专题11 椭圆·焦点三角形·离心率·最值·直线与椭圆综合题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题11 椭圆·焦点三角形·离心率·最值·直线与椭圆综合题型突破（六大题型） 考点01 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 考点02 椭圆中焦点三角形的问题 考点03 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 考点04 椭圆的几何性质 考点05 直线与椭圆联立弦长问题 考点06 直线与椭圆定点定值问题 考点01 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 1．已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 2．已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 3．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 5．椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 6．（多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 7．（多选）若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（    ） A． B．的最大值为 C．存在，使得四边形是平行四边形 D．面积的最大值为 8．（多选）已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（    ） A．直线OM与AC的斜率之积为 B．点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C． D．B，F，M三点共线 9．已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 10．已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 考点02 椭圆中焦点三角形的问题 11．（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 13．（1）已知直线MN经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于M，N两点，其左焦点为，求的周长． （2）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 14．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 15．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 16．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 17．若椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为，则四边形周长的最小值为________． 18．（1）设是椭圆上一点，是椭圆的焦点，如果点到焦点的距离为，那么点到焦点的距离是多少？ （2）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且，，求的面积. 19．设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 考点03 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 21．（多选）椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的焦距为2 B．的短轴长为1 C．的离心率为 D．的周长为 22．（多选）已知椭圆，左，右焦点分别为、，点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 C．若，则的面积为 D．当，时，坐标原点为，则的取值范围为 23．（多选）已知直线交椭圆于两点，为椭圆的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线的对称点为Q，则（   ） A．若，则 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若直线平行于x轴，则 24．设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 25．（多选）若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若为双曲线，且焦点在轴上，则 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 26．已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，且直线与轴不重合． (1)求椭圆的焦距与离心率； (2)若轴上一点满足，求实数的值； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 27．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 28．（多选）已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（   ） A．的短轴长为4 B．的离心率为 C．的周长为 D．的面积为2 29．已知是椭圆的四个顶点与两个焦点中的三个点，且，，，则该椭圆的离心率为________． 30．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点04 椭圆的几何性质 31．（多选）已知椭圆，点，过点作直线交椭圆于点，交直线于点，下面正确的有（   ） A．为定值 B．为定值 C．可能为2 D．可能为2 32．（多选）若椭圆的左、右焦点分别为，，则下列选项中的取值，能使以为直径的圆与椭圆有公共点的有（   ） A． B． C． D． 33．（多选）已知，两点的坐标分别为，，曲线上任意一点满足，则（    ） A．曲线关于原点对称 B．， C．若，则曲线与圆：有交点 D．若，直线与曲线有3个交点，则的取值范围为 34．（多选）已知点的坐标为，点在以为圆心的圆上运动，点在椭圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（多选）椭圆的方程为，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的内心记为（    ） A． B．的坐标为 C．延长交于，则 D．内心的坐标为 36．（多选）已知椭圆C：，P是椭圆C上的动点，，为椭圆C的两个焦点，则下列结论正确的有（   ）. A．若椭圆C的焦点在y轴上，则 B．若椭圆C的焦距为2，则或 C．当时，椭圆上点总满足成立 D．当时，的周长为18 37．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 38．（多选）已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（   ） A．C的方程为 B．的周长为8 C．的最大值为6 D．当A为C的上顶点时， 39．（多选）已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则的面积为 40．（多选）以下命题正确的是（ ） A．设直角坐标平面内一条直线的倾斜角是，则的取值范围是. B．方程表示圆心在点处的圆. C．方程表示焦点在轴上的椭圆. D．直线的一个方向向量可以是 考点05 直线与椭圆联立弦长问题 41．已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆的方程． 42．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，且． (1)求C的方程． (2)设C的上顶点为P，过点的动直线与C交于A，B两点． （ⅰ）若B与C的下顶点重合，求的面积； （ⅱ）过点B作y轴的垂线，与直线交于点Q，证明：直线AQ被圆E：截得的弦长为定值． 43．已知椭圆的长轴长为4，点在C上． (1)求C的方程； (2)点P是C上一动点，过点P作两条直线分别交C于M，N两点，直线PM，PN与圆都相切，设直线PM，PN的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值，并求出该定值； （ⅱ）若直线MN的斜率为，求弦长． 44．已知椭圆的离心率为点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上一个动点，过点作两条直线分别交椭圆于两点(异于点)，直线与圆都相切，设直线的斜率分别为． （i）求证:为定值； （ii）若直线的斜率为求弦长． 45．已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 46．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，直线与交于两点，且弦长的最大值为. (1)求C的标准方程； (2)若原点到直线的距离为，求弦长的最大值. 47．已知椭圆：的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，点不在直线上． （ⅰ）求弦长的取值范围； （ⅱ）设直线，直线与直线分别交于点，，试问的中点是否是定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 48．已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为，若的面积为，求直线的方程. 49．在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为． (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长； (3)若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围． 50．已知椭圆的右顶点A，右焦点F，经过A、F两点的圆C与y轴相切于点，则圆C被直线AB截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 考点06 直线与椭圆定点定值问题 51．已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线的斜率存在，且直线的方程为：，其中，满足如下关系式：，过曲线上且不在直线上的点，作，为垂足. （i）证明直线过定点并求出； （ii）判定是否存在定点，使得为定值，存在的话求出，不存在的话说明理由. 52．已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 53．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)点为椭圆上任意一点，点为坐标原点关于直线的对称点，记点的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以为端点作射线（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点，，证明：为定值，并求出该定值． 54．在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． (1)求证：为定值； (2)求四边形面积的最小值． 55．已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：； (3)在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 56．已知椭圆：的上下顶点分别为，，右焦点的坐标为．点是椭圆上位于第一象限或正半轴上的动点，设直线，的斜率为，，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点作圆的切线交椭圆于点（点位于点的下方）． （ⅰ）求线段的最大值； （ⅱ）设直线的斜率为，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 57．已知椭圆：的离心率为，左顶点为. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点. （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 58．已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，． (1)求椭圆的方程； (2)求的值； (3)已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值． 59．已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：是定值； (3)是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 60．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作轴的垂线交椭圆于两点（点在第一象限），且的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），若直线与的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值，并求出该定值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 椭圆·焦点三角形·离心率·最值·直线与椭圆综合题型突破（六大题型） 考点01 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 考点02 椭圆中焦点三角形的问题 考点03 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 考点04 椭圆的几何性质 考点05 直线与椭圆联立弦长问题 考点06 直线与椭圆定点定值问题 考点01 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 1．已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 2．已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【答案】31 【分析】结合椭圆的第二定义，将问题转换成椭圆上的点到定点和左准线的距离和问题即可求解. 【详解】，即求的最小值. 椭圆的离心率为，， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. ，只需求的最小值. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 又左准线方程为， 此时，故的最小值为31， 即的最小值为31. 3．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，，可判断点，分别在以线段，为直径的圆上，可知两圆上点的最大距离等于圆心距加上两圆的半径. 【详解】解：由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 4．设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16. 5．椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义及线段和差关系即可求解． 【详解】依题意可得，， 将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内， 由椭圆的定义可知，即， 所以， 所以的最小值为． 6．（多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【详解】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，到距离等于，D正确. 7．（多选）若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（    ） A． B．的最大值为 C．存在，使得四边形是平行四边形 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用椭圆和圆的对称性，结合椭圆的定义、圆的性质、基本不等式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】因为曲线由半圆和半椭圆组成， 所以曲线关于横轴对称，不妨研究当时的情况. A：由椭圆的标准方程可知， 所以是椭圆的焦点， 于是有，所以本选项结论正确； B：显然，所以是直角三角形，且， 所以，当且仅当时，取等号，即，此时，显然重合，不符合题意， 即，所以本选项说法不正确； C：当时， 由. 当时， 由. 假设四边形是平行四边形，因为， 所以， 即，舍去，所以存在，使得四边形是平行四边形，所以本选项说法正确； D：的面积为，当且仅当时取等号，即， 所以当时，面积的最大值为，所以本选项说法正确. 8．（多选）已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（    ） A．直线OM与AC的斜率之积为 B．点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C． D．B，F，M三点共线 【答案】ABD 【分析】设，，利用斜率公式计算判断选项A；B选项，问题转化为点B到点的距离与到左焦点的距离之差的最大值；由向量与的关系判断CD选项. 【详解】椭圆的右焦点为，右顶点为， 过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，设， 则有，满足，有， M为AC的中点，则， ，A选项正确； 椭圆的左焦点为，则， 点在椭圆内，， ， 当且仅当三点共线，在之间时等号成立，B选项正确； ，，，则，C选项错误； 与共线，且与有公共点，所以B，F，M三点共线，D选项正确； 9．已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】注意到是椭圆的下焦点，则上焦点为，故，而的最大值为，由此求得的最大值. 【详解】由椭圆方程可知，， 故为椭圆的下焦点，则椭圆的上焦点为，如图，    根据椭圆的定义，有， 根据三角形两边的差小于第三边可知， 故的最大值为. 故选：D 10．已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】根据椭圆定义可知，取得最大值时，即最大，根据三角不等式即可解出﹒ 【详解】根据椭圆的定义：， 取得最大值时，即最大. 由题意知， 如图所示：， 当，，共线，即为的延长线与椭圆的交点时取等号，所以的最大值为﹒ 故答案为：    考点02 椭圆中焦点三角形的问题 11．（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由椭圆方程，可得左右焦点坐标为，，焦距. 的面积公式，其中为点的纵坐标， 由，得该三角形面积有最大值但无最小值，选项A正确. 选项B：根据椭圆的定义，，，所以的周长为，因此B错误. 选项C：当位于椭圆短轴端点时，取得最大值，此时，， 由余弦定理，因此最大，因此C选项正确. 选项D：由椭圆方程，可知，，椭圆上任意一点到焦点的距离满足，代入，，得，选项D正确. 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】D 【详解】的周长为， 13．（1）已知直线MN经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于M，N两点，其左焦点为，求的周长． （2）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 【答案】（1）8（2）13 【详解】（1）由椭圆得， 根据椭圆定义可得， 所以的周长为. （2）设椭圆的左右焦点为，由题可得，， 由椭圆的定义， 即. 所以点P到右焦点的距离为. 14．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【详解】由题可知，∴，， ∴，的周长为，A选项正确； ∵，∴，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； ， ∴， ∴斜率，D选项错误.      15．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 16．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 17．若椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为，则四边形周长的最小值为________． 【答案】 【分析】菱形面积转化为对角线乘积的一半，周长借助勾股定理表示，最后借助基本不等式求最值. 【详解】由题，，且四边形为菱形， 又因为菱形的面积为，所以， 四边形周长为，当时，等号成立， 故四边形的周长的最小值为. 18．（1）设是椭圆上一点，是椭圆的焦点，如果点到焦点的距离为，那么点到焦点的距离是多少？ （2）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且，，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）根据给定条件，求出焦距，进而求出长短半轴长，在中由余弦定理求出，再由三角形面积公式计算作答. 【详解】（1）已知椭圆方程为，则， 又因为，，所以. （2）依题意，，椭圆长轴长， 即长半轴长，设短半轴长为，有，如图所示，    在中，由余弦定理得， 有， 解得，， 所以的面积是. 19．设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 考点03 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 21．（多选）椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的焦距为2 B．的短轴长为1 C．的离心率为 D．的周长为 【答案】AC 【分析】根据题设椭圆方程及的关系先求出，再结合条件求出，即得，，再由椭圆的定义求出的周长即可. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则焦距为，故A正确； 由椭圆的对称性，知，又，则得， 则的短半轴长，则短轴长为2，故B错误； 则椭圆的离心率为，故C正确； 的周长为，故D错误. 22．（多选）已知椭圆，左，右焦点分别为、，点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 C．若，则的面积为 D．当，时，坐标原点为，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】选项A、利用均值不等式即可得到乘积的最大值；选项B、根据椭圆的焦半径范围求解离心率；选项C、先利用椭圆定义得到，再根据焦点三角形余弦定理以及面积公式，即可求解；选项D、先求出，设，再把坐标代入中，转化为二次函数求值域问题． 【详解】选项A、由椭圆定义， 由均值不等式得， 当且仅当时取等号，则选项A正确； 选项B、已知，又， 联立可得，则， 由，可得， 解不等式，可得， 解不等式，可得，所以， 则该椭圆离心率的取值范围为，则选项B错误； 选项C、设，， 已知，， 由余弦定理得，即， 则，解得， 所以的面积为，则选项C正确； 选项D、因为，，则， 所以，，，则， 设，满足． 则，，， 可变形为， 代入上式，可得， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 在对称轴处，， 在端点处，， 在端点处，， 所以的取值范围为，则选项D正确． 23．（多选）已知直线交椭圆于两点，为椭圆的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线的对称点为Q，则（   ） A．若，则 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若直线平行于x轴，则 【答案】ACD 【分析】A.根据对称关系，以及椭圆的性质，判断A，B.根据斜率公式，以及点在椭圆上，化简判断B，C.根据中位线的性质，证明线线平行，判断C,根据几何关系，求倾斜角，再求直线的斜率，判断D. 【详解】A.设，当时，直线，点关于直线的对称点为，即，则，故A正确； B.设，，， ，即。 椭圆的离心率，故B错误； C.因为直线过原点，直线平分线段，且平分线段，所以，故C正确； D. 由C可知，，且，所以四边形是平行四边形，所以， 所以四边形也是平行四边形，因为直线垂直平分，所以， 因为轴，所以点关于轴对称，所以， 所以是等边三角形，所以，所以， 如图，第二种情况，当时，同理求得是等边三角形，所以，所以直线的倾斜角为，，综上可知，，故D正确. 24．设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用椭圆的定义表示出、，结合的直角条件，通过勾股定理求出与的关系；再在中用勾股定理建立与的等式，进而推导离心率. 【详解】设，由得，因此. 根据椭圆的定义，， ， 由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理， 得，展开并化简： 因，两边除以得， 由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形， 由勾股定理，得， 得，所以，因此离心率. 25．（多选）若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若为双曲线，且焦点在轴上，则 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程，以及椭圆的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故B正确. 对于C，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故C错误. 对于D，当时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆，且，， 所以，解得，，所以离心率为，故D正确； 26．已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，且直线与轴不重合． (1)求椭圆的焦距与离心率； (2)若轴上一点满足，求实数的值； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)焦距为，离心率为. (2)4 (3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程确定椭圆的焦距和离心率即可. （2）设直线，联立直线与椭圆方程组，结合韦达定理，对进行化简即可求出结果. （3）根据已知条件，结合韦达定理，可得到，然后求出点到直线的距离和，进而可求出的面积. 【详解】（1）由椭圆方程得，则，. 所以，所以焦距为，离心率为. （2）椭圆右焦点，设直线，，. 联立，整理得：. 由韦达定理得：. 由得，即：. 化简得，即. 代入韦达定理结果：，化简得. 即，对任意成立，故. （3）由得，代入得，代入得： ，化简得，即. 因此. . 点到直线的距离：. 所以. 27．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法可得出的值，再利用求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 28．（多选）已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（   ） A．的短轴长为4 B．的离心率为 C．的周长为 D．的面积为2 【答案】AC 【详解】对于A，设椭圆E的长轴长，短轴长，焦距分别是2a，2b，2c， 由E：，得，， 所以，，， 所以E的短轴长为4，故A正确； 对于B，离心率，故B错误； 对于C， 由椭圆的定义，得， 又， 所以的周长为，故C正确； 对于D， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 的面积为，故D错误. 29．已知是椭圆的四个顶点与两个焦点中的三个点，且，，，则该椭圆的离心率为________． 【答案】 【分析】根据三边的长度确定点的位置，再分类讨论a，b，c的值求出离心率 【详解】由题意，因为，即三点不共线，故A，B，C三点组成三角形， 又因，故不是等腰三角形， 故上下顶点不能同时取到，左右顶点不能同时取到，两焦点也不能同时取到， 故只能取一个上下顶点，一个左右顶点，一个左右焦点， 不妨设椭圆的焦点在轴， 如图，三个线段分别为，或， 当三个线段分别为时，为三个当中最小， （1）满足题意； （2），无解； 当三个线段分别为时，， 故，无解； 综上，． 30．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用椭圆的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可得出，再利用正弦定理得出，结合可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】设，，则① ， 在中，由及余弦定理可得，即② ， ①② 得，所以， 又， 又，因为，所以， 解得，故椭圆的离心率为. 考点04 椭圆的几何性质 31．（多选）已知椭圆，点，过点作直线交椭圆于点，交直线于点，下面正确的有（   ） A．为定值 B．为定值 C．可能为2 D．可能为2 【答案】BC 【分析】设出直线的方程，与椭圆的方程联立，再根据韦达定理即可进行判断. 【详解】设直线的方程为：，，，不妨设， 则由得， 故，， 故， 直线方程为：， 令，得，故，同理可得， 所以，故B正确，D错误. 因此，当且仅当时等号成立， 而当时，，，故，，进而可得，， 故此时，故C正确，A错误. 32．（多选）若椭圆的左、右焦点分别为，，则下列选项中的取值，能使以为直径的圆与椭圆有公共点的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】依题意确定以为直径的圆的半径，再结合椭圆的性质列出不等式，进而求解即可． 【详解】设椭圆的半焦距为， 则以为直径的圆的方程为， 又要该圆与椭圆有公共点， 则要，即，解得， 所以选项A、B、C均满足，选项D不满足． 33．（多选）已知，两点的坐标分别为，，曲线上任意一点满足，则（    ） A．曲线关于原点对称 B．， C．若，则曲线与圆：有交点 D．若，直线与曲线有3个交点，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据条件得到曲线的方程，根据方程的特征判断A，平方后结合不等式的性质和判别式为非负判断B，结合B可判断C，联立直线方程和曲线的方程后消元求解可判断D. 【详解】由题设有，此方程即为曲线的方程. 对于A，设关于原点的对称点为， 则， 故也在曲线上，故曲线关于原点对称，故A正确； 对于B，曲线的方程可化为， 整理得，故， 故，故，故， 所以. 又，故， 整理得，故，故B正确； 对于C，若，若曲线与圆：有交点， 则由可得， 故，这与B中判断矛盾， 故C错误； 对于D，若，则曲线方程为 ， 由可得， 整理得，故或， 因为直线与曲线有3个交点，故，故，故D正确. 34．（多选）已知点的坐标为，点在以为圆心的圆上运动，点在椭圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用圆的几何性质可判断A选项；利用圆的几何性质以及椭圆焦半径的最值可判断BC选项；利用椭圆的定义可判断D选项. 【详解】在椭圆中，，，，且， 对于A选项，因为，故点在圆内， 又因为，且圆的半径为， 故，当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当、为椭圆的右顶点时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当、分别为椭圆的右、左顶点时，等号成立，C对； 对于D选项，取椭圆的左焦点，则， 所以 ， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立，D对. 故选：ACD. 35．（多选）椭圆的方程为，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的内心记为（    ） A． B．的坐标为 C．延长交于，则 D．内心的坐标为 【答案】ABD 【分析】根据题意，得到，且，结合的面积公式，可判定A正确；设，由，列出方程，求得，可得判定B正确；设的内切圆的圆心为，半径为 ，结合，求得，得到圆心的坐标，再由直线的方程，求得，可判定C不正确，D正确. 【详解】由椭圆，可得，可得， 所以， 对于A，如图（1）所示，因为为等腰三角形，且在第一象限，则， 又由椭圆的定义，可得，所以， 取的中点，连接，则，且， 所以的面积为，所以A正确； 对于B，设，其中， 由，可得，即， 即，所以， 将代入椭圆的方程，可得，因为，可得， 所以点的坐标为，所以B正确； 对于C，如图（2）所示，设的内切圆与的切点分别为， 可得， 设的内切圆的圆心为，半径为 因为，即，解得， 又因为，解得，所以， 则，所以直线的方程为， 令，可得，解得，即， 所以，所以C不正确，D正确. 故选：ABD. 36．（多选）已知椭圆C：，P是椭圆C上的动点，，为椭圆C的两个焦点，则下列结论正确的有（   ）. A．若椭圆C的焦点在y轴上，则 B．若椭圆C的焦距为2，则或 C．当时，椭圆上点总满足成立 D．当时，的周长为18 【答案】ABD 【分析】根据给定的椭圆方程，结合椭圆的定义逐项求解判断. 【详解】对于A，椭圆C：的焦点在y轴上，则，A正确； 对于B，椭圆C的焦距为2，当焦点在轴上时，，解得； 当焦点在轴上时，，解得，B正确； 对于C，当时，椭圆C的焦点，长轴长为，椭圆上点总满足 成立，C错误； 对于D，当时，椭圆C的长短半轴长分别为，半焦距， 因此的周长为，D正确. 故选：ABD 37．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】求出给定椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，    对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D：，，D正确. 故选：BCD 38．（多选）已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（   ） A．C的方程为 B．的周长为8 C．的最大值为6 D．当A为C的上顶点时， 【答案】ABD 【分析】对A，根据椭圆长轴和短轴的定义即可得到椭圆方程，对B，根据椭圆定义即可判断；对C，根据基本不等式即可判断；对D利用椭圆定义和余弦定理即可得到弦长. 【详解】对A，由题知，，即，，所以的方程为，A正确； 对B，的周长为，B正确； 对C，由题知，所以（当且仅当时取等号），C错误； 对D，当为椭圆的上顶点时，2，设，则， ，则，则， 在中，由余弦定理，得，解得， 所以，D正确． 故选：ABD．    39．（多选）已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则的面积为 【答案】BC 【分析】对于选项A，根据椭圆标准方程的要求，即可判断； 对于选项B，椭圆的焦点在轴上，根据椭圆的定义即可判断； 对于选项C，先求出椭圆方程，再结合椭圆的定义和性质，即可求解的周长； 对于选项D，先求出椭圆方程，结合椭圆的定义和性质，以及余弦定理，即可求解. 【详解】对于A选项，因为方程表示椭圆，所以且，故A错误； 对于B选项，椭圆的焦点在轴上，则，即， 又为椭圆上的点，根据椭圆定义，可得，故B正确； 对于C选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 所以周长为，根据椭圆的定义及性质， 可得，，所以周长为，故C正确； 对于D选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 根据椭圆的定义及性质，可得，， 又，在中，根据余弦定理可得， ， 即， 所以， 解得，与矛盾， 所以不存在，故D错误. 故选：BC 40．（多选）以下命题正确的是（ ） A．设直角坐标平面内一条直线的倾斜角是，则的取值范围是. B．方程表示圆心在点处的圆. C．方程表示焦点在轴上的椭圆. D．直线的一个方向向量可以是 【答案】ACD 【分析】利用直线倾斜角意义判断A；变形方程判断B；由方程确定焦点位置判断C；求出斜率，进而求出方向向量判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角的取值范围是，A正确； 对于B，方程，即表示点，B错误； 对于C，方程表示焦点在轴上的椭圆，C正确； 对于D，直线的斜率为，一个方向向量可以是，D正确. 故选：ACD 考点05 直线与椭圆联立弦长问题 41．已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆的方程． 【答案】 【分析】解法一：（弦长公式）：由得，联立与椭圆，用韦达定理得、，代入弦长公式，结合化简得，联立解. 解法二：由，联立与椭圆，用韦达定理得，因过右焦点，弦长，由得，联立得 【详解】解法一：由于经过点，结合被截得弦长为，得.       ① 设代入的方程化简得： . 由韦达定理得. 从而， 则由弦长公式，得， 化简得.       ② 联立①②得.故椭圆的方程为. 解法二：同上得. 由过右焦点，及焦半径公式得弦长为：. 由题意得，化简得.以下同解法一． 42．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，且． (1)求C的方程． (2)设C的上顶点为P，过点的动直线与C交于A，B两点． （ⅰ）若B与C的下顶点重合，求的面积； （ⅱ）过点B作y轴的垂线，与直线交于点Q，证明：直线AQ被圆E：截得的弦长为定值． 【答案】(1) (2) （ⅰ）； （ⅱ）当直线AB的斜率为0时，其与x轴重合，直线AQ也与x轴重合，此时直线AQ被圆E截得的弦长即为圆E的直径. 当直线AB与x轴不重合时，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，即证明即可． 设AB的方程为， 由得， 设，，则①，②． 由题意知，所以，． 要证， 即证， 即， 将①②式代入，可得左边＝右边，等式成立． 因此原命题得证． 【分析】(1)利用半焦距与离心率得到，再求出； (2)（ⅰ）求出A的横坐标，求解； （ⅱ）分直线AB的斜率为0和直线AB与x轴不重合两种情况，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，证明即可． 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意知，所以， 因为离心率为，所以，， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题意知，， 当B与C的下顶点重合时，，此时直线AB的方程为， 由得，解得或0， 因为点B的横坐标为0，所以点A的横坐标为， 所以． （ⅱ）略 43．已知椭圆的长轴长为4，点在C上． (1)求C的方程； (2)点P是C上一动点，过点P作两条直线分别交C于M，N两点，直线PM，PN与圆都相切，设直线PM，PN的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值，并求出该定值； （ⅱ）若直线MN的斜率为，求弦长． 【答案】(1) (2) （ⅰ）设，直线PM的方程为，直线PN的方程为， 因为直线PM、PN均与圆相切，所以， 将上式两边同时平方后整理得，，， 为方程的两根， 所以，又，所以，所以． （ⅱ） 【分析】（1）根据题中条件求解即可； （2）（ⅰ）设出直线PM方程，根据相切构造同解方程即可求出； （ⅱ）设出直线MN方程，代入，再联立直线与椭圆的方程，求得，最后求解出． 【详解】（1）由题意得，，故， 将点代入椭圆方程，解得， 所以C的方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设，直线， 则， 化简得，．（*）． 由消去y，得， 由，可得， 则， 代入（*）式，得， 化简得，，所以m=0或， 若，则直线过点， 这意味着三点共线，那么直线与为同一条直线， 这与题设‘过点作两条（不同的）直线’矛盾，故舍去. 所以，所以． 44．已知椭圆的离心率为点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上一个动点，过点作两条直线分别交椭圆于两点(异于点)，直线与圆都相切，设直线的斜率分别为． （i）求证:为定值； （ii）若直线的斜率为求弦长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据离心率及过点即可求解； （2）（ⅰ）设，表示出直线的方程，根据直线与圆相切得出，分别为方程的两根，由韦达定理即可证明；（ⅱ）设，，表示出直线的方程，联立方程组得出两根之积与两根之和，结合直线的斜率为即可求解． 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为点在椭圆上，所以， 因为椭圆的离心率，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）设，则直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 化简得：， 同理：， 所以，分别为方程的两根， 所以． （ⅱ）设，，直线， ， 化简得：， 由，联立消去y得： 所以，所以， 所以， 化简得：，所以或， 当时，直线， 所以在直线上，舍去． 所以，所以． 45．已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【分析】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或.    46．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，直线与交于两点，且弦长的最大值为. (1)求C的标准方程； (2)若原点到直线的距离为，求弦长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弦长的最大值为，得，结合椭圆的离心率求出半焦距，进而得到，求得椭圆的标准方程； （2）分斜率存在与否两种情况，设直线的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、弦长公式及点到直线的距离公式，，结合基本不等式可得结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为. 由题意得，，， 所以，，， 故C的标准方程为.    （2）当直线的斜率不存在时，其方程为：， 由，得，所以弦长； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由原点O到直线l的距离为，可得，即， 联立方程组， 消去得，. 设，， 则，， ， 设， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 因为， 故弦长的最大值为. 47．已知椭圆：的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，点不在直线上． （ⅰ）求弦长的取值范围； （ⅱ）设直线，直线与直线分别交于点，，试问的中点是否是定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）是定点 【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点代入求解即可. （2）（ⅰ）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合即已知条件求出的范围，设出，坐标，利用两点间距离公式即韦达定理得到，进一步求范围即可. （ⅱ）直线方程与联立，求出点坐标，直线方程与联立，求出点坐标，结合韦达定理化简求解即可. 【详解】（1）设的半焦距为，离心率，，所以，． 又点在上，所以，所以， 所以，，的方程是． （2）（ⅰ）设斜率为的直线的方程是． 由不在上，知，所以， 联立，消去化简得． 则判别式，解得，所以． 设点，，则由韦达定理得，． 所以由弦长公式，得 ． 因为，所以，所以， 所以，所以． 所以弦长的取值范围是． （ⅱ）由（ⅰ），， 直线的方程为，直线的方程与联立，解得． 直线的方程为，直线的方程与联立，解得， 所以的中点的坐标为， 因为直线的方程为，，，，， 所以 ， 所以的中点是定点． 48．已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或或或. 【分析】（1）根据条件，可得椭圆过点，代入方程，结合的关系，即可得答案. （2）由题意，设直线的方程为，设点，可得点坐标，将直线与椭圆方程联立，根据韦达定理，可得表达式，由题意，代入求解，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意，得，且易知椭圆过点. 把点代入椭圆的方程，得，解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可得，直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为. 设点，则. 联立消去，得， 所以， 所以. ，解得或， 所以直线的方程为或或或. 49．在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为． (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长； (3)若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合斜率公式计算即得动点的轨迹方程； （2）联立直线与椭圆得出韦达定理，再由弦长公式计算即得； （3）先设直线方程再联立，写出韦达定理，应用题设条件得出斜率关系，计算得出定点，再列出三角形的面积及基本不等式计算范围． 【详解】（1）设交点P的坐标为，因为直线AP与BP的斜率之积为， 所以，所以，则， 故动点P的轨迹方程为． （2）由与椭圆联立，可得， 设，则，       所以弦长． （3）设直线的方程为， 由得， 所以，， 因为恰好被x轴平分，所以，                所以直线的斜率与直线的斜率存在且， 即，整理得， 即，因，解得，即直线经过定点， 所以的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以面积的取值范围是． 50．已知椭圆的右顶点A，右焦点F，经过A、F两点的圆C与y轴相切于点，则圆C被直线AB截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可得A点坐标，求出线段长即可得解. 【详解】椭圆的右顶点，右焦点，则圆的圆心在直线上， 由圆与轴相切，得圆的半径，圆心到轴的距离， 即圆的圆心坐标为，因此点是圆C与y轴相切的切点， 所以. 故选：D    考点06 直线与椭圆定点定值问题 51．已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线的斜率存在，且直线的方程为：，其中，满足如下关系式：，过曲线上且不在直线上的点，作，为垂足. （i）证明直线过定点并求出； （ii）判定是否存在定点，使得为定值，存在的话求出，不存在的话说明理由. 【答案】(1) (2)（i）已知， 化简整理得，， 或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点. （ii）存在定点，使得为定值，且该定值为 【分析】（1）判断圆与圆是内切还是外切再根据题目条件列方程求解即可得出答案； （2）（i）将化简求出关于的关系式，代入直线方程即可得出答案； （ii）证明点的轨迹以为直径的圆的一部分，根据圆心到圆的距离为的一半，是定值，判断为中点，即可得出答案. 【详解】（1） 设圆的圆心坐标为，半径为， 由题可得圆的圆心坐标为，半径为， 圆的圆心坐标为，半径为， 因为，， 所以圆内含于圆， 因为圆与圆相切且与圆内切， 则此时圆与圆内切，且，，， ， 所以圆心的轨迹为椭圆，焦点为，， 有，，， 所以的方程为. （2）（i）略. （ii）存在.理由如下： ，，， 所以， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分， 故当点为的中点，即点为以为直径的圆的圆心， 即时，，为定值， 所以，存在定点，使得为定值，且该定值为. 52．已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)为定值零． 【分析】（1）由已知条件得关于的方程组，联立求解即可； （2）设、，将直线方程与椭圆联立，消元，得，由根与系数关系得：，再由斜率公式计算即可． 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为且直线平行于，所以可设直线的方程为． 由得 ， 设、，则 又 故， 又， 所以上式分子为 ， 故. 53．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)点为椭圆上任意一点，点为坐标原点关于直线的对称点，记点的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以为端点作射线（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点，，证明：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)（i），且不同时为0. （ii）曲线，且不同时为0，椭圆均关于坐标轴对称， 故不妨设射线，，，，，， 由，得，所以， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以， 若设射线，，同理可得， 因此，为定值. 【分析】（1）利用离心率条件、椭圆过点，联立求出； （2）（i）利用点关于直线对称的两个条件：中点在直线上、连线与直线垂直，消参得到的轨迹方程； （ii） 利用曲线与椭圆的对称性，设射线方程为，分别联立射线与曲线、椭圆的方程，求出两点横坐标，再表示出、，计算两者乘积得到定值. 【详解】（1）由题意，得，则，即， 因为椭圆E经过点，所以， 则，解得，则， 所以椭圆E的方程为. （2）（i）结合（1）可知，直线， 设点，由题可知点H与点O不重合，连接， ①当时，，直线l的斜率为，直线的斜率为，线段的中点坐标为， 由于点O与点H关于直线l对称，所以， 整理得，解得， 代入椭圆E的方程得， 整理得曲线的方程为； ②当时，易知此时点H坐标为或，经检验，也符合上式； ③当时，易知此时点H坐标为或，经检验，也符合上式； ④当且时，点G不在椭圆E上，不满足题意，故轨迹不包含原点. 综上所述，曲线的方程为，且不同时为0. （ii）略 54．在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． (1)求证：为定值； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)由椭圆，得， 设，易得， 则直线的方程为， 令，可得，则得，即， 因为是椭圆上异于的一个动点，故，即， 则，为定值. (2)12 【分析】（1）设，得到，再表示出，进而求证即可； （2）设，结合（1）得到，设，可将其理解为动点与定点所在直线的斜率，而动点在以原点为圆心的单位圆上，进而分析求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，直线的方程为，令，可得， 设以为直径的圆的圆心为点，则其坐标为，设交轴于点， 连接，则 ， ， 故 ， 因，则，（*） 因点在椭圆上，则可设， 代入（*），可得 ， 不妨设，则可将其理解为动点与定点所在直线的斜率， 又动点在以原点为圆心的单位圆上， 由圆心到直线的距离 ，解得， 依题意，需使，即，从而， 即四边形面积的最小值为. 55．已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：； (3)在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明：如图，设直线方程为，令， 由消去得，设， 解得，， 设直线的方程为，令， 由消去得，设， 解得，, 由三点共线，得，代入点坐标化简得， 由三点共线，同理得，因此， 所以. (3)存在点 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解即得. （2）求出直线方程，并与椭圆方程联立求出点的坐标，再利用三点共线列式推理得证. （3）由（2）中信息求出点的横纵坐标间的关系，再设出点的坐标，利用两点间距离公式，结合恒成立求出点的坐标即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：. （2）略 （3）由，得，则，解得， 由点在椭圆内部，得，解得，则， 设点，则， 若为定值，则，其中为常数， 平方并整理得恒成立， 因此，解得，， 所以存在点，使得为定值. 56．已知椭圆：的上下顶点分别为，，右焦点的坐标为．点是椭圆上位于第一象限或正半轴上的动点，设直线，的斜率为，，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点作圆的切线交椭圆于点（点位于点的下方）． （ⅰ）求线段的最大值； （ⅱ）设直线的斜率为，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）是定值，定值为 【分析】（1）根据椭圆性质、直线斜率公式及已知的值，结合联立方程求解，. （2）（ⅰ）利用切线性质得直线参数约束，联立切线与椭圆方程得弦长表达式，结合的范围即可求最值. （ⅱ）联立切线与椭圆方程，结合斜率公式和韦达定理化简等式，得到，再结合即可求解. 【详解】（1）由椭圆性质可得：上下顶点为、，右焦点为， 故，设椭圆上动点，所以，即， 根据直线斜率公式可得：​，，则， 将代入可得：，进一步化简可得： ，又因为，所以，由可得： ，解得，因此椭圆方程为. （2）（i）设点，由题意可知， 设直线的方程为，因为直线与圆相切， 可得：，即， 联立直线与椭圆方程消去得：， 故， 由弦长公式 代入韦达定理得： 平方得， 令得 此时， 此时， 当切线斜率不存在时，切线方程为，代入椭圆方程可得： ，化简可得：，即， 取上交点，下交点， 则，综上可得取得最大值：.​​ （ii）根据斜率的定义可得： ， 其中， 又，结合几何意义可得， 又，代入可得：， 化简可得：，又， 所以是个定值. 57．已知椭圆：的离心率为，左顶点为. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点. （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)（i） （ii）是， 【分析】（1）由椭圆的左顶点为和离心率为可得，，再根据可求得，即可求得椭圆的方程； （2）（i）根据直线过和倾斜角，求出直线的方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，再结合三角形面积公式即可得到的面积； （ii）根据题意设直线的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到点坐标关系，再根据斜率公式得到，的表达式，将展开后代入韦达定理的结论，化简后即可得到的定值. 【详解】（1）椭圆的离心率为，左顶点为，，，得； ； 椭圆的方程为. （2）（i）由（1）可得右焦点为，. 直线的倾斜角为，直线的斜率； 直线的方程为，即. 直线交于,两点，设点，. 联立，消去并整理得； ，，. . 的面积为. （ii）为定值，即，理由如下： 由直线过点，且交于,两点， 设直线：，点，. ，，. 联立，消去并整理得； 由，得，. . 为定值. 58．已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，． (1)求椭圆的方程； (2)求的值； (3)已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明：设，，，， 设直线：， 联立， 得，， ， 即，同理，，． 设直线：，令 则 ． 所以，直线的斜率为定值． 【分析】（1）根据及离心率得出，再根据即可求解； （2）分类讨论，当时，即可得出，当时，设：，结合韦达定理即可得出； （3）设，，，，设直线：，与椭圆方程联立结合韦达定理得出和，由斜率公式化简计算即可证明． 【详解】（1）由题知，，则，， 所以椭圆方程为． （2）①当过左焦点的直线斜率为时，设，，， 即，，故． ②当过左焦点的直线斜率不为时，设直线方程为：， 联立，得，， ，． 由得，， 即，同理， 即， 综上所述，． （3）略 59．已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：是定值； (3)是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性知； 因为，分别为线段，的中点， 所以， 又因为， 所以，即为定值． (3)存在，点或或或 【分析】（1）因为椭圆的方程和焦点坐标得到和的值，利用公式求出，从而得到椭圆的方程． （2）设椭圆的左焦点为，连接，，根据椭圆的对称性得到，利用，分别为线段，的中点得到，结合椭圆的定义得解. （3）假设存在点，使得，设点，由，关于轴对称得到，求出，由点在上得到，由，分别为线段，的中点得到，由得到，通过计算得解. 【详解】（1）因为椭圆， 为的右焦点， 所以，，所以， 所以椭圆． （2）略 （3）假设存在点，使得， 设点， 因为，关于轴对称， 所以， 所以． 因为点在上， 所以，即， 代入得到， 因为，分别为线段，的中点， 所以， 若，则，即，此时， 即，解得，， 所以存在点或或或， 使得． 60．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作轴的垂线交椭圆于两点（点在第一象限），且的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），若直线与的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明：将代入，得，点在第一象限，所以. 易知，直线与的倾斜角均不为， 所以斜率均存在，不为零，且斜率互为相反数. 设直线的方程为， 则直线的方程为. 设， 由，得， 则，所以，， 同理，用代换，得，， 所以直线的斜率为. 所以直线的斜率为定值，该定值为. 【分析】（1）设椭圆的焦距为，由题意直接求得，根据求得即可求得椭圆的标准方程； （2）求出点的坐标，设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立直线与椭圆的方程，用表示两点的坐标，即可求得直线的斜率为定值，并求出该定值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则， 由的周长为，得，所以. 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）略 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $