专题01 不等式性质与基本不等式（七大题型）（高效培优期中专项训练）数学北师大版高一必修第一册

专题01 不等式性质与基本不等式（七大题型） 考点01 比较大小 考点02 由不等式性质证明不等式 考点03 利用不等式求值或取值范围 考点04 基本不等式的最值问题 考点05 基本不等式的恒成立问题 考点06 基本不等式的应用 考点07 基本不等式的实际应用 考点01 比较大小 一、单选题 1．已知都是实数，那么“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．设，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 二、多选题 5．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 三、解答题 6．完成下列证明： (1)比较与的大小并证明； (2)求证：是等边三角形的充要条件是．这里是的三条边． 7．（1）比较与的大小． （2）已知，，求，的取值范围． 8．比较与（且，且）的大小． 9．（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 10．对于四个正数，如果 ，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试求元素取自这四个数的的“下位序列”； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断： 之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 考点02 由不等式性质证明不等式 一、单选题 1．已知a，b,c,d是实数，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 2．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 三、解答题 3．（1）已知，比较与的大小； （2）证明：若，则或. 4．（1）已知 ，求证：. （2）已知实数，满足，，求的取值范围. （3）已知实数满足条件：，. 甲同学做法：先求出的取值范围、的取值范围，再直接代入代数式，算出范围； 乙同学做法：使用待定系数整体配凑求的取值范围.①试分别写出甲、乙两人计算得到的结果；②判断哪位同学结果正确，并利用不等式的性质简要说明为什么另一种解法是错误的； 5．根据生活经验，若杯中盛有克糖水，其中含有克糖.再向杯中添加克糖（假设完全溶解），则糖水变甜了. (1)请将上述生活经验用一个不等式表示出来，并加以证明； (2)设，，是一个三角形的三边长，若，求正整数的最小值. 6．（1）已知，求证：； （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 7．已知，求证:. 8．完成下列证明： (1)已知，，，求证：； (2)求证：是等边三角形的充要条件是.这里a，b，c是的三条边. 9．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 10．（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 考点03 利用不等式求值或取值范围 一、单选题 1．若不等式的解集包含集合，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，满足，，则的最大值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 8．设实数a，b，c满足，则的最小值为______． 9．为了加强家校联系，蔡老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为_______ 四、解答题 10．对平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是点的“上位点”还是“下位点”，并证明你的结论； (3)设正整数n满足以下条件：对集合内的任意元素m，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，问这样的正整数是否存在?若存在，求正整数的值；若不存在，请说明理由. 考点04 基本不等式的最值问题 一、单选题 1．已知均为正实数，为非零实数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知，，，，且，则下列命题中正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D． 4．已知，，且，则（   ） A． B． C． D．的最小值是 5．设正实数x，y满足，则（    ） A．有最大值为1 B．有最小值为4 C．有最小值为 D．有最大值为 6．设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为 三、填空题 7．已知，则的最小值是__________． 8．已知且，则的最小值为__________. 9．已知，若存在，，使得成立，则的取值范围为______． 四、解答题 10．（1）已知，，且，求的最大值； （2）若正数、满足，求的最小值； （3）已知，求的最小值． （4）若，求的最大值； （5）已知，，，求的最小值． 考点05基本不等式的恒成立问题 一、单选题 1．已知方程有两个不相等的实数根，，若对任意的，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．若不等式对满足条件的恒成立，则整数k的最大值为（    ） A．5 B．4 C．7 D．9 二、填空题 4．已知，，若命题“，使得”是假命题，且满足恒成立，则实数取值范围是__________． 5．已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 6．已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 7．设正数满足，则使恒成立的实数的最大值是_______． 8．存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 三、解答题 9．已知，，且． (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值． 10．回答以下问题： (1)当时，比较与的大小； (2)已知正数，满足，若恒成立，求的取值范围． 考点06 基本不等式的应用 一、单选题 1．已知实数，则（     ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值6 D．无最大值 2．已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为 C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为 3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．25 二、多选题 4．已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B． 的最小值为 C． 的最小值为2 D．的最大值为 三、填空题 5．已知实数，满足，则的最小值为______． 6．设、、是三个正实数，且，则的最大值为________． 7．若，，为正实数，，则的最小值为________． 8．已知，，满足，求的最小值________． 四、解答题 9．已知，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 10．（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 考点07 基本不等式的实际应用 一、填空题 1．如图，怡海中学高一年级数学组需要从纸壳边角料上截取矩形纸片加以利用．已知，设，当截取的矩形纸片的面积最大时，___________，___________ 二、解答题 2．现有某服装制造公司，设公司与服装贸易中心距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：公司每年仓库存储费用（单位：万元）与成反比；每年运输费（单位：万元）与成正比．已知公司与服装贸易中心距离为1时，和分别为万元和万元． (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司与服装贸易中心距离为多少千米时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 3．如图，甲同学准备设计一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为．要求图案在画报内左右各留白，上下各留白． (1)试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的周长最小？周长最小值是多少？ (2)试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的面积最小？面积最小值是多少？ 4．如图1，长方形的周长为16． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ (2)沿折叠使点到点位置，如图2所示，交于点，请解决下面两个问题： （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由． 5．如图，是两条长度均是的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在上，且该矩形区域内种满了荷花.为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花.已知.记的面积为. (1)设，试用表示，并写出的取值范围. (2)当的长度为多少时，取得最小值？的最小值是多少？ 6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，左右两侧力臂长度分别为厘米和厘米，且，一位顾客到店购买克黄金. (1)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，当时，顾客得到多少克黄金? (2)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.判断顾客购得的黄金是小于克，等于克，还是大于克?请说明原因. 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长 7．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 8．某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． (1)若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； (2)若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 9．如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 10．某厂家拟2027年举行某产品的促销活动．经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． (1)求的值； (2)将2027年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)问该厂家2027年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？求出利润的最大值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 不等式性质与基本不等式（七大题型） 考点01 比较大小 考点02 由不等式性质证明不等式 考点03 利用不等式求值或取值范围 考点04 基本不等式的最值问题 考点05 基本不等式的恒成立问题 考点06 基本不等式的应用 考点07 基本不等式的实际应用 考点01 比较大小 一、单选题 1．已知都是实数，那么“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，，但， 故由不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项CD：例如，满足， 但，，则，故CD错误. 3．设，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故. 4．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 二、多选题 5．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】A选项：若，取，则，但，故A错误； B选项：由同向不等式可加性，若，则，故B正确； C选项：若，则，两边同除以得，故C正确； D选项：， 因为，所以，， 所以，即，故D错误. 三、解答题 6．完成下列证明： (1)比较与的大小并证明； (2)求证：是等边三角形的充要条件是．这里是的三条边． 【答案】(1)，理由如下： ，， ， 又， 则， 即； (2)先证明充分性： 由， 即， 所以， 所以，三角形为等边三角形. 然后证明必要性. 当三角形是等边三角形时，，所以. 综上所述，是等边三角形的充要条件是. 【分析】（1）利用不等式性质证明； （2）根据充分性与必要性定义证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 7．（1）比较与的大小． （2）已知，，求，的取值范围． 【答案】（1）（2）； 【详解】（1）由题意得 ， ，，， 故. （2）因为；，所以； 因为， ，，得到． 8．比较与（且，且）的大小． 【答案】（当且仅当时等号成立） 【分析】由且，且，得，；通过作商法比较与的大小. 【详解】且，且，，. . 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 综上所述，（当且仅当时等号成立）. 9．（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 10．对于四个正数，如果 ，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试求元素取自这四个数的的“下位序列”； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断： 之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 【答案】(1)和 (2)由是的“下位序列”，得，即.① 因为， 所以，② 因为， 所以，③ 由②③得. (3) 【分析】（1）根据新定义求解； （2）根据新定义，结合不等式的性质，利用作差法得到结论； （3）根据定义结合第（2）的结论求解. 【详解】（1）设是的“下位序列”，其中、取自且， 由定义得, 若，则，与矛盾， 当且时取等号，不成立，故只能， 此时，即，故可取或，检验， ，均成立， 所以的“下位序列”为和. （2）略 （3）是 的“下位序列”， 是的“下位序列”， 于是问题等价于：求最小正整数，使得对每个， 都存在正整数满足， 取，， ， ， 两个不等式均等价于，对恒成立，故满足要求. 设正整数满足要求，特别取，则存在正整数， 使，即， 令，由知为正整数， 代入得，即， 当时，，无正整数解； 当时，，得； 当时，，此时的取值大于， 故一切满足条件的均有，则正整数的最小值为. 考点02 由不等式性质证明不等式 一、单选题 1．已知a，b,c,d是实数，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】应用不等式性质化简得出充分性成立，再应用特殊值法判断必要性即可. 【详解】当， 又，∴，充分性成立， 反过来，不妨取，，，，则， 但且不成立，故必要性不成立． 故选：A. 二、多选题 2．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AD 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，正确； 对于B，若，则，错误； 对于C，若，则，错误； 对于D，， 因为，，所以，所以，正确. 三、解答题 3．（1）已知，比较与的大小； （2）证明：若，则或. 【答案】（1）； （2）证明：（反证法）假设结论不成立，即“或”不成立， 可得“或”的否定成立，即“且”成立， 若且，根据不等式的基本性质，可得， 这与已知条件“”矛盾，所以假设不成立， 所以原命题成立，即若，则或. 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用反证法，即可得证. 【详解】（1）由， 因为，所以，所以. （2）略 4．（1）已知 ，求证：. （2）已知实数，满足，，求的取值范围. （3）已知实数满足条件：，. 甲同学做法：先求出的取值范围、的取值范围，再直接代入代数式，算出范围； 乙同学做法：使用待定系数整体配凑求的取值范围.①试分别写出甲、乙两人计算得到的结果；②判断哪位同学结果正确，并利用不等式的性质简要说明为什么另一种解法是错误的； 【答案】（1）证明：因为，所以，所以，两边同乘以，得. 又，不等式两边同乘负数，不等号反向，所以. （2） （3）①甲同学计算结果；乙同学计算结果 ②乙同学结果正确. 由不等式性质，、并不是相互独立变量，取边界值时，并不能同时取到对应的边界值.单独求出、各自的范围再代入代数式，会扩大最终取值范围，因此甲的解法错误. 【分析】（1）利用不等式性质证明即可； （2）设，利用恒等式得，进而得，进而利用不等式性质可求解； （3）①甲同学，利用不等式性质求得，，进而利用不等式性质求得范围；乙同学：设，利用恒等式得，进而得，进而利用不等式性质可求解； ②乙同学结果正确，说明范围扩大的原因即可. 【详解】（1）略. （2）解：设， 列方程组：，解得：， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 两式相加：， 所以. （3）①解：甲同学： 两式相加：，即； 所以，与相加，得，即. 由，，得. 乙同学：设， 得，解得：， 所以， 因为， 相加得：. 所以甲结果：；乙结果：. ②略 5．根据生活经验，若杯中盛有克糖水，其中含有克糖.再向杯中添加克糖（假设完全溶解），则糖水变甜了. (1)请将上述生活经验用一个不等式表示出来，并加以证明； (2)设，，是一个三角形的三边长，若，求正整数的最小值. 【答案】(1)（其中，）， 下面给予证明：， 因为，，，，所以，故. (2)2 【分析】（1）根据题意列出不等式，通过作差法证明不等式成立； （2）由（1）得到，，.三个不等式相加，得到不等式左边的范围，再结合特殊值得到正整数的最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得：，，， 三个不等式相加，得 ，故. 又当时，故. 所以正整数的最小值为2. 6．（1）已知，求证：； （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【答案】（1）证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，又因为，所以． 方法二： ， 因为，所以，，，， 所以，所以，所以， 因此． （2）证明：充分性：因为， 所以方程的判别式，且，， 所以方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，， 则有，解得． 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【详解】略. 7．已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 8．完成下列证明： (1)已知，，，求证：； (2)求证：是等边三角形的充要条件是.这里a，b，c是的三条边. 【答案】(1) ，， 又，， ，又，. (2) 先证明充分性： 由， 即， 所以， 所以，三角形为等边三角形. 然后证明必要性. 当三角形是等边三角形时，，所以. 综上所述，是等边三角形的充要条件是. 【分析】（1）利用不等式性质证明； （2）根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 9．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 【答案】(1)， (2) 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； (3)4039 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论； （3）先由推导出，结合（2）中的结论，可得，，满足条件，可得出的最小值. 【详解】（1）由， 根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和. （2）略 （3）若正整数满足条件，在，时恒成立， 即， 所以所以， 所以，在，时恒成立， 所以， 又由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 因此，的最小值为4039． 10．（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】 （1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 考点03 利用不等式求值或取值范围 一、单选题 1．若不等式的解集包含集合，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式的解集包含集合,等价于对任意都有，然后求解恒成立问题即可. 【详解】不等式的解集包含集合， 等价于对任意都有， 即，亦即对一切成立． 于是时，且， 故． 2．已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 所以，解得，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以. 3．已知，满足，，则的最大值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即，则的最大值为7. 4．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把目标式拆成两个已知不等式的线性组合，再利用不等式同向可加性即可求得. 【详解】设，则， 所以，解得，即， 因为，， 所以，， 所以，即. 5．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式性质结合条件可得 的取值范围. 【详解】， ，又 ， ∴， . 6．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，即， 而， 则， 即，得，所以. 二、多选题 7．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举反例判断A；由不等式的性质判断B,C；利用作差法判断D. 【详解】对于A，当时，满足， 但，不满足，故A错误； 对于B，因为，所以， 由不等式的同向相加性质可知，故B正确； 对于C，因为， 所以， 由不等式的同向相加性质可知，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D正确. 三、填空题 8．设实数a，b，c满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，结合配方得到，进而根据平方的非负性即可得到答案． 【详解】因为，所以， 当，，（此时成立）时取到等号．故最小值为． 9．为了加强家校联系，蔡老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为_______ 【答案】22 【详解】设男学生、女学生、家长、教师人数分别为，由题意： 且，因为人数都是正整数，且，所以， 又因为，所以，即，解得， 所以教师人数最少为.为了求最小值， 即可取最小情况为，经检验显然满足题意； 故此时总人数为，因此，该微信群人数的最小值为. 四、解答题 10．对平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是点的“上位点”还是“下位点”，并证明你的结论； (3)设正整数n满足以下条件：对集合内的任意元素m，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，问这样的正整数是否存在?若存在，求正整数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（答案不唯一，比值大于即可）. (2)点是点的“上位点”. 是点的“上位点”，所以. 因为，，，，两边同乘得，即. 作差比较与：. 所以点是点的“上位点”. (3)存在，. 【分析】(1)问按定义写一个比值大于的第一象限点. (2)问作差比较与，符号归结为. (3)问把两个"位点"关系翻译成关于的双侧不等式，两个界关于的单调性相反，都在处最紧，从而夹出唯一的. 【详解】（1）由定义，点是点的"上位点"，当且仅当且，. 取，因为，所以点是点的一个"上位点".（答案不唯一） （2）略 （3）由定义，点是点的下位点即； 点是点的上位点即. 代入，得对任意，都有. 右边随增大而减小，故最近处在， 得，所以. 左边随增大而增大，故最近处也在， 得，所以. 综上，. 检验：当时，对任意，是正整数， 且，成立； ，成立. 又各点横纵坐标均为正，都在第一象限内，符合定义. 所以满足条件的正整数存在，其值为. 考点04 基本不等式的最值问题 一、单选题 1．已知均为正实数，为非零实数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对原式变形，利用基本不等式分析求解即可. 【详解】因为为非零实数，所以，且均为正实数， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为． 2．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 当且仅当时取等，由解得， 即当时，的最小值是. 二、多选题 3．已知，，，，且，则下列命题中正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D． 【答案】AC 【分析】对于A，B根据条件，利用基本不等式，即可求解；对C条件得，即可求解；对D根据条件，利用作差法，即可求解. 【详解】对于A：，，且， 则，当且仅当，即时取等号，所以A选项正确； 对于B：， 当且仅当，即时取等号，所以命题B错误； 对于C：，则，且，即， 所以， 当时，取到最小值，所以命题C正确； 对于D：，则， 又，，，则，所以，即，所以D选项错误； 4．已知，，且，则（   ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】CD 【分析】对A利用基本不等式构造，解出范围即可；对于B构造得到最小值，同时注意；对C把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式计算即可求出最值，对D把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式计算即可求出最值 【详解】对于A：因为,,且， 所以， 当且仅当时，等号成立，解得， 即，故A错误； 对于B：因为，当且仅当时等号成立， 解得，因为， 所以，故B错误； 对于C：由得， 所以，， 所以 当且仅当，即或，等号成立， 又，所以等号无法取到，即，故C正确； 对于D： 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 5．设正实数x，y满足，则（    ） A．有最大值为1 B．有最小值为4 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式变形求出最值判断AB；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可判断C；先将平方展开，再利用基本不等式求出，进一步运算即可判断D. 【详解】对于A，由基本不等式可得，因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时有最大值为1，故A正确； 对于B，因为，所以， 根据选项A可知，所以，即， 当且仅当时等号成立，此时有最小值为2，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以， 当且仅当，解得时等号成立， 此时有最小值为，故C正确； 对于D， 又因为，则， 即，所以， 当且仅当，即时等号成立， 此时有最大值为，故D正确. 6．设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断ACD；利用消元并配方求出最小值判断B. 【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，则， 当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 三、填空题 7．已知，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】令 ，因为，所以， 所以， 由基本不等式：，当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 8．已知且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】变换，代入计算得到答案. 【详解】设存在正实数且，使得. 根据均值不等式，要使不等式成立，需满足，即. 结合已知条件，要使可转化为含的形式，需满足 ，即. 联立，解得，即， 故. 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 9．已知，若存在，，使得成立，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】通过分离参数，根据基本不等式及换元法求解即可. 【详解】由，得. 因为，所以，则. 故若存在，，使得成立等价于. ，当且仅当时，等号成立. 令，， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 联立，解得或，满足. 所以当或时，取得最小值，最小值为4. 故的取值范围为. 四、解答题 10．（1）已知，，且，求的最大值； （2）若正数、满足，求的最小值； （3）已知，求的最小值． （4）若，求的最大值； （5）已知，，，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【分析】（1）由基本不等式得出，即可得出的最大值； （2）由已知等式得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （3）将函数解析式变形为，结合基本不等式求解即可； （4）将函数解析式变形为，结合基本不等式求解即可； （5）由已知等式变形得出，再结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为； （2）因为正数、满足，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为； （3）因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为； （4）因为，所以， 由基本不等式可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最大值为； （5）因为，，，所以， 即，即，即， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 考点05基本不等式的恒成立问题 一、单选题 1．已知方程有两个不相等的实数根，，若对任意的，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用判别式与韦达定理表示两根差的绝对值，再借助基本不等式求出分式的最小值，由恒成立条件即可求得参数范围. 【详解】因为方程有两个不相等的实数根，， ，即. 所以， 因为对任意的，都有成立， 所以只需即可. 因为， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为4， 所以，解得， 综上可得的取值范围为. 2．已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 3．若不等式对满足条件的恒成立，则整数k的最大值为（    ） A．5 B．4 C．7 D．9 【答案】B 【分析】将不等式化为，利用基本不等式求出，即可得解. 【详解】因为，所以，，， 不等式， 即， 即 又 当且仅当时，取等号， 则，即， 则整数k的最大值为 【点睛】本题考查基本不等式求最值. 二、填空题 4．已知，，若命题“，使得”是假命题，且满足恒成立，则实数取值范围是__________． 【答案】 【分析】先由存在量词命题为假命题，推得其否定为真命题，再由两根相等推出，根据“乘1法”和基本不等式求出的最小值，再由函数不等式恒成立求解一元二次不等式即得. 【详解】因命题“，使得”是假命题， 则“，使得”为真命题，则，即， 则， 因，，则， 当且仅当时即时等号成立， 因恒成立，则，即，解得. 所以实数取值范围是. 5．已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 若命题：“，恒成立”是真命题， 则，可得， 所以实数的取值范围是. 6．已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 【答案】4 【分析】利用基本不等式可得的最小值，从而得到，求出答案 【详解】，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，则，即， 解得，所以， 则的最小值是. 7．设正数满足，则使恒成立的实数的最大值是_______． 【答案】 【分析】由正数条件得，作比值换元，将约束条件与目标不等式全部转化为关于的不等式，恒成立问题转化为求式子最小值，借助换元和基本不等式求解. 【详解】由，得，即， 利用立方和公式得， 令，则，代入得， 所以，所以， 则， 要使恒成立，需使恒成立， 因为，所以，分离参数得， ， 当且仅当时等号成立，所以， 要对所有恒成立，则， 所以，的最大值为. 8．存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 【答案】50 【分析】先根据存在性，把问题转化成求右侧齐次式代数式最小值；利用双换元减少变量化成可用基本不等式的形式，最后验证等号成立的条件. 【详解】原不等式变形为， 题目为存在性问题，只需大于等于右侧代数式的最小值即可. 令，则 当且仅当即时取等号. 故即的最小值为 三、解答题 9．已知，，且． (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值． 【答案】(1)8 (2)4 【分析】（1）使用“1”的妙用和基本不等式求解； （2）分离参数后，将问题转化为恒成立，消元求解. 【详解】（1）由题可知， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为8； （2）由，，，得， 将代入得， 所以要使恒成立， 则，即的最大值为4. 10．回答以下问题： (1)当时，比较与的大小； (2)已知正数，满足，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) 【详解】（1）因为， 所以当时，；当时， （2）因为是正数，所以是正数， 因为， 所以 ， 等号成立时，即， 因为恒成立，所以， 故的取值范围为. 考点06 基本不等式的应用 一、单选题 1．已知实数，则（     ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值6 D．无最大值 【答案】B 【分析】对分式变形，利用均值不等式即可求解. 【详解】， 因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 2．已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为 C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为 【答案】C 【分析】利用已知条件变形得到、，用基本不等式可得. 【详解】已知，因此、，符合基本不等式的使用条件. 对函数变形可得： , 根据基本不等式，对正数有，令，， 代入得： , 当且仅当即时等号成立. 因此，即有最小值. 3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】A 【分析】利用权方和不等式结合题设可得答案. 【详解】由权方和不等式可知， 当且仅当，即时取等号. 所以z的最小值为. 二、多选题 4．已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B． 的最小值为 C． 的最小值为2 D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A：由基本不等式，， 当且仅当时取等号，故最大值为，故A正确； 对于B： 当且仅当，即时取等号， 结合可得当，时，取最小值，最小值为，故B错误； 对于C：，， 所以，当取等号， 最小值为，故C正确； 对于D： 即，当且仅当， 即时取等号，最大值为，故D正确. 三、填空题 5．已知实数，满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】题干等式可化为，根据再结合重要不等式即可求解. 【详解】，则， 即， 又， （当且仅当，即或等号成立）， 则的最小值为． 6．设、、是三个正实数，且，则的最大值为________． 【答案】 【分析】由得到，代入转化为，令，，得到，利用基本不等式求解. 【详解】因为正数满足，则可得，即，所以， 所以， 令，结合题意知，设， ， 当且仅当，即时，取等号， 所以 所以的最大值为. 7．若，，为正实数，，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】由题意可得，把三式变形相加后利用基本不等式即可求得最值. 【详解】由，可得， 变形得， 所以 . 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为. 8．已知，，满足，求的最小值________． 【答案】 【分析】令换元变成，由通过1的代换构造利用基本不等式可求最值. 【详解】令，则 所以 因为，所以，故， 而，，故，同理， 而， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 【点睛】合理利用换元将复杂式子转化成熟悉的基本不等式问题求解. 四、解答题 9．已知，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）变形为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以，当时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 10．（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）根据题意利用作差法结合不等式性质分析判断即可； （2）整理可得，结合基本不等式运算求解即可； 【详解】（1）因为 ， 又因为，则，， 且，， 可得，即， 所以； （2）因为，且，则， 又因为，即， 整理可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 考点07 基本不等式的实际应用 一、填空题 1．如图，怡海中学高一年级数学组需要从纸壳边角料上截取矩形纸片加以利用．已知，设，当截取的矩形纸片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 2 【详解】设矩形纸片的面积为， 因为，所以，解得 ， 所以 ，则 ， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时 ． 二、解答题 2．现有某服装制造公司，设公司与服装贸易中心距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：公司每年仓库存储费用（单位：万元）与成反比；每年运输费（单位：万元）与成正比．已知公司与服装贸易中心距离为1时，和分别为万元和万元． (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司与服装贸易中心距离为多少千米时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)当这家公司与服装贸易中心距离千米时，两项费用之和最小，最小值为万元 【分析】（1）根据已知成反比和正比的条件，分别设和，又已知当时，、，代入即可求出，从而求出，关于的函数表达式； （2）利用基本不等式即可求出最小值，及取最小值时的的值. 【详解】（1）由题可知，与成反比，则设， 当时，，所以，因此， 又与成正比，则设， 当时，，所以，因此； （2）设两项费用之和为万元，则， 整理得，又， 所以根据基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时取最小值为， 因此，当这家公司与服装贸易中心距离千米时，两项费用之和最小，最小值为万元. 3．如图，甲同学准备设计一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为．要求图案在画报内左右各留白，上下各留白． (1)试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的周长最小？周长最小值是多少？ (2)试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的面积最小？面积最小值是多少？ 【答案】(1)当矩形图案的长、宽均为时，可使整个画报的周长最小，且最小值是． (2)当矩形图案的宽为，长为时，可使整个画报的面积最小，且最小值是． 【分析】（1）设图案的长为、宽为，由面积得，将海报周长表示为的函数，利用基本不等式求最小值及取等条件； （2）将海报面积表示为、、的表达式，代入后转化为关于的函数，再用基本不等式求最小值及取等条件. 【详解】（1）设矩形图案的长为，宽为，则，画报的宽为，长为． 画报的周长（单位：cm）， 当且仅当时，等号成立． 故当矩形图案的长、宽均为时，可使整个画报的周长最小，且最小值是． （2）画报的面积（单位：） ，当且仅当时，等号成立． 故当矩形图案的宽为，长为时，可使整个画报的面积最小，且最小值是． 4．如图1，长方形的周长为16． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ (2)沿折叠使点到点位置，如图2所示，交于点，请解决下面两个问题： （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）8；（ii）面积存在最大值，此时. 【分析】（1）设，，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（i）证明，得，进而可求得的周长；（ii）设，在中，由勾股定理可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由长方形的周长为16，得，又，则， 设，在中，由点在线段上，得，且， ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值是. （2）（i）折叠后可得，，， 所以，所以， 所以的周长为. （ii）设，由及，得，， 设，则， 在中，由勾股定理得，解得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积存在最大值，此时，最大值为. 5．如图，是两条长度均是的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在上，且该矩形区域内种满了荷花.为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花.已知.记的面积为. (1)设，试用表示，并写出的取值范围. (2)当的长度为多少时，取得最小值？的最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)当的长度为时，取得最小值，且的最小值为 【分析】（1）借助相似三角形性质可用表示，结合，可得的取值范围； （2）表示出面积后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，即， 则，故， 又，故，解得； （2） ， 当且仅当时，等号成立， 故当的长度为时，取得最小值，且的最小值为. 6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，左右两侧力臂长度分别为厘米和厘米，且，一位顾客到店购买克黄金. (1)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，当时，顾客得到多少克黄金? (2)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.判断顾客购得的黄金是小于克，等于克，还是大于克?请说明原因. 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长 【答案】(1)克 (2)顾客购得的黄金大于，理由如下： 由题可知，天平两臂不等长，则，，， 设先称得黄金为，后称得黄金为，则，. ∴，∴， ∴. 当且仅当，即时等号成立， 但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金大于. 【分析】（1）由题意得到方程，代入求出答案； （2）设先称得黄金为，后称得黄金为，从而得到方程，结合基本不等式求出，得到答案 【详解】（1）设顾客得到克黄金，由题意知，. 将代入得到，解得克. （2）略 7．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】(1)当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元 (2) 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， ，又，故， 即的取值范围为. 8．某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． (1)若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； (2)若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 【答案】(1)元 (2)（ⅰ）； （ⅱ）当时，该污水处理池的容积最大，最大容积为． 【分析】（1）根据题意，列出方程，结合基本不等式即可求解； （2）（i）根据题意，列出方程即可；（ii）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，设污水处理池的建造成本为元， 则， 又，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以污水处理池的最低建造成本为元. （2）（ⅰ）由题意知，所以， 整理得， 又，所以，解得， 所以． （ⅱ）由题意，处理池的容积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最大容积. 9．如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）设花坛的长为米，由花坛的宽与长之比为（），得到花坛的宽为米，由花坛的周长为120米和矩形花坛的面积为500平方米，建立和的等式，求解即可； （2）设花坛的长为米，得到花坛的宽为米，由题中条件得到，整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米，从而求得整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 花坛的周长为120米，， 矩形花坛的面积为500平方米，，联立， 解得，故花坛的宽为米. （2）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 矩形花坛的面积为500平方米，，，， ，， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积为， 展开得到，， ，， ，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小， 故整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小时，. 10．某厂家拟2027年举行某产品的促销活动．经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． (1)求的值； (2)将2027年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)问该厂家2027年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？求出利润的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3)投入3万元时，厂家的利润最大，利润最大为29万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售收入减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2027年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2027年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $