专题01 集合与常用逻辑用语11大题型（期中专项训练）高一数学上学期北师大版

专题01 集合与常用逻辑用语 基础·固本强基 题型 1 集合基本概念辨析（元素特性、空集、数集点集） 题型 2 集合交、并、补基础运算（不含参数） 题型 3 充分、必要条件概念判断（定性，不含参数） 题型 4 全称量词与存在量词命题的否定 提升·进阶突破 题型 5 含参集合的子集问题（高频重点） 题型 6 含参集合交集、并集、交集为空集 题型 7 充分不必要 / 必要不充分条件转化集合真子集（高频重点） 题型 8 复合命题真假判断 拔高·压轴破难 题型 9 全称命题恒成立、特称命题能成立（有解）（难点） 题型 10 双变量 “任意存在” 问题（值域包含）（难点） 题型 11 集合计数、新定义阅读理解题 4 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 集合基本概念辨析（元素特性、空集、数集点集） 【模型】集合三要素：确定性、互异性、无序性；区分数集与点集；空集是任何集合的子集。 【步骤】①判断元素：互异性，集合元素不能重复； ②区分数集与点集； ③空集不含任何元素，是所有集合的子集。 【易错】忽略互异性，求出参数后代入集合要检验元素重复；混淆点集和数集；空集不是{0\}。 1．（期中.安徽）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 2．（期中.安徽）设集合，若，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．0 3．（期中.安徽）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题 D．集合中的元素个数为8 题型 2 集合交、并、补基础运算（不含参数） 【模型】取公共元素；取全部元素；取全集中不属于A的元素；可以结合数轴、Venn 图。 【步骤】①化简集合（解不等式、解方程）； ②数轴 / Venn 图标出集合范围； ③按照定义求交、并、补。 【易错】解不等式端点是否取等号；Venn 图应用题，分清 “只参加、都参加、都不参加”。 1．（期中.安徽）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（期中.江西）设全集，集合，，则 A． B． C． D． 3．（期中.江西）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 4．（期中.安徽）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 题型 3 充分、必要条件概念判断（定性，不含参数） 【模型】若，p是q充分条件； 若，p是q必要条件； 转化：小范围大范围。 【步骤】①判断推导方向； ②小范围可以推出大范围，反之不行。 1．（期中.陕西）已知为实数，那么方程没有实数解是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（期中.江西）若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（期中.安徽）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（期中.江西）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（期中.安徽）下列选项中，是的必要不充分条件的是（    ） A． B． C．：关于的方程有解， 或 D． 6．（期中.陕西）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 题型 4 全称量词与存在量词命题的否定 【模型】全称命题否定； 特称命题否定：； 只改量词和结论，不变条件范围。 【步骤】①改换量词：； ②否定后面命题，定义域保持原样。 1．（期中.江西）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 2．（期中.陕西）若“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是_______________． 提升·进阶突破 题型 5 含参集合的子集问题 【模型】A是B子集：A中所有元素都属于B；优先讨论空集情况。 【步骤】①分类： 和 ； ②非空时，利用数轴列出端点不等式； ③检验等号是否可取。 1．（期中.陕西）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 2．（期中.江西）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 3．（期中.陕西）已知集合，． (1)若，求和； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 4．（期中.江西）已知集合，集合. (1)若，求，； (2)若集合是的子集，求实数的取值范围. 5．（期中.陕西）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围． 6．（期中.陕西）已知全集，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型 6 含参集合交集、并集、交集为空集 【模型】：两个集合没有公共元素；借助数轴分析区间位置。 【步骤】①化简集合； ②数轴画出两个集合； ③列出不等式，注意空集优先； ④检验端点。 1．（期中.安徽）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，使得，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 2．（期中.安徽）已知集合，.若，则的取值范围是________. 3．（期中.安徽）已知，集合或，若，使得，都有，则__________. 4．（期中.江西）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若有唯一子集，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 5．（期中.陕西）已知集合． (1)求， (2)若 ，求实数的取值范围． 6．（期中.安徽）已知集合，． (1)若，求的取值集合； (2)若，求的取值集合． 7．（期中.陕西）已知集合，且. (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型 7 充分不必要 / 必要不充分条件转化集合真子集（高频重点） 【模型】认“基本初等函数”→ 直接套增减性结论，不做变形。 【步骤】p是q充分不必要条件：，等价对应集合； p是q必要不充分条件：，等价对应集合。 【步骤】①把命题翻译对应集合P、Q； ②写出真子集关系； ③数轴列不等式； ④检验等号不能同时成立。 1．（期中.陕西）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（期中.江西）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（期中.安徽）已知函数的定义域为集合，集合，非空集合 (1)若为实数集，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 4．（期中.江西）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 5．（期中.江西）已知全集，：，：，其中. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 6．（期中.陕西）已知集合． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 7．（期中.江西）已知非空集合，． (1)当时，求；； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 8．（期中.陕西）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 9．（期中.江西）已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 10．（期中.安徽）设集合，，. (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 题型 8 复合命题真假判断 【模型】p且q：全真才真，一假即假；p或q：一真即真，全假才假。 【步骤】①分别求出p为真、q为真的参数范围； ②根据 “且 / 或” 求交集或者并集； ③看清题干条件：p真q假 / 至少一个真 / 有且仅有一个真。 1．（期中.江西）已知命题：；命题：，若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（期中.陕西）已知命题，命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．（期中.江西）已知，，，. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和均为真命题，求的取值范围. 4．（期中.安徽）已知命题，不等式恒成立；命题，使得成立. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若为真命题，求的取值范围； (3)若命题、有且只有一个是真命题，求的取值范围. 拔高·压轴破难 题型 9 全称命题恒成立、特称命题能成立（有解） 【模型】恒成立：对区间内全部x成立；有解：区间内存在至少一个x满足条件。 经常结合二次不等式，判别式、参变分离。 【步骤】①识别关键词 “任意 / 存在”； ②二次函数恒成立看判别式，或者参变分离转化最值； ③有解与恒成立不要混淆。 【易错】恒成立≠有解；二次不等式注意二次项系数是否为 0。 1．（期中.安徽）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（期中.安徽）已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 题型 10 双变量 “任意存在” 问题（值域包含） 【模型】，使得条件成立，等价于一个集合的值域是另一个集合值域的子集。 【步骤】①分别求两个变量对应取值范围； ②转化集合包含关系； ③列不等式求解参数。 【易错】分清是谁包含谁，不要写反子集方向。 1．（期中.江西）已知函数，函数若，，使得成立，则实数的取值范围为____________. 题型 11 集合计数、新定义阅读理解题 【模型】新定义：数域、集合新运算、集合元素个数；分类计数，列举分析。 【步骤】①读懂题干给出新规则； ②代入例子验证理解定义； ③分类讨论、列举，排除反例。 1．（期中.江西）当一个非空数集满足“任意，则，，，且时，”，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（    ） A．0是任何数域的元素 B．若数域有非零元素，则 C．集合是一个数域 D．任何一个数域的元素个数必为奇数 2．（期中.陕西）设有限集所含元素的个数用表示，并规定.已知集合、满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为_____. 3．（期中.陕西）用 表示非空集合 中元素的个数，定义 ，若 ， ，若 ，则实数 的所有可能值构成的集合为_____. 4．（期中.陕西）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 5．（期中.陕西）已知，全集，集合，. (1)若，且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 6．（期中.江西）已知集合，. (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围. 7．（期中.江西）已知集合，. (1)若，求的取值集合； (2)若是的必要条件，求的取值集合； (3)若，求的取值集合. $专题01 集合与常用逻辑用语 基础·固本强基 题型 1 集合基本概念辨析（元素特性、空集、数集点集） 题型 2 集合交、并、补基础运算（不含参数） 题型 3 充分、必要条件概念判断（定性，不含参数） 题型 4 全称量词与存在量词命题的否定 提升·进阶突破 题型 5 含参集合的子集问题（高频重点） 题型 6 含参集合交集、并集、交集为空集 题型 7 充分不必要 / 必要不充分条件转化集合真子集（高频重点） 题型 8 复合命题真假判断 拔高·压轴破难 题型 9 全称命题恒成立、特称命题能成立（有解）（难点） 题型 10 双变量 “任意存在” 问题（值域包含）（难点） 题型 11 集合计数、新定义阅读理解题 4 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 集合基本概念辨析（元素特性、空集、数集点集） 【模型】集合三要素：确定性、互异性、无序性；区分数集与点集；空集是任何集合的子集。 【步骤】①判断元素：互异性，集合元素不能重复； ②区分数集与点集； ③空集不含任何元素，是所有集合的子集。 【易错】忽略互异性，求出参数后代入集合要检验元素重复；混淆点集和数集；空集不是{0\}。 1．（期中.安徽）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 【答案】D 【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据空集的性质判断B，分类讨论判断C，根据集合中元素判断D. 【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对； 空集是任何非空集合的子集，B对； 当时，；当或时，； 当时，，C对； 是点集，是数集，D错． 故选：D 2．（期中.安徽）设集合，若，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，即可求解. 【详解】由集合， 当时，即，满足； 当时，即，满足； 当时，即，满足， 综上可得，实数的值可以为或或. 故选：BCD. 3．（期中.安徽）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题 D．集合中的元素个数为8 【答案】BCD 【分析】选项A，根据充分条件与必要条件的概念判断；选项B，结合解一元二次不等式，充分条件与必要条件的概念判断；选项C，假设都不大于2，推出矛盾；选项D，列举法表示集合即可判断. 【详解】选项A，当时，满足，但无法得到，必要性不成立，所以A错误； 选项B，由解得， 由能够得到，充分性成立， 由不能够得到，必要性不成立，所以B正确； 选项C，假设都不大于2，则，这与已知矛盾， 所以要满足，中至少有1个大于2，所以C正确； 选项D，因为，且8的因数有， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以，共有8个元素，所以D正确. 故选：BCD. 题型 2 集合交、并、补基础运算（不含参数） 【模型】取公共元素；取全部元素；取全集中不属于A的元素；可以结合数轴、Venn 图。 【步骤】①化简集合（解不等式、解方程）； ②数轴 / Venn 图标出集合范围； ③按照定义求交、并、补。 【易错】解不等式端点是否取等号；Venn 图应用题，分清 “只参加、都参加、都不参加”。 1．（期中.安徽）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查集合的运算以及方程和不等式的求解，分别求出A,B两个集合，再根据并集的定义求解. 【详解】由题意得，，，则. 故选C. 2．（期中.江西）设全集，集合，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先由补集的定义求出，然后根据交集的定义可得，故选C． 考点：集合交集、并集和补集. 3．（期中.江西）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 【答案】ABD 【分析】根据交集和并集运算判断AB，举反例判断C，结合元素的互异性和子集关系，分类讨论判断不成立，即可判断D. 【详解】A选项：当时，，，所以，正确； B选项：当时，或即， 当时，，，，有4个元素； 当时，，，，有4个元素；正确； C选项：由A选项可知当时，，， ，符合，但是不满足，错误； D选项：当时，，则，， 根据集合中元素满足互异性，得到，所以， 当时，，，不满足； 当即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 综上，不存在，使得，所以，正确； 故选：ABD 4．（期中.安徽）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 【答案】5 【分析】利用Venn图即可求解． 【详解】设两类比赛都参加的人数为，画出Venn图如图所示， 则，解得，即两类比赛都参加的同学有5人． 故答案为：5.    题型 3 充分、必要条件概念判断（定性，不含参数） 【模型】若，p是q充分条件； 若，p是q必要条件； 转化：小范围大范围。 【步骤】①判断推导方向； ②小范围可以推出大范围，反之不行。 1．（期中.陕西）已知为实数，那么方程没有实数解是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据方程没有实数解，则求参数范围，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若没有实数解，则，可得， 显然方程没有实数解是的充分不必要条件. 故选：A 2．（期中.江西）若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为， 所以，即， 显然， 所以，所以，且， 所以是与互补的充分条件； 当与互补时，则有，且， 所以，中至少有一个数为0， 所以，， 所以， 所以是与互补的必要条件； 所以是与互补的充要条件. 故选：C. 3．（期中.安徽）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，根据解集的包含关系，结合充分条件与必要条件的概念得到答案. 【详解】， ∵是的真子集， ∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（期中.江西）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先理解题意，再根据充分条件、必要条件的定义分析判断选项． 【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就一定会“返回家乡”， “攻破楼兰”“返回家乡”，满足必要性，而“返回家乡”不一定是“攻破楼兰”的唯一条件，如“进京述职”等，故不满足充分性， “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件． 故选：B． 5．（期中.安徽）下列选项中，是的必要不充分条件的是（    ） A． B． C．：关于的方程有解， 或 D． 【答案】AB 【分析】根据充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】对于A选项， ，即， ，即， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，若取，则满足，不满足，则不是的充分条件， 显然，即是的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，：关于的方程 有解，即， 而或， 所以是的充要条件，故C错误； 对于D选项， 仅是方程的一组解， 所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：AB. 6．（期中.陕西）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 【答案】BC 【分析】根据必要不充分，以及充分不必要和充要条件的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误； 对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确； 对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确； 对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误． 故选：BC. 题型 4 全称量词与存在量词命题的否定 【模型】全称命题否定； 特称命题否定：； 只改量词和结论，不变条件范围。 【步骤】①改换量词：； ②否定后面命题，定义域保持原样。 1．（期中.江西）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全称量词命题的否定判断即可. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定为存在量词命题， 所以所求的否定为：. 故选：A 2．（期中.陕西）若“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】由题意，“，”是真命题，转化为，分析即得解 【详解】由题意，“，”的否定是假命题，即“，”是真命题 故，对恒成立 又 则实数的取值范围是 故答案为： 提升·进阶突破 题型 5 含参集合的子集问题 【模型】A是B子集：A中所有元素都属于B；优先讨论空集情况。 【步骤】①分类： 和 ； ②非空时，利用数轴列出端点不等式； ③检验等号是否可取。 1．（期中.陕西）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解一元二次不等式得出集合，再根据，得出集合，计算即可得出答案； （2）根据，所以，讨论和两种情况，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）当时，， 所以当时，. （2）因为，所以； 集合，； 当时，有，解得，符合题意； 当时，结合可知，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 2．（期中.江西）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用并集，交集，补集的定义求解； （2）由得到，按照和讨论求解. 【详解】（1），，， ，，， ； （2），， 因为区间不能表示空集， 所以，，，， 实数的取值范围. 3．（期中.陕西）已知集合，． (1)若，求和； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）代入，再根据集合交、并、补运算即可； （2）根据题意知，得到，再解不等式组即可． 【详解】（1）由， 当时，，，     所以；； （2）由（1）得，，     因为是的必要条件，所以， 所以，解得，     所以实数的取值范围是． 4．（期中.江西）已知集合，集合. (1)若，求，； (2)若集合是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）把代入，利用并集、补集的定义求解. （2）由集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）当时，，而， 则， ， 所以或. （2）由， 当，即时，，满足，则； 当时，由，得，解得， 综上实数的取值范围是. 5．（期中.陕西）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合的运算法则进行运算. （2）把问题转化成两个集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合 因为全集是，所以或． 又因为，所以或． （2）因为是的充分条件，所以． 当时，，解得，满足． 当时，，即． 又因为，所以. 综上，的取值范围是． 6．（期中.陕西）已知全集，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，应用交补运算求集合； （2）由题设，讨论是否为空集，列不等式求参数范围. 【详解】（1）因为，所以或. 当时，，故. （2）因为，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得， 综上，实数的取值范围是. 题型 6 含参集合交集、并集、交集为空集 【模型】：两个集合没有公共元素；借助数轴分析区间位置。 【步骤】①化简集合； ②数轴画出两个集合； ③列出不等式，注意空集优先； ④检验端点。 1．（期中.安徽）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，使得，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】AC 【分析】当时，求得，可判定A正确；当时，求得，可判定B错误；根据二次函数的图象与性质，结合和，可判定C正确，D错误. 【详解】由题意知，集合，可得. 对于A，若，则，所以，所以A正确； 对于B，若，则，即， 此时，所以B错误； 对于C，由，可得， 若，，使得，即 当时，，即，此时不满足，舍去； 当时，，即， 此时满足，符合题意； 当时，，即， 此时不满足，不符合题意，舍去， 综上可得，实数的取值范围为，所以C正确； 对于D，由，可得， 当时，可得，此时满足，符合题意； 当时，可得，此时不满足，不符合题意，舍去； 当时，可得，要使得，则， 解得，所以， 综上可得，实数的取值范围为，所以D错误. 故选：AC. 2．（期中.安徽）已知集合，.若，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出交集为空集的范围，再取其补集即得. 【详解】集合，，由， 得或或， 解得或或，即或， 则当时，，所以的取值范围是. 故答案为： 3．（期中.安徽）已知，集合或，若，使得，都有，则__________. 【答案】 【分析】根据的取值范围与的区间关系，通过区间端点对应关系建立方程求解. 【详解】依题意，， ， 又， 而，则，且， 解得. 故答案为：. 4．（期中.江西）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若有唯一子集，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、补集、交集的定义求解即可； （2）由题意可得，进而求解即可； （3）根据包含关系求解即可. 【详解】（1）由， 当时，，则或， 所以，． （2）若有唯一子集，则， 所以，解得，所以的取值范围为． （3）根据题意可得，解得，即的取值范围为． 5．（期中.陕西）已知集合． (1)求， (2)若 ，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合交并补的混合运算求解即可； （2）将问题转化为，利用包含关系即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以， 因为，所以． （2）因为，所以， 因为， 所以，解得． 所以实数a的取值范围是． 6．（期中.安徽）已知集合，． (1)若，求的取值集合； (2)若，求的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，由可得，再因为为非空集，所以，据此列不等式组计算求解； （2）由可得，然后分和列式计算求解. 【详解】（1）因为， 又因为，所以，且， 可得，解得， 综上，. 所以实数的取值集合为. （2）因为，所以， 当时，恒成立，此时，得； 当时，由得，，解得. 综上，. 所以实数的取值集合为. 7．（期中.陕西）已知集合，且. (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式的解法，求得，根据题意，得到，列出不等式组，即可求解； （2）由，得到或，结合，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由不等式，解得，即， 因为是的必要条件，所以， 又因为且，所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，且， 因为，则或，解得或， 又因为，所以实数的取值范围为. 题型 7 充分不必要 / 必要不充分条件转化集合真子集（高频重点） 【模型】认“基本初等函数”→ 直接套增减性结论，不做变形。 【步骤】p是q充分不必要条件：，等价对应集合； p是q必要不充分条件：，等价对应集合。 【步骤】①把命题翻译对应集合P、Q； ②写出真子集关系； ③数轴列不等式； ④检验等号不能同时成立。 1．（期中.陕西）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 于是，解得. 所以实数的取值范围是. 2．（期中.江西）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将必要不充分条件转化为真子集关系即可求解. 【详解】设集合，集合，若是的必要不充分条件， 所以是的真子集，可得. 故选：B. 3．（期中.安徽）已知函数的定义域为集合，集合，非空集合 (1)若为实数集，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合和，再由集合的运算可得结果； （2）由是非空集合可得，由是的充分不必要条件可得，且，解不等式可得结果. 【详解】（1）由得，即． 所以． 所以． （2）因为，所以，故， 由题意可知：，且，由（1）可知． 所以，且等号不同时成立，解得：， 所以实数的取值范围为． 4．（期中.江西）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求得集合，结合集合补集和并集的运算，即可求解； （2）由“”是“”的必要不充分条件，得到集合是集合的真子集，再由一元二次不等式的解法，分类，结合集合是集合的真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，， 因为，所以或， 所以或. （2）解：因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 由不等式， 当，即时，， 由集合是集合的真子集，可得，且两式中等号不能同时成立，解得； 当，即时，， 由集合是集合的真子集，可得，且两式中等号不能同时成立，解得； 当，即时，可得，不符合题意， 综上可得，实数的取值范围是. 5．（期中.江西）已知全集，：，：，其中. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意解不等式化简集合，结合集合的交集和补集运算求解； （2）分析可知集合是集合的真子集，分类讨论a的符号，结合包含关系运算求解. 【详解】（1）由题意可知：， 若，则，可得， 所以. （2）若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 6．（期中.陕西）已知集合． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将集合化简，然后进行集合运算； （2）根据题意，将条件转化为集合是集合的真子集，列出不等式代入计算，即可得到结果． 【详解】（1）当a=0时， 或 解不等式得集合， 所以或 （2）由是的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 当即时，，符合， 当时，则，二三式等号不能同时取到， 解得：， 综上：实数的取值范围是. 7．（期中.江西）已知非空集合，． (1)当时，求；； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）利用集合的交并补运算定义和德摩根定律即可求得结果； （2）由条件推得A是B的真子集，且，列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）当时，，又， 则， 故或； （2）若“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，且， 则有，解得， 故实数a的取值范围为． 8．（期中.陕西）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入算出，根据并集概念计算即可； （2）根据交集概念，结合空集条件，由此列不等式来求得取值范围. （3）根据充分不必要条件转化为集合与集合的关系，由此列不等式来求得取值范围. 【详解】（1）当时，由得，， （2），. 又.实数的取值范围. （3）“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， ，. . 实数的取值范围是. 9．（期中.江西）已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解指数不等式，然后由交集定义计算即可. （2）根据充分不必要条件得集合间的包含关系，列不等式组，求解即可. 【详解】（1）由题意得，即，解得， 所以； 当时，，所以. （2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集， 所以且（两个“”不能同时成立），解得. 所以实数m的取值范围是. 10．（期中.安徽）设集合，，. (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的并集运算求解即可. （2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以 （2）由题意“”是“”的充分不必要条件 得 ①若，则，解得； ②若，则，解得； ，或， 综合①②得：的取值范围是. 题型 8 复合命题真假判断 【模型】p且q：全真才真，一假即假；p或q：一真即真，全假才假。 【步骤】①分别求出p为真、q为真的参数范围； ②根据 “且 / 或” 求交集或者并集； ③看清题干条件：p真q假 / 至少一个真 / 有且仅有一个真。 1．（期中.江西）已知命题：；命题：，若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】命题p中，利用参数分离法可变形为，，构造函数，根据函数的单调性可求出，从而求得，再求出命题的 的取值范围，利用p真、q假的条件，即可求解. 【详解】命题中，不等式变形为，又，即， 令，因为函数、在均单调递减， 所以在上单调递减，因此在上的最大值为， 要使对所有恒成立，需， 即命题p为真时，； 令，由幂函数的性质可知在区间上是增函数， 所以，则， 题目中q为假命题，所以或， 结合p真、q假的条件，取上述两者a的交集，所以的取值范围为． 故选：D． 2．（期中.陕西）已知命题，命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】首先通过取特值判断命题与命题的真假，进而判断选项的正误即可. 【详解】对于命题：当时，，因此命题为真命题，从而为假命题； 对于命题：当，时，，，可得：，故命题为假命题，从而为真命题； 综上可得：命题与命题均为真命题. 故选：C 3．（期中.江西）已知，，，. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和均为真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出命题的否定，再根据是真命题，求出的取值范围； （2）先求出命题和为真命题时对应的参数的取值范围，最后求得结果. 【详解】（1）因为，为真命题， 所以，故的取值范围是. （2）由（1）知，当为真命题时，. 因为当为真命题时，，解得或， 所以当为真命题时，. 由解得，即的取值范围为. 4．（期中.安徽）已知命题，不等式恒成立；命题，使得成立. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若为真命题，求的取值范围； (3)若命题、有且只有一个是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据不等式恒成立可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据题意可得出当时，由参变量分离法可得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围； （3）分真假、假真两种情况讨论，分别求出实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对于命题，不等式恒成立，则， 即，解得， 所以，若为真命题，则实数的取值范围是. （2）当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最小值为， 若命题为真命题，则，使得成立， 可得，可得，所以，， 所以，若为真命题，则实数的取值范围是. （3）因为命题、有且只有一个是真命题，分以下两种情况讨论： 若真假，则，可得； 若假真，则，可得. 综上所述，若命题、有且只有一个是真命题， 实数的取值范围是或. 拔高·压轴破难 题型 9 全称命题恒成立、特称命题能成立（有解） 【模型】恒成立：对区间内全部x成立；有解：区间内存在至少一个x满足条件。 经常结合二次不等式，判别式、参变分离。 【步骤】①识别关键词 “任意 / 存在”； ②二次函数恒成立看判别式，或者参变分离转化最值； ③有解与恒成立不要混淆。 【易错】恒成立≠有解；二次不等式注意二次项系数是否为 0。 1．（期中.安徽）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定与真假性，将问题转化为二次不等式的有解问题，从而得解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则在区间上有解， 设，则的图象开口向上，对称轴为， 且，则当时，函数取得最大值为， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 2．（期中.安徽）已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案. 【详解】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 则，可得，解得， 因此，若为真命题，则的取值范围是. （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 真假时，；假真时，； ，都真时，； 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 题型 10 双变量 “任意存在” 问题（值域包含） 【模型】，使得条件成立，等价于一个集合的值域是另一个集合值域的子集。 【步骤】①分别求两个变量对应取值范围； ②转化集合包含关系； ③列不等式求解参数。 【易错】分清是谁包含谁，不要写反子集方向。 1．（期中.江西）已知函数，函数若，，使得成立，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，由题意是的子集，列不等式即可求解. 【详解】当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 由题意，总使， 即，总有， 所以是的子集， 所以，解得， 故所求为. 故答案为：. 题型 11 集合计数、新定义阅读理解题 【模型】新定义：数域、集合新运算、集合元素个数；分类计数，列举分析。 【步骤】①读懂题干给出新规则； ②代入例子验证理解定义； ③分类讨论、列举，排除反例。 1．（期中.江西）当一个非空数集满足“任意，则，，，且时，”，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（    ） A．0是任何数域的元素 B．若数域有非零元素，则 C．集合是一个数域 D．任何一个数域的元素个数必为奇数 【答案】AB 【分析】根据新定义进行验证. 【详解】对任意数域，只要有，则，A正确； 是的一个非零元素，则，因此，，依此类推所有正整数是的元素，从而，B正确； 集合中，，但，因此不是数域，C错； 有理数集是一个数域，但有理数集中元素个数是无穷多个，D错； 故选：AB． 2．（期中.陕西）设有限集所含元素的个数用表示，并规定.已知集合、满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为_____. 【答案】 【分析】对集合中的元素个数进行分类讨论，确定集合中的元素，结合列举法可得出集合的个数. 【详解】①当中一个元素，中六个元素，则，，此时，共种； ②当中两个个元素，中五个元素，则，，所以，， 所以或或或或，共种； ③当中三个元素，中四个元素，则，，所以，， 所以或或或或或或或或或，共种； ④当中四个元素时，中三个元素，则，，所以，， 所以或或或或或或或或或，共种； ⑤当中五个元素时，中两个元素，则，，所以，， 所以或或或或，共种； ⑥当中六个元素时，中一个元素，则，，所以，， 则，共种. 综上所述，满足条件的所有不同集合的个数为. 故答案为：. 3．（期中.陕西）用 表示非空集合 中元素的个数，定义 ，若 ， ，若 ，则实数 的所有可能值构成的集合为_____. 【答案】 【分析】先由题中条件，得到或，结合方程分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以或． 因为 当时，或． 当时，且， 由已知关于x的方程有3个实数解， 且是方程的解，且， 若是方程的解，则， 此时方程的解集只有个元素，矛盾， 若是方程的解，则，矛盾， 所以关于x的方程只有一个解且不为1和， 则，解得． 当时，的解为1，不符合题意； 当时，的解为，符合题意． 综上，a的所有可能取值为0，1，，即所求集合为． 故答案为：. 4．（期中.陕西）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为. 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 5．（期中.陕西）已知，全集，集合，. (1)若，且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据元素与集合的关系列不等式求解即可； （2）化简集合，根据补集运算得，根据集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为； （2）因为，所以， 或， 因为，当时，， 所以，则或，解得或， 故的取值范围是. 6．（期中.江西）已知集合，. (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【详解】（1）当，则，解得， 所以实数的范围为. （2）因为是的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 若时，则，解得，符合题意； 若时，则，解得； 综上所述：实数的范围. 7．（期中.江西）已知集合，. (1)若，求的取值集合； (2)若是的必要条件，求的取值集合； (3)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由，利用元素与集合的关系即可求解； （2）由已知得，分和两种情况讨论即可； （3）由，得，解出即可求解. 【详解】（1）因为，由，所以， 解得， 所以的取值集合为； （2）由已知得，， ①若，则，解得； ②若，则，解得， 综上所述，的取值集合为或； （3）由，可得， 解得，则的取值集合为. $