精品解析：广东广州天省实验学校2026-2027学年上学期八年级10月大练习试卷

数学练习 【时间：120分钟，满分150分】 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 花江峡谷大桥连接贵州安顺市关岭县和黔西南州贞丰县两岸，因跨越被誉为“地球裂缝”的花江大峡谷而得名，大桥全长，主桥跨径．如图，索塔的顶端、拉索与桥面围成的图形大致成三角形，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 三角形的内角和等于 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 2. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A. 3，4，2 B. 12，5，6 C. 1，5，9 D. 5，2，7 3. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，外角，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的中线，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 7. 以下四个三角形分别满足以下条件：①；②；③；④ ，其中是直角三角形的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A， B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m-1，2n)，则m与n的关系为（） A. m＋2n=1 B. m-2n=1 C. 2n-m=1 D. n-2m=1 10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ①②⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 已知等腰三角形有两条边的长分别为2cm，4cm，则它的周长为__________ 12. 如图，，在边上，，则的度数为___________． 13. 如图，在中，，平分，于点E，且，则________． 14. 如图，三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在图中的B'处．∠1＝24°，∠2＝80°，则∠B＝________度． 15. 如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____． 16. 如图，是边长为的等边三角形，点，Q分别从顶点A，B同时出发，点沿射线运动，点Q沿折线运动，且它们的速度都为．当点Q到达点A时，点随之停止运动．连接，设点P的运动时间为．当点Q从点C运动到点A的过程中，连接，则中点经过的路径长为______． 三、解答题（本大题有9道题，共86分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 已知△ABC的三边长分别为3、5、，化简． 18. 如图，点C、E、B、F在同一条直线上，于点B，于点E，，．求证：． 19. 如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上． （1）若，求的大小； （2）若，求的长． 20. 如图，已知中，，在上有一点D，延长，并在的延长线上取点E，使，连接． （1）作图：作的平分线，交于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 21. 如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． （1），，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 22. 如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，且，求的面积． 23. 【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直于的直线与过点B垂直于的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 （1）如图1，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是_____． （2）若是的“边垂角”，则与的数量关系是_____． （3）若是的“边垂角”，且． 如图2，已知，交于点E，，连接，且，，求证：； 24. 已知，平分，点A，B，C分别是射线上的动点（A，B，C不与点O重合），连接交射线于点D．设． （1）如图1，若，则： ①的度数为______； ②当时， ______． （2）如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 25. 如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； （3）如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若（其中为正数），则__________．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 【时间：120分钟，满分150分】 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 花江峡谷大桥连接贵州安顺市关岭县和黔西南州贞丰县两岸，因跨越被誉为“地球裂缝”的花江大峡谷而得名，大桥全长，主桥跨径．如图，索塔的顶端、拉索与桥面围成的图形大致成三角形，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 三角形的内角和等于 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性的实际应用，需结合每个选项对应的数学原理，分析大桥结构蕴含的数学道理． 【详解】解：索塔顶端、拉索与桥面形成三角形，大桥的这类结构利用了三角形三条边确定后形状与大小固定不变的特性，也就是三角形具有稳定性． 故选：A． 2. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A. 3，4，2 B. 12，5，6 C. 1，5，9 D. 5，2，7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．∵，故能构成三角形，符合题意； B．∵，故不能构成三角形，不符合题意； C．∵，故不能构成三角形，不符合题意； D．∵，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形三边的关系是解题的关键． 3. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高． 故选：D 4. 如图，中，，外角，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 由三角形的外角性质得到，由此求解即可． 【详解】解：，， ∴． 故选：B． 5. 如图，是的中线，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线与面积，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积为， ∴， 故选：D． 6. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 7. 以下四个三角形分别满足以下条件：①；②；③；④ ，其中是直角三角形的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查三角形的内角和定理：掌握三角形的内角和是解决问题的前提． 利用三角形的内角和定理分别求得最大角的度数，进一步判断即可． 【详解】解：①，， ，故不是直角三角形； ②，， 两式相加得，故是直角三角形； ③， ∴设，则 ∵ ∴， ∴ ∴三个内角为，故不是直角三角形； ④∵ ∴设， ∵ ∴， ∴ ∴，故是直角三角形， ∴是直角三角形的为②④共两个， 故选：B． 8. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．先证明，再由全等三角形的性质可得对应角，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 在和中， ， ， ， 则． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A， B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m-1，2n)，则m与n的关系为（） A. m＋2n=1 B. m-2n=1 C. 2n-m=1 D. n-2m=1 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， 根据题意作图知，OC为∠AOB的平分线， ∴CD=CE， ∵点C的坐标为(m-1，2n)且在第一象限， ∴CD=2n， CE= m-1． ∴m-1=2n，即m-2n=1 ． 故选B． 10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ①②⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BAD＝180°，又BE、AE都是角平分线，可以推出∠ABE+∠BAE＝90°，从而得到∠AEB＝90°，然后延长AE交BC的延长线于点F，先证明△ABE与△FBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE＝EF，然后证明△AED与△FEC全等，从而可以证明①②⑤正确，AB与CD不一定相等，所以③④不正确． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线， ∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC， ∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°， 故①小题正确； 如图，延长AE交BC延长线于F， ∵∠AEB＝90°， ∴BE⊥AF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， 在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AB＝BF，AE＝FE， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠F， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AD＝CF， ∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，故②小题正确； ∵△ADE≌△FCE， ∴CE＝DE，即点E为CD的中点， ∵BE与CE不一定相等 ∴BE与CD不一定相等，故③小题错误； 若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE， ∵AD与BC不一定相等， ∴BC与CE不一定相等，故④小题错误； ∵BF＝AB＝x，BE⊥EF， ∴BE的取值范围为0＜BE＜x，故⑤小题正确． 综上所述，正确的有①②⑤． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE⊥AF并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 已知等腰三角形有两条边的长分别为2cm，4cm，则它的周长为__________ 【答案】10cm 【解析】 【详解】解：∵2+2=4， ∴2cm不能作腰， ∴腰长是4cm， ∴周长=2+4+4=10 cm． 故答案为：10 cm． 12. 如图，，在边上，，则的度数为___________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，进而得到，再根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，平分，于点E，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，据此得到的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在图中的B'处．∠1＝24°，∠2＝80°，则∠B＝________度． 【答案】28 【解析】 【分析】结合图形，由三角形的外角性质可得∠2＝∠DFB＋∠B，∠DFB＝＋∠1，由折叠可得，∠B＝，结合已知条件∠2＝80°，∠1＝24°，可得关于∠B的方程，求解即可． 【详解】解：如图，设BC与交于点F， ∵∠2＝∠DFB＋∠B，∠DFB＝＋∠1，由折叠可得，， ∴∠2＝∠B＋＋∠1＝2∠B＋∠1， 又∵∠2＝80°，∠1＝24°， ∴80°＝2∠B＋24°， ∴∠B＝28°． 故答案为：28． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 15. 如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 16. 如图，是边长为的等边三角形，点，Q分别从顶点A，B同时出发，点沿射线运动，点Q沿折线运动，且它们的速度都为．当点Q到达点A时，点随之停止运动．连接，设点P的运动时间为．当点Q从点C运动到点A的过程中，连接，则中点经过的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得点Q从点C向点A运动时，点在的延长线上（初始位置为点B），设交于点N，过点Q作交于点M，证明是等边三角形，得到，则可证明；证明，得到，则可推出中点О在上，故当点Q从点C运动到点A的过程中，点O从线段的中点运动到点B处，据此可得答案． 【详解】解：∵点与点Q的运动速度相同，且同时出发， 又∵等边三角形中，， ∴点Q从点C向点A运动时，点在的延长线上（初始位置为点B） 如图所示，设交于点N，过点Q作交于点M， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵点与点Q的运动速度相同， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点N为的中点， ∴中点О在上， 当点Q与点C重合时，点与点B重合，此时点为的中点， 当点Q与点A重合时，此时点与点B重合， ∴当点Q从点C运动到点A的过程中，点从线段的中点运动到点B处， ∴点经过的路径长为． 三、解答题（本大题有9道题，共86分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 已知△ABC的三边长分别为3、5、，化简． 【答案】-3 【解析】 【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a， ∴5−3＜a＜3＋5， 解得：2＜a＜8， 故|a＋1|−|a−8|−2|a−2| ＝a＋1−（8−a）−2（a−2） ＝a＋1−8＋a−2a＋4 ＝−3． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，正确得出a的取值范围是解题关键． 18. 如图，点C、E、B、F在同一条直线上，于点B，于点E，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在与中 ∴， ∴． 【解析】 【分析】由，可得，由可得，再由，可得，即可证明，从而证明． 【详解】略 19. 如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上． （1）若，求的大小； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）先根据垂直以及直角三角形两锐角互余求出，再利用全等三角形对应角相等即可得到的大小； （2）利用全等三角形的性质得到，则，即可得到． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴， ∴ 20. 如图，已知中，，在上有一点D，延长，并在的延长线上取点E，使，连接． （1）作图：作的平分线，交于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1）解：作图，如下图所示： （2）证明：如图所示， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在与中 ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）以为圆心以任意长为半径画弧交于，交于；分别以点、为圆心以大于为半径画弧，两弧交于点；连接交于点，即为所求； （2）由，可得，由平分可得，即可证明，由全等三角形的性质即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． （1），，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） 解：，证明如下： 如图所示： 平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【小问1详解】 解 ，， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 略 22. 如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵， ∴由（1）可知，， ∴平分， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∵， ∴平分； （3）9 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，垂直的定义，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以的面积为9． 23. 【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直于的直线与过点B垂直于的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 （1）如图1，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是_____． （2）若是的“边垂角”，则与的数量关系是_____． （3）若是的“边垂角”，且． 如图2，已知，交于点E，，连接，且，，求证：； 【答案】（1） （2）或 （3） 证明：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ∵ ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，结合，再由线段的和差结合等量代换即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； 【小问2详解】 解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； 【小问3详解】 略 24. 已知，平分，点A，B，C分别是射线上的动点（A，B，C不与点O重合），连接交射线于点D．设． （1）如图1，若，则： ①的度数为______； ②当时， ______． （2）如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；② （2）存在，，33.75，45或123.75 【解析】 【分析】（1）①先根据角平分线的定义得，再结合平行线的性质，即可作答． ②先得，结合三角形内角和，得，即可作答． （2）先根据角平分线的定义得，然后进行分类讨论，①当在左侧时以及②当在右侧时，结合三角形内角和性质，以及角的运算，即可作答． 本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，三角形的内角和，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图1， ①，平分， ． ， ． ②当时， 则， ， ． 故答案为①；② 【小问2详解】 解：如图2，存在这样的x的值，使得中有两个相等的角． ，平分， ， ①当在左侧时： 若，则； 若， 则； 若， 则， 故． ②当在左侧时： ，且三角形的内角和为， 只有， 则． 综上所述，当，，或时，中有两个相等的角 25. 如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； （3）如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若（其中为正数），则__________．（用含的代数式表示） 【答案】（1） ，， ，， ， ， ， 又， ； （2） 过点F作于点G， 由（1）知， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点为中点； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解答本题的关键． （1）先利用直角三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定即可证明； （2）过点F作于点G，由（1）可知，得到，，进一步推得，从而可证，得到，最后根据即可得到答案； （3）根据（2）的思路，过点F作，交的延长线于点G，先证明，得到，，再证明，得到，最后利用，逐步推理即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点F作，交的延长线于点G， ，， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $