3）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是两数和的完全平方公式； （2）解：该同学因式分解的结果不彻底； 设，则原式 ， ∴因式分解的最后结果为：． （3）解：设，则： ． 24．（本题12分）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到，，之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解：原式  ． （2）解：原式， ， ．                 （3）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第1章 因式分解（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B A D D C A B A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 56 13． 14．4 15．39 16． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 【详解】（1）解：；(3分) （2）解：（6分） 18．（6分） 【详解】解： ，（3分） ，， ∴原式．（6分） 19．（8分） 【详解】（1）解：嘉嘉做错的或不完整的题目是；（2分） （2） (2)②；（5分） ④（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为， ∴可以得到乘法公式为；（2分） （2）解：由（1）得：， ∵， ∴ ∵， ∴， 即；（5分） （3）解： ．（8分） 21．（10分） 【详解】（1）解：（2分） （5分） （2）解：由题意得，（7分） 均为整数， ， ．（10分） 22．（10分） 【详解】（1）解：，（3分） 当时，，，， 将101，11，9从大到小排列为101，11，9，所以生成的密码是101119． 答：所生成的密码为101119．（5分） （2）解：，（8分） 当，时，，， 将28，21，14从大到小排列为28，21，14，所以生成的密码是282114． 答：生成的密码是282114．（10分） 23．（12分） 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是两数和的完全平方公式；（2分） （2）解：该同学因式分解的结果不彻底； 设，则原式 ， ∴因式分解的最后结果为：．（7分） （3）解：设，则： ．（12分） 24．（12分） 【详解】（1）解：原式  ．（4分） （2）解：原式， ， ． （8分）                (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $