3.2.4　奇偶性的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

奇偶性的应用 第三章 3.2　3.2.4　奇偶性的应用 索引 课时精练 一、利用奇偶性求函数解析式 二、奇(偶)函数的单调性及其应用 课堂达标 内容索引 利用奇偶性求函数解析式 一 (1)(链接教材P86习题3.2T11)函数f(x)是R上的偶函数,且当x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)=____________.  例1 x(x+1) 设x>0,则-x<0, 所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1). 因为函数f(x)为R上的偶函数, 故当x>0时,f(x)=f(-x)=x(x+1), 即x>0时,f(x)=x(x+1). 4 (2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式. ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 由f(x)+g(x)=,① 用-x代替x,得f(-x)+g(-x)=, ∴f(x)-g(x)=,② (①+②)÷2,得f(x)=; (①-②)÷2,得g(x)=. 5 1.已知某区间上函数的解析式,求对称区间上的解析式:在所求区间设出变量x,将x转化为-x(已知区间),应用奇(偶)函数的定义,推导出所求区间上的解析式. 2.已知函数f(x),g(x)组合运算与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解. 提醒　若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0. 思维升华 6 (1)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数,则g(x)= A. B.- C. D.- 训练1 √ 由于f(x)= 当x<0时,-x>0, 此时f(x)=g(x),且f(-x)=. 又f(x)是定义在R上的奇函数, 所以当x<0时,g(x)=f(x)=-f(-x)=-. 7 (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x2-x,则函数f(x)的解析式是 ________________________.  设x>0,则-x<0, 则f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x. 又f(x)是R上的奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=x2-x. 又∵函数的定义域为R,∴f(0)=0, 综上可知f(x)= 8 奇(偶)函数的单调性及其应用 二 9 探究1 根据奇函数与偶函数的图象特点,如果奇函数在(-2,-1)上单调递减,那么它在(1,2)上的单调性如何?如果偶函数在(-2,-1)上单调递减,那么它在(1,2)上的单调性如何? 提示　奇函数在(1,2)上单调递减;偶函数在(1,2)上单调递增. 10 探究2 已知函数f(x)在(-2,-1)上的最大值为M,最小值为m,请根据奇函数与偶函数的图象特点回答:如果f(x)为奇函数,那么它在(1,2)上的最值情况如何?如果f(x)为偶函数,那么它在(1,2)上的最值情况又如何? 提示　若f(x)为奇函数,则f(x)在(1,2)上的最小值为-M,最大值为-m;若f(x)为偶函数,则f(x)在(1,2)上的最大值为M,最小值为m. 11 1.奇、偶函数的单调性 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上单调递增,则f(x)在[-b,-a]上____________,即在对称区间上单调性__________________. (2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上单调递增,则f(x)在[-b,-a]上____________,即在对称区间上单调性______. 知识梳理 单调递增 一致(相同) 单调递减 相反 12 2.奇、偶函数的最值 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上有最大值为M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值为_____. (2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上有最大值为N,则f(x)在[-b,-a]上有最大值为___. -M N 13 √ (链接教材P87习题3.2T12)已知函数y=f(x)是在区间[0,2]上单调递增的偶函数,设a=f(-2),b=f(0),c=f(-1),则 A.b<c<a B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a 例2 由于y=f(x)为偶函数, 因此a=f(-2)=f(2),c=f(-1)=f(1), 又函数y=f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以f(0)<f(1)<f(2),即b<c<a. 角度1　比较大小 14 思维升华 1.自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小. 2.自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. 15 已知f(x)是奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是 A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) √ 训练2 ∵函数f(x)为奇函数, 且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, ∴f(x)在R上单调递增, ∴f(-1)<f(-0.5)<f(0). 16 (1)奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,不等式f(2x+1)+f(2-x)<0的解集是____________.  例3 角度2　求解函数不等式 (-∞,-3) 因为f(x)是R上的奇函数, 由于f(2x+1)+f(2-x)<0, 所以f(2x+1)<f(x-2). 又y=f(x)在R上单调递增,所以2x+1<x-2,解得x<-3. 故原不等式的解集为(-∞,-3). 17 (2)定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)单调递减.若g(1-m)<g(m)成立,则m的取值范围是____________________.  　 ∵g(x)在[-2,2]上是偶函数, 且当x≥0时,函数g(x)单调递减. 因此g(1-m)<g(m)等价于g(|1-m|)<g(|m|)等价于 解得-1≤m<. 故m的取值范围为. 18 思维升华 1.解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化为两个函数值的大小关系. 2.利用单调性脱去符号“f”,转化为简单的不等式(组)求解. 19 设函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(1)=1,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则不等式f(2-x)>1的解集为________________________.  训练3 (-∞,1)∪(3,+∞) 因为y=f(x)在R上是偶函数,且f(1)=1. 由f(2-x)>1,得f(|x-2|)>f(1), 又当x≥0时,函数y=f(x)单调递增, 故|x-2|>1,解得x<1或x>3. 20 【课堂达标】 1.如果奇函数f(x)在区间[-3,-1]上单调递增且有最大值5,那么函数f(x)在区间[1,3]上 A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5 C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5 √ ∵f(x)为奇函数, ∴f(x)在[1,3]上的单调性与[-3,-1]上一致且有最小值-5, 2 3 4 1 2.已知偶函数f(x)在[0,π]上单调递增,则下列关系式成立的是 A.f(-π)>f>f(2) B.f(2)>f>f(-π) C.f(-π)>f(2)>f D.f>f(2)>f(-π) √ 因为函数f(x)是偶函数, 所以f(-π)=f(π),f=f, 又因为f(x)在[0,π]上单调递增, 所以f(π)>f(2)>f, 则f(-π)>f(2)>f. 2 3 4 1 3.已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x-1,则当x<0时,f(x)=____________.  当x<0时,-x>0,f(-x)=-x-1. 由奇函数的性质可知,当x<0时, f(x)=-f(-x)=-(-x-1)=x+1. x+1 2 3 4 1 4.已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,若f(x+1)≤0,则x的取值范围是________________________.  因为偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,所以f(-2)=f(2)=0, 则不等式f(x+1)≤0,等价为f(|x+1|)≤f(2),则|x+1|≥2,解得x≤-3或x≥1. {x|x≥1,或x≤-3} 2 3 4 1 【课时精练】 √ A.-1 B.1 C.0 D.2 当x<0时,-x>0, ∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 即ax2-bx=-x2-x. 解之得a=-1,b=1,故a+b=0. 1.已知函数f(x)=为奇函数,则a+b等于 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.若奇函数f(x)在区间[2,5]上单调递增,且最大值为6,则f(x)在区间[-5,-2]上 A.单调递增,且最小值为-6 B.单调递增,且最大值为-6 C.单调递减,且最小值为-6 D.单调递减,且最大值为-6 若奇函数f(x)在区间[2,5]上单调递增,且最大值为6,即f(5)=6, 则f(x)在区间[-5,-2]上单调递增,且f(x)的最小值为f(-5)=-f(5)=-6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,y=f(x)的图象如图所示,则下列关系正确的是 由于函数y=f(x)是偶函数, 所以f(-2)=f(2),又根据函数图象, 得f(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴f(1)>f(2)>f(3),则f(1)>f(-2)>f(3). A.f(1)>f(-2)>f(3) B.f(3)>f(1)>f(-2) C.f(1)>f(3)>f(-2) D.f(-2)>f(1)>f(3) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有 A.最大值- B.最大值 C.最小值- D.最小值 法一　当x<0时,f(x)=x2+x=-, 所以f(x)有最小值-, 因为f(x)是奇函数, 所以当x>0时,f(x)有最大值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 法二　当x>0时,-x<0, 所以f(-x)=-x(1-x). 又f(-x)=-f(x), 所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-+, 所以当x>0时,f(x)有最大值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减.若x1<0且x1+x2>0,则 A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2) C.f(-x1)<f(-x2) D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定 由x1<0,且x1+x2>0,得x2>-x1>0. 因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x2)<f(-x1), 又f(x)是R上的偶函数,所以f(-x2)=f(x2), 所以f(-x2)<f(-x1),故A正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.函数f(x)=的图象大致为 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 函数f(x)=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 所以f(-x)===f(x), 所以函数f(x)为偶函数,故排除选项B,C; 当x>0时,f(x)==x-, 又y=x在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故选项D符合,排除A.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+x+a-2,则 A.a=2 B.f(2)=2 C.f(x)是R上的增函数 D.f(-3)=-12 √ √ √ 依题意,f(0)=a-2=0,得a=2,经检验满足题意,A正确; 由A结论知,当x≥0时,f(x)=x2+x,f(2)=6,B错误; 当x≥0时,f(x)=x2+x在[0,+∞)上单调递增,又由函数f(x)是R上的奇函数,则f(x)在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)是R上的增函数,故C正确; f(-3)=-f(3)=-9-3=-12,故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.函数f(x)在R上为偶函数,且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=____________.  +1 ∵f(x)为偶函数,x>0时,f(x)=+1, ∴当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=+1, ∴当x<0时 ,f(x)=+1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在[0,5]上的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为____________.  (2,4),(-4,-2) 根据图象可得f(x)在[0,5]上的单调递增区间为(0,2),(4,5),单调递减区间为(2,4), 又函数f(x)为奇函数,由奇函数在对称的区间上单调性相同,得f(x)在[-5,0]上的单调递增区间为(-2,0),(-5,-4),单调递减区间为(-4,-2). 所以f(x)在定义域[-5,5]上的单调递减区间为(2,4),(-4,-2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是____________.  (-1,3) ∵f(x)为偶函数,∴f(x-1)=f(|x-1|), 又f(2)=0,f(x-1)>0, ∴f(|x-1|)>f(2). ∵|x-1|,2∈[0,+∞), 且f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|x-1|<2,即-2<x-1<2, ∴x的取值范围为(-1,3). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.已知函数f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+x. (1)当x<0时,求f(x)的解析式; 当x<0时,-x>0, 则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x. 又由f(x)是R上的奇函数, 则f(x)=-f(-x)=-x2+x. 故f(x)=-x2+x(x<0). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)若f(1+a)+f(2a)>0,求实数a的取值范围. 当x≥0时,f(x)=x2+x=-, 则f(x)在[0,+∞)上单调递增, 又由f(x)是R上的奇函数, 则f(x)在(-∞,0)上也单调递增, 故f(x)在R上为单调递增函数,且f(x)为奇函数, 又因为f(1+a)+f(2a)>0,所以f(1+a)>f(-2a),所以a+1>-2a. 解得a>-,即a的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是 A.f(-1)=0 B.f(x)的最大值为 C.f(x)在(-1,0)上单调递增 D.f(x)>0的解集为(-1,1) √ √ f(x)是定义在R上的偶函数, 且f(x)=x-x2(x≥0), ∴f(-1)=f(1)=0,A正确; 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 又x≥0时,f(x)=-+≤, 根据偶函数的对称性可知, f(x)的最大值为,B正确; 当x≥0时,f(x)=x-x2, 故当x<0时,f(x)=-x-x2,在(-1,0)上不单调,C错误; 当x≥0时,f(x)=x-x2>0,得0<x<1. 从而在R上,f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1),D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若f(-3)=0,则<0的解集为__________________.  {x|-3<x<0,或x>3} ∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增, ∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. ∴f(3)=f(-3)=0. 当x>0时,由f(x)<0,解得x>3; 当x<0时,由f(x)>0,解得-3<x<0. 故所求解集为{x|-3<x<0,或x>3}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数g(x)的定义域. 由题意可知 所以<x<, 故函数g(x)的定义域为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)若f(x)为奇函数,并且在定义域上是减函数,求不等式g(x)≤0的解集. 由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,所以f(x-1)≤-f(3-2x). 因为f(x)为奇函数,所以f(x-1)≤f(2x-3). 而f(x)在(-2,2)上是减函数, 所以 解得<x≤2.所以不等式g(x)≤0的解集为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域都是R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3,则 A.[f(x)]2-3g(x)是偶函数 B.f(x)=-x C.g(x)=2x2+1 D.g(2)=4 √ √ √ 令F(x)=[f(x)]2-3g(x), 因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以F(-x)=[f(-x)]2-3g(-x)= [-f(x)]2-3g(x)=[f(x)]2-3g(x)=F(x), 所以F(x)=[f(x)]2-3g(x)是偶函数,故A正确; 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 因为2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3,① 所以2f(-x)+3g(-x)=-2f(x)+3g(x)=6x2+2x+3,② 由①②,得f(x)=-x,g(x)=2x2+1,故B,C正确; 易得g(2)=8+1=9,故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.定义在R上的单调函数f(x)满足恒等式f(x)=f(y)+f(x-y),且f(1)+f(2)=6. (1)求f(0),f(1); 在f(x)=f(y)+f(x-y)中, 令x=y=0,得f(0)=0, 令x=2,y=1,得f(2)=2f(1), ∴f(1)+f(2)=3f(1)=6, ∴f(1)=2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明; f(x)是奇函数,证明如下: f(x)的定义域为R,关于原点对称. 在f(x)=f(y)+f(x-y)中, 令x=0,得f(0)=f(y)+f(-y)=0, ∴f(-y)=-f(y),即f(-x)=-f(x), ∴函数f(x)是奇函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (3)若对于任意的x∈,都有f(kx2+x)+f(x-1)<0成立,求实数k的取值范围. ∵f(x)是奇函数,且f(kx2+x)+f(x-1)<0在x∈时恒成立, ∴f(kx2+x)<f(1-x)在x∈时恒成立, 又∵f(x)是定义在R上的单调函数,且f(0)=0<f(1)=2,∴f(x)是R上的增函数. ∴kx2+x<1-x,即k<-2·在x∈时恒成立. 令g(x)=-2·=-1, ∵x∈,∴∈(1,2),∴-1<g(x)<0,∴k≤-1. 则实数k的取值范围为(-∞,-1]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 f(x)= $