精品解析：江苏溧阳市光华高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

溧阳光华高级中学 2026-2027学年高三年级第一学期 数学学科第一次月考 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 3. 已知，则在下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（），若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知，则（ ） A. B. 此二项展开式系数最大的项为第4项 C. 此二项展开式的二项式系数和为32 D. 7. 已知，函数的图象在点处的切线均经过坐标原点O，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在上恰有两个零点，且其图象关于点和直线对称，当时，的最大值与最小值的乘积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 幂函数满足时，，则的值可以是（ ） A. B. 3 C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5 B. 在回归分析中，可用决定系数判断模型拟合效果，越小，模型的拟合效果越好 C. 若变量服从，，则 D. 将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 11. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（即每个感染者7天内感染3人），则下列说法正确的是（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（ ） A. 第5轮新增感染人数为243 B. 由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为 C. 感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染 D. 感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要49天 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角的对边分别为，若，，，则______． 13. 在上的极小值点为______． 14. 若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2； （2）与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． 16. 如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？ 17. 已知数列的前项和为，，且当时，， （1）证明：数列是等差数列； （2）设数列满足，求的值. 18. 在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. （1）设，.求证：是实数； （2）已知，，，求的值； （3）设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 19. 如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 溧阳光华高级中学 2026-2027学年高三年级第一学期 数学学科第一次月考 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数， . 3. 已知，则在下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，令，可得，故A错误， 对于B，由题意得，而，得到， 则，得到，而， 可得，由二次根式性质得， 得到成立，故B正确， 对于C，令，可得，故C错误， 对于D，令，可得，故D错误. 4. 已知函数（），若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得在区间上恰有5个实根，由求出的范围，然后作出和的图象，结合图象求解即可. 【详解】由，得， 因为方程在区间上恰有5个实根， 所以在区间上恰有5个实根， 由，得， 作出和的图象， 由图可知当时，在区间上恰有5个实根， 解得， 即的取值范围是为. 故选：A 5. 已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给条件转化，利用均值不等式求最小值，再解关于的不等式，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以整数可取、，共个. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. 此二项展开式系数最大的项为第4项 C. 此二项展开式的二项式系数和为32 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：计算出第4项的系数可得其小于0，再计算出第1项的系数可得其大于0，可得其错误；对C：借助二项式系数和为计算即可得；对D：借助赋值法，令代入计算后结合即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，即第4项的系数为， 令，有，故B错误； 对C：，故此二项展开式的二项式系数和为，故C错误； 对D：令，则，又， 故，故D正确. 故选：D. 7. 已知，函数的图象在点处的切线均经过坐标原点O，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对AB，利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合切线过原点列式可得，可判断；对CD，作函数与的图象，设交点分别为，，，过点B作x轴的平行线与（）的图象交于D，E两点，由图可得，运算得解. 【详解】对于AB，由题意知，则曲线在点（）处的切线的斜率， 又，即，故A，B错误； 对于CD，作函数与的图象如图， 设交点分别为，，， 过点B作x轴的平行线与（）的图象交于D，E两点， 则，， 由的函数图象可知， 即，所以，故C错误，D正确. 故选：D. 8. 已知函数，若在上恰有两个零点，且其图象关于点和直线对称，当时，的最大值与最小值的乘积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的最小正周期为T，结合在上恰有两个零点，可确定的范围，再根据函数的对称性，求出，即可确定，继而确定，根据，结合正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】设的最小正周期为T，在上恰有两个零点， 则，即； 又的图象关于点和直线对称， 则，且， 两式相减，可得，则 结合，可得，故，， 此时，解得 结合，可得时，；时，； ① 当时，，则，符合题意， 由时，可得， 则当，即时，， 当，即时，， 故的最大值与最小值的乘积为； ② 当时，，此时，符合题意， 由时，可得， 则当，即时，， 当时，即时，， 故的最大值与最小值的乘积为； 综上可知，的最大值与最小值的乘积为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 幂函数满足时，，则的值可以是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题中条件，确定幂函数在上单调递增，进而可得结果. 【详解】因为幂函数满足时，， 所以幂函数在上单调递增， 因此，故AD错，BC正确； 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5 B. 在回归分析中，可用决定系数判断模型拟合效果，越小，模型的拟合效果越好 C. 若变量服从，，则 D. 将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的计算方程，可得答案；对于B，结合拟合的定义，可得答案；对于C，根据正态分布的对称性，可得答案；对于D，利用方差的计算，可得答案. 【详解】对于A，数据2、3、3、4、5、7、7，8、9、11共10个数，因为，因此，这组数据的第80百分位数为，故A正确， 对于B，在回归分析中，可用决定系数的值判断模型拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故B错误； 对于C，因为变量服从，，则，故C正确； 对于D，不妨设两层的样本容量分别为m，n，总样本平均数为，则，易知只有当，时，有，故D错误. 故选：AC. 11. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（即每个感染者7天内感染3人），则下列说法正确的是（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（ ） A. 第5轮新增感染人数为243 B. 由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为 C. 感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染 D. 感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要49天 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得第轮感染人数成等比数列，求得其通项公式为，前项和为，再逐一判断即可. 【详解】设第轮感染人数为， 由题意可知数列为等比数列，其首项，公比， 所以， 对于A,当时，，故A正确； 对于B，由题意可得， 所以由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为，故B错误； 对于C，由B可知由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为， 令， 得， 又因为，， 又， 所以， 即感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染，故C正确； 对于D，令， 得， 因为，， 所以， 所以感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要7轮，约需要天，故D正确. 故选:ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角的对边分别为，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：正弦定理得到，从而得到； 法二：由余弦定理得到，再由余弦定理得到，从而得到. 【详解】法一：因为，所以．又因为，且，所以． 法二：由，得，解得或（舍去）． 所以，又因为，所以． 故答案为：. 13. 在上的极小值点为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极值，进一步得出极值点即可． 【详解】因为， 所以，令，得或， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以时，取极小值，即极小值点为， 故答案为：． 14. 若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，求出，然后将求的最大值问题转化为求的最大值问题，数形结合即可得答案. 【详解】由题意得设，， 所以，则， 由于是圆上的点， 所以， 所以，解得，即， 所以，如图， 所以的最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2； （2）与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，且，由此即可得解. （2）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，将点代入即可得解. 【小问1详解】 因为双曲线的焦点在轴上， 故设满足题意的双曲线的标准方程为， 又因为双曲线的渐近线方程为，两顶点之间的距离为2， 所以，解得， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 因为所求双曲线方程与双曲线有共同的渐近线， 故设满足题意的双曲线的标准方程为， 又因为所求双曲线经过点， 所以，解得， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 16. 如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？ 【答案】 这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，本公理强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替 “有且只有一个”，否则就没有表达存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词，也就是存在性和唯一性这两个方面的，这个术语今后学习中会经常出现． 【解析】 【详解】略 17. 已知数列的前项和为，，且当时，， （1）证明：数列是等差数列； （2）设数列满足，求的值. 【答案】（1） 因为，所以，则， 因为，易知，所以， 又，所以数列是首项与公差都为2的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，两边同时除以（），得，从而得证； （2）利用（1）中结论求得，再分类讨论与两种情况，求得与，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则， 当时，； 当时，， 所以， 所以. 18. 在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. （1）设，.求证：是实数； （2）已知，，，求的值； （3）设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 【答案】（1） 证明：设，， 所以，， 因为，，所以，且， 所以是实数； （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，，列等式即可求解； （3）设复数，利用三角函数有界性即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 因为，， 所以，所以①， 又， 所以②， 联立①②，解得，， 所以； 【小问3详解】 因为，设， 则， 因为，所以， 所以，. 19. 如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，求． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质结合已知条件得出相关边、角关系，利用折叠的性质结合已知条件得出三角形全等，最后利用余弦定理构造方程求解． 【详解】已知在平行四边形中，，，， ，，， 三角形沿翻折得到三角形，交于， ，， ，，， ， ，设，则，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $