精品解析：广东省深圳市红岭大鹏华侨中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

红岭大鹏华侨中学2026-2027学年第一学期10月份学情调查 考试时长：90分钟 满分：100分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A中方程含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义，所以A不符合题意； 选项B中方程整理为，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程定义，所以B符合题意； 选项C中方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，所以C不符合题意； 选项D中方程展开化简得，即，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，所以D不符合题意． 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ∵， ∴原式． 3. 下列条件中，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质与矩形的判定定理是解决问题的关键．根据矩形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：A、平行四边形中，，可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形，不能使平行四边形成为矩形，故本选项不符合题意； B、平行四边形中，，由对角线相等的平行四边形是矩形，可证明平行四边形是矩形，故本选项符合题意； C、平行四边形中，，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形，不能使平行四边形成为矩形，故本选项不符合题意； D、平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定平行四边形是矩形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 【答案】C 【解析】 【分析】计算前两条线段之比与后两条线段之比，若二者相等，则这组线段是成比例线段，否则不是． 【详解】解：A、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； B、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； C、∵， ∴这组线段是成比例线段，符合题意； D、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意． 5. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 6. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，通过根与系数的关系求出和的值，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：A 7. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，得出种植花苗的长为，宽为，又因为种植花苗的面积为，故，即可作答． 【详解】解：∵在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，且种植花苗的面积为， ∴， 故选：C 8. 如图，将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是这四个正方形的对角线的交点，则图中四块阴影面积的总和是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形中心对称性，判断出每一个阴影部分的面积等于正方形面积的即可求解． 【详解】解：∵点、、、分别是这四个正方形的对角线的交点， ∴点、、、分别是正方形的中心． 设第一个正方形的中心为点,第二个正方形的一个顶点刚好与点重合， 连接和， ， 则在和中， 由， ∴， ∴， ∴阴影面积=， ∴ 每一个阴影部分的面积等于对应正方形面积的． ∵ 正方形边长为， ∴ 正方形面积为（平方厘米）， ∴ 一个阴影部分的面积为（平方厘米）， ∴ 四块阴影面积的总和为（平方厘米）． 故选D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 10. 如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 11. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，，则的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，从而，根据三角形外角的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 在菱形中，对角线，，则菱形的周长为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，利用菱形的性质结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图：在菱形中，对角线，，令对角线、相交于点， ， 则，，， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 13. 如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．当的面积等于四边形的面积的时，的值为_________秒． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及到了一元二次方程的求解，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．根据路程速度时间，表示出，，，根据面积等于面积的，可得面积等于面积的列方程求解即可． 【详解】解：根据路程速度时间得：，， 则， 的面积等于四边形的面积的， 面积等于面积的， ， 即， 解得． 当秒时，的面积等于四边形的面积的． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： ，， ∴，.； 【小问3详解】 解： 开方得 解得或 ∴，． 15. 如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴，， ∵， ， ∴． 16. 如图，已知在正方形中，是上的一点，且，是的中点．求证：． 【答案】 证明：设正方形的边长为， 则． 是的中点， ， ， ，， ． 又， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 设正方形的边长为，算出的值，的值，得到，即可证明； 【详解】略 17. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】（1） 解：∵ ， ∴方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，再由平行线的性质结合角平分线的性质得到，等角对等边可得，即可得证； （2）由菱形的性质可得，，，再根据勾股定理可得的长，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是菱形， ，，． ， ， ， 菱形的面积是． 19. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 （1）任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）75元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意，得出1月份的销售量3月份销售量，列出方程求解即可； （2）设每件售价为元，根据单件利润销售量总利润，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每件售价为元， 依题意，得， 解得：，； ∵为了尽快减少库存 ， 答：每件售价应为75元． 20. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 【答案】（1） 证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，三角形中位线，正切函数的应用，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭大鹏华侨中学2026-2027学年第一学期10月份学情调查 考试时长：90分钟 满分：100分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 5. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 7. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是这四个正方形的对角线的交点，则图中四块阴影面积的总和是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 将一元二次方程化为一般式为______． 10. 如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是______． 11. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，，则的大小是______． 12. 在菱形中，对角线，，则菱形的周长为____________． 13. 如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．当的面积等于四边形的面积的时，的值为_________秒． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解下列方程： （1） （2） （3） 15. 如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 16. 如图，已知在正方形中，是上的一点，且，是的中点．求证：． 17. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 19. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 （1）任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 20. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $