精品解析：湖北省麻城市第一中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

麻城一中2029届高一年级10月月考 数学试题 命题人：陶林兵 审题人：张进军 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A，即可求得真子集个数. 【详解】集合， 其真子集有：，，，，，，，共7个. 故选：C 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定规则即可得解. 【详解】因为命题：，为全称命题， 所以该命题的否定为，. 故选：D. 【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合和集合，再根据并集定义求出． 【详解】集合是函数的值域，而， 集合，可表示为． 集合是的定义域，即，解得， 集合， ． 故选：D． 4. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，不等式的解集为， 当时，即当时，原不等式即为，合乎题意； 当时，即当时，则有， 解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 5. 若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 6. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ） A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出是的真子集，是的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数，所以， .因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件， 所以是的真子集，是的真子集， 所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确. 故选：C. 7. 已知表示不超过x的最大整数，例如，则关于x的方程的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，把方程转化为不等式求解. 【详解】由可得，即， 有或，解得或， 故选：D 8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”. 所以，即实数a的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果，则下列选项不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，即，B错误； 对于C，由，得，而，则，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项. 【详解】对于A选项，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D选项，当时，由C可知，，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】移项通分化简，等价转化为，进一步等价转化为二次不等式(组),注意分母不能为零，然后求解即得. 【详解】原不等式等价于，化简得，又等价于， 解得：， 故答案为：. 13. 若对任意的，有，则称是“伙伴关系集合”，则集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________. 【答案】 【解析】 【分析】在集合的子集中列举出满足“伙伴关系集合”的集合，从而可得结果. 【详解】因为，则，就称是伙伴关系集合，集合， 所以具有伙伴关系的集合有共7个. 故答案为： 14. 已知实数满足，，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】先利用含绝对值的不等式的解法得到和，再利用不等式的性质，得到，最后结合二次函数在给定区间上值域的求法，分别求在上的最小值和在的最大值即可. 【详解】，则， ， 则， 令，， 则， ， 当时，当时均满足题意， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件与解绝对值不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解； （2）根据题意分类讨论与两种情况，利用混合运算的结果得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 当时，， 又， 所以. 【小问2详解】 因为，， 当时，，则，满足题意， 此时，解得； 当时，或，且， 又，所以，解得. 综上，或，即的取值范围为. 16. 设命题；命题. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图像性质解决二次不等式恒成立问题；（2）对命题和命题的真假进行分类讨论求解. 【小问1详解】 命题，. 当时，不等式1>0恒成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 命题，，相当于使得. 若命题为真命题时，，所以. 结合（1）可知，若，命题为真命题；，命题为真命题. 若要两命题有且仅有一个为真命题，只有两种情况： ①若命题为真命题，命题为假命题，则. ②若命题为假命题，命题为真命题，则 综上所述，实数的取值范围为 17. 某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. （1）求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； （2）当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】（1）， （2）当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【解析】 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【小问1详解】 由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； 【小问2详解】 由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18. 已知. （1）设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围； （2）方程有两个实数根， ①若均大于，试求的取值范围； ②若，求实数的值． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由的充分不必要条件是，则是的真子集，则，解不等式即可得出答案. （2）①若均大于，由根与系数的关系可得，解不等式即可得出答案.②由若可得，将，代入化简即可得出答案. 【小问1详解】 由，得， 即，即， 又，∴，即， ∵的充分不必要条件是， ∴是的真子集， 则，解得，则， 即实数的取值范围是. 【小问2详解】 方程为， ①若均大于，则满足， 解得，故，即的取值范围为. ②若，则， 则，即，即， 解得或，由，得或. 所以，即实数的值是. 19. 已知含有限个元素的集合是正整数集的子集，且中至少含有两个元素.若是由中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合是集合的衍生集. （1）当时，写出集合的衍生集； （2）若是由4个正整数构成的集合，求其衍生集的元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正整数构成的集合，使其衍生集，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在 【解析】 【分析】（1）根据已知即可写出衍生集. （2）根据互异性判断元素个数最少的条件即可. （3）根据已知分类讨论即可得出矛盾. 【小问1详解】 由已知，，，故集合 【小问2详解】 设 ，其中 ，不妨设， 又因为 ，集合共6个元素 由不等式的性质可知， 若时，则集合 5个元素 若时，则集合 6个元素 故集合的元素个数的最小值为5. 【小问3详解】 由（2）可知集合，可知集合最多有10个元素 由已知共七个元素，故有三个元素不满足互异性 不妨设，故，， 又因为，有且仅有，即 当时：因为，故或 若即，与矛盾（舍去） 若即，令，，则， . （舍去） 当时：则，则，与已知矛盾（舍去） 当 时：不符合题意，故舍去. 故当集合时不存在满足条件的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 麻城一中2029届高一年级10月月考 数学试题 命题人：陶林兵 审题人：张进军 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 5. 若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ） A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3 7. 已知表示不超过x的最大整数，例如，则关于x的方程的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果，则下列选项不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 11. 设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是___________． 13. 若对任意的，有，则称是“伙伴关系集合”，则集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________. 14. 已知实数满足，，则的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 设命题；命题. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 17. 某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. （1）求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； （2）当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18. 已知. （1）设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围； （2）方程有两个实数根， ①若均大于，试求的取值范围； ②若，求实数的值． 19. 已知含有限个元素的集合是正整数集的子集，且中至少含有两个元素.若是由中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合是集合的衍生集. （1）当时，写出集合的衍生集； （2）若是由4个正整数构成的集合，求其衍生集的元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正整数构成的集合，使其衍生集，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $