专题02 一元二次函数与一元二次不等式（七大题型）（高效培优期中专项训练）数学北师大版高一必修第一册

专题02 一元二次函数与一元二次不等式（七大题型） 考点01 一元二次函数 考点02 解含有参数的一元二次函数 考点03 一元二次方程根的分布问题 考点04 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 考点05 一元二次不等式的恒成立问题 考点06 一元二次不等式的应用 考点07 分式不等式 考点01 一元二次函数 一、单选题 1．如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（　　　） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 二、多选题 2．设集合，．若，则实数的值可以为（     ） A． B． C．0 D． 3．若实数、、满足，且，则二次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C．当且仅当时，取最小值 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则的最大值为 三、填空题 5．若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是________. 四、解答题 6．已知的两根分别是和. (1)； (2)； (3). 7．设命题:二次函数有两个零点，，使 . (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若与均为假命题，求实数的取值范围. 8．设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 9．，，若，求实数a的取值范围. 10．我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 考点02 解含有参数的一元二次函数 一、单选题 1．若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 2．若关于 的不等式 的解集中恰有4个整数，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．设集合，，，，其中，，给出下列两个命题：命题：存在实数，使得不是的子集；命题：对任意的实数，不是的子集．下列说法正确的是（     ）． A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题、都是真命题 D．命题、都是假命题 二、填空题 4．已知关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围为_________ 5．定义区间，，，的长度均为，其中，已知实数，则满足的构成的区间长度之和为____________． 三、解答题 6．已知函数． (1)若，求的解集． (2)，解关于x的不等式． 7．已知函数，. (1)若存在，使得，求的取值范围； (2)求不等式的解集. 8．已知函数 ，. (1) 恒成立，求实数 的取值范围； (2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、，且 ，求 的取值范围； (3)解不等式 . 9．解关于x的不等式． 10．已知关于的不等式的解集为． (1)若，求； (2)是否存在实数，满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”.若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若存在实数和实数，使得，求实数的取值范围． 考点03 一元二次方程根的分布问题 一、单选题 1．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 2．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知关于的方程，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 4．已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（     ） A． B． C． D． 三、填空题 5．已知，，若，则实数的取值范围为________． 四、解答题 6．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)若方程有两个负根，求实数m的取值范围； (2)当时，记方程的根为，，求代数式的值． 7．已知方程有两个不同实数根分别为. (1)若，求的值; (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的取值范围. 8．已知关于x的方程有两个不相等的实根，． (1)若方程有两个不相等的实根，，，求n的取值范围； (2)若，求k的值； (3)求的取值范围． 9．设，是关于的方程 的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若 ，求实数的值； (3)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 10．已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 考点04 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 二、多选题 3．如图，二次函数为常数）的图象经过点，，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 4．已知关于的不等式的解集是，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为或 6．关于x的方程x2－t = x（t∈R）的解集为M（M≠），关于x的方程（x2－t）2－t = x（t∈R）的解集为N．（ ） A．若t = 0，M∩N = { 0，1 } B．M∩N = M C．若M∪N = N，则t的范围是[，+∞） D．若NM，则t的范围是[，] 7．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ） A． B．不等式的解集是 C． D．的解集为 三、填空题 8．已知关于的不等式的解集为{或}，则的解集为____________. 9．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________. 10．抛物线的开口向下，图象与x轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于x的一元二次方程有实数根；⑤关于x的不等式的解集为．其中正确的结论是________（填写序号）. 考点05 一元二次不等式的恒成立问题 一、多选题 1．关于一元二次不等式与恒成立问题，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式解集不为空，则或 D．在上恒成立，则或 2．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ）． A． B．一元二次方程一定有两个不等的实数根 C．的解集为 D．当时，恒有，则m的取值范围为 3．下列说法正确的是（     ） A．，，则实数的取值范围为 B．，，则实数的取值范围为 C．，，，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 二、填空题 4．已知不等式的解集为，若对，不等式成立，则实数的取值范围为______________． 5．已知，使等式成立的实数的取值集合为，不等式的解集为，若是的必要条件，则的取值范围是__________． 三、解答题 6．已知函数. (1)当时，求不等式的解集. (2)若关于的不等式的解集是实数集，求a的取值范围； (3)当时，解关于的不等式. 7．设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 8．已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若对于一切实数恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：． 9．已知. (1)若不等式的解集为,求关于的不等式的解集； (2)若且,求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若对恒成立,求实数的取值范围. 10．已知二次函数，其中. (1)当时，求不等式的解集； (2)若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 考点06 一元二次不等式的应用 一、单选题 1．设为实数，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 2．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 三、填空题 3．设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______． 4．如图，据监测，目前热带风暴中心位于某码头O的南偏东方向、距码头km的点A处，并以km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时长为________h. 5．某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 6．若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 四、解答题 7．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 8．某小区内有一个矩形花坛，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示.已知，.要使矩形AMPN的面积大于，则的长应在什么范围内？ 9．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为20元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 10．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 考点07 分式不等式 一、填空题 1．不等式的解集为______． 2．不等式的解集为______． 3．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________________________． 二、解答题 4．（1）求不等式的解集； （2）若不等式的解集是，求不等式的解集. 5．已知集合，． (1)求和； (2)求． 6．已知关于的不等式. (1)若时，不等式成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式. 7．已知关于x的不等式的解集为A． (1)解上述关于x的不等式； (2)设不等式的解集为，若“”是“”的充分且不必要条件，求实数a的取值范围． 8．若关于的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和不小于4，设的根为、，的根为、． (1)将这四个根从小到大排序，并说明理由． (2)求的取值范围． 9．已知． (1)若的解集为，求关于x的不等式的解集； (2)解关于x的不等式． 10．设全集，集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数与一元二次不等式（七大题型） 考点01 一元二次函数 考点02 解含有参数的一元二次函数 考点03 一元二次方程根的分布问题 考点04 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 考点05 一元二次不等式的恒成立问题 考点06 一元二次不等式的应用 考点07 分式不等式 考点01 一元二次函数 一、单选题 1．如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（　　　） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【分析】先由第一个方程无实根求出参数的范围（注意讨论的情况），再将该范围代入第二个方程，分和两种情况讨论，分别判断方程是一元一次还是一元二次，并计算判别式确定实数根的个数． 【详解】对方程，分情况讨论： ①若，方程化为，有实数根，与“没有实数根”矛盾，故； ②若，方程为一元二次方程，没有实数根，则判别式： 化简得：，解得 此时考虑方程， 因为，所以可能为零（当时），也可能不为零， 当时，方程化为：，有且仅有 个实数根； 当且时，方程为一元二次方程， 判别式： 因为，所以，故，方程有两个不相等的实数根； 综上，方程的实数根个数为1或2． 二、多选题 2．设集合，．若，则实数的值可以为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】先算出集合和的元素，再根据推出，，分类讨论即可求出实数可能的取值. 【详解】因为，解得，，故， 因为，所以，当时，，，当时，， 因为，则， 若，则，符合题意； 若，则； 若，则， 综上所述，实数的值可以为，和. 3．若实数、、满足，且，则二次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为实数、、满足，且，则， 所以二次函数的图象与轴的交点位于轴的负半轴，排除B选项； 对于二次函数， ， 所以二次函数的图象与轴必有两个交点，排除C选项, 因为，即，可得，故二次函数的图象开口向上，二次函数图象的对称轴为直线，其符号无法确定，AD选项都符合. 4．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C．当且仅当时，取最小值 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则的最大值为 【答案】BC 【分析】先根据二次函数图像特征，确定的正负与等量关系，作为全部选项的解题依据，再按顺序逐项判断：利用正负化简绝对值即可判断A；代入关系式化简一元二次不等式，结合开口方向求解集可判断B；利用基本不等式即可判断C；根据内层函数值域、结合二次函数对称轴与定义域位置关系，判断复合函数最值情况，可判断D. 【详解】由题知，对称轴，即，当时，，即， 选项A：， 结果为，A错误； 选项B：将 代入不等式：， 化简得：，解得两根 ，， ，抛物线开口向下， 解集为 ，B正确； 选项C：由 ，，得 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当且仅当时，取最小值，C正确； 选项D：， ， 函数 ，其自变量范围：，对称轴：， 若 ，即 ， 整理：，解得： 或 ， ，则当 时，两个函数最小值就已经相等； 可以取大于 的任意实数，不存在最大值，故D错误. 三、填空题 5．若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】分一次方程与二次方程两种情况讨论；二次方程情形先由判别式保证实根存在，再结合根与系数关系判断根的正负。 【详解】当时，方程化为，得，满足； 当时，需，得. 若，则两根之积（两根异号），必有一负根； 若，则两根之和、两根之积，两根均为负. 综上，. 四、解答题 6．已知的两根分别是和. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由韦达定理可得：，，代入中求解； （2）将韦达定理的结果代入中求解； （3）将韦达定理的结果代入中求解. 【详解】（1）由韦达定理可得：，， ； （2）； （3）. 7．设命题:二次函数有两个零点，，使 . (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若与均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或; (2). 【分析】（1）将“二次函数有两个零点” 等价转化为 “对应一元二次方程有两个不等实根”，利用判别式建立不等式求解；（2）问先分别求出命题、为假时的取值范围，再通过取交集得到同时满足两个条件的的范围. 【详解】（1）若命题为真，则二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 由判别式，解得或， 因此实数的取值范围为或； （2）若为假命题，则方程无两个不等实根，即，解得； 若为假命题，则方程无实数根， 其判别式， 化简得，即，解得， 因为、同时为假，所以， 因此实数的取值范围为. 8．设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)​ (2)或或 【分析】（1）先求出集合，再利用列出方程，并检验候选参数对应的集合交集． （2）将转化为，按二次方程判别式分类，分别检查根的个数及根是否属于． 【详解】（1）由，得． 因为，所以且． 将代入中方程，得，即，解得或． 当时，中方程为，故，满足； 当时，中方程为，故，此时，不满足题意． 所以． （2）由，得． 中方程的判别式为． 当时，，从而或． 当时，为单元素集合，唯一根为． 由得或； 当时，当时，故此时． 当时，有两个不相等的实根，又，所以． 由根与系数的关系，得且，解得． 综上，或或． 9．，，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】先由得到，再分三类情况讨论即可. 【详解】∵，∴，又, 当时，方程满足 解得； 当为单元素集时，①时，此时成立， ②时，此时方程中，，不符合题意； 当时，即方程 的两个根为0和4，由韦达定理得 ，此方程组无解； 综上所述，或. 10．我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【答案】(1)点是“靓点”，证明如下： 点为“靓点”， ， ，， 将代入上式，得， ， 点是“靓点”． (2)证明：将代入，得， 整理得， ， 判别式 ， ，， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， 方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又，两个不同的对应两个不同的， 函数的图象上总存在两个不同的“靓点”． (3) 【分析】（1）根据“靓点”的定义，直接计算坐标的和与积，把代入并验证，满足定义证明结论； （2）把代入靓点公式，整理得出一元二次方程，计算判别式，得出方程有两个不等实根，补充验证进而证明结论； （3）把二次函数代入靓点公式，因式分解得出，利用靓点个数得出二次方程有两个不等实根，利用韦达定理结合靓点变形建立关于的方程，解方程求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）将代入得，， 整理得， 关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， 令，则方程有两个不相等的实数根，， ， 或， 将代入得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， （不符合题意，舍去）或， 的值为． 考点02 解含有参数的一元二次函数 一、单选题 1．若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，通过讨论与1的大小，求出解集，再根据解集中恰有两个整数，即可求解. 【详解】由题意得：原不等式可转化为. 当时，解得，此时解集中的整数只能为，，因此； 当时，解得，此时解集中的整数只能为，，因此； 当时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是或. 2．若关于 的不等式 的解集中恰有4个整数，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对不等式左侧进行因式分解，讨论的范围，进而利用题目条件进行求解. 【详解】原不等式可因式分解：， 若，则原不等式可化为，不满足要求，故， 所以方程两根为，. 若不等式 的解集中恰有个整数，则需，此时， 所以不等式 的解集， 要使其中恰有个整数，则应包含整数，，，，不包括，因此， 解得，故取值范围为. 3．设集合，，，，其中，，给出下列两个命题：命题：存在实数，使得不是的子集；命题：对任意的实数，不是的子集．下列说法正确的是（     ）． A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题、都是真命题 D．命题、都是假命题 【答案】D 【分析】根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题． 【详解】由于，即时，一定成立， 故是的子集，因此命题是假命题； 令，； 令，， 从而可知，当时，，此时，是的子集，故命题是假命题． 二、填空题 4．已知关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围为_________ 【答案】 【分析】由，得，分、及，求出不等式的解，再根据不等式有3个整数解，得到的范围求解即可. 【详解】由，得， 由，得， 当，即时，不等式的解为：， 又因为不等式有3个整数解， 所以， 解得，满足； 当，即时，不等式的解为，不满足题意； 当，即时，不等式的解为：， 又因为不等式有3个整数解， 所以， 解得，满足, 综上，实数的取值范围为. 5．定义区间，，，的长度均为，其中，已知实数，则满足的构成的区间长度之和为____________． 【答案】1 【分析】将不等式转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x构成的区间的长度和. 【详解】不等式，即，等价于， 设，则有， 设的两个根分别为，，由二次函数的性质可知， 由韦达定理得，原不等式的解集为， 故满足条件的x构成的区间的长度和为． 三、解答题 6．已知函数． (1)若，求的解集． (2)，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式求解方法求解即可； （2）结合题意，分，，，，五种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，不等式为，即，解得 所以的解集为. （2），即 所以，即 ① ，，解集： ② ，两根 当时，，的解集为 当时，，解集为 当时，，的解集为 ③当时，不等式化为 ，，解集为 综上：当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 7．已知函数，. (1)若存在，使得，求的取值范围； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据存在命题的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. （2）根据一元二次不等式的解法，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）. 因为存在，使得， 所以，或，又因为， 所以的取值范围为. （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； 若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； 若，即，此时方程的两根分别为，，不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 8．已知函数 ，. (1) 恒成立，求实数 的取值范围； (2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、，且 ，求 的取值范围； (3)解不等式 . 【答案】(1) (2) (3)当时，取值范围为； 当时，取值范围为； 当时，取值范围为； 当时，取值范围为； 当时，取值范围为 【分析】（1）根据恒成立进行移项，判断的范围以及判别式的范围即可求解；（2）先移项，根据韦达定理，将所求式子进行转换，从而求解；（3）先对式子进行因式分解，再根据根的大小关系分类讨论即可。 【详解】（1）由恒成立得，整理得， 当时，则恒成立，符合题意， 当时，则需，即，因此， 综上，实数的取值范围为. （2）方程，即，整理得， 有两个不相等的实数根，，故，，解得或， 由韦达定理得：，， 因为，所以， 结合或得. 于是， 由得，因此， 故. （3）不等式即，因式分解得. 分类讨论：当时，，解集为； 当时，原不等式为，解集为； 当时，，解集为； 当时，，解集为； 当时，，解集为. 综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 9．解关于x的不等式． 【答案】当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【分析】首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可. 【详解】不等式化为：， 当时，， 当时，解得或， 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 10．已知关于的不等式的解集为． (1)若，求； (2)是否存在实数，满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”.若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若存在实数和实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)存在，理由如下： 当时，原不等式化为，解得，则原不等式解集为， 满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”； 当时，原不等式化为，则原不等式解集为， 不满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”； 当且时,，对方程有， 所以时，方程有两个不相等实数根分别为、， 时，方程无根， 时，方程有两个相等实数根为， 又时，一元二次函数图象开口向上， 时，一元二次函数函数图象开口向下， 所以当时图象开口向上且，原不等式解集为， 当时图象开口向下且与x轴无交点，原不等式解集为， 当时，图象开口向下且与x轴有一个交点，原不等式解集为， 当时图象开口向下且，原不等式解集为， 所以当且时均不满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”； 综上，存在满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”. (3)实数的取值范围为． 【分析】（1）化简得到一元二次不等式，利用相应一元二次函数图象即可得解； （2）分类讨论解出不等式解集M即可由题意得解； （3）由题意结合（2）中不等式解集情况即可列出关于k的不等式组计算求解. 【详解】（1）若，解原不等式等价于解不等式， 对方程有， 所以函数图象与轴无交点，图象开口向上， 所以不等式的解集为R，即原不等式解集为R， 所以； （2）略 （3）由（2）可知且、， 所以， 所以实数的取值范围为． 考点03 一元二次方程根的分布问题 一、单选题 1．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 2．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 二、多选题 3．已知关于的方程，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】AD 【分析】选项A，代入a值，先算判别式判断有无实根，再看能否使用韦达定理描述实数根之和； 选项B，两正根需同时满足判别式非负、两根和大于 0、两根积大于 0，联立不等式求解参数范围；选项C，先求出无实根对应的a范围，再通过区间包含关系判断充分不必要条件； 选项D，一正一负根只需两根之积小于0，对比选项给出的参数范围判断正误． 【详解】方程，判别式， 若，则， 当时，，无实根，故A错误； 由题意得， 解得或， 又， 故，故B正确； 方程无实根，故，解得， 区间是的真子集， 故满足一定能推出方程无实根，满足充分性； 但方程无实根，不一定满足，必要性不成立，故C正确； 方程一个正根一个负根的充要条件满足且， 但，故当时显然不成立，故D错误． 4．已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】可化为， 解得，， 由题意可知，解得， 所以实数的可能取值为. 三、填空题 5．已知，，若，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】已知集合，集合且， 当时，，解得，符合题意； 当时，即或时，此时方程的两个根需满足小于等于， 则，得，所以； 综上所述，，即实数的取值范围为． 四、解答题 6．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)若方程有两个负根，求实数m的取值范围； (2)当时，记方程的根为，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程有两个负根，得，解得， 则实数m的取值范围为. （2）当时，方程为， 此时，且， 则. 7．已知方程有两个不同实数根分别为. (1)若，求的值; (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入得到一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，对通分变形后代入计算即可； （2）先由判别式求出的范围，再利用完全平方变形，结合不等式求解，最后取交集即可. 【详解】（1）当时，方程为. 由韦达定理：，. 所以. （2）方程有两个不等实根， 则，即 化简可得：，解得：或. 由韦达定理：，. ， 所以，即 解得：. 综上，的取值范围是. 8．已知关于x的方程有两个不相等的实根，． (1)若方程有两个不相等的实根，，，求n的取值范围； (2)若，求k的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实根得到判别式以及集合并集即可求解； （2）由韦达定理代入化简即可求解； （3）由韦达定理以及代入即可求解. 【详解】（1）由题意，关于的方程有两个不相等的实根， 故， 解得：，因此，又，， 故的取值范围是． （2）由题意，当，即时， 有，， 故，即， 解得：或． 又，故． （3）由题意，当，即时， 有，， 故， 关于为开口向上的二次函数，对称轴为， 由， 故， 即的取值范围为． 9．设，是关于的方程 的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若 ，求实数的值； (3)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用韦达定理结合多项式展开求解． （2）通过分式变形结合韦达定理列方程求解并验证判别式． （3）根据正数根的条件，结合判别式、根的和与积的符号列不等式组求解． 【详解】（1）当时，方程为，由韦达定理得，． ． （2）由，根据韦达定理，，， 则 ，解得． 验证判别式 ，故． （3）因为是不相等的正数，所以：判别式 ， 即，解得或； 两根之和 ，即； 两根之积 ，即． 综上，，故实数的取值范围是． 10．已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 考点04 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由函数的图象可知。可得， 故即为，即， 解得，即的解集为. 2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先判断二次项系数符号，再由一元二次方程根与系数的关系得到之间的比例关系；将都用含的式子表示，求解新的一元二次不等式得到解集. 【详解】已知一元二次不等式解集为， 不等式大于等于0，解集在两根之间，所以； 方程两根为， 由，得 不等式可化为. 因为，所以，即. 解得或. 故不等式解集为或. 二、多选题 3．如图，二次函数为常数）的图象经过点，，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由二次函数的两个零点求出对称轴，写出交点式，用表示和；逐个代入选项判断符号、求解不等式. 【详解】对于A，因为二次函数为常数）的图象经过点，， 所以关于的一元二次方程的两根为和， 由根与系数的关系得，，即， 由图可知，二次函数为常数）的图象开口向上， 所以，则，故选项A正确； 对于B，由图可知，当时，，即，故选项B错误； 对于C，由得，因为，所以，解得， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 对于D，由不等式得， 因为，所以，即，解得， 则不等式的解集为，故选项D正确. 4．已知关于的不等式的解集是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据不等式的解集形式判断二次项系数的符号，再结合方程的根与系数的关系，对各个选项进行逐一推导和验证即可. 【详解】已知不等式为（）， 对于A，将不等式展开并整理，可得，其解集为，由一元二次不等式可知，故A正确； 对于B，不等式对应的方程为，因为不等式的解集是，所以是上述一元二次方程的两个实数根， 根据韦达定理（根与系数的关系），两根之和为，故B正确； 对于C，根据韦达定理，方程的两根之和为，两根之积为， 所以，由于，所以， 又因为已知，所以， 对不等式两边开平方，可得，故C正确； 对于D，二次函数 ，因为不等式的解集为，且， 所以函数图象开口向下，且的部分位于两根之间，即在区间内，；在区间内，， 当时，， 当时，， 因为且，而的解集是，所以和必然都落在区间内， 即必须满足且，结合，可知，故D错误. 5．已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】根据条件得，且，即可判断A和C的正误；对B，利用，即可求解；对D，利用，且，从而可得不等式等价于，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 则，且方程的两根为和，所以， 得到，且，所以A和C正确， 对于B，因为，所以，故B错误， 对于D，因为，且，则不等式可化为， 即，解得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 6．关于x的方程x2－t = x（t∈R）的解集为M（M≠），关于x的方程（x2－t）2－t = x（t∈R）的解集为N．（ ） A．若t = 0，M∩N = { 0，1 } B．M∩N = M C．若M∪N = N，则t的范围是[，+∞） D．若NM，则t的范围是[，] 【答案】ABCD 【分析】选项A：当= 0时，两个方程的根可以直接求出来，从而得到= { 0，1 }是正确的； 选项B：方程可因式分解为， 故可得，故B是正确的； 选项C：若,即，则只需满足，从而求出的范围，即可得C是正确的； 选项D：若，即得方程无根或其根与方程同根，从而求出的范围，即可得D是正确的； 【详解】选项A：当= 0时，方程 即为     得=0或1，故M = { 0，1 } 同理，方程即为 得=0或1，故N= { 0，1 } 故= { 0，1 }，故选项A正确； 选项B：由于方程可化为， 而方程可因式分解为， 故可得，故成立．故选项B正确； 选项C：若,即，则只需满足， 即，得，故选项C正确； 选项D：若，即得方程无根或其根与方程同根， 即，即， 或联立方程组，得 结合，得， 故t的范围是， 故选项D正确. 故答案为：ABCD 7．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ） A． B．不等式的解集是 C． D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据解集形式可得，以及两根，根据韦达定理可得a、b、c的关系，代入B、C、D选项求解即可. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以由二次函数性质可得， 且方程的根为， 由韦达定理可得，所以. A选项错误； B选项，，即，由于，解得，B选项正确； C选项，，C选项正确； D选项，，即， 由于，则可化为，解集为，D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题 8．已知关于的不等式的解集为{或}，则的解集为____________. 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集为{或}， 所以，且为方程的两根， 所以. 所以不等式可化为. 又，所以. 即不等式的解集为. 9．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________. 【答案】 【分析】由解集判断，用韦达定理得到，，代入新不等式，两边除以负数注意变号，最后求解二次不等式. 【详解】由题意可得，则，， 所以不等式，即不等式， 因为，所以不等式， 即不等式，解得或， 所以不等式的解集为. 10．抛物线的开口向下，图象与x轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于x的一元二次方程有实数根；⑤关于x的不等式的解集为．其中正确的结论是________（填写序号）. 【答案】①②③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，交点坐标判断a，b，c的符号，判断①，结合交点式得到c与a，m的关系，根据m的范围判断②， 利用二次函数性质，比较两点到对称轴的距离判断③，利用顶点纵坐标判断方程是否有实根，判断④，整理不等式求解集判断⑤． 【详解】抛物线开口向下， ， 抛物线与x轴交于和， 对称轴为直线， ， 则对称轴在y轴右侧， 即， ， ， 将代入抛物线得， ， ，， ， ，故①正确． 抛物线可写成交点式， ， ，， 不等式两边同乘得， 即，故②正确． 若，则对称轴为直线， 开口向下，抛物线上点离对称轴越远，函数值越小， ，，两点到对称轴的距离分别为，， 若，则， 平方得， 化简得， 即，故当时，，故③正确． 关于x的方程有实根，需满足，为顶点的纵坐标， ， 代入不等式得， 即， ， ∴，故不等式不成立，方程无实根，故④错误． 整理不等式得， 由得， 代入得， 即， ， ， 解得，故⑤正确． 故正确的结论是①②③⑤． 考点05 一元二次不等式的恒成立问题 一、多选题 1．关于一元二次不等式与恒成立问题，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式解集不为空，则或 D．在上恒成立，则或 【答案】AC 【详解】A.恒成立，则，解得，正确； B.，只需，即或，B错误； C.不等式解集不是空集，则，即或，正确； D.在恒成立，则，即，D错误. 2．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ）． A． B．一元二次方程一定有两个不等的实数根 C．的解集为 D．当时，恒有，则m的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据分式不等式解集特征确定参数关系，结合一元二次不等式根的判别式、一元一次不等式的求解、基本不等式及一元二次不等式在固定区间上恒成立问题逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由不等式的解集为， 得或是方程的根，且（分母不能取等，解集在处是开区间），A正确. 对于B，因为或是方程的根，所以，则. 故方程可化为， 因为，所以方程一定有两个不等实根，B正确. 对于C，不等式可化为. 因为解集为，所以， 可化为，因为，可得，解得. 故的解集为，C错误. 对于D，可化为， 因为，所以可进一步化为. 因为当时，恒有等价于当时，. 即，，也即，， 故只需当时，即可. 又，当且仅当，即时，等号成立. 所以，解得，D正确. 3．下列说法正确的是（     ） A．，，则实数的取值范围为 B．，，则实数的取值范围为 C．，，，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，， 则，故B错误； 对于C，原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D，不等式可变形为 ， 则 ，解得 ， 由于，则， 此时，即， 所以的取值范围为，故D正确. 二、填空题 4．已知不等式的解集为，若对，不等式成立，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【分析】由不等式的解集得到且方程两根为，利用韦达定理解得、，对，恒成立，即对恒成立，则，从而解得的范围. 【详解】因为不等式的解集为， 所以且方程两根为， 则，解得，， 对，恒成立， 把代入得到 ，即， 则，即，即，解得. 故实数的取值范围是. 5．已知，使等式成立的实数的取值集合为，不等式的解集为，若是的必要条件，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据条件进行转化，结合一元二次函数求出集合，再求出集合，利用必要条件建立不等关系讨论即可． 【详解】由，得，. 当时，取最小值为，当时，，所以. 由题意可得，. 若是的必要条件，则， 令，解得或. 当，即时，，则，即； 当，即时，，则，即； 当，即时，此时，不满足题中条件. 综上所述：的取值范围是 三、解答题 6．已知函数. (1)当时，求不等式的解集. (2)若关于的不等式的解集是实数集，求a的取值范围； (3)当时，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)； (3)，解集为；，解集为；，解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式解法求解即可； （2）分和两种情况，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出a的取值范围； （3）化简得到，分，和三种情况，得到不等式的解集 【详解】（1）时，， ，故，即，无解， 故不等式的解集为； （2）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为， 必须满足抛物线开口向上且与轴最多有一个交点， 即，，即， 解得，综合，可得，即； （3）， 即， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 7．设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）对命题，分（一次不等式恒成立）与（二次函数开口向上且判别式小于）两种情况讨论，求出为真时的取值范围； （2）先由存在性命题求出为真时的范围，再依据 “有且只有一个真命题”，分真假、假真两类求交集，最后合并得到的范围. 【详解】（1）当时，恒成立，符合； 当时，需且，即. 综上，为真时． （2）命题q为真，等价于存在使，即，即． 所以p真时，q真时．“p、q有且只有一个是真命题”分两种情况： ①p真q假：，且或，得； ②p假q真：或，且，得． 综上，． 8．已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若对于一切实数恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）当时，将分解为，由开口向上得的解集为 ； （2）先排除，二次不等式对一切实数恒成立需开口向下且判别式 ，解得 ； （3）含参二次不等式按、、 分类讨论，比较两根与的大小后写出对应解集，注意时代入求解. 【详解】（1）当时，由，可得，即，解得． 所以当时，不等式的解集为. （2）恒成立， 当时，恒成立，需满足： ，解得：； 当时，不等式为，得，不符合题意． 综上的取值范围为． （3）由，得． 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为，， 当时，即，不等式即为，即，解得； 当或时，， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 9．已知. (1)若不等式的解集为,求关于的不等式的解集； (2)若且,求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若对恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2),解集为； ,解集为； ,解集为； ,解集为； ,解集为. (3) 【分析】（1）由一元二次不等式解集，得到，利用韦达定理建立关系，代入目标不等式，解一元二次不等式. （2）利用可得，，把因式分解得到；进而对分类讨论，结合两根大小，分别写出解集. （3）代入，简化不等式；转化为二次函数在恒大于0；根据二次函数对称轴位置分两类讨论，求解范围. 【详解】（1）已知的解集为,则, 且1和3是方程的两根,由韦达定理得： ,即,. 代入不等式,得：, 即,故解集为. （2）由,可得： 所以, 因式分解可得：. 不等式：, 当：两根为, 若,即,解集为, 若,即,则,故. 若,即,解集为 当,,解集为 当,,解集为, 所以,解集为； ,解集为； ,解集为； ,解集为； ,解集为. （3）将代入不等式：， 代入可得： 因为,不等式等价于：， 令. 是开口向上的二次函数,对称轴： 要保证在区间上恒大于0, ①若，即,此时函数在单调递增, 只需满足 即 恒成立, 所以当时, . ②若，即, 则 ， 故， 综上所述. 10．已知二次函数，其中. (1)当时，求不等式的解集； (2)若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2). (3)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】将代入二次函数解析式，转化为一元二次不等式，因式分解后求解不等式； 将恒成立问题分离参数，转化为求二次函数在给定区间上的最大值，进而确定参数的取值范围； 对不等式移项整理，因式分解得到两根，依据两根大小关系分类讨论，求解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）当时，， 不等式，即， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意得，对任意恒成立， 变形得在时恒成立， 设，， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，， 要使恒成立，只需， 所以实数的取值范围为. （3），即， 整理： ， ， ， 方程的两根为，，对应的二次函数开口向上， ①当时，不等式解集为或， ②当时，不等式为，解集为， ③当时，不等式解集为或， 综上： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 考点06 一元二次不等式的应用 一、单选题 1．设为实数，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】令，先将其看成是关于的二次方程，利用判别式列出不等式，再看成是关于的二次不等式，再利用判别式列出不等式即可求解. 【详解】令， 则，将其视为关于的二次方程， 则， 因为为实数，则， 再整理为关于的二次不等式，则， 因为为实数，则该不等式有解，则， 当（包含的情况）时，该不等式成立； 当时，该不等式化简为，即，解得， 所以最大值为. 故选：B 二、多选题 2．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【答案】BC 【分析】设甲的速度为,解不等式得到甲的速度范围；设乙的速度为，解不等式得到乙的速度范围，即得解. 【详解】设甲的速度为 由题得，解得或； 设乙的速度为， 由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 三、填空题 3．设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______． 【答案】/4.5 【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件. 【详解】由题意△△，而，， 所以，而矩形的周长为， 则，整理得，仅当等号成立， 所以，而，可得， 则，而△的面积，故最大值为，此时. 故答案为： 4．如图，据监测，目前热带风暴中心位于某码头O的南偏东方向、距码头km的点A处，并以km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时长为________h. 【答案】30 【详解】记热带风暴中心t小时后到达点B处，如图，自B向x轴作垂线，垂足为C. 由题意，知km，则km，km. 若在点B处受到热带风暴的影响，则km，即， 可得，解得， 所以该码头将受到热带风暴影响的时长为. 5．某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 6．若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 【答案】 【分析】对参数的取值范围分类讨论，再由不等式恒成立得出相应方程即可求得实数的值. 【详解】当时，对任意可知， 若不等式恒成立，则对任意恒成立； 易知函数的图象以为对称轴，所以在上单调递增， 又因为，即与轴有两个交点，易知， 所以对任意不恒成立，不合题意； 当时， 易知时，,当时，； 令可得，又， 结合已有分析可知当时，，当时，； 若对任意，不等式恒成立，可知才能满足题意； 解得或(舍). 所以. 故答案为： 四、解答题 7．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【答案】花卉带的宽度应大于等于，且小于. 【详解】设花卉带的宽度应为，则， 即，化简得 解得，又因为，所以， 所以花卉带的宽度应大于等于，且小于. 8．某小区内有一个矩形花坛，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示.已知，.要使矩形AMPN的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】或 【分析】利用三角形相似将表示出来，再由面积大于32可列出不等式，结合实际意义可得的范围. 【详解】设的长为x（）m，则的长为m. 易知，所以， 所以矩形的面积. 由矩形的面积大于，得. 又，所以，解得或， 即DN的长的取值范围是. 9．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为20元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 【答案】(1)元 (2)当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意求出此定价下的销售量，即可求得现在的销售的总收入，再根据与原收入的关系，解关于的一元二次不等式； （2）根据改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，列出关于，的不等式，问题转化为关于，的不等式有解，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）设每件定价为元，依题意得 ， 整理得 ，解得 ． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． （2）依题意知，当 时，不等式有解， 等价于当时，有解， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 10．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 【答案】 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围． 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，． 考点07 分式不等式 一、填空题 1．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】首先将不等式变为，通分后可得到，将分式不等式等价转化为整式不等式求解即可. 【详解】移项通分得，即，它等价于，解得或．故解集为． 2．不等式的解集为______． 【答案】或 【详解】当时，由，得，整理得， 所以，解得或，又，所以； 当时，由，得，整理得， 所以，解得，又，所以； 综上所述：原不等式的解集为或. 3．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________________________． 【答案】 【分析】先根据不等式的解集为，可知且，再将代入，化简后即可求得解集为. 【详解】不等式的解集为， 可知且，即. 于是，因为， 所以，所以解集为. 二、解答题 4．（1）求不等式的解集； （2）若不等式的解集是，求不等式的解集. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）根据求解分式不等式的解法即可求出； （2）先求出的值，再解出6即可. 【详解】（1）由已知得，即， 所以， 解得或， 故原不等式的解集为或； （2）不等式的解集是， 2，3是一元二次方程的实数根 解得 则不等式等价于， 解得， 故不等式的解集为. 5．已知集合，． (1)求和； (2)求． 【答案】(1)，或； (2) 【分析】(1)先分别求解绝对值不等式得到集合、求解分式不等式得到集合，再根据交集、并集的定义直接计算与. (2)先分别在实数域内求集合、的补集，再根据交集定义计算两个补集的交集. 【详解】（1）解绝对值不等式，等价于，两边同时加1得，即. 分式不等式等价于，解得或， 即. 因此 因此或； （2）是在实数集的补集： 是在实数集的补集： , 两者的交集需要同时满足（或）和， 所以. 6．已知关于的不等式. (1)若时，不等式成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时解集为，当时解集为空集，当时解集为 【详解】（1）将代入得.因为恒成立，所以，即. （2）不等式即.分子零点是，分母零点是，且. ①当时，，解集为； ②当时，，此时恒成立，解集为空集； ③当时，，解集为. 7．已知关于x的不等式的解集为A． (1)解上述关于x的不等式； (2)设不等式的解集为，若“”是“”的充分且不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）按照和分类讨论求解含参数的不等式. （2）求出集合，利用充分不必要条件，结合包含关系及（1）的结论列式求解. 【详解】（1）由， 当时，不等式变为，解得； 当时，不等式为， 当时，，解得或； 当时，，解得； 当时，原不等式为，无解； 当时，，解得； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （2）不等式，可化为，解得，所以； 由是的充分不必要条件，得是的真子集， 由（1）知，则或或， 解得或或，即， 所以实数的取值范围是. 8．若关于的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和不小于4，设的根为、，的根为、． (1)将这四个根从小到大排序，并说明理由． (2)求的取值范围． 【答案】(1)，理由如下： ∵的根为，且 的根为、且， ∴， ∴，，且这4个根2正2负，互不相等 ∴，即 ∵，∴ 若，则，即，∵，∴，则有，∴，与矛盾； ，，， (2) 【分析】（1）根据韦达定理得，，，再假设，进而推得与矛盾，故，进一步得; （2）结合（1）得不等式的解集为，再结合区间长度和不小于4求解即可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：原不等式 ∵方程的实数根为，且， ∴不等式的解集为 ∴区间长度之和：， ∵这些区间的长度的和不小于4，∴ ，解得或， ∴的取值范围为 9．已知． (1)若的解集为，求关于x的不等式的解集； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系求出，代入求解分式不等式即可得答案； （2）不等式可化为，分为，和三种情况，分别求解即可. 【详解】（1）已知的解集为，说明1和2是方程的根． 由韦达定理：，可得， 将代入不等式，得， 所以或． 因此，不等式的解集为． （2）先对进行因式分解： 即解，需要根据a的取值分类讨论： （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式变为，解集为全体实数R； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上所述：当时，；当时，；当时，． 10．设全集，集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先化简集合，解出集合范围，代入集合，求即可； （2）首先对条件化简为，再对集合进行因式分解后，根据根的大小分情况讨论，同时要考虑的特殊情况. 【详解】（1）等价于，解得或，故集合， 当时，集合的不等式为，解得，故集合. 因此. （2）由可知，因为，所以. 集合的不等式因式分解为， 判别式. 当时，，不等式为，解集，满足； 当时，，故集合， 需满足且，解得； 当时，，故， 需满足且，但与无交集，无解. 综上所述，实数的取值范围为或. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $