高二数学上学期期中模拟卷（北师大版必修第二册第一章～第三章，高效培优）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C A C B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）由题意得， 所以，解得， 又，所以.（6分） （2）由（1）得，所以， ， 化简得， 所以，其中， 可得， 则的单调递增区间为，其中．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由图象可知，，，所以. 又，故，所以， 所以. 当时，，所以，即. 又，所以. 故函数的解析式为.（6分） (2)， 由，得，即， 因为，，，，所以， 化简得，所以为等腰三角形．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）在中由余弦定理得， 故即， 由得，即． 则， 因为，所以．（6分） （2）由及，得， 因为，所以， 在中，，由， 故．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）根据函数在表格中的对应数据， 设的最小正周期为，可得，则， 由，解得，可得， 又由，可得，可得，解得， 所以函数的解析式为.（4分） （2）由（1）知：.　 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 再令，解得， 所以函数的对称中心为.（9分） （3）先将图像向右平移单位后，得到， 再将图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，得到， 最后将图像向下平移一个单位，纵坐标变为原来的倍后，得到， 令，方程，即为， 解得或， 因为，设，可得， 要使方程存在4个不相等的实数根， 当，即在上存在两解， 所以，即有两个根，且， 即与的图象有两个公共点，且， 画出函数与的图象， 结合图象，可得或或， 解得或或， 所以所求的的取值范围是. （17分） 19．（17分） 【详解】（1）由，所以，即. 又因为，， 所以 ， 在中，（固定），，所以射线固定， 所以点可以是射线上除点之外的任意一点，都能构成满足条件的三角形， 因此可以取一切正数，即. 所以，即，得. 因此的取值范围为.（8分） （2）①因为点共线，设，所以， 即. 又，由（1）知，所以. 所以 因为，所以，，解得. 因此. ②方法一：由，则，又，所以， 又，所以，所以. 设，则，在中， 由余弦定理得， 因为，所以，. 又，所以，. 因为的面积为，则， 又， 所以，则， 因为，所以， 整理得， 将其看作关于的一元二次方程，则， ，，解得， 且关于的一元二次方程的两根之和，两根之积. 所以时，方程一定有正数解. 故的最小值为． 方法二：因为的面积为，同解法一得， 设，，，， ．，， 由余弦定理得， 设，则， 所以，解得，即，. 因为，所以，故． 因此的最小值为.（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的最小正周期为． 2．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以与终边相同，都位于第三象限； 由题意得， 因此， 即，因此与终边相同，都在第二象限． 3．已知，是模长均为1的平面向量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，即，可得. 4．在平行四边形中，为的中点．记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 可知. 5．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数变形，转化为求函数的单调递减区间，利用正弦函数的性质列不等式计算即可求解. 【详解】， 要求函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间， 因为， 所以， 所以函数的单调递减区间是， 即函数的单调递增区间是. 6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似用三角函数y＝Acos＋a(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为（    ） A．20 ℃ B．20.5 ℃ C．21 ℃ D．21.5 ℃ 【答案】B 【详解】月时气温最高为℃， 此时，则， 月时气温最低为℃， 此时，则， 联立方程：， 两式相加得，， 代入得， 所以函数为：. 将代入得到 解得 所以月份的平均气温为℃，对应选项为B. 7．如图，在平面四边形中，，，，为的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外心为，连接、、，则，取线段的中点，连接、，求出、的值，由结合向量的三角不等式可求得长的最大值. 【详解】设的外心为，连接、、，则，取线段的中点，连接、， 设的外接圆半径为，由正弦定理可得，所以， 所以，由勾股定理可得，所以， 故为等腰直角三角形，则， 因为，为的中点，所以， 又因为，所以， 由勾股定理可得， 所以， 当且仅当、同向时，等号成立，故长的最大值为. 8．已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和求出范围，由题中条件得到，由得到，由题中条件得到，通过解这个不等式组得到的取值范围. 【详解】因为，且， ， 因为函数（）在区间上单调递增， 所以， 解第一个不等式， 即，即，即， 解第二个不等式， 解得，即，即， 又，则， 因为，在区间内恰有两个零点， 所以， 则，解得，即， 又，则， 则的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（，）的部分图象如图所示，若的面积为，则（    ） A． B．为奇函数 C．的图象关于直线对称 D．将图象上所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象 【答案】ACD 【分析】根据函数图像得到函数的解析式，结合正弦型函数的性质依次判断即可. 【详解】已知函数， 对于A，由函数的图象可知，的面积，高，所以底边， 由于底边对应半个周期，所以函数的周期，由周期公式可得，故A正确； 对于B，由选项A可知，函数， 由于函数图像过点，代入，得， 解得，又因为，所以，因此函数， 则， 由于是偶函数，所以是偶函数，故B错误； 对于C，由于函数，对称轴满足，解得， 当时，有，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，将图象上所有点的横坐标变为原来的后，得到，故D正确. 10．在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，满足条件的三角形有两个 B．当时，满足条件的三角形有两个 C．若满足条件的三角形有且只有一个，则的取值范围是 D．若满足条件的三角形不存在，则的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据正弦定理得到的关系式，根据正弦函数的图象及三角形的角度取值范围即可得出答案. 【详解】由正弦定理得， 即， 又，所以， 且， 如图所示， 当或时，即或，此时直线与函数仅有一个交点，即满足条件的三角形有且仅有一个； 如图所示，当时，即，此时直线与函数有两个交点，即满足条件的三角形有两个； 如图所示，当时，即，此时直线与函数没有交点，即满足条件的三角形不存在， 综上，当时，有，故有两个三角形，即A正确； 当时，仅有一个三角形，故B错误； 由上述可得当时，满足条件的三角形有一个，故C错误； 由上述可得当时，满足条件的三角形不存在，故D正确. 11．如图，已知四边形是边长为3的正方形，点为线段上靠近点的三等分点，点分别为线段和线段上的两个动点（不含端点），且满足，点为的重心，则（     ） A．点到直线的距离为定值 B．的最小值为 C． D．有最大值 【答案】ACD 【分析】以为原点建系，设，根据重心坐标公式判断A；利用坐标计算模长，再结合基本不等式求最值判断B；利用极化恒等式判断C；利用坐标计算，再结合不等式求最值判断D. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 设，则， 因为，所以， 因为为的重心，所以，故点到直线的距离为定值， 故A正确； 因为，所以， 等号成立时， 故的最小值为，则B错误； 设交于点，所以为线段的中点， 则， 同理， 所以，故C正确； 因为， 所以 ，等号成立时， 则有最大值，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数，在的图象大致如图所示，则的最小正周期为_____． 【答案】 【分析】结合函数图象得到最小正周期的范围，进而求出，代入特殊点后得到，解不等式，得到的取值范围，进而求出的值，求出最小正周期. 【详解】由图知，即，所以，解得， ，即，所以，即， 又因为， 所以，，所以，， 因为，所以，此时，所以. 13．已知两单位向量，满足，则，的夹角为______． 【答案】/ 【分析】由单位向量，满足，化简得，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由单位向量，满足， 可得， 又因为，可得， 设向量与的夹角为，且， 因为，所以. 14．如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模长最小时，的长为__________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，结合数量积的运算律及投影向量的定义求解. 【详解】在中，，，为与的交点， 设，即，即， 则， 因为、、三点共线，设，即， 所以， 因为、不共线，所以， 于是，解得，因此， 又，则向量在上的投影向量的模长 ， 当且仅当时取等号，故此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数的图象关于直线对称． (1)求； (2)设函数，求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整体法，结合对称轴方程求参数即可； （2）先根据三角恒等变形化简得到，再利用整体法求单调区间即可． 【详解】（1）由题意得， 所以，解得， 又，所以. （2）由（1）得，所以， ， 化简得， 所以，其中， 可得， 则的单调递增区间为，其中． 16．（15分） 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)直接写出函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象．若、为锐角三角形中的两个内角，且满足，证明：为等腰三角形． 【答案】(1) (2)， 由，得，即， 因为，，，，所以， 化简得，所以为等腰三角形． 【分析】（1）根据正弦型函数的图象及性质求解即可. （2）根据函数图象的平移变换求出，结合诱导公式及余弦函数性质证明即可. 【详解】（1）由图象可知，，，所以. 又，故，所以， 所以. 当时，，所以，即. 又，所以. 故函数的解析式为. （2）略 17．（15分） 在中，内角的对边分别为，已知，，且． (1)求的大小； (2)若为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理化简边角关系后可得，再由余弦定理可求的大小； （2）根据（1）中的结果结合解直角三角形可求的长. 【详解】（1）在中由余弦定理得， 故即， 由得，即． 则， 因为，所以． （2）由及，得， 因为，所以， 在中，，由， 故． 18．（17分） 在中，内角的对边分别为，已知，，且． (1)求的大小； (2)若为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理化简边角关系后可得，再由余弦定理可求的大小； （2）根据（1）中的结果结合解直角三角形可求的长. 【详解】（1）在中由余弦定理得， 故即， 由得，即． 则， 因为，所以． （2）由及，得， 因为，所以， 在中，，由， 故． 19．（17分） 在中，内角的对边分别为，已知，，且． (1)求的大小； (2)若为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理化简边角关系后可得，再由余弦定理可求的大小； （2）根据（1）中的结果结合解直角三角形可求的长. 【详解】（1）在中由余弦定理得， 故即， 由得，即． 则， 因为，所以． （2）由及，得， 因为，所以， 在中，，由， 故． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，是模长均为1的平面向量，且，则（   ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，为的中点．记，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似用三角函数y＝Acos＋a(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为（    ） A．20 ℃ B．20.5 ℃ C．21 ℃ D．21.5 ℃ 7．如图，在平面四边形中，，，，为的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（，）的部分图象如图所示，若的面积为，则（    ） A． B．为奇函数 C．的图象关于直线对称 D．将图象上所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象 10．在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，满足条件的三角形有两个 B．当时，满足条件的三角形有两个 C．若满足条件的三角形有且只有一个，则的取值范围是 D．若满足条件的三角形不存在，则的取值范围是 11．如图，已知四边形是边长为3的正方形，点为线段上靠近点的三等分点，点分别为线段和线段上的两个动点（不含端点），且满足，点为的重心，则（     ） A．点到直线的距离为定值 B．的最小值为 C． D．有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数，在的图象大致如图所示，则的最小正周期为_____． 13．已知两单位向量，满足，则，的夹角为______． 14．如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模长最小时，的长为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数的图象关于直线对称． (1)求； (2)设函数，求函数的单调递增区间． 16．（15分） 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)直接写出函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象．若、为锐角三角形中的两个内角，且满足，证明：为等腰三角形． 17．（15分） 在中，内角的对边分别为，已知，，且． (1)求的大小； (2)若为边上一点，且，求的长． 18．（17分） 已知函数的一系列对应值如下表： (1)根据表格提供的数据求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间和对称中心； (3)将图像向右平移单位后，将得到图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，再将得到的图像横坐标不变，将得到的图像向下平移一个单位，再纵坐标变为原来的倍后得到，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围． 19．（17分） 如图，的内角，，的对边分别为，，，点满足，点在线段上，交于点． (1)若，，求的取值范围： (2)若，， ①求； ②若点满足，的面积为，求的最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $