精品解析：广东惠州市惠城区惠泽学校2026-2027学年第一学期九年级数学学情自测卷

2026—2027学年第一学期九年级上册数学月考卷 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，1，3 B. 1，，3 C. ，1，3 D. ，1， 3. 下列各未知数的值是方程的解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 6. 若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 7. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 8. 十九大以来，中央把扶贫开发工作纳入“四个全面”战略并着力持续推进，据统计2015年底的某省贫困人口约484万，截至2017年底，全省贫困人口约210万，设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，则下列方程正确的是（　　） A. 484（1﹣2x）=210 B. 484x2=210 C. 484（1﹣x）+484（1﹣x）2=210 D. 484（1﹣x）2=210 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 若一元二次方程可以通过配方写成的形式，则可以配成（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是_______． 12. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 13. 若方程的两根互为相反数，则________． 14. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 15. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如．若，则_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）． （2）． 17. 按要求完成下面各题． （1）用一根长的铁丝折成一个斜边长为的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长； （2）如图，用长的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的一面靠墙（墙足够长），求的长． 18. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标为_______； （2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点画出该抛物线； x … … y … … （3）当时，函数值y的取值范围为______． 四、解答题（二）：本题共3小题，每小题8分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 20. 某学校在校师生及工作人员共600个人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后共有64个人患了该病． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）如果不及时控制，第三轮传染后学校还有多少个人未被传染（第三轮传染后仍未有治愈者）？ 21. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 五、解答题（三）：本题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 在数学研究课上，李明发现了一个现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． （1）若实数a，b满足，，且，求的值； （2）若实数p，q满足，，且，求的取值范围． 23. 如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ （2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级上册数学月考卷 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 【详解】解：．，含2个未知数，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； ．，是一元二次方程，故该选项符合题意； ．，的分母中含未知数，是分式方程，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； ．，的最高次数是1，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，1，3 B. 1，，3 C. ，1，3 D. ，1， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 3. 下列各未知数的值是方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分别把四个数代入方程，使方程左右两边相等的未知数的值即为方程的解，通过计算只有x=-1符合要求，故选B. 4. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合开口向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，又因为抛物线上有三个点，，，且，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线上有三个点，，， 则 ∵， ∴ 故选：B 7. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 8. 十九大以来，中央把扶贫开发工作纳入“四个全面”战略并着力持续推进，据统计2015年底的某省贫困人口约484万，截至2017年底，全省贫困人口约210万，设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，则下列方程正确的是（　　） A. 484（1﹣2x）=210 B. 484x2=210 C. 484（1﹣x）+484（1﹣x）2=210 D. 484（1﹣x）2=210 【答案】D 【解析】 【分析】这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据等量关系“2015年贫困人口×（1-下降率）2=2017年的贫困人口”，列出方程即可. 【详解】这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得： 484（1﹣x）2=210， 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，根据二次函数的性质得对称轴为直线，可判断C；再由二次函数的性质和一次函数的性质对、的符号进行逐项判断，即可求解；掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 对称轴为直线，当时，则有，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故C错误，不符合题意； A．由抛物线的图象得，顶点坐标为，且，所以一次函数交y轴于正半轴，且经过第一、二、四象限，故此项符合题意； B．由抛物线的图象得，由一次函数图象得，符号不一致，故此项错误，不符合题意； D．由一次函数图象得，，则由抛物线的顶点坐标可知，所以前后矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 10. 若一元二次方程可以通过配方写成的形式，则可以配成（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知方程的配方形式得的值与的数量关系，再对目标方程配方代入求解． 【详解】解： ， ∵一元二次方程可以通过配方写成的形式， ∴； ，即． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是_______． 【答案】答案不唯一，y=x2-2． 【解析】 【分析】二次函数的解析式是y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据开口向上得出a为正数，根据与y轴的交点坐标为（0，-2）得出c=-2，写出一个符合的二次函数即可． 【详解】答案不唯一，如：y=x2-2， 故答案为：y=x2-2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键． 12. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会名同学． 由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会名同学． 故答案为：． 13. 若方程的两根互为相反数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案. 【详解】∵两根互为相反数， ∴根据韦达定理得：m² - 1 = 0， 解得：m = 1 或 m = -1 当 m = 1 时,方程是 x² + 1 = 0 没有实数根 当 m = -1 时,方程是 x² - 1 = 0 有两个实数根 所以 m = -1 故答案为-1 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=，x1x2=，熟练掌握韦达定理并进行检验是否有实数根是解题关键. 14. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如．若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据新定义，分和两种情况列方程求解，验证后得到符合条件的． 【详解】解：分两种情况讨论：当时， ∵， ∴， 解得或， 当时，，不符合，舍去； 当时，，符合条件； 当时， ∵， ∴， 解得或， 当时，，不符合，舍去； 当时，，符合条件； 综上，或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）把去括号、移项、合并同类项后因式分解，再解出即可． （2）把移项、合并同类项得，再根据公式法计算即可． 【小问1详解】 解： 去括号得：， 移项合并得：， 因式分解得：， 或， ，． 【小问2详解】 解： 移项合并得： ∵， ∴， ∴，． 17. 按要求完成下面各题． （1）用一根长的铁丝折成一个斜边长为的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长； （2）如图，用长的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的一面靠墙（墙足够长），求的长． 【答案】（1）、 （2）或 【解析】 【分析】（1）先设直角边，利用周长写出两边表达式，再根据勾股定理列一元二次方程，最后解得直角边为、； （2）设，根据围栏总长度写出底边表达式，利用面积列方程，求得长为或． 【小问1详解】 解：这个直角三角形的其中一条直角边长为，则另一条直角边长为． 根据题意得， 整理得，即， 解得． 答：这个直角三角形的直角边长为、． 【小问2详解】 解：设的长为． 根据题意得， 整理得，即， 解得． 检验：当时，，成立； 当时，，成立． 答：的长为或． 18. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标为_______； （2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点画出该抛物线； x … … y … … （3）当时，函数值y的取值范围为______． 【答案】（1）直线， （2）解：列表如下： x … … y … … 描点连线： （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点式直接填空； （2）由（1）中抛物线的顶点坐标在对称轴的两侧分别取x的值，得出其对应的y的值，描出各点，画出函数图象即可． （3）根据图象回答问题即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线的关系式是， ∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，函数值y的取值范围为：. 四、解答题（二）：本题共3小题，每小题8分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，完全平方公式，解不等式等，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）利用根据的判别式列出不等式，然后求解即可； （2）利用根与系数的关系列出代数式，利用完全平方公式进行整理化简，然后求解分式方程即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， 且， 解得， 的取值范围为且； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，，， ， 即， 解得或， 经检验，，都是原分式方程的解， 由（1）可得，且 ． 20. 某学校在校师生及工作人员共600个人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后共有64个人患了该病． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）如果不及时控制，第三轮传染后学校还有多少个人未被传染（第三轮传染后仍未有治愈者）？ 【答案】（1）7个人 （2）88个人 【解析】 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64个人患了该病列出方程，解方程即可； （2）先算出被传染的人数，然后用总人数减去被传染的人数即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． 【小问2详解】 解：第三轮传染后可以传播的人数为： （人）， 第三轮传染后学校还剩未被传染的人数为： （人）， 答：第三轮传染后学校还剩未被传染的人数为88人． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，解方程即可． 21. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据增长率问题列方程，解方程，即可求解； （2）根据等量关系式：涨价后每个头盔的利润涨价后的销售量元，据此列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得 ， 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去． 故， 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 五、解答题（三）：本题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 在数学研究课上，李明发现了一个现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． （1）若实数a，b满足，，且，求的值； （2）若实数p，q满足，，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）实数a，b可以看作关于的一元二次方程的两个实数根，则由根与系数的关系可得，再把所求式子通分并利用整体代入法求解即可； （2）根据题意可得，；可以看作关于的一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系可得，则可推出，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵实数a，b满足，，且， ∴实数a，b可以看作关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 又∵，且 ∴可以看作关于的一元二次方程的两个实数根， 把方程化为一般式得 ∴由根与系数的关系可得， ∴ ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ （2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】（1）经过或后、两点之间的距离是 （2）经过秒或秒的面积为． 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键． （1）如图，过点P作于E，设x秒后，利用勾股定理得出即可． （2）分类讨论：①当点P在上时；②当点P在边上；③当点P在边上时，根据面积列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得： ，即， ∴， ∴，； ∴经过或后、两点之间的距离是； 【小问2详解】 连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $