专题02 基本不等式12大题型（期中专项训练）高一数学上学期北师大版

专题06 函数的单调性与最值 基础·固本强基 题型 1 直接利用基本不等式求最值（一正二定三相等基础型） 题型 2 判断基本不等式相关命题真假 题型 3 几何背景（无字证明）理解基本不等式 提升·进阶突破 题型 4 “1 的代换”（乘 1 法）求最值（高频重点） 题型 5 配凑变形构造和 / 积为定值 题型 6 简单实际应用 题型 7 条件等式下多变量最值 拔高·压轴破难 题型 8 基本不等式与恒成立问题（重难点） 题型 9 基本不等式与能成立（有解）问题（难点） 题型 10 基本不等式与二次方程、韦达定理综合 题型 11 不等式证明（基本不等式放缩证明） 题型 12 拓展创新：多元、新定义、阅读理解型 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 直接利用基本不等式求最值（一正二定三相等基础型） 【模型】和定积最大，积定和最小。和为定值求乘积最大值；积为定值求和的最小值。 【步骤】 ①检查条件：一正（两数均正）、二定（和 / 积为定值）、三相等（验证等号可取）； ②套公式计算最值； ③写出等号成立条件。 【易错】 忽略 “正数” 条件，负数不能直接套用均值不等式； 不验证等号能否取到，取不到则该最值无效。 1．已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．已知正实数，，满足，则的最小值为_____. 4．已知两正数，满足，则的最小值为___________． 题型 2 判断基本不等式相关命题真假 【模型】对选项逐一检验一正二定三相等，举反例否定错误命题。 【步骤】 ①看变量符号；②看是否构造出定值；③检验等号条件；④举特殊值排除错误选项。 【易错】看到形式像不等式就判定正确，忽略变量为负、等号取不到的陷阱。 区间是图上的横坐标范围 —— 读出来即可，不需要证明。 1．下列结论正确的是（   ） A． B．当时，的最小值是2 C．若，，且满足，则的最大值是 D． 2．下列说法正确的有（   ） A．的最小值为2 B．设，若，则的最小值为16 C．若正数满足，则的最小值为3 D．若，且，则的最小值为6 3．下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则的最大值为4 4．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．最小值为 D．已知，则的最小值为9 5．若都为正实数，且，则（    ） A．的最大值为11 B． C．的最小值为2 D．的最小值为9 6．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型 3 几何背景（无字证明）理解基本不等式 【模型】利用圆、几何图形的线段长度，理解算术平均数、几何平均数大小关系。 【步骤】读图，把线段翻译成代数表达式，对比大小。 【易错】区分几何平均数、算术平均数对应的线段，不要记反大小。 1．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中，在上取一点C，使得，，过点C作交以为直径的半圆弧于D，连结，作，垂足为E，由可以直接证明的不等式是（   ）. A． B． C． D． 提升·进阶突破 题型 4 “1 的代换”（乘 1 法）求最值（高频重点） 【模型】已知的最值；式子乘 “1” 展开后构造积为定值。 【步骤】 ①识别条件：已知正数等式等于 1； ②目标式乘以条件等式； ③展开，拆分出可以用基本不等式的两项； ④计算，验证等号条件。 【易错】必须保证变量全部为正数；等号成立要同时满足原始条件与均值取等，两个方程联立要有解。 1．已知，，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D．9 3．已知正数，满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最大值为4 4．设，，且，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．恒成立 5．已知，且，则的最小值为___________． 题型 5 配凑变形构造和 / 积为定值 【模型】原式本身没有定值，拆项、添系数，凑出 “和定” 或 “积定”。 【步骤】 ①观察代数式，拆分、提系数； ②使得两项乘积（或和）变成常数； ③使用基本不等式，检验等号。 【易错】配凑系数容易算错，配凑完成后一定要重新检查是否为定值。 1．已知，则 的最小值为__________. 2．已知，完成下列问题. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 3．已知，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 4．（1）已知，且，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值； （3）已知，求的最大值. 题型 6 简单实际应用 【模型】根据题意列出函数表达式，自变量 > 0，利用基本不等式求最大 / 最小值。 【步骤】 ①读题设变量，建立目标函数； ②写出实际定义域（大于 0）； ③基本不等式求最值； ④回归实际问题作答。 【易错】 实际问题自变量有范围；如果等号取到的值不在定义域内，则不能用基本不等式，改用函数单调性。 1．某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为_______ 2．某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3，深为3m，其底面为长方形，其中.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元. (1)若贮水池的总造价不超过78000元，求边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 3．如图，在中，，，，分别为，，上一点，且，，四边形为矩形.    (1)求面积的最小值； (2)若的面积大于16，求长度的取值范围. 4．某工厂生产件产品的总成本（单位：元）与生产件数之间满足二次函数. (1)若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； (2)试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 5．某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3，深为3m，其底面为长方形，其中.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元. (1)若贮水池的总造价不超过78000元，求边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 6．如图，在中，，，，分别为，，上一点，且，，四边形为矩形.    (1)求面积的最小值； (2)若的面积大于16，求长度的取值范围. 7．某工厂生产件产品的总成本（单位：元）与生产件数之间满足二次函数. (1)若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； (2)试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 题型 7 条件等式下多变量最值 【模型】给出等式约束，求另一代数式最值，变形转化为可均值不等式形式。 【步骤】 ①对条件等式做移项、因式分解； ②构造和定 / 积定或可以 “1 代换” 的结构； ③用基本不等式求解，检验等号。 【易错】多变量等号条件联立，必须有正数解，否则结果无效。 1．设正实数满足，则（   ） A．有最大值为1 B．有最小值为5 C．有最小值为 D．有最大值为 2．已知x，y均为正实数，则（    ） A．的最大值为 B．若，则的最大值为8 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 3．已知实数满足且，则的最小值为_____________________． 4．若正数，满足，则的最小值为__________. 拔高·压轴破难 题型 8 基本不等式与恒成立问题（重难点） 【模型】 【步骤】 ①识别关键词 “任意、恒成立”； ②利用基本不等式求出代数式的最值； ③转化参数不等式求解； ④注意：若等号取不到，则不能直接用该最值。 【易错】混淆恒成立看最大还是最小；基本不等式取不到等号，要改用对勾 / 函数单调性求最值。 1．已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的 是（    ） A．若，函数的最小值为3 B．若，，，则最小值为4 C．若对，恒成立，则实数m的最大值为2 D．若，则的最大值是1 3．对于任意实数，当时，都有，则的最大值为_____. 4．已知，，若关于的不等式在恒成立，则的取值范围是________. 5．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 题型 9 基本不等式与能成立（有解）问题（难点） 【模型】 有解有解 。 【步骤】 ①识别关键词 “存在、有解”； ②求出代数式的最值； ③解参数范围。 【易错】和恒成立模型极易混淆，一定要分清 “任意” 还是 “存在”。 1．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．当时，，上的值域为，则的取值范围是 D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 3．若命题“存在正数a，b，使得”是假命题，则实数k的最大值为______. 题型 10 基本不等式与二次方程、韦达定理综合 【模型】利用基本不等式求出代数式最值作为已知条件，再结合一元二次方程根的分布、韦达定理解题。 【步骤】 ①基本不等式求出最值； ②把最值作为已知量代入； ③利用判别式、韦达定理列不等式组。 【易错】二次方程注意判别式，根的正负限制条件不要遗漏。 1．已知、且，设的最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个正实根，求实数的取值范围． 2已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)若，求的最小值． 3．已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数、的值； (2)在（1）的前提下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两个正实数根，且满足，求的最大值． 题型 11 不等式证明（基本不等式放缩证明） 【模型】多次使用基本不等式放缩，完成不等式证明。 【步骤】 ①对每一部分使用均值不等式； ②同向不等式可以相加； ③检查每一步等号成立条件是否可以同时成立。 【易错】多次放缩时，所有步骤的等号必须可以同时成立，否则证明失效。 1．已知均为正数且，求证： (1)； (2)． 2．（1）若，，求证：； （2）若，，且，求的最小值. 3．函数． (1)若不等式的解集是空集，求实数的取值范围； (2)已知，且． （i）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （ii）证明：． 题型 12 拓展创新：多元、新定义、阅读理解型 【模型】阅读材料，学习拓展均值不等式，迁移解决陌生问题；二元函数、自定义问题。 【步骤】 ①读懂题干给出新公式、新定义； ②模仿例题的变形技巧； ③套用基本不等式思想求解。 1．将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 2．我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．对任意的， C．若对任意实数x，，则实数a的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 3．问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正数满足，求的最小值； (2)若正数满足，且，试比较和的大小； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时的值． 4．当已知变量满足某个常数等式时，将目标表达式中的常数替换，构造出可使用基本不等式的形式，进而求解最值，是解决最值问题时常用的一种方法． 例：已知，且，求的最小值． 解：，当且仅当，即时，等号成立． 学习上述解法，解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值； (2)若均为正实数，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求的最大值，并求取得最大值时的值． $学科网·上好课 基础固本强基 提升·进阶突破 拔高·压轴破难 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06函数的单调性与最值 题型图谱·导航总览 题型1直接利用基本不等式求最值（一正二定三相等基础型） 题型2判断基本不等式相关命题真假 题型3几何背景（无字证明）理解基本不等式 题型4“1的代换”（乘1法）求最值（高频重点） 题型5配凑变形构造和/积为定值 题型6简单实际应用 题型7条件等式下多变量最值 题型8基本不等式与恒成立问题（重难点） 题型9基本不等式与能成立（有解）问题（难点） 题型10基本不等式与二次方程、韦达定理综合 题型11不等式证明（基本不等式放缩证明） 1/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型12拓展创新：多元、新定义、阅读理解型 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1直接利用基本不等式求最值（一正二定三相等基础型) 【模型】和定积最大，积定和最小。和为定值求乘积最大值；积为定值求和的最小值。 【步骤】①检查条件：一正（两数均正）、二定（和/积为定值）、三相等（验证等号可取）；② 套公式计算最值；③写出等号成立条件。 【易错】 忽略“正数”条件，负数不能直接套用均值不等式： 不验证等号能否取到，取不到则该最值无效。 1 2 1. 已知实数a≥0，b≥0，满足a42b=4,则a+1+b+2的最小值是（) 1 A.4 1 B.2 C.1 D.2 【答案】C 【详解】因为a+2b=4, 5+ 2(b+2),2(a+1) 2(b+2)2(a+1) 所以1+ 2 【a04206+2]6 a+1b+2 5+2, a+1b+2=1, a+1b+2 9 当且仅当a=2,b=l时等号成立. 2/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.若正数a,b,c满足ab2c=4-ab2,则ab+bc+b的最小值为() A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】B 【分析】利用基本不等式直接计算即可得出结果。 【详解】由abc=4-ab可得bc+ab=4,即b(6c+b)=4。 所以ab+bc+b≥2ab(bc+h)=4 当且仅当ab=bc+b,即a=c+l时等号成立， 因此ab+bc+b的最小值为4. 故选：B 3.已知正实数。6，满足a+b≥号+2。 之2ab,则a+b的最小值为一 5N252 【答案】2/2 【分行1元根架花本不等代代（品引a 2然后即可根据不等式的性质得出 (a+b≥9+2a+b2 2a b) 2,列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案， 【详解】由已知可得，a>0,b>0,a+b>0, 品++”会2尝号-6号兰 9,2 十 因为2ab月 2 +22, 9b 2a 当且仅当2ab,即2a=3b时等号成立， 3/52 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [2a=3b 32 a= 当且仅当a+b= 9,2 2 ,即 b=2 时，两个等号同时成立， 2a b a+b≥3 +v2-5② 2. 5V2 故答案为：2· 2 A已知两正数y,满足+，则+少的最小值为 y 【答案】8 ，,然后由基本不等式可得答案。 【详解】因xy为正数，y,则x 4 4 ≥2，y+4= 1 xy 8.当且仅当=0，即=2，y=4时取等号。 故答案为：8 题型2判断基本不等式相关命题真假 【模型】对选项逐一检验一正二定三相等，举反例否定错误命题。 【步骤】①看变量符号：②看是否构造出定值：③检验等号条件：④举特殊值排除错误选项。 【易错】看到形式像不等式就判定正确，忽略变量为负、等号取不到的陷阱。 区间是图上的横坐标范围一一读出来即可，不需要证明。 1.下列结论正确的是() A.+ 1≥3(x>0 x-1 4/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 B.当x>2时，X+x的最小值是2 C.若m>0n>0 且满足m+n=1 m+n ,则 的最大值是V2 0.左+8≤46c0j 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求最值的三个条件“一正、二定、三相等”逐个分析可得答案. 1 x+- 【详解】对于A:x+E- 7-1++12-01=3. x-1 当且仅当x-1= x-1,即x=2时等号成立，故A正确： 对于B:函数y=x+在[山，+∞)上单调递增， 故当x>2时，x+>2+{5 1 22,故B错误； 对于C:(人m+n=m+n+2m=1+2mms1+(m+m)=1+1=2. 当且仅当 m-Vh-12 2等号成立，故Vm+Vn≤V2,故C正确： 对于心.0时，(2到-4 敏2+8x≤4，故D正确 故选：ACD. 2.下列说法正确的有() A.y=x+x的最小值为2 91 B.设a>0,b>1,若a+b=2,则。+6-的最小值为16 5/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若正数y满足x+2y=3y,则2x+y的最小值为3 D.若a,b>0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值为6 【答案】BCD 【分析】对于A项，取x<0,进行判断，利用基本不等式可判断BCD. 【详解】对于A选项，当x<O时，得y=x+<0, 则y=x+的最小值为2不成立，所以A项错误： 对于B选项，由a+b=2,得a+b-1=1, 由a>0,b>1,得a>0,b-1>0, 则2启ea小-6.1 9(b-0.a=16 ≥10+2ab-1 a+b=2 当且仅当b-少-日时等号成立，联立 9(b-1)a 6-1得a=3,b 3 5 a b=1 a 4 9.1 所以ab-一的最小值为16，所以B项正确： 对打C施项若正数x,少满起x+2=3如，则3=2-2+村 xy x y 2*ya++-3 当且仅当x=y=1时，等号成立，所以C正确. 对打0选项肉为a6>0.所0+63=生， 6/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令t=a+b, 则43s,p6+20-620,自1=a+0: 得≥6，即a+b之6，等号成立时，a=b=3,所以D正确 故选：BCD 3.下列说法正确的有（) 11 A.若a>b,则ab a+c a B.若a>b>0,c>0,则b+c<b C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>0,b>0,且a+b=4,则ab的最大值为4 【答案】BD 【分析】对于A、C选项，可以通过取特值判断选项的正误； 对于B选项，可以通过不等式的性质判断选项的正误： 对于D选项，可以通过均值不等式判断选项的正误， 11 【详解】对于A选项，当a=1,b=-I时，满足a>b,但不满足ab,则A选项错误； 对于B选项，由a>b>0,c>0,得：b-a<0,b+c>0, atc_a_(a+c)b-(b+c)a_c(b-a)<O a+ca 通过作差可得：b+cbb(b+c) b(b+C),由此可得：b+cb,则B选项正确： 对于C选项，当a=2,b=1,c=-2,d=-3时，满足a>b,c>d,但不满足ac>bd,则C选项错误： 对于D选项，由于a>0,b>0,由a+b≥2√他，得：absa+b4 =4 4 4 当且仅当a=b=2时等号成立，因此可得b的最大值为4，则D选项正确. 故选：BD 4.下列说法正确的是() 7/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.x<0,r+的最小值为2 B.x>0,x(2-x)的最大值为2 7 11 C.++2最小值为27-2 D.已知a,beR,4a+b=1,则a+6的最小值为9 【答案】CD 【分析】A由不等式的性质知x+←0恒成立，即可判断：B利用2-对=-红-+1s1即可判断：C应 用基本不等式求最小值，注意等号成立条件判断：D应用“1”的代换和基本不等式求最小值，注意等号成 立条件判断。 1 【详解】A:由x<0,则x+<0恒成立，故最小值不可能为2，错： 8:由x>0,则2-=-x-少+1s1 当且仅当X=1时取等号，错： 2+7 0:由*2产+2+7 tn22e+222-25-2 当且仅当2+2=7 x2+2,即x=±V√万-2时取等号，对： .0-60=s+8522g- a b 「1 [b=2a a=- → 6 当且仅当b4a’即4a+b=1 1时取等号，对 b= a b 3 故选：CD 5.若m,n都为正实数，且m+n=2,则() A.mn的最大值为11 B.n2+2m<3 2,8 C.m2+?的最小值为2 D.m+行的最小值为9 【答案】CD 8/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 《分析】对于A,由mn≤”判断：对于B,代入2-之0，结合配方法可判断，对于C,由 m2+n2=(m+n)2-2mn 可判断，对于D,由乘1法可判断. 【详解】解：因为m,n都为正实数，且m+n=2, 所以m≤("=1，当且仅当m=n=1时取等号，故A错： 由已知得m=2-n>0,可得0<n<2, 2+2m=n2-2n+4=(n-1)2+3≥3 所以 故B错误： m2+n2=(m+n)2-2mn=4-2mn≥4-2=2 当且仅当m=n=1。 「时取等号， 故C正确； 2+8_2+8m+=5+”+4m mn（m'n八2 m n 25+2, n 4m =9 2 4 mny,当且仅当m=3,n= 3时取等号， 故D正确. 故选：CD 6.已知正数a,b满足a+b=1,则() 1 A.ab≤ 41 —+二≥9 4 B.a b C.va+B2 0.a+b2≥1 【答案】AB 【分析】根据题意，结合基本不等式的性质，逐项进行判断即可 【详解】对于A选项。a+6=1a+b≥2W,即1≥2，解得b≤4， 4,故A选项正确： 9/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4b.=9 对于B庭现若后+加+刻-4+台名5+2曾君-9.正： a b 对于C选现（石+=ab+2a,又a+61,bs 11=2 所以a+v6矿≤1+24=2，所以石+6≤2，放c选项错误： 对于D选项，a+b2=(a+b}-2ab=1-2ab≥1-2x} 11 42,故D选项错误。 故选：AB 题型3几何背景（无字证明）理解基本不等式 【模型】利用圆、几何图形的线段长度，理解算术平均数、几何平均数大小关系。 【步骤】读图，把线段翻译成代数表达式，对比大小。 【易错】区分几何平均数、算术平均数对应的线段，不要记反大小。 1. 《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据通 过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中， 在AB上取一点C,使得AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交以AB为直径的半圆弧于D,连结OD,作 CE⊥OD,垂足为E,由CD≥DE可以直接证明的不等式是()· D 26o>06>0 A. B.a2+b2z/ab(a>0,b>0) a-b≤ab,(a>0,b>0) c.2 0 vab≥2ab a+6a>06>0 【答案】D 10/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD≥DE即可得到答案 【详解】 D 连接DB,因为1B是圆0的宜径，所以∠DB=90,所以在RMDRT，中中线OD--生， 22 由射影定理可得 D2=AC.CB=ab,所以 CD=Vab E=CD=ab=2ab 中，由射影定理可得 ,即 ODa+ba+b RtADCO CD2=DE.OD 2 由cD≥D5得vab≥2ab a+b' 故选：D 提升进阶突破 题型4“1的代换”（乘1法）求最值（高频重点） 【模型】己知ma+nb=1(a,b>0),求A+B 的最值：式子乘“1”展开后构造积为定值。 a b 【步骤】①识别条件：己知正数等式等于1；②目标式乘以条件等式：③展开，拆分出可以用基本 不等式的两项：④计算，验证等号条件。 【易错】必须保证变量全部为正数：等号成立要同时满足原始条件与均值取等，两个方程联立要有解。 3,4 1.已知x>0y>0,且x+y=1,则x+y的最小值为（)· A.7+2V5 B,7+4V5 C.7+65 7+83 D. 【答案】B 11/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3+4=2+4xx+)=7+3y+4 【解析】化简得xyxy x p 再利用基本不等式求解 【详解】：x>0,y>0,且x+y=1, 3+4=2+xx+)=7+3y+4≥7+2By.4红=7+4N5 ..x yx y x y Vx y 3y 4x 当且仅当x=y,即x=-3+2W5,y=4-25时等号成立， 34 ∴x+y的最小值为7+4W3: 一十 故选：B 【点睛】方法点睛：本题利用基本不等式求最值时用到了“1的代换”技巧，即把原式乘以“1”，再把 “1”换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解，可以提高解题效率. 14 2.已知x>0,y>0,2x+y=3,则2x+1+y的最小值是() 9 46 A.3 B.4 C.15 D.9 【答案】B 【分析】由己知条件代入后凑出积为定值，再由基本不等式得最小值. 【详解】：x>0,y>0,2x+y=3,所以(2x+1)+y=4 44 y4(2x+1) 18 当且仅当2x+1y且2x+1+y=4即x=石y 3时取等号， 1,4 则2x+1y的最小值是4 故选：B 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； 12/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把 构成积的因式的和转化成定值： (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不 是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 3.已知正数a,b满足Q+b2=1,则() 1 A.ab的最大值为2 B.a+b的最小值为V2 C.a2+b的最大值为1 D.3b2+4ab的最大值为4 【答案】AD 【分析】应用基本不等式计算判断A,B,D,再换元结合二次函数计算求解最值判断C. 【详解】对于A, ab≤a2+b21 22,当且仅当a=b? 2时等号成立，所以ab的最大值为2，故A正确： 对于B,(a+b=d++2ab≤2(c+b）=2,所以a+b≤2，当且仅当 2时等号成立， 所以a+b的最大值为√2，故B错误： 对于c,因为8=所以=上，06c1,心+66+1-6-. 所以当b= 2时，2+b取得最大值，且最大值为4，故C错误： 对于D.3次+4b=3盼+2x20xb≤36+4d+仔=4，当月g当a=5 25 b= 5,5时等号成立，故D正确： 故选：AD, 4.设a>0,b>0,且a+2b=4,则下列结论正确的是() 21 A.ab的最大值为4 B.。+6的最小值为2 13/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 C.ad+b的最小值为5 1+2>8 0.a+b+>7恒成立 【答案】BCD 21 【分析】A:利用基本不等式直接求解出b的最大值并判断：B:利用“1的代换”计算出。+方的最小值 并判断：C:将问愿转化为求关于b的二次函数的最小值，计算并判断；D:根据a+)+26+1)=7 ，利用 12 “1的代换”计算出a+1b+的最小值，然后可判断. 4=a+2b≥2W2ab 【详解】对于A:因为 所以6≤2，当且仅当0=2b,即a=26=时 时取等号， 所以ab的最大值为2，故错误： a 4b 当且仅当ba,即a=2,b=1时取等号， 21 所以āb的最小值为2，故正确： 对于C:因为a+2b=4,所以a=4-2b,因为a>0,所以0<b<2, 所8-6-2+=w-1416-f6-99 一5时取等号（满足条件）， 16 所以2+b的最小值为5，故正确： 对于0：因为a+2b=4,所a+)+26+)=7 时ao-a20+}s2,20） 14/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当且仅当b+1 20,即g+1-b1即a=b-号时取等号， 2(a+1)_2(b+1) 1 2 1.2.8 所以a+1b+i的最小值为7，所以a+1b+>7恒成立，故正确： 故选：BCD. 5.已知x>0,y>0,且x+y-y+8=0,则x+2y的最小值为 6V2+3 【答案】 【分析】根据x+y-y+8=0用x表示出y,根据x>0,y>0可求出x>1,同理可求y>1.将 x+y-y+8=0配为x-0-1)=9,将x+2y构造为 配为 x-1)+2(0-+3,利用基本不等式即可求解。 【详解】白+y-+8=0可得-=x+8 显然x1,故得少=+8 x-1 x>0,y>0,x>1,同理y>1. x+y-xy+8=08=xy-x-y 可化为 x-10y-1)=9 整理得 x>1,y>1,.x-1>0y-1>0 :x+2y=(x-+20-)+3≥22(x-100-可)+3=22x9+3=6N2+3 当且仅当x-1=20-少即y=31x=1435时，等号成立， 2 x+2y 6V2+3 的最小值为 6W2+3 故答案为： 15/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5配凑变形构造和/积为定值 【模型】原式本身没有定值，拆项、添系数，凑出“和定”或“积定”。 【步骤】①观察代数式，拆分、提系数；②使得两项乘积（或和）变成常数；③使用基本不等式，检验 等号。 【易错】配凑系数容易算错，配凑完成后一定要重新检查是否为定值。 1 1 1. 已知x>2,y>-2,x+2y=2,则x-22y+4的最小值为 【答案】1 【分析】根据己知等式，结合代数式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为x>2,y>-2 所以x-2>0,2y+4>0. 由x+2y=2→x-2+2y+4=4, 高4-小e4小 2y+4+x-2 ≥2 2y+4x-2 =2 2y+4_x-2 因为x-22y+4Vx-22y+4-,当且仅当x-2=2y+4, 即当x=4,y=-1时取等号， 有2+2妙+44F22+1 1 -22+421. 1 1 所以当x=4,y=-1时，x-22y+4有最小值1 故答案为：1 2.已知m,n>0,完成下列问题. 16/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 91 (1)若4m+n=1,求m+n的最小值： (2)若mn=6m +3+16,求mm的最小值 【答案】(149 (2)64 【分析】(1)由基本不等式乘1法即可求解： 2)白基木不学式有到m26,丽+16，得特合一元=次术等式求解阿 【详解】(1)因m,n>0,且4m+n=1, m n ≥37+2 9n4m=49 m n 9n 4m 31 当且仅当m=”,即m=4”=7时等号成立， 9.1 故m+n的最小值为49， (2）因m,n≥0.则mn=6m+3n+16≥216mx 2 mx3n=6/mn+16 即m-6mm-16≥0，可得mm+2m-8)上0 即Nmm≥8或m5-2(合》，解得m≥64 3n 当且仅当6m=2,即m=4,n=16时等号成立， 故mn的最小值为64. 3.已知a>0,6>0,且a+h= 4 17/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求ab的最大值； 14 2)求。+6的最小值： 1 【答案】(1)64 (2)36 【详解】解：(1)因为a>0,b>0,a+b= 4 所a+b2画.有k。 1 当且仅当a=b=8时，等号成立， 1 所以ab的最大值为64： (2)因为a>0,b>0,a+b=1 4 防若4(a+6后含-45+8智45+2合日-6 b 4a 1 1 当且仅当。6，即a=12b=6时，等号成立， 14 所以。+6的最小值为36。 4.(1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值： 31 (2)若正数x,y满足+5列l,求3x+4y的最小值： 5 1 (3)已知x<4,求y=4-5+4x一5的最大值 1 【答案】(1)16：(2)5：(3)-2 【分析】(1)(3)利用基本不等式计算可得； (2)利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 18/52 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)因为a>0,b>0,且4a+b=1, =4a+b≥2W4ab=4Vab 所以 所以历≤分，所以助≤名 16 1 1 1 当且仅当4a=b:即a=8b= 2时，取等号，故ab的最大值为16 3,1 (2)因为5x5y =1,x>0,y>0, 所以 3x12y 当且仅当5y5x,即x=1'y-2时，取等号，故3x+4y的最小值为5 )因对<子，所以5-4>0 -5+5-+小35- 当且仅当5-4r=5-4x,即x=1时，等号成立，故当x=1时，y=-2 1 所以函数y=4x-5 4x-5的最大值为-2 题型6简单实际应用 【模型】根据题意列出函数表达式，自变量>O,利用基本不等式求最大/最小值。 【步骤】①读题设变量，建立目标函数；②写出实际定义域（大于0）；③基本不等式求最值；④ 回归实际问题作答。 【易错】实际问题自变量有范围；如果等号取到的值不在定义域内，则不能用基本不等式，改用函数单 调性。 19/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边AB=8m,AC=6m.现欲建一个如图的内接矩形花园 ADEF,点E在斜边BC上（不包括端点），则花园ADEF的面积的最大值为 E B 【答案】12m2 【分析】利用基本不等式可求面积的最大值 【详解】设AD=x,0<x<8,则BD=8-x, 6-AF x 3 因为△CFE-△CMB,所以6=8，解得4F=6-x, 所以花园ADEF的面积为 41 3 当且仅当4x=6 4,即x=4时等号成立 所以花园ADEF的面积的最大值为12m2. 故答案为：12m2 2.某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3,深为3m,其底面为长方形ABCD,其中 AD≥AB.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元. (1)若贮水池的总造价不超过78000元，求AD边长的范围： (2)怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)20m≤AD≤40m (2)当AD=20m,AB=20m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元 【分析】(1)设AD=x,利用总造价不超过78000元列不等式，由此求得x的取值范围. 20/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)利用基本不等式求得总造价的最小值以及设计方案. 【详解】(1)设AD=xm,AB=ym,且x≥y, 则依题藏可得=40，且x之y,则x≥0 ,且x≥20， z=400×120+2(x+y)×3×100=48000+600(x+y) 则总造 则2=48000+600x+x≤78000，即x+≤50 整理得x2-50x+400≤0，解得10≤x≤40，又x≥20， 所以AD边长的范围是20m≤AD≤40m (2)结合(1)有y=400, 且总造价2=48000+600(x+月24800+600x2Vg=720 当且仅当x=y=20时，等号成立， 所以当AD=20m,AB=20m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元. 3.如图，在△ABC中，∠A=90°，D,E,F分别为AB,AC,BC上一点，且AD=2,AE=3,四边 形ADFE为矩形 D (1)求△ABC面积的最小值： (2)若△ABC的面积大于16，求DB长度的取值范围. 【答案】(1)12 aoua回j 【分标】（④设DB=(e>0叭则B=+2可符三角形1BC的面积9-x+2)+2 1 再利用基 21/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 本不等式求出面积的取值范围； 3.4 2x+-+4>16 (2)△ABC的面积大于16，即2x ,解一元二次不等式即可 DB=x(x>0) 【详解】(1)设 则4B=x+2 DB DE 因为DF11AC,所以AB=AC, 所以4C=3(x+2) a4c-+9到9-24-兰小e0 x 4、 x+≥ 4 由基本不等式，得x 2=4 4 当且仅当x=x,即x=2时，等号成立，所以。ABC面积的最小值为12 所以x-63x-2)小>0 所以0<x 3或x>6 长质尚院范阳O头6四 4.某工厂生产(x>0 件产品的总成本C(单位：元)与生产件数x之间满足二次函数 c(-+50r+10o0 (1)若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围： 22/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 【答案】(1)0<x≤200，x∈N. (2)200 【分析】(1)根据题意列出不等式直接计算，结合实际意义即可得解： (2)表示出平均成本，利用基本不等式求解即可： 【详解】(1)若要求生产总成本不超过30000元，则C()-+50x+1000≤3000 4 即x2+200x-80000≤0，解得-400≤x≤200， 又x>0,所以满足生产总成本要求的产品件数的取值范围为0<x≤200，x∈N. (2)由题意知，生产件数为时，每件的平均成本为4 2+50x+10000 =4x+50+10000 1 4 x 1 t+50+≥2 1.10000 x. +50=150 由基本不等式可得4 V4 x 110000 当且仅当4=：，即x=200时，等号成立， 即该工厂生产200件产品时，每件产品的平均成本最小. 5.某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3,深为3m,其底面为长方形ABCD,其中 AD≥AB.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元： (1)若贮水池的总造价不超过78000元，求AD边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)20m≤AD≤40m (2)当AD=20m,AB=20m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元 【分析】(1)设AD=x,利用总造价不超过78000元列不等式，由此求得x的取值范围. (2)利用基本不等式求得总造价的最小值以及设计方案 【详解】(1)设AD=xm,AB=ym,且x≥y, 23/52 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则依愿意可得y=400,且x之y,测x≥0 ，且x≥20 =400×120+2(x+y)×3×100=48000+600(x+y) 则总造价 400≤50， 整理得x2-50x+400≤0，解得10≤x≤40，又x≥20， 所以AD边长的范围是20m≤AD≤40m (2)结合(1)有y=400, =48000+600(x+y)≥48000+600×2√xy=72000 且总造价 当且仅当x=y=20时，等号成立， 所以当AD=20m,AB=20m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元 6.如图，在△ABC中，∠A=90°，D,E,F分别为AB,AC,BC上一点，且AD=2,AE=3,四边 形ADFE为矩形 D B (1)求△ABC面积的最小值： (2)若△ABC的面积大于16，求DB长度的取值范围. 【答案】(1)12 【分折】2)设D6=>0叭小则=x+2可得三角形MC的面积s-+2)32, 再利用基 本不等式求出面积的取值范围： 3.4 x+-+4>16 (2)△ABC的面积大于16，即2x 解一元二次不等式即可 24/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DB=x(x>0) 【详解】(1)设 则AB=x+2 DB DF 因为DF1IAC,所以ABAC, 所以AC=3x+2) 两c5-+--小0 「4 由基本不等式，得+x≥2x4 当且仅当* x,即x=2时，等号成立，所以。4BC面积的最小值为12. ,即3x2-20x+12>0, 所以-63x-2)>0 .2 所以0<x<3或x>6 (0.2u(6,+o) 所以DB长度的取值范围为3) (x>0) 7.某工厂生产 件产品的总成本C(单位：元)与生产件数x之间满足二次函数 c4到-+50r+1oa0 (1)若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围： (2)试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 【答案】(1)0<x≤200，x∈N: (2)200 25/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)根据题意列出不等式直接计算，结合实际意义即可得解； (2)表示出平均成本，利用基本不等式求解即可： 【详解】(1)若要求生产点成本不超过3000元.则C()=+50x+100≤300， 即x2+200x-80000≤0，解得-400≤x≤200， 又x>0,所以满足生产总成本要求的产品件数的取值范围为0<x≤200，x∈N. (2)由题意知，生产件数为时，每件的平均成本为4 x+50x+1000 4x+50+10000 +50+10000、 1 tè2 110000 4 +50=150 由基本不等式可得4 110000 当且仅当4=x，即x=200时，等号成立， 即该工厂生产200件产品时，每件产品的平均成本最小 题型7条件等式下多变量最值 【模型】给出等式约束，求另一代数式最值，变形转化为可均值不等式形式。 【步骤】①对条件等式做移项、因式分解；②构造和定/积定或可以“1代换”的结构；③用基 本不等式求解，检验等号。 【易错】多变量等号条件联立，必须有正数解，否则结果无效。 1. 设正实数七，y满足x+y=1,则（) A.2y有最大值为1 ®行有袋为5 C.x+y少有最小值为2 D.Vx+1+y+ 有最大值为2V2 26/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】BC 4x14x+1_4++y_4红+之+1，即可判断B:利用 【分析】利用基本不等式可直接判断A,将y+x化为y十xy+xy+: -+ +yx+y） 不等式2气2以及取等条件可判断CD. 【详解】对于A:由题意知，正实数xy满足x+y=1 则1=+y22→y52g≤2，当且仅当x=y=方时，等号成立，A销误 4红+-4x+x+y-4红+2+1≥2A2+1=5 对于B:由y x y x y x Vy x 生钙→y2时，结合+回x号时学号成立，放正商： 当且仅当x=y 2 对于c,兰〔生4.当贸当=.导9立.收c正m 1 I+2+可+*2 对于D:2 x+1+y+2=2, 2 2 x+1=y+2 x=1 所以Vx+I+√y+2≤22，当且仅当x+y=1,即y=0时取等号， 因为x,)是正实数，所以等号不成立，故D错误， 故选：BC 2.已知x,y均为正实数，则() A.+少的最大值为) +y=4x2+y2 B.若 ,则 的最大值为8 2 1 C.若+y=l,则x+的最小值为3+22 27/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+y+1 16 D.若2+y2=x-y则x+2y的最小值为 【答案】ACD x2+y2=x-y>0 【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由 化简得到 x+y+1 2 +少=1，得出x+2)-2必y+之1，结合二次函数的性质，可判定D正确. x-y 【详程1A中，医为00，可药+广2y,当且仅当=时.特号成立 1 所以+2，即十少的最大值为)所以A正确： B中，由x+y=4,则+y=(c+-2y≥16-2x(?=8 2 当且仅当)时，等号成立，所以+少的最小值为8，所以B不正商， 3 1 c中，若+y=1,则+少 +2=3+22 x+=x+X2+0=3+g+223+2四+ y 当且仅当=2 时，即x=2+V2,y=√2-1时，等号成立，所以C正确： 父+y=1 D中，由x2+y2=x-y>0,可得x-y +y1+y4+ x-y2x2 2 则x+2y x+2yx2+y-2y2-2y2+卫+ x+y+12 令1=兰e(0,),则x+2y=-2r+1+1' 28/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+y+1 2 、16 所以x+2y -22+1+19,所以D正确 故选：ACD. 3 3.已知实数x,y满足x>y>0且2x+y=2,则x+y+x-y+1的最小值为 6 【答案】5 【分析】令a=x+y,b=x-y+l,将条件转化为关于a,b的式子，再利用基本不等式求解即可. 【详解】令a=x+yb=K-y41,则x=0+-,=0-b+1 2y- 2 因2x+y=2,则3a+b=5, 因x>y>0,则a>0,b>0, 0x3+10)- 5 等号成立时a=b= 4,即3 1 4 2 3 1 16 则x+少x-y+1的最小值为 16 故答案为： 5 b3 b 4若正数。'6满足。+2ab=166则。+a+26的最小值为 1 【答案】210.5 a+2b b 【分析】依题意可得16b=a,从而得到+”=6+a+26 aa+2ba+2b+16b,再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为正数a,b满足d2+2ab=16b4, a+2b b3 所以a(a+2b)=166,则16=a, 29/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =b-+a+2b b a+2b 1 所以a+a+2ba+26+166 一十 Va+2b16b2, b a+2b 当且仅当a+2b16b,即2，a=V2时取等号， b3 b aa+2b的最小值为 即。+ 2 故答案为：2 拔高·压轴破难 题型8基本不等式与恒成立问题（重难点) 【模型】V,f(x,y)≥k恒成左一fmm如≥k:,f(x,y)≤k恒成左一Fmgx≤k。 【步骤】①识别关键词“任意、恒成立”；②利用基本不等式求出代数式的最值；③转化参数不等式 求解；④注意：若等号取不到，则不能直接用该最值。 易错】混淆恒成立看最大还是最小：基本不等式取不到等号：要改用对勾上函数单调性求最值： 14 1.已知。+6-↓且ab>0,若关于，的不等式a+b≥r+51+3恒成立，则实数1的取值范围为() A61 B.4 c.（m,-小u[6+o）D.(,6ju[l+o) 【答案】A 【分析】利用基本不等式求得a+b的最小值，从而将问题转化为9≥2+51+3，解之即可. 【详解】+4 1 a b ,ab>0, a+h=a+b)+4)-b+4a+5≥2 b 4a 八a+6。+6 +5=9 Va b 30/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当仅当。名时1，即0=36=6时等号设立。 因为关于t的不等式a+b≥2+51+3恒成立， 所以9≥2+51+3，解得6≤1≤1， 所以61 故选：A 2.下列说法正确的是() 1 A若1<x<2,函数y=x+x的最小值为3 11 B.若x>0,y>0,x+y=1,则xy最小值为4 十 C.若对x∈(0，+o),x+之m恒成立，则实数m的最大值为2 1 1 D.若x<2,则2x+2x一的最大值是1 【答案】BC 【分析】利用基本不等式可判断AD,根据条件等式结合基本不等式可判断B;利用基本不等式结合不等式 恒成立问题判断C. 【详解】对于A,由于1<x<2,故0<x-1<1, 当且仅当x-1=1 =x-1,即x=2时等号成立，但1<x<2,取不到x=2: 1 故函数y=x+x一的最小值不为3，A错误： 对于B,x>0,y>0,x+y=1 31/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 *-兰+22子+2=4 y_x x y 当且仅当工+y即x=y=号时取等号即士十号最小值为4，B正痛： 11 x y 对于C,对x∈0，+)，x+≥2 故对x∈(0，+切)，x+之m恒成立，则m≤2，实数m的最大值为2，C正确； 1 对于D,因为x<2,故1-2x>0, 2+20-21e20-22x11 1 -1,当且仅当1-2x=1-2x,即x=0时取等号， 1 故2x+ 2x-1 1 故2x+2x一的最大值是-1，D错误， 故选：BC b-1 3.对于任意实数x,当a>0时，都有(x-2≥a+b,则a的最大值为 【答案】-3 【分析】利用二次不等式恒成立，再放缩求解即可得最大值. x2-(4+a)x+4-b20 【详解】由题意得， 20在xeR上恒成立， 则A=4+a-4-创s0,所以+a+4h0:即s-牙-2a, 4 =-3 元b=14—=-4-2-=-2-4a2-24a a>0 a a 4+a月 b-1 当且仅当a=2时取等号，故a的最大值为-3 32/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：-3 4.已知a>0,beR,若关于x的不等武a-2:+-6)20在0，+w)恒成立，则b-40的取值范国是 【答案】 （0,-22] xe02 +00 【分析】将问题转化为当 )时，x2+bx-6≤0恒成立；当 a' 时，x2+bx-6≥0恒成立的问 2 题，由此可得x=后为方程r+hx-6=0的根，代入可得a,b之间关系，结合基本不等式可求得b-4a的取 值范围· 2 2 【详解】：a>0,:当0<x<后时，心-2<0：当*> a时，m-2>0: 2 ∈0，二 当 @时，2+bx二6≤0恒成立，当a,时，+bc-620恒成立 -后是方程r+-6-0的根，年+2沙-6=0，则6=30名 2 a a 比e+6f+如2}6-0，方酒银为g为02尚足题 ~a>0时，a+日25（当且仅当a=5时取等号），a+名c[2反，切）. 0 -(a+2引}(2.6-如的取位范用为国2可 故答案为： (0,-22] 5,发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施某汽车工业 园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为(6≤x≤10) (单位：米)，地面面积为56平 33/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案， 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为P； y=1200m1+1 方案二：其给出的整体报价 元(m>0). (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数m的值： 2求P的函数解析式，并求报价的最小值4≈3.7列 (6≤x≤10) (3)若对任意的 时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围 【答案】(1)22 56 P=1200x+D+9600,x∈[6,10] (2) 27360 8,(020) 【分析】(1)根据函数定义直接代入可计算： (2)根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数P,再利用基本不等式求最值： (3)代入进行参变分离，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】(1)宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 则1200m +1 8 =29700,解得m=22' 所以m的值为22. 56 56 所以P=1200x+ +9600,x∈[6,10. 56 56 P=1200x+ +9600≥1200×2，x.D+9600≈27360 可得 34/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 56 当且仅当x=文，即x=24≈7.4时，等号成立 所以报价的最小值约为27360 (3)对任意的rc6,10时，方案二都比方案一省钱。 即xe610时，120+小12n+996o0E威立， 参变分离可得m<Y+8x+56 x+1 +8x+56=(x+1)+49 因为x+1一 +x++6≥2x+1)49 +6=20 当且仅当x+1=49 x+1,即x=6时，等号成立， 可得<m<20,所以实数m的取值范围为 0,20) 题型9基本不等式与能成立（有解）问题（难点） 【模型】 ,fx,y)≥k有解一Fmgx≥k;3,f(x,y)≤k有解一fmnu≤k。 【步骤】①识别关键词“存在、有解”；②求出代数式的最值；③解参数范围。 【易错】和恒成立模型极易混淆，一定要分清“任意”还是“存在”。 74 1.若两个正实数x,y满足x+)2且存在这样的xy使不等式y-m-3m<0有解，则实数m的取值范围 是() A.(-1,4) B.（-0,-4)U(0,+o）)C.(（-4,) D.（-∞，-3)U(0,+0) 【答案】B 【分析】运用基本不等式求得的最小值，存在y使y-㎡-3m<0成 y 成立，即 (y）min<m2+3m 解不等 式即可 35/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+4=2≥2， 41 【详解】正实数x,y满足xy y,得y .xy≥4 当汉当时2.即y=4时，学号度立 ”存在x》使不等式y<㎡+3m有解，即)<m+3m 4m+3m,可解得m>1或m<-4,即m(0,4U(1,+w） 故选：B 2.已知不等式+r+c>0的解集是(-2,3 ,则下列说法正确的是() A.a>0 11 B.不等式cer+bx+a<0的解集是2'3) C.当6=2时.f)=3+6r,x6a,m上的值城为8别，则么-从的取值范围是B,可 D.若关于m的不等式m-m>h+5 √b+4有解，则实数m的取值范围是{mlm>2或m<} 【答案】BC 【分析】A选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B,由解集得到b=-a,c=-6a,a<0,从而 x+bx+a<0化为6r+x-l<0,求出解集；C选项，先确定 f(x)=f(1)=1 进而求出-2或=4 b+4.5 5 时，()=-8，进而可求解：D选项，先求出6+32，从而根据不等式有解得到㎡-m>2,求出答 案， 【详解】因+hx+c>0的解集是 -2,3) ,所以a<0,A错误： 36/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一2,3是关于x的方程ar2+bx+c=0的两个根，且a<0, 王是得-2=1，，=-6，即b=-a,c=-6ay ，a 不等式am+r+a<0化为：6-1k0:解行分<分，B正确： 1 1 当c=2时，因为b=-4c=-6a,所以a=-3b=3 3, 则f)=3r2+6x=-2+2x=-(x-1y+1.f)=f)=1 依题意，1，四，由四-8得，x-2或=4 因f(因在，m]上的最小值为8， 从而得”=-2,1≤%≤4康2≤%≤1%=4 或 3≤n2-h≤6 两种情况均有 C正确. b+5 6>0令6+4=1>2：由对勾函数得、6+41+7在1（亿，切）上单调递增， 即有632因㎡-m>6有解，则m2-m b+4.5 b+5 5 2 1+,D不正确： 解得m<分政0>分》 故选：BC 3.若命题“存在正数4山，使得Va+<小a+22历)·是假命腿，则实数本的最大值为 a 1 【答案】2/0.5 a+b -≥k 【分析】转化问题为a+2W2ab"“恒成立，进而根据基本不等式求解即可. 37/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【联样1因为名在正爱0,6，使斜6+合<（石+2网）是长起， 所以对意正数a,b,a+a+22b为直命圈 a+b =≥k 即a+2√2ab恒成立， 因为a+2W2ab≤a+a+2b=2(a+b) a+b 所以a+2√2ab22,当且仅当a=2b时等号成立， 1 所以实数k的最大值为2。 1 故答案为：2. 题型10基本不等式与二次方程、韦达定理综合 【模型】利用基本不等式求出代数式最值作为已知条件，再结合一元二次方程根的分布、韦达定理解题。 【步骤】①基本不等式求出最值；②把最值作为已知量代入；③利用判别式、韦达定理列不等式组。 易错】二次方程注意判别式，根的正负限制条件不要遗漏。 x+2y 1.已知x、y∈R*且2x+y=2,设y的最小值为b (1)求b的值： (2)若关于x的方程 +a-+a+b-=0 有两个正实根，求实数a的取值范围. 9 【答案】(1)2 )falas x+2y=2+1 2+1 【分析】(1)变形得出炒xy,将代数式xy与代数式 2x+儿相乘，展开后利用基本不等式 38/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21 可求得xy的最小值： 2+(a-3)x+a=0 (2)分析可知方程 有两个正实根，根据一元二次方程根的分布可得出关于实数“的不等 式组，由此可解得实数a的取值范围. 【详解】(1)因为、yeR 2x+y=2 ,且 空--是功-+ 2y_2x x y 2x+y=2 当且仅当 x>0,y>0时，即当2时，等号成立，故2,1的最小值为g,故， x=y=3 9 x y 2 b=2 x2+(a-3)x+a= (2)由(1)可知，方程 有两个正实根，设这两个正根分别为、方】 △=(a-3)2-4a=(a-1)(a-9)20 由题意可得 x+x2=3-a>0 ,解得 x2=a>0 0<a≤1 因此，实数“的取值范围是al0<a≤ 2已知关于×的不等式-2x+1<m的解集为 ,c+4) (1)求实数m的值； 1 4 (2)若a>1,b>0,a+b=m,求a-i+6的最小值. 【答案】(1)m=4 (2)3. 【分析】(1)由x2-2x+1-m=0的两个根为，c+4,结合韦达定理即可求解： 39/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e合0a- 即可求解， 【详解】(1)因为不等式-2x+1<m的解集为6c+4), 所以x2-2x+1-m=0的两个根为c,c+4,且m>0, 由根与系数的关系： c+(c+4)=2 得c=1 又因为e+4)=1m.即-1k3=1-m,存m=4 所以m=4: (2)由题意a>1,b>0,a+b=4,可得a-1+b=3, 可。后品动o-创 b4(a-1) 当且仅当a一=b,即a=2,b=2时，等号成立， 14 可得a-6的最小值为3. 3.已知函数 f(x)=ax2-bx+1 阳防关下的不降我的群果为 求实数a、b的值； 2x >1 (2)在(1)的前提下，求不等式f(-1的解集： 40/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b2+1 3)设关于x的方程()=0有两个正实数根，本，且满足+号=1，求1-a的最大值. 【答案】(1)a=-2,b=-1: e (3)-8. 【分析】(1)根据韦达定理即可求解， 1+2x>0 +2x2 x-2x>0,问题等价于 1-2x (2)将不等式转化 x≠0 求解， 8+l-0-a+1-a (3)根据韦达定理，将问题转化为1-。 4 -4，进而利用不等式即可求解。 洋解】1)因为关于x的不等式了c>5的解集为2,2 3 所以2与2是方程m2-x+6=0的两个实数根，且a<0, +2=b 3 2 a 由韦达定理可知 2=6,解得 3 2 a=-2,b=-1 2x ->1 2)由1)知f因)=-2x+x+,所以不等式x)-等价于r-2炉>7 （1+2x,0 即x+2x 即1-2x x-2x >0· x≠0 ,解得_1<x<且x0 2 所以不学可的集为(》 2x >1 41/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)因为关于x的方程 (x)= 有两个正实数根， x+5=b0 a 1 所以x5=二>0 a ,又 ,也即 ,即 △=b2-4a≥0 B_2=1 x+号=1a2a b2=a2+2a 2-4a≥0，a>0 结合 0,可得-2a≥0，解得0≥2 b2+1-d2+2a+1_-aj-41-a)+4 所以1-a1-a 1-a 0-。4=-42o-高-4= 当且仅当a-1=4 -1,即a=3,b=5时，等号成立， b2+1 所以1-a 的最大值为8 题型11不等式证明（基本不等式放缩证明） 【模型】多次使用基本不等式放缩，完成不等式证明。 【步骤】①对每一部分使用均值不等式；②同向不等式可以相加；③检查每一步等号成立条件是否可 以同时成立。 【易错】多次放缩时，所有步骤的等号必须可以同时成立，否则证明失效。 1.已知a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证： (1)ab+bc+ca≤ 3: 21-1-bj01-c)≥8ahc 【答案】(1) 42/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由a+b+c= 1-3(ab+bc+ca)=(a+b+c)2-3(ab+bc+ca) ,得 =d+6+e-b-加-ao-+6-gr+c-ar≥0， 当且仅当a=b=c-时取等号。所以b+c+m≤兮 1 (2) 均为正数且Q+b+c=1 a,b,c 由 -a=b+c≥2c>0,当且仅当6-C时取等号； ,得 1-b=a+c之2Nac>0,当且仅当c=0时取等号：1c=a+b≥2ab>0,当且仅当时a=b取等号， 因此0-a0-b)0-≥2c.2ca-2ab=8ahc,当且仅当a=b=c=3时取等号， 所以1-a0-b1-ce≥8ahc 【分析】(1)根据给定条件，利用作差法，结合平方数为非负数推理得证. (2)根据给定条件，利用基本不等式，结合不等式的性质推理得证 【详解】(1)略 (2)略 y+≥x+y 2.(1)若x>0,y>0,求证：x,y (2)若x>0,y>0,且x+8y=2y,求x+y的最小值 【答案】(1)证明：因为x>0,y>0, 上+兰-x+-+少-x+》_区+x-=y≥0 则xy xy xy y+≥x+y 所以xy 43/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9+4W2 (2) 2 【分析】(1)利用作差法，结合因式分解即可得证： (2)利用基本不等式“1'”的妙用即可得解 【详解】(1)略 1+8=2 (2)因为x>0,y>0,x+8y=2xy,所以yx, *+到+3号要4小 当且仅当y元，即x=2+4y=1+22 x_8y 2时，等号成立， 9+4V2 所以x+y的最小值为2· 3.函数f冈=x++-3 诺不等式)水m 解集是空集，求实数m的取值范围； (2)已知a>0,b>0,且a2+b2=1. ①若不符式江+京对任意xR恒皮立，求实数x的取值范同。 2 (ii)证明： 后e+) 【答案】(1)(-∞，4] [5131 2)(i)4’4」 44/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a日e+-a+6名+ -6+6名+g-2w2+6+2 -2d8 =(a+b2y=1 (日8e+6)21,当且仅当a=6 2时取等号. 【分析】(1)先分析函数的单调性求出最小值，再结合解集为空集求出m取值范围： (2)利用基本不等式求最小值，再结合函数性质解方程求出x的取值范围；利用基本不等式证明已知不等 式 「-2x+2,x<-1 【详解】(1) f(x)=x+1+x-3= 4, -1≤x<3 2x-2,x≥3 当<时，f(四=-2x+2 (4,+0) 函数单调递减，值域为 当1≤x<3时，f=4 当x≥3时，冈=2x-2 函数单调递增，值域为 4,+∞) f(x)=4 m≤4时不等式f四)大m 的解集是空集。 -0,4] 实数”的取值范围是 (2)(i)a2+b2=1, b22a29 45/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即27+层号当且仅当a=5 1.2、9 6 3时取等号， 1.2 9 :2a+6的最小值是2， 不就立+京恒成立，即++-3s. :当x-时，2x42s号解得x<司 5 当-1sx<3时，f)=4 2,恒成立： 当x≥9时，e=2x-2号，解得3≤x≤号 [513 综上可知，实数，的取值范围是44 题型12拓展创新：多元、新定义、阅读理解型 【模型】阅读材料，学习拓展均值不等式，迁移解决陌生问题：二元函数、自定义问题。 【步骤】①读懂题干给出新公式、新定义；②模仿例题的变形技巧；③套用基本不等式思想求解。 1.将基本不等式ab≤“9(a>06>0)推广可得正确结论ana42+2 (a>0,a2>0,,an>0,neN) 当且仅当4=4=…=a时，等号成立利用此结论解决问题：已知x>-2, 4y+x+32m-3m y>0,不等式x+2y 恒成立，则实数m的取值范围是一 【答案114 4y3x+3 【分析】利用两次基本不等式求出x+2y的最小值，再建立不等式，求解参数范围即可 46/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4++3≥m㎡-3加，则” m2-3m≤ 4y++3到 【详解】若x+2'y x+2 y min恒成立， 4y+x+3 4y+a+1 令a=x+2>0,则x+2y可化为ayy, 4y+22 由基本不等式得a”yVay Ay'a 当且仅当ay时取等，此时a=2y2, 4y+9+24y+ 1 1 4y+-≥2,4y×- 则ayy y,由基本不等式得y 当且仅当4y=时取等，此时解得y-2（负根舍去)， 1 代入a=2y中，可得a=2,符合题意，故两次取等条件均满足， 4y++≥4 即ayy，可得m2-3m≤4，解得m∈[-1,4]. [-1,4] 故答案为： 2.我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，己知关于实数x,y的二元函数 x)=x+),则 以下说法正确的是() A.f(2,4)=f(4,2) B.对任意的x>0, C若对任意实数，了-a,22-0-2,则实数4的取值范国是2 ” 47/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D。若布在2。使不等式儿-a25-一2成之，测实数a的位箱日起R+网 【答案】BCD 【分析】代入可判选项A,利用基本不等式可判选项B,利用二次函数恒成立可判选项C,利用不等式能 成立的条件可判选项D, 【详解】对于A,f(2,4)=2x5=10≠4x3=f(4,2 ,所以选项A错误： 化小0+)宁，因>0，房以2，当且收当=l时.等9发，所以选质 1 +x22 B正确； 对于c,fx-a,2)-(-a2x+)=2x2+1-2ax-a 所以f(x-a,2x)=2r2+1-2a)x-a≥-a-2 所以2r+0-2a)x+2≥0 对任意实数x恒成立， 所以4=1-2a-16≤0，所以5x≤ 3 2,故选项C正确： 对于0，存在x22,使22+1-2ax+2s0,所以2x+2≤2a-1, 2 因为y=2x+元在[2，+o)为单调增函数， 所以5≤2x+是，所以5≤2a-1,所以3≤a,所以选项D正确， 故选：BCD 12 3.问题：正数a,b满足a+b=1,求。+6的最小值其中一种解法是： 。后日a+0创-1名名+23+25，当版当8会且g6-1时即g=2-b=2-万 u b=2a a b 时取等号.学习上述解法并解决下列问题： 48/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若正数x,y满足y=3x+y,求x+y的最小值； x2 y2 2)若正数ab,xy满足存=l,且a>b:试比较。-6和(x-y的大小： M=V3m-5-Vm-2 (3)利用(2)的结论，求代数式 的最小值，并求出使得M取得最小值时”的值。 【答案】)4+25 a-b2≤c-y vG 13 m= (3)M的最小值为3， 6 【分析】(1)利用基本不等式结合“1”的代换可求最小值： b'x a'y (2)利用基本不等式 )≥2，利用作差法可证+y≤+y a2+ 2，从而可证 a2-b2≤(x-y)2 (3)利用换元法结合(2)的结论求可得何时M取何最小值. 1+3=1(x>0,y>0), 【详解】(1)由y=3x+yx>0,y>0)可得：xy y Vx y y_3x x y 当且仅当上+3=1即 x=3+1 时取“=”，所以的最小值为 x y y=3+V5 x+y 4+2√3 a国号茶1，-=-的信)+紫) 49/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b'x ayb'x ay b2x2 a'y? 因为+“g2。“=2=2w(当且汉当-g时取“， ≤x2+y2-2y=(x-y}2 b'x a'y a2-b2 所以a2-≤x-y（当且仅当y>0即bx=ay时取“=”)· (3)取=v3m-5,y=m-2 3m-5≥0 由(m-2≥0→m22 ,此时(3m-5)-(m-2)=2m-3>0,所以x-y>0. = 同时： -3y2-1→r- 1 3 再取d=- =y 由2)可知：-≥0-=1号号当n仅当：31“取 3 √6 x= 2 因为x>0,所以当 y= 6时，即m3时取“=”. y>0 6 m=- 6 为-y 6 6 13 因 3,所以-≥ m= 3,故M=x-y的最小值为3，此时 6 4.当已知变量满足某个常数等式时，将目标表达式中的常数替换，构造出可使用基本不等式的形式，进 而求解最值，是解决最值问题时常用的一种方法， 11 。 例：己知a>0,b>0,且a+2b=1,求a+6的最小值. 50/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 g+6++2=12台g33g32 2b a a b ,当且仅当ab,即 a=2-hb=1-2 时，等号成立. 学习上述解法，解决下列问题： (1)若正实数x,y满足2y-2x-3y=0,求3x+2y的最小值： x2 y2 2若ab,x,y均为正实数，且a+h=试比较(x+y}和。+方的大小，并说明理由： M=V2m-1+V2-3m (3)利用(2)的结论，求 的最大值，并求M取得最大值时”的值。 5 【答案】(1)2 白后+若6+，是如下 网购后-后e4告号r2r+2s-wj bx2 ay2 当且仅当a=b,即y=bx时，等号成立， 所以。++明. a b v30 3当m=30时，M取到晟大值石 【分析】(1)由2y-2x-3y=0得到xy 到22=2，再结合基本不等式即可求解： ,结合基本不等式即可求解： (3)令=2m-,y=2-3m,得到 =2m-山少=2-3m,再结合(2)的结论即可求解 51/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】（1）由2g-2x-3=0:可得2y=2x+3y→3+2=2. x y 3+2-+层}+4g+}+2,网)-3. 6y=6x 5 当且仅当x=y,即x=y=2时，等号成立， 25 所以3x+2y的最小值为2： (2)略 M=V2m-1+√2-3m (3)要使 有意义， [2m-1≥0 则2-3m≥0，解得7sm≤子 1 3. 令=2mly=2-3m,有=2m-y=2-3m, 1y22 ,x2,y21 则2=m-23=3-m,所以2+3=6 （后+5}2*-+f+号+2号++2a-4明 即(x+旷s名所以M=x+ys 6, 17 当且仅当3x=2y,即m=30时等号成立. 17 30 所以当m=30时，M取得最大值为6 52/52