精品解析：湖北省襄阳市第五中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题

襄阳五中2029届高一上学期9月月考 数学考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为“，”. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到集合B，再与集合A取并集. 【详解】不等式，解得， ∴，又由， ∴. 故选：A． 3. 已知，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 4. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】分析充分性： 若成立， 举反例验证：取，，此时，， 但，，显然不成立，即不成立， 因此充分性不成立. 分析必要性： 若成立， 由绝对值的性质：， 因为，所以，即a为正数， 当时，， 又因为，结合，可得， 即， 因为， 所以， 因此必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知，均为正实数，则的最小值为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 而，均为正实数，由基本不等式可得， 当且仅当时取等，即时取等， 此时可得的最小值为，故D正确. 6. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位:10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）；则要使营运的年平均利润最大，每辆客车应营运（ ） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象上的已知点，结合待定系数法求得函数解析式，表示出年平均利润，利用基本不等式即可求解. 【详解】由图可知，二次函数的图象的顶点为，过点，开口向下， 因此，设二次函数的解析式为， 所以，解得，即， 则营运的年平均利润， 当且仅当，即时，有最大值；即每辆车营运5年时，年平均利润最大. 故选：C. 7. 设集合中的最大值与最小值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据表达式单调性确定最大值的取值，再利用约束条件将最小值问题转化为基本不等式求最值，最终计算差值即可.  【详解】表达式中，为关于的减函数，为关于的增函数， 结合约束，当、时表达式取最大值： ，满足约束条件，成立. 对固定的，由得，当且仅当时取等号. 又，当且仅当即时，等号成立. 因为，此时，满足约束，故. 所以，. 8. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ） A. 45 B. 49 C. 53 D. 62 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，数形结合可求中元素的个数. 【详解】设，故， 所以，故该不等式组表示的平面区域为以为中心的正方形区域， 当取遍中的每一个点时， 即为如图所示的线段所围成的平面区域内或边界上的整点的集合， 所以集合中共（个）． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、D，利用作差法判断B，根据不等式的性质判断C. 【详解】对于A：令、、、，满足，， 但是，故A错误； 对于B：因为，，则，， 所以，则，故B正确； 对于C：因为，则，所以，故C正确； 对于D：若，则，故D错误. 故选：BC 10. 如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为.用表示有限集的元素个数.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则； B. 存在集合，使得； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】AC 【解析】 【分析】按幂集的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则的子集之一就是，所以，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则的公共子集只有空集，故，故C正确； 对于D，若，不妨设，则， ，显然，故D错误. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. ，，则实数的取值范围为 B. ，，则实数的取值范围为 C. ，，，则实数的取值范围为 D. ，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，， 则，故B错误； 对于C，原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D，不等式可变形为 ， 则 ，解得 ， 由于，则， 此时，即， 所以的取值范围为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知p：，q：|x-a|<1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为__________. 【答案】(2，3] 【解析】 【分析】分别求出p, q的等价条件,解出不等式,由p是q的充分不必要条件求出实数a的取值范围. 【详解】由p得-1≥0⇔≥0⇔≤0⇔2<x≤3，由q得a-1<x<a+1.因为p是q的充分不必要条件，所以可得解得2<a≤3. 故答案为: (2，3] 【点睛】本题考查充分条件和必要条件,考查学生分式不等式和绝对值不等式的解法,属于中档题. 13. 已知实数，满足且，则的最大值为______________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解范围，进而得到最大值. 【详解】由于，且，， 故，即， 因此的最大值为4. 故答案为：4 14. 已知，，，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本不等式对分母进行放缩，将变量分离出来，再进而求出整体的最小值. 【详解】观察分母，由于，根据基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立， 所以分母，即， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，符合题意，因此的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知命题：，，命题：，． （1）若为真命题，求实数的取值范围． （2）若真假，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为真命题，转化为恒成立即可求解； （2）求出为真时的范围，讨论二次项系数和，在的情况下，讨论①方程有两个正实数根；②方程有一正一负两个实数根，进而求出的范围，再根据为真命题的范围即可求解. 【小问1详解】 若命题是真命题，则对恒成立， 即对恒成立．当时，， 所以，即． 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题是假命题，则：，使得为真命题． 即关于的方程有正实数根． 当时，有正实数根； 当时，依题意得，即， 设两根为、， ①当方程有两个正实数根（可能为两相等正实数根）时，，且，解得，此时； ②当方程有一正一负两个实数根时，，解得， 综上所述，． 因为真假，所以实数的取值范围是． 16. 我们知道，如果集合，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为，类似地，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作．据此回答下列问题： （1）若，，求； （2）若集合，集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据差集的概念先求出，再根据概念求出即可；（2）由，则，先对集合进行分类讨论，再结合子集关系求出a的取值范围即可. 【小问1详解】 ，，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得：； 【小问2详解】 因为，所以． 由，可得， 当时，，不等式不成立，此时，满足； 当时，．因为，所以， 解，因为，此不等式恒成立； 解，两边同乘得，即，又，则. 当时，.因为，所以， 解，由，两边同乘，得，即． 解，由，两边同乘，得，即， 又，所以． 综上，的取值范围是． 17. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）设，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（ⅰ）由几何关系，通过 ，得，进而可求得的周长； （ⅱ）设，在中，可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，长方形（）的周长为，， 所以 ， 设，则， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是. 【小问2详解】 （ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以， ， ，所以 ， 所以， 所以的周长为 ； （ⅱ）设，则 ， 由 可得 ，解得. 由（ⅰ）知， ， 在中，有， 解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时. 18. 已知二次函数. （1）设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； （2）设的解集为，且，求不等式的解集； （3）若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）R （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得a，b，c的关系，化简不等式后，求解即得； （2）根据不等式的解，利用两根式及多项式相等得到，进而求解不等式即可； （3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得ab的最大值，并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立． 【小问1详解】 因为的解集， 所以的根为1和2，且． 所以，故， 所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立， 所以，解得或， 又，所以， 所以实数的取值集合为． 【小问2详解】 因为的解集为，且， 所以且， 所以，故， 若，则，不合题意； 若，则，此时满足题意， 综上，， 所以不等式，即为 由，知：不等式的解集为. 【小问3详解】 令，则，所以， 对任意恒成立， 所以恒成立， 所以且， 所以，此时， 所以， 当且仅当时取等号， 此时成立； 故的最大值为． 19. 设整数集合，其中，且对，，若，则有． （1）直接写出一个满足条件的集合A； （2）证明：，； （3）求满足条件的集合A的个数． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，由于，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，令，即可写出一个集合； （2）由反证法即可证明； （3）因为，，所以集合中至多4个元素.设，先通过判断集合中前个元素的最大值可以推出，故集合的个数与集合的子集个数相同，即可求出． 【小问1详解】 令，满足， 当，时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设集合中有个元素，， 由题意，得，， 由（2）知，． 假设，则． 因为， 由题设条件，得， 因为， 所以由（2）可得， 这与为中不超过的最大元素矛盾， 所以， 又因为，， 所以．     任给集合的元子集，令， 以下证明集合符合题意： 对于任意，则． 若，则有， 假设，因为，所以， 这与矛盾； 因此必有， 又因为，所以和都不大于， 根据集合的构造，所以，，从而． 故集合符合题意， 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同， 故满足条件的集合有个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳五中2029届高一上学期9月月考 数学考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，均为正实数，则的最小值为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 9 6. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位:10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）；则要使营运的年平均利润最大，每辆客车应营运（ ） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 7. 设集合中的最大值与最小值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ） A. 45 B. 49 C. 53 D. 62 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为.用表示有限集的元素个数.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则； B. 存在集合，使得； C. 若，则； D. 若，则. 11. 下列说法正确的是（ ） A. ，，则实数的取值范围为 B. ，，则实数的取值范围为 C. ，，，则实数的取值范围为 D. ，使得不等式成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知p：，q：|x-a|<1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为__________. 13. 已知实数，满足且，则的最大值为______________. 14. 已知，，，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知命题：，，命题：，． （1）若为真命题，求实数的取值范围． （2）若真假，求实数的取值范围． 16. 我们知道，如果集合，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为，类似地，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作．据此回答下列问题： （1）若，，求； （2）若集合，集合，且，求实数a的取值范围． 17. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 18. 已知二次函数. （1）设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； （2）设的解集为，且，求不等式的解集； （3）若对任意恒成立，求的最大值. 19. 设整数集合，其中，且对，，若，则有． （1）直接写出一个满足条件的集合A； （2）证明：，； （3）求满足条件的集合A的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $