精品解析：湖北省沙市中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026—2027学年度上学期2026级 10月月考数学试卷 命题人：刘芳 审题人：熊炜 考试时间：2026年10月8日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 2. 已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 对于实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，若，则m组成集合为 B. ，若是的充分条件，则 C. 若，则实数的可能取值集合为 D. 已知，则的取值范围是． 10. 已知正实数、满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 设集合X是实数集R的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合X的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（ ） A. B. C. D. 整数集Z 三､填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则__________． 13. 若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 14. 记为两数的最大值，当正数变化时，的最小值为_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 设函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围． 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 18. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 19. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期2026级 10月月考数学试卷 命题人：刘芳 审题人：熊炜 考试时间：2026年10月8日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】A 【解析】 【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断， 所以命题“，使”的否定是“，使”. 2. 已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 3. 已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合全称量词命题及存在量词命题的真假关系即可求解． 【详解】命题p：，；命题q：，， 若命题p，q均为假命题， 则，为真命题，且，为真命题. 在上恒成立，且有解， 故且， 解得或. 故选：D. 4. 对于实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，B，C选项只需要用特殊值法，找出反例即可判断正误。D选项需要利用对钩函数，利用函数单调性即可判断正误。 【详解】对于选项A，若时，，则错误. 对于选项B，若，当，则，则B错误. 对于选项C，若取，则，故错误. 对于选项D，因为函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 5. 若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知方程的解为2，3，且，利用韦达定理可得，代入解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知方程的解为2，3，且， 可得，即， 则不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 6. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合题中定义、充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】，则， 表示不大于的最大整数， ，要求不等式成立的充分不必要条件， 只要求出不等式解集的一个非空真子集即可， 只有选项B符合题意 故选：B 7. 已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意有，将变形为，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得. 【详解】由题知， 因为a，b为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以，即， 所以，整理得，则， 结合x为正数，得，所以正数x的最大值为2． 故选：D． 8. 已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的性质，以及一元二次方程的性质逐一判断即可. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的非零数，且是“完美集”， 设， 根据一元二次方程根与系数的关系可知， 和可以看成一元二次方程的两个不相等实数根， 由，解得或， 当时，，所以均为正数， 所以、至少有一个大于2， 当时，，所以一个正数，一个负数，且负数的绝对值大于正数的绝对值，因此、至少有一个大于2不一定成立，所以②不正确； 对于③中，由②知，一元二次方程， 当满足或时，当t取不同的值时，对应的值是不同的，所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，当时，不妨设A中， 当时，由， 当时，由，显然符合， 因此“完美集”A不只一个，所以④不正确. 因此结论中是真命题的个数为,所以选项B是正确的. 二､多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，若，则m组成集合为 B. ，若是的充分条件，则 C. 若，则实数的可能取值集合为 D. 已知，则的取值范围是． 【答案】BD 【解析】 【分析】求得集合，分和，两种情况讨论，可判定A错误；根据是的充分条件，列出不等式组，可判定B正确；分类讨论，结合元素的互异性，可判定C不正确；根据不等式的基本性质，可判定D正确. 【详解】对于A，集合，且， 当时，集合，此时满足； 当时，集合， 若，则满足或，解得或， 综上可得，实数组成的集合为，所以A不正确； 对于B，由， 若是的充分条件，则满足，解得，所以B正确； 对于C，由， 当时，可得，此时，满足题意； 当时，可得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，可得， 若，此时，满足题意； 若，此时，满足题意， 综上可得，实数的可能取值集合为，所以C不正确； 对于D，由不等式，可得，则 又由，则，所以，即的取值范围是，所以D正确． 10. 已知正实数、满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由基本不等式可得出关于的不等式，可解出的最大值，可判断A选项；由已知可得出，结合基本不等式可判断B选项；由已知可得出，可得出，结合基本不等式可判断C选项；由已知可得出，可得出，结合基本不等式可判断D选项. 【详解】解：选项A，因为，且、为正实数， 由基本不等式可得，即， 即，所以，，则，即的最大值为， 当且仅当时，即当时取等号，故A错误； 选项B，因为，且、为正实数，则， 即，所以，，则， 所以，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为，故B正确； 选项C，因为，所以， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为、为正数，故等号不能成立，即C错误； 选项D，由，知， 所以，， 当且仅当，即时，等号成立，此时，，合乎题意，即D正确． 故选：BD． 11. 设集合X是实数集R的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合X的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（ ） A. B. C. D. 整数集Z 【答案】AC 【解析】 【分析】利用集合聚点的新定义，集合集合的表示及元素的性质逐项判断. 【详解】A.因为集合中的元素是极限为0的数列，所以对于任意，都存在，使得成立，所以0为集合的聚点，故正确； B. 因为集合中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项都至少比0大，所以对于时，不存在满足的x，所以0不为集合的聚点，故错误； C. 对任意，都存在，使得成立，那所以0为集合的聚点，故正确； D. 对任意，如，对任意的整数，都有或成立，不可能有成立，所以0不是集合整数集Z 的聚点，故错误； 故选：AC 三､填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，进而得到和是方程的两个实数根，结合一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组求 ，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，， 所以和是方程的两个实数根， 则，解得，， 所以. 13. 若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据整数解的和为12确定所有可能的整数解集合，进而推导的取值范围. 【详解】由，得； 当时，所有的整数解为，所以； 当时，所有的整数解为，所以； 综上，的取值范围是或. 14. 记为两数的最大值，当正数变化时，的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意分析可得，结合基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可知：， 且，则， 则，当且仅当时，等号成立， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 且，当且仅当，即时，等号成立， 综上所述：当时，可得，即，此时， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式化简集合A，由得，然后分和两种情况分类讨论，根据集合关系列不等式求解即可； （2）将问题转化为集合是集合的真子集，根据集合关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以，， 当时，符合，此时有，即； 当时，因为，所以，解得； 综上， 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 所以或，解得， 所以实数的取值范围为． 16. 设函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，利用分离参数法，得到，结合函数的单调性、最值，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，由，可得， 整理得，解得； 当时，由，可得， 整理得，即，解得； 当时，由，可得， 整理得，即， 令，解得或， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或， 综上可得，时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【小问2详解】 解：由关于的不等式在时有解， 即不等式在时有解， 由于，所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是． 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】（1）当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， ，又，故， 即的取值范围为. 18. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 19. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性． （2）​ （3），，，，． 【解析】 【分析】（1）按“包容”性的定义检查关键元素对； （2）先由最大元素得到，再利用有序对与的条件分类确定非零元素； （3）由子集个数确定元素个数，设出正、负元素并利用极端元素产生的差值约束，分类得到两种等差结构，再由筛选公差． 【小问1详解】 在集合中取，则且，所以该集合不具有“包容”性． 对集合，若，则； 若或，则等于另一个元素． 对于不同的非零元素，的和为，的和为，而且，均满足定义，所以集合具有“包容”性． 【小问2详解】 令，则且． 取，由“包容”性知． 不妨设，则，其中且． 对有序对，有或，从而； 对有序对，有或，从而． 因此，故． 【小问3详解】 因为集合的子集有个，所以． 令，由得； 又因，取可得． 集合中已有正数，若没有负数，令为最小正元素； 由于且，有． 此时取，则且，两者均不属于，矛盾，所以中既有正数也有负数． 设，其中，，． 对，取与最大正元素，因不在，故，于是． 对，取有序对，其和小于，故，于是． 所以或． 当时，． 由，取有序对可得． 对有序对、及其交换次序，分别考察差值可得． 因此，． 又是中小于的正数，故，从而，并由得． 于是． 当时，． 对有序对、及其交换次序，因和均大于，可得相应的正、负差值都在中； 又对及其交换次序考察差值，可得， 并且． 于是，，且是小于的正元素，只能等于，故，再由得． 于是． 对集合和，若两元素之和仍在相应整数区间内则条件成立； 若和超出区间，则两元素同号，差值落在相应区间内，故这两集合均具有“包容”性． 正数倍数保持“包容”性． 在第一种结构中，要求或； 在第二种结构中，要求、或． 代入两种结构即得答案中的五个集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $