精品解析：专题09 椭圆双曲线三定义与焦点三角形7大题型（期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题09 椭圆双曲线三定义与焦点三角形 基础·固本强基 题型1椭圆双曲线第一定义 题型2椭圆双曲线第二定义 提升·进阶突破 题型3椭圆双曲线第三定义（重点） 题型4焦半径与焦点弦（重点） 题型5焦点三角形（重点） 拔高·压轴破难 题型6椭圆与双曲线共焦点（难点） 题型7焦点三角形的内切圆（难点） 基础·固本强基 题型1椭圆双曲线第一定义 【方法总结】 椭圆：到两定点（焦点）距离之和等于常数（大于两焦点间距离）的点的轨迹.核心关系：. 双曲线：到两定点（焦点）距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间距离）的点的轨迹.核心关系：. 遇到动点与两定点距离和或差的问题，先验证常数是否满足定义条件（椭圆：和大于焦距；双曲线：差的绝对值小于焦距且大于0），再直接套定义列式求轨迹或解焦点三角形.若常数等于焦距，椭圆退化为线段，双曲线退化为射线. （26-27高三上·江苏苏州·开学考试） 1. 当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（ ） A. 当为第一象限角时，方程表示椭圆 B. 当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C. 当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D. 当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 （2026·辽宁锦州·模拟预测） 2. 分别为椭圆和双曲线上的点，，则（ ） A. B. C. D. （25-26高二上·福建宁德·阶段检测） 3. 在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（ ） A. 若，则点的轨迹为椭圆. B. 若，则点的轨迹为双曲线. C. 若，则点的轨迹为圆. D. 若，则点的轨迹为两条射线. （25-26高二上·福建福州·期中） 4. 已知圆的半径为定长,是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 点的轨迹可能是椭圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 点的轨迹不可能是圆 D. 点的轨迹不可能是双曲线 （2026·云南昆明·模拟预测） 5. 若三点中恰有两点在曲线上，则（ ） A. 若C是椭圆，则C的方程有2个 B. 若C是双曲线，则C的方程有2个 C. 若C是椭圆，则 D. 若C是双曲线，则 题型2椭圆双曲线第二定义 【方法总结】 第二定义：动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹.定点为焦点，定直线为准线. 椭圆：，轨迹为椭圆；双曲线：，轨迹为双曲线；抛物线：. 遇到动点到焦点与到准线距离之比的问题，先识别比值是否为常数，再根据的范围判断轨迹类型.解题时常将“到焦点的距离”转化为“到准线的距离乘以”，用于求最值或证明定值.注意准线与焦点对应，不能混用；比值必须为正且动点不在准线上. （2026高二·全国·专题练习） 6. 已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. （2026·四川广安·模拟预测） 7. 在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. （25-26高二上·江西宜春·阶段检测） 8. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. （25-26高二上·河南·阶段检测） 9. 已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若动点在轴右侧，点. （i）求的最小值； （ii）求的最小值. （2026·河南许昌·模拟预测） 10. 如图，双曲线（，）的左、右顶点分别为，，右焦点为，点是双曲线右支上异于点的任意一点，直线与直线的交点为，并且双曲线右支上任意一点与右焦点的距离和点到直线的距离的比等于离心率，若，则双曲线的离心率为（） A. B. 2 C. D. 3 提升·进阶突破 题型3椭圆双曲线第三定义 【方法总结】 1、椭圆的垂径定理与第三定义 已知直线与椭圆相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 已知A，B为椭圆长轴的端点（或短轴端点），P是椭圆异于A，B的点，则 2、双曲线的垂径定理与第三定义 已知直线与双曲线相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 如图，已知A，B为双曲线实轴的端点，P是双曲线异于A，B的点，则 另外，若A，B为双曲线渐近线上两点，M为AB中点，若斜率都存在同样也有 （2026·河南南阳·二模） 11. 双曲线的右焦点为，过点的动直线交双曲线的右支于，两点，点，若直线平分，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. （2026高二·全国·专题练习） 12. 过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（    ） A. B. C. D. （25-26高二下·湖南长沙·期中） 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（ ） A. B. C. D. （25-26高三下·河南安阳·阶段检测） 14. 设，分别是双曲线的左、右顶点，点在上且在第一象限内，直线与圆的另一个交点为，设，，若，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 （25-26高二上·江苏苏州·阶段检测） 15. 已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 题型4焦半径与焦点弦 【方法总结】 1、椭圆焦半径 设为椭圆上的一点，为椭圆的一个焦点， 焦半径坐标式 ①焦点在轴：焦半径（左加右减）； ②焦点在轴：焦半径（上加下减）. 焦半径角度公式： 2、双曲线焦半径 设为双曲线上的一点，为双曲线的一个焦点， ①焦点在轴：在左支，在右支； ②焦点在轴：在下支，在上支. 焦半径角度公式：（P与F位于同侧取正，位于异侧取负） （25-26高二上·福建福州·期中） 16. 设椭圆的焦点为在椭圆上，则（ ） A. B. 的最大值为7，最小值为1 C. 的最大值为16 D. 面积的最大值为10 （25-26高二上·重庆·期中） 17. 已知椭圆，其左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，若过点的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为定值8 B. 若为中点，则 C. 最大值为3 D. 若，则的最大值为3 （25-26高二上·甘肃天水·期中） 18. 已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. （26-27高三上·云南昆明·阶段检测） 19. 若双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上异于顶点的任意一点，则称为的“焦比”．已知点，为双曲线右支上相异两点，满足，且直线经过右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于轴对称 B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 存在点使得 （2025高二上·全国·专题练习） 20. 已知点是双曲线上的动点，是其左、右焦点，是坐标原点，若存在四个点满足，则此双曲线的离心率取值范围______． 题型5焦点三角形 【方法总结】 1、椭圆面积 椭圆焦点为，，为椭圆上的点，，则， 2、双曲线的面积 双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则 （25-26高二上·重庆·期中） 21. 已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 若，则的面积为 D. 直线与直线斜率乘积为定值 （25-26高二上·福建福州·期中） 22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 满足是直角三角形的点有4个 （25-26高二上·天津南开·阶段检测） 23. 已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，则的面积为2 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 （25-26高二上·山东枣庄·期中） 24. 已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在4个点，使得 D. 的最小值为 （25-26高二上·重庆大足·期中） 25. 已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ） A. 点P的横坐标为 B. 的周长为 C. 大于 D. 的内切圆半径为 拔高·压轴破难 题型6椭圆与双曲线共焦点 【方法总结】 椭圆与双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，设，椭圆的，双曲线的 1、由是椭圆与双曲线的焦点三角形，那么我们可以根据面积公式分别有，可以对式子稍作整理有 2、根据，，整理有 （25-26高二上·江西赣州·期末） 26. 如图，是椭圆：与双曲线：在第一象限的交点，，，共焦点，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若，则的最小值为2 C. 若，则 D. （25-26高二上·安徽蚌埠·期末） 27. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点.椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 （25-26高二上·陕西商洛·期末） 28. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末） 29. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为1 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为25 D. 若，则的最大值为 （25-26高二上·黑龙江大庆·期中） 30. 椭圆与双曲线具有相同的焦点，在第一象限的交点为点，过点作的内角分线和外角分线分别交轴于，两点，过作的内角分线交，于，两点，如图所示，设，，若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 题型7焦点三角形的内切圆 【方法总结】 1、椭圆的焦点三角形内切圆 点为椭圆上异于左右顶点的点，为椭圆的左右焦点，设，重心，内心 结论一、 结论二、有，则I的轨迹为椭圆 2、双曲线的焦点三角形内切圆 结论一、双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为 （2026·陕西咸阳·模拟预测） 31. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． （25-26高三下·湖北孝感·开学考试） 32. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 （2026·重庆·一模） 33. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上（不含顶点），设的内切圆圆心为，则______，的最小值为______. （25-26高三上·湖南·阶段检测） 34. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若的角平分线所在直线，与直线交于点D，的内切圆圆心为C，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 （25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中） 35. 椭圆的标准方程为，，为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与，，分别相切于点，，，则（ ） A. B. C. D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 椭圆双曲线三定义与焦点三角形 基础·固本强基 题型1椭圆双曲线第一定义 题型2椭圆双曲线第二定义 提升·进阶突破 题型3椭圆双曲线第三定义（重点） 题型4焦半径与焦点弦（重点） 题型5焦点三角形（重点） 拔高·压轴破难 题型6椭圆与双曲线共焦点（难点） 题型7焦点三角形的内切圆（难点） 基础·固本强基 题型1椭圆双曲线第一定义 【方法总结】 椭圆：到两定点（焦点）距离之和等于常数（大于两焦点间距离）的点的轨迹.核心关系：. 双曲线：到两定点（焦点）距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间距离）的点的轨迹.核心关系：. 遇到动点与两定点距离和或差的问题，先验证常数是否满足定义条件（椭圆：和大于焦距；双曲线：差的绝对值小于焦距且大于0），再直接套定义列式求轨迹或解焦点三角形.若常数等于焦距，椭圆退化为线段，双曲线退化为射线. （26-27高三上·江苏苏州·开学考试） 1. 当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（ ） A. 当为第一象限角时，方程表示椭圆 B. 当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C. 当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D. 当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数值的符号，曲线的方程，利用双曲线的标准方程的形式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，当为第一象限角时，取，此时， 即曲线方程为，此时曲线表示以坐标原点为圆心，半径为的圆，所以A不正确； 对于B，当为第二象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以B正确； 对于C，当的终边在轴的非负半轴上时，可得 此时曲线方程为，即，可得方程表示两条平行线，所以C正确； 对于D，当为第四象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以D正确. （2026·辽宁锦州·模拟预测） 2. 分别为椭圆和双曲线上的点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. （25-26高二上·福建宁德·阶段检测） 3. 在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（ ） A. 若，则点的轨迹为椭圆. B. 若，则点的轨迹为双曲线. C. 若，则点的轨迹为圆. D. 若，则点的轨迹为两条射线. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可． 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C正确； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确． 故选：ACD （25-26高二上·福建福州·期中） 4. 已知圆的半径为定长,是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 点的轨迹可能是椭圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 点的轨迹不可能是圆 D. 点的轨迹不可能是双曲线 【答案】AB 【解析】 【分析】定点可能在圆外，可能在圆上，可能在圆内（又可分为与圆心重合、不与圆心重合），结合中垂线的性质，分类讨论各种情况下点的轨迹. 【详解】对于A：若定点A在圆内且不与圆心重合，此时, ,点的轨迹满足椭圆定义. 故点的轨迹可能是椭圆，A正确. 对于B：若定点A在圆上，也在圆上，因此为圆的一条弦，根据垂径定理，弦的中垂线必过圆心,因此中垂线与直线交于点,此时点即点, 故的轨迹可能为一个点，B正确. 对于C：若定点A与圆心重合，此时与重合，的中垂线与的交点为线段的中点. 因此有,此时点的轨迹符合圆的定义. 故点的轨迹可能为圆，C错误. 对于D：若定点A在圆外，如下图，, . 或如下图，, . 因此有,故点的轨迹满足双曲线的定义. 故的轨迹可能是双曲线，D错误. 故选：AB. （2026·云南昆明·模拟预测） 5. 若三点中恰有两点在曲线上，则（ ） A. 若C是椭圆，则C的方程有2个 B. 若C是双曲线，则C的方程有2个 C. 若C是椭圆，则 D. 若C是双曲线，则 【答案】AC 【解析】 【详解】将三点代入曲线中分别得，，，， 若在曲线上，不在曲线上，则，，， 此时为椭圆； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为双曲线； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为椭圆； 故AC正确，BD错误. 题型2椭圆双曲线第二定义 【方法总结】 第二定义：动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹.定点为焦点，定直线为准线. 椭圆：，轨迹为椭圆；双曲线：，轨迹为双曲线；抛物线：. 遇到动点到焦点与到准线距离之比的问题，先识别比值是否为常数，再根据的范围判断轨迹类型.解题时常将“到焦点的距离”转化为“到准线的距离乘以”，用于求最值或证明定值.注意准线与焦点对应，不能混用；比值必须为正且动点不在准线上. （2026高二·全国·专题练习） 6. 已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【答案】31 【解析】 【分析】结合椭圆的第二定义，将问题转换成椭圆上的点到定点和左准线的距离和问题即可求解. 【详解】，即求的最小值. 椭圆的离心率为，， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. ，只需求的最小值. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 又左准线方程为， 此时，故的最小值为31， 即的最小值为31. （2026·四川广安·模拟预测） 7. 在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. （25-26高二上·江西宜春·阶段检测） 8. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率的定义，整理等式，结合双曲线离心率的取值范围，可得答案. 【详解】由题意可得， 可以化为， 两边同时开方得， 所以，由几何意义可知， 上式表示到和直线的距离之比， 则，所以． 故选：C． （25-26高二上·河南·阶段检测） 9. 已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若动点在轴右侧，点. （i）求的最小值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）； （2）（i），（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，，化简即可； （2）（i）设点到直线的距离为，所以，点在轴右侧，即点在双曲线的右支，过点向直线作垂线，垂足为，由图可知，当点三点共线时，取得最小值； （ii）根据双曲线的定义得. 【小问1详解】 ， 点到直线的距离， 由题意可知，， 化简得：，即曲线的方程为：； 【小问2详解】 （i）点在双曲线的内部，直线在双曲线的外部， 设点到直线的距离为，因为，所以， 所以， 因为点在轴右侧，即点在双曲线的右支，过点向直线作垂线，垂足为， 所以， 由图可知，当点三点共线时，取得最小值， 且最小值为点到直线的距离，即为：， 所以的最小值为； （ii）因为点在双曲线的右支，由双曲线定义得：， 所以， ， 当且仅当点共线且点在点之间时等号成立， 所以的最小值为. （2026·河南许昌·模拟预测） 10. 如图，双曲线（，）的左、右顶点分别为，，右焦点为，点是双曲线右支上异于点的任意一点，直线与直线的交点为，并且双曲线右支上任意一点与右焦点的距离和点到直线的距离的比等于离心率，若，则双曲线的离心率为（） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】结合双曲线的第二定义、相似三角形、角平分线定理，通过线段比例关系推导几何性质，最终建立关于离心率的方程求解. 【详解】因为，即， 可得，. 设点到直线的距离为，则， 过作准线的垂线，垂足为；过作准线的垂线，垂足为， ，，因此，可得，所以由相似三角形性质：， ，， 所以，即为的角平分线，所以， 所以， 即直线为线段的中垂线，所以，即， 即，解得. 提升·进阶突破 题型3椭圆双曲线第三定义 【方法总结】 1、椭圆的垂径定理与第三定义 已知直线与椭圆相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 已知A，B为椭圆长轴的端点（或短轴端点），P是椭圆异于A，B的点，则 2、双曲线的垂径定理与第三定义 已知直线与双曲线相交于两点，M为AB中点，O为原点，且则有 如图，已知A，B为双曲线实轴的端点，P是双曲线异于A，B的点，则 另外，若A，B为双曲线渐近线上两点，M为AB中点，若斜率都存在同样也有 （2026·河南南阳·二模） 11. 双曲线的右焦点为，过点的动直线交双曲线的右支于，两点，点，若直线平分，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线关系求出，再设，，直线l的方程，联立双曲线方程代入求解，结合韦达定理求出两根之和两根之积，据此将斜率关系式进一步转化成关于k的等式，解之即可． 【详解】如图所示， 设角平分线FT的倾斜角为，斜率为， 设直线FA的倾斜角为，斜率为， 设直线FB的倾斜角为或，斜率为或， 则，， 又， 所以可解得，，则， 化简可得（*）， 易知直线l的斜率一定存在，设直线的方程为， 代入双曲线方程得，整理得， 设，，由韦达定理得， 所以，同理， 所以， ， 代入（*）式并化简可得， 将两根之和及两根之积代入并化简可得，解得或， 当时，A、B不在双曲线的同一支上，无法满足直线平分，故舍去， 综上，． （2026高二·全国·专题练习） 12. 过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】由双曲线上的任意点到左焦点与左准线的距离之比为常数（离心率）. 即， 由题可知在左支上在右支上，如图， 设，在左准线上的射影为， 因为，则， 所以， 设，则， 所以，，即， 所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 故直线斜率的最小值是. （25-26高二下·湖南长沙·期中） 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量中点性质转化，结合双曲线定义与余弦定理求出，再用点差法直接得到PM与QM的斜率之积等于，快速求解. 【详解】设，，， 在中，由余弦定理可得， 又，则有，① 又为的中点，由中线定理可得， 即，② ②①可得，所以，故， 易知点与关于原点对称，设， 则，因为都在双曲线上， 所以，，所以， 则． （25-26高三下·河南安阳·阶段检测） 14. 设，分别是双曲线的左、右顶点，点在上且在第一象限内，直线与圆的另一个交点为，设，，若，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，所以，所以，再结合，代入化简即可求出，最后由代入可得出答案. 【详解】由题意知，，由在上，设， 所以，则， ， 因为直线与圆的另一个交点为，所以， 所以，所以， 且. 在中， 因为，所以， 易得， 即， 所以， 所以， 对比条件可知，故. （25-26高二上·江苏苏州·阶段检测） 15. 已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的性质，利用已知条件求出直线方程，联立椭圆方程结合韦达定理求出坐标关系，利用两点间距离公式构造方程求出的关联，最后利用离心率的计算公式求解． 【详解】 椭圆，设半焦距为，， 左焦点，，， 过点作倾斜角为的直线的斜率，直线方程为， 设，中点， 联立直线和椭圆方程得， 由韦达定理得，，， ，， ，解得， ，故D正确． 故选：D． 题型4焦半径与焦点弦 【方法总结】 1、椭圆焦半径 设为椭圆上的一点，为椭圆的一个焦点， 焦半径坐标式 ①焦点在轴：焦半径（左加右减）； ②焦点在轴：焦半径（上加下减）. 焦半径角度公式： 2、双曲线焦半径 设为双曲线上的一点，为双曲线的一个焦点， ①焦点在轴：在左支，在右支； ②焦点在轴：在下支，在上支. 焦半径角度公式：（P与F位于同侧取正，位于异侧取负） （25-26高二上·福建福州·期中） 16. 设椭圆的焦点为在椭圆上，则（ ） A. B. 的最大值为7，最小值为1 C. 的最大值为16 D. 面积的最大值为10 【答案】BC 【解析】 【分析】由椭圆方程可得：，根据椭圆的性质结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】由椭圆方程知：，故A错误； ，，故B正确； 在椭圆左右顶点上时取等，故C正确； 面积最大时，在椭圆左右顶点上，面积最大值为，故D错误， 故选：BC. （25-26高二上·重庆·期中） 17. 已知椭圆，其左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，若过点的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为定值8 B. 若为中点，则 C. 最大值为3 D. 若，则的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据椭圆的定义即可确定三角形的周长；对于B，设，然后用坐标表示向量的数量积，根据二次函数的性质求出值域即可；对于C，设，然后在中运用余弦定理解得的值，进而可求出最值；对于D，设，然后根据向量的线性关系列出等式，然后根据椭圆方程求出的关系式，进而根据横坐标的范围确定的范围，从而根据的单调性确定最大值. 【详解】对于A： 根据椭圆的定义可知，， 所以. 而的周长为， 所以其周长为定值8，所以A正确； 对于 B： 因为为的中点，所以直线与轴垂直， 则，设， 则， 所以. 因为，结合二次函数的图像和性质可得，所以B错误； 对于C： 设，则由椭圆的定义，. 在中，由余弦定理得 ，解得 所以，又， 所以，所以最大值为3，C正确； 对于D： 设，所以. 因为，所以得到， 因为都在椭圆上，所以满足，消去， 解得，因为， 所以，解得，令， 求导得，当时，；当时，； 所以函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以的最大值为，所以D错误； 故选：AC. （25-26高二上·甘肃天水·期中） 18. 已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，联立与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程得，结合椭圆参数关系求离心率. 【详解】设，，，则直线， 联立方程，消去y得， 则可得，，， 则，整理得， 又，则，则. 故选：B （26-27高三上·云南昆明·阶段检测） 19. 若双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上异于顶点的任意一点，则称为的“焦比”．已知点，为双曲线右支上相异两点，满足，且直线经过右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于轴对称 B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 存在点使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用双曲线的定义化简“焦比”，得到，对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，所以，同理，因为均在右支上，且到右焦点的距离相等，所以，关于轴对称，故A正确； 对于B，设，则．由得，则，即．又，代入得．因为，所以，即，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，在中，，所以，同理，因为，所以，即，又，故，即，所以. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，将代入并整理得，所以，．由直线与的右支有两个交点，可得，则，， 的面积．令，则，因为，．当直线的斜率不存在时，由题意得此时，则的面积，此时取得最小值，故C错误； 对于D，令，得，同理得， 若双曲线上存在点到右焦点的距离为，则，即，同理可得， 由C知，所以存在点使得，故D正确. （2025高二上·全国·专题练习） 20. 已知点是双曲线上的动点，是其左、右焦点，是坐标原点，若存在四个点满足，则此双曲线的离心率取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线焦半径公式得到结合存在四个点满足 得到，进而可求解. 【详解】双曲线的左准线方程为，设，在右支上， 由双曲线的第二定义可知，得， 再由，得， 即在右支， 同理可得：在左支， 又， ，， 即， 又， 即， 即存在四个点满足， 所以，由于，所以，即， 故答案为：． 题型5焦点三角形 【方法总结】 1、椭圆面积 椭圆焦点为，，为椭圆上的点，，则， 2、双曲线的面积 双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则 （25-26高二上·重庆·期中） 21. 已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 若，则的面积为 D. 直线与直线斜率乘积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点，则，利用平面向量的坐标运算以及模长公式可判断A选项；利用余弦定理结合椭圆定义、基本不等式可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用斜率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，设点，则，且，、， ， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故A正确； 对于B选项，设，，其中， ，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为，故B正确； 对于C选项，由B选项可知，可得， 所以，，故C错误； 对于D选项，由题意可知，则，故D正确. 故选：ABD. （25-26高二上·福建福州·期中） 22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 满足是直角三角形的点有4个 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦定理判断A；利用三角形的面积公式判断B；利用椭圆的定义判断C；利用平面向量的数量积判断D. 【详解】在椭圆中，，，，且， 对于A，当时，则， 由余弦定理得， 而，则，A错误； 对于B，当点为椭圆的短轴端点时，点到轴的距离最大， 因此面积的最大值为，B正确； 对于C，由，即， 得，C正确； 对于D，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个， 当为直角顶点时，设点，则，， ，，解得， 此时满足条件的点有个，所以满足是直角三角形的点有个，D错误. 故选：BC （25-26高二上·天津南开·阶段检测） 23. 已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，则的面积为2 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】选项A，由得到，结合，解出，利用三角形面积公式求解；选项B，按照，，三种情况讨论求解；选项C，将代入，利用的范围求解；选项D，将代入，利用的范围求解. 【详解】，，， 选项A，，， 点为椭圆上的点，， ，联立，解得， ，故选项A正确； 选项B，当时，，点为短轴的两个端点，故这样的有2个； 当，，点有两个，故这样的有2个； 当，，点有两个，故这样的有2个； 综上可知，使为直角三角形的点有6个，故选项B正确； 选项C，，， ， ，， ，， ，故选项C错误； 选项D，，， ，， ， 的最大值为，故选项D正确. 故选：C. （25-26高二上·山东枣庄·期中） 24. 已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在4个点，使得 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和几何性质，结合三角形周长计算判断A；根据椭圆的定义和余弦定理，结合三角形面积公式计算判断B；根据椭圆几何性质可以判断C；根据椭圆的定义和常数代换法求得式子的最值判断D. 【详解】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 所以的周长为，A正确. 对于B，若，根据余弦定理可得 ， 可得，解得， 则的面积为，B正确. 对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大， 此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误. 对于D，因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值是，D正确. 故选：ABD. （25-26高二上·重庆大足·期中） 25. 已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ） A. 点P的横坐标为 B. 的周长为 C. 大于 D. 的内切圆半径为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用的面积，先求出点P的纵坐标，代入双曲线方程计算即得其横坐标；对于B，利用双曲线的焦半径长的公式求出两焦半径，即得的周长，对于C，利用余弦定理求出，结合余弦函数的图象单调性即可判断；对于D，利用等面积运算即可求得. 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 拔高·压轴破难 题型6椭圆与双曲线共焦点 【方法总结】 椭圆与双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，设，椭圆的，双曲线的 1、由是椭圆与双曲线的焦点三角形，那么我们可以根据面积公式分别有，可以对式子稍作整理有 2、根据，，整理有 （25-26高二上·江西赣州·期末） 26. 如图，是椭圆：与双曲线：在第一象限的交点，，，共焦点，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 若，则的最小值为2 C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A根据椭圆和双曲线的定义可得；B利用勾股定理和基本不等式求解；C在中由余弦定理可得；D在中利用两次余弦定理，即分别在椭圆和双曲线中应用可得. 【详解】对于A，由题意可知，，， 得，，故A正确； 对于B，设椭圆和双曲线的半焦距为， 若，则， 化简得，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， 这与矛盾，所以，故B错误； 对于C，在中由余弦定理， 可得， 整理为， ，故C错误； 对于D，在椭圆中，， 整理为， 在双曲线中，，， 整理为，所以， 即， 而，则，故D正确． 故选：AD． （25-26高二上·安徽蚌埠·期末） 27. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点.椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，， 所以. 在中，由余弦定理可得， 化简得，所以， 则，等号成立时， 则，则的最小值为. 故选：B （25-26高二上·陕西商洛·期末） 28. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，利用，找到，的关系，再应用均值不等式求的最小值即可. 【详解】设公共半焦距为，,， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点， 所以，， 由椭圆和双曲线定义可知，，， 所以， 又因为，所以， 所以，所以，即， 所以，即. 所以 （当且仅当，即时取等号）. 故选：A. （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末） 29. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为1 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为25 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线有相同的焦点，结合椭圆及双曲线定义，用表示出和. 根据选项给出的已知条件，结合勾股定理逆定理、余弦定理及基本不等式、三角函数的知识逐项分析即可. 【详解】由题意知，. 设，（）， 由椭圆定义：，由双曲线定义：， 所以，. 选项A：若，则，即，. 又， 所以为直角三角形，且. 所以，故A正确. 选项B：若，，则，， 所以，B错误. 选项C：在中，由余弦定理得， 即， 整理得，则. 所以 ，当且仅当即时，等号成立，故C正确. 选项D：同理可得，，即. 设，，则. 又，所以，故D正确. 故选：ACD. （25-26高二上·黑龙江大庆·期中） 30. 椭圆与双曲线具有相同的焦点，在第一象限的交点为点，过点作的内角分线和外角分线分别交轴于，两点，过作的内角分线交，于，两点，如图所示，设，，若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据椭圆、双曲线定义可得，结合余弦定理可得，结合角平分线的性质可得，，再利用基本不等式运算求解即可. 【详解】设，， 由题意可得：，解得， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，即，可得， 由题意可知：为的内心， 则，， 可得， 因为点在的内角分线上，则点到直线的距离相等， 且点在的外角分线上，则点到直线的距离相等， 可知点到直线的距离相等，则为的角平分线， 则，， 可得， 由可得， 则，即， 且，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：B. 题型7焦点三角形的内切圆 【方法总结】 1、椭圆的焦点三角形内切圆 点为椭圆上异于左右顶点的点，为椭圆的左右焦点，设，重心，内心 结论一、 结论二、有，则I的轨迹为椭圆 2、双曲线的焦点三角形内切圆 结论一、双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为 （2026·陕西咸阳·模拟预测） 31. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，先根据双曲线的定义得到，，利用三角形的面积公式可得，，进而得到，再由及余弦定理可得，进而求解即可. 【详解】由双曲线，得，则，， 设，则， 所以， ， 则． 在与中，， 即，整理得， 所以，解得， 所以． （25-26高三下·湖北孝感·开学考试） 32. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图所示，内切圆与三边的切点分别为，延长交于，连接．对于A选项：由内切圆的性质求解；对于B选项：与的外角平分线相互垂直，由双曲线的光学性质得解；对于C：设内切圆的半径为，，化简可得，通过计算得解；对于D选项：利用重心的性质及角平分线定理及余弦定理求出，通过计算得到的范围. 【详解】如图所示，内切圆与三边的切点分别为， 延长交于，连接． 对于A选项：由题意可知、、， ，，可知， ，所以内心的横坐标为，故A正确； 对于B选项：与的外角平分线相互垂直， 由双曲线的光学性质可知直线是双曲线在点处的切线，故B正确； 对于C：设，则有， 其中为双曲线的离心率，设内切圆的半径为， 则有，化简可得， 两边同时平方，代入， 化简可得，所以，故C错误； 对于D选项：轴，由重心的性质可知， 由题意及角平分线定理可知， 则， 在中，由余弦定理可知， 代入数据可得 ， 因为，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD. （2026·重庆·一模） 33. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上（不含顶点），设的内切圆圆心为，则______，的最小值为______. 【答案】 ①. 3 ②. 16 【解析】 【分析】利用双曲线定义和切线定理列方程组计算可得圆心横坐标，结合正切函数定义可得第一空；利用二倍角公式，用表示出目标式，结合基本不等式求解可得第二空. 【详解】空一：双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 设圆与的三边分别相切于点， 由切线定理可知，， 结合双曲线定义可知，， 又，联立求解可得， 所以点的横坐标为1，即的横坐标为1，设圆的半径为， 则，； 空二：，同理， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：3；16 （25-26高三上·湖南·阶段检测） 34. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若的角平分线所在直线，与直线交于点D，的内切圆圆心为C，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设三角形的内切圆切AB于E，切于N，切于M，由双曲线的定义以及内切圆的性质可得E与重合，则于，故，利用两条直线夹角的正切公式求解即可. 【详解】设三角形的内切圆切AB于E，切于N，切于M， 由，得， 根据圆的切线长性质有，，， 所以，即， 所以E与重合，则于， 故，而，即． 故选：B （25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中） 35. 椭圆的标准方程为，，为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与，，分别相切于点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由点在椭圆上，根据，可判定A错误；由椭圆的定义得，结合，列出方程，求得的值，可判定C正确；由切线的性质，结合，可判定D正确；结合， 列出方程，求得的值，可判定B正确. 【详解】对于A，由椭圆，可得，则， 所以，又由点在椭圆上， 所以的面积为，所以A错误； 对于C，如图所示，连接，由椭圆的定义得， 因为的内切圆的圆心为，所以内切圆的半径为， 由， 所以， 所以，所以C正确； 对于D，由， 所以 ，所以，所以D正确； 对于B，因为， 所以， 因为，所以，解得，所以B正确. 故选：BCD. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $