高一数学上学期期中模拟卷（北师大版必修第一册第一章～第三章，高效培优）

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【详解】联立，解得，代入可得. 即， 故集合的子集有2个. 2．设，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合充分条件、必要条件的定义判断作答． 【详解】若且，则，所以可以推出， 若，取，则，，所以不一定推出， 所以是的必要不充分条件． 3．已知，，，，且，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，，且， 所以（当且仅当时取等）． 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以，， 所以. 5．已知，若关于的不等式恰有1个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的解，分析解集区间的端点范围，结合“恰有1个整数解”的条件，判断该整数解的唯一可能取值，根据整数解的位置，列出区间端点与相邻整数的大小关系不等式，求解得到的取值范围. 【详解】 原不等式转化为： ，因为，所以不等式的解为 ， 区间右端点为1，区间内小于1的整数最大为0，要让区间内恰好只有1个整数解，则这个整数只能是0， 若区间内不存在其他小于0的整数，就需要区间左端点 满足：， 解得 ，所以的取值范围为. 6．已知函数，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．18 【答案】D 【分析】易得函数为增函数，且时，，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数均为增函数， 所以函数为增函数，而时，， 则时，， 此时函数为减函数，则； 时，， 此时函数为增函数，则. 综上所述，的最小值是18. 7．已知时，函数的图象在x轴上方，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，再参变分离得到，求得的最大值，进而可求解. 【详解】令，因为，所以 ， 则恒成立，等价于： 恒成立， 两边同除以，得， 令，由 得， 令， 是开口向下的二次函数， 对称轴，在区间单调递减， 因此最大值为： ， 要使对所有​恒成立， 只需， 整理得： ， 解得， 故 实数a的取值范围是. 8．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】换元用基本不等式求解. 【详解】已知，，且， 两边同乘，并化简可得， 令，解得， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各结论中正确的是（     ） A．“”是“”的充要条件 B．函数的最小值为2 C．“”是“”的充分不必要条件 D．，是假命题，则实数的取值范围是或 【答案】ACD 【详解】对于A，,故“”是“”的充要条件，A正确； 对于B，， 当且仅当取等号， 但无实数根，故等号取不到， 因此2不是的最小值，B错误； 对于C，是的真子集,故“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D，由于是假命题， 故，则或，故D正确； 10．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对选项A：∵ ，∴ . 又∵，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，∴ ，故A正确. 对选项B： 由展开移项得 ， 当且仅当 时等号成立，故B正确. 对选项C：∵ ∴ . 又∵，∴ . ∴ ，即 ，故C错误. 对选项D：∵，∴ . 设 ，函数 在 上为单调递减函数， 又∵，∴ ，即 ，故D正确. 11．已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，令即可判断；对于B，假设选项成立，可求出过点，而函数过点，矛盾；对于C，可求得，即可判断；对于D，根据题设条件可求出，即可求解判断. 【详解】对A：令，由， 由，故A正确. 对B：因为即，所以函数过点，该点关于的对称点为. 但，即函数过点，不经过，故B错误； 对C：由，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对D：由； 由，用代替，可得， 所以. 所以，，…，， 又， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，确定整数解只能是，列出关于参数的不等式，解分式不等式，取交集得到的取值范围． 【详解】由，得，由，得， 所以的解集为， 大于的整数依次为， 题目要求恰好两个整数解，只能是， 所以， 由，得， 即，解得或， 由，得，解得， 所以的解集为， 即实数的取值范围为． 13．已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当 时，，则________. 【答案】/ 【分析】根据条件，得是以为周期的周期函数，从而可得，再代入即可求解. 【详解】由得，所以是以为周期的周期函数. 又，故， 又，则 得， 因为，所以，故. 14．已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 【答案】178 【分析】记中满足，都有的函数个数为，设中满足的个数为，满足的个数为．推导出，，结合，，求出答案. 【详解】记满足题设条件的，定义域为的函数的个数为. 显然，当时，（按，排序）：； 当时，， 于是当时，则； 当时，则；当时，则； 从而设中满足的个数为，满足的个数为． 此时有，，且． 整理上式得，，， 所以，，，，，，． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合，． (1)求； (2)求； 【答案】(1)； (2)或，或 【分析】（1）利用交集与并集的意义求解即可； （2）利用补集的意义，以及交集和并集的意义求解即可. 【详解】（1）因为集合，， 所以，； （2）因为全集，集合，， 所以或，或， 所以或，或. 16．（15分） （1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，证明：． 【答案】（1） （2）证明：（方法一）． 因为，所以． 又，所以， 所以，即． （方法二）由，得． 又，所以， 则． 又，所以． 【分析】（1）应用作差法计算比较大小； （2）方法一：应用作差法计算证明不等式；方法二：应用不等式性质计算证明不等式. 【详解】（1）． 因为，所以．又，所以， 所以． （2）略 17．（15分） 已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数在处有定义时的性质求出参数，再代入已知点求出参数 ，最后验证分母不为零并确定解析式即可； （2）先判断并证明函数在定义域上的单调性，然后利用奇偶性将不等式转化为，再结合函数的单调性和定义域，建立关于的不等式组进行求解即可. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，且， 所以，即，解得，此时， 又因为，代入得，即，解得， 所以， 经检验，分母 恒成立，且，符合题意， 故函数的解析式为，定义域为. （2）任取 且，则， 因为且，所以，，且分母大于， 所以，即，故在上单调递增， 不等式 等价于， 因为为奇函数，所以，即， 又因为在上单调递增，所以， 解得， 所以不等式的解集为. 18．（17分） 已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，直线与曲线至少有3个交点，求实数的取值范围； (3)若，，，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，；单调递增区间为， (2) (3) 【分析】（1）作出的函数图像，进而求解； （2）由（1）得在上为拱段，在两侧为，分类讨论即可求解； （3）先判断的单调性，进而求出在的最大值，再转化为，进而得对任意恒成立，分别求在区间的最大值和的最小值即可求解. 【详解】（1）依题意，，      作出函数的大致图象如下所示， 观察可知，的单调递减区间为，， 单调递增区间为，； （2）结合（1）中的图象可知， 在上为拱段，在两侧为． 直线与两侧支的交点满足， 两根之积为，且负根、正根， 故恒有2个有效交点， 因此“至少有3个交点”等价于直线与拱段有交点． 临界状态为直线与该拱段相切， 联立，整理得，      则，解得或， 又，舍去， 当时，切点，确在拱段上；更大时直线与拱段有2个交点． 综上，实数的取值范围为； （3）设，化为， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，最大值为；      则化为对任意恒成立， 则，可得：对任意恒成立，      函数在区间单调递增，有最大值2， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是． 19．（17分） 函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． (1)当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； (2)若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 【答案】(1)① 和 ②当 时，；当 时， (2) 【分析】（1）①将 ， 的值代入，由不动点定义列方程 求解； ②二次函数开口向上，闭区间上的最大值在端点处取得，比较 与 的大小，按 的取值分类. （2）不动点是方程 的根，由 ， 及韦达定理把 表示成 的函数，换元后利用对勾函数的单调性求值域，再检验判别式. 【详解】（1）①当 ， 时，. 令 ，即 ，整理得 . 即 ，解得 或 . 所以函数 的不动点为 和 . ② 的图象开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上的最大值在区间端点处取得， 即 为 与 中较大者. . 当 ，即 时，，. 当 ，即 时，，. 所以 时 ， 时 . （2）令 ，得 ，， 是该方程的两个不等实根. 由韦达定理得 . 因为 ，，所以 . 所以 ，解得 . 令 ，由 得 ，且 . 则 . 设 ，任取 ，则 . 因为 ，，所以 . 所以 在 上单调递增. 又 ，，所以 ，即 . 检验：此时 ，即 ，又 ， 所以 ，方程有两个不等实根，符合题意. 所以实数 的取值范围是 . 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A B D D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14．178 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）因为集合，， 所以，；(5分) （2）因为全集，集合，， 所以或，或， 所以或，或.（13分） 16．（15分） 【答案】（1）． 因为，所以．又，所以， 所以．（5分） （2）证明：（方法一）． 因为，所以． 又，所以， 所以，即．（15分） （方法二）由，得． 又，所以， 则． 又，所以．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，且， 所以，即，解得，此时， 又因为，代入得，即，解得， 所以， 经检验，分母 恒成立，且，符合题意， 故函数的解析式为，定义域为.（5分） （2）任取 且，则， 因为且，所以，，且分母大于， 所以，即，故在上单调递增， 不等式 等价于， 因为为奇函数，所以，即， 又因为在上单调递增，所以， 解得， 所以不等式的解集为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）依题意，，      作出函数的大致图象如下所示， 观察可知，的单调递减区间为，， 单调递增区间为，；（4分） （2）结合（1）中的图象可知， 在上为拱段，在两侧为． 直线与两侧支的交点满足， 两根之积为，且负根、正根， 故恒有2个有效交点， 因此“至少有3个交点”等价于直线与拱段有交点． 临界状态为直线与该拱段相切， 联立，整理得，      则，解得或， 又，舍去， 当时，切点，确在拱段上；更大时直线与拱段有2个交点． 综上，实数的取值范围为；（9分） （3）设，化为， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，最大值为；      则化为对任意恒成立， 则，可得：对任意恒成立，      函数在区间单调递增，有最大值2， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）①当 ， 时，. 令 ，即 ，整理得 . 即 ，解得 或 . 所以函数 的不动点为 和 .（4分） ② 的图象开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上的最大值在区间端点处取得， 即 为 与 中较大者. . 当 ，即 时，，. 当 ，即 时，，. 所以 时 ， 时 .（9分） （2）令 ，得 ，， 是该方程的两个不等实根. 由韦达定理得 . 因为 ，，所以 . 所以 ，解得 . 令 ，由 得 ，且 . 则 . 设 ，任取 ，则 . 因为 ，，所以 . 所以 在 上单调递增. 又 ，，所以 ，即 . 检验：此时 ，即 ，又 ， 所以 ，方程有两个不等实根，符合题意. 所以实数 的取值范围是 .（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．设，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，，，且，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，若关于的不等式恰有1个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．18 7．已知时，函数的图象在x轴上方，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各结论中正确的是（     ） A．“”是“”的充要条件 B．函数的最小值为2 C．“”是“”的充分不必要条件 D．，是假命题，则实数的取值范围是或 10．已知，，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围为__________． 13．已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当 时，，则________. 14．已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合，． (1)求； (2)求； 16．（15分） （1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，证明：． (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)解不等式． 18．（17分） 已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，直线与曲线至少有3个交点，求实数的取值范围； (3)若，，，求实数的取值范围． 19．（17分） 函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． (1)当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； (2)若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $