专题03 函数的单调性15大题型（期中专项训练）高一数学上学期北师大版

专题03 函数的单调性 基础·固本强基 题型 1 根据解析式直接判断函数单调性 题型 2 求函数单调区间（读图、去绝对值、分段函数） 题型 3 比较函数值的大小关系（奇偶性 + 单调性） 题型 4 判断函数奇偶性（和单调性结合） 题型 5 定义法证明函数单调性（重点） 提升·进阶突破 题型 6 复合函数的单调性（同增异减） 题型 7 利用单调性解函数不等式（重点，含抽象函数） 题型 8 利用单调性求函数值域、最值 题型 9 抽象函数性质（赋值法求特殊值、判奇偶、判单调） 拔高·压轴破难 题型 10 已知函数单调性求参数（难点） 题型 11 根据函数的最值求参数 题型 12 恒成立问题（重难点：任意） 题型 13 能成立（有解）问题（难点：存在） 题型 14 双变量综合：任意存在问题（高频压轴） 题型 15 新定义函数 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 根据解析式直接判断函数单调性 【模型】识别基本初等函数（一次、二次、反比例、对勾、分段、绝对值函数）直接套用增减结论。 【步骤】 ①确定函数定义域；②拆解成基础函数；③逐个判断增减。 【易错】 反比例、对勾函数不能写 “定义域上单调”，只能写分区间； 二次函数看对称轴，R 上不单调； 分段函数必须兼顾每一段。 1．（期中真题陕晋）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（期中真题陕晋）下列函数既是增函数，又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 题型 2 求函数单调区间（读图、去绝对值、分段函数） 【模型】由图像、绝对值解析式转化分段，读出增减区间，不需要证明。 【步骤】 ①有图像直接读横坐标范围；②去绝对值改写分段函数；③分开写区间。 1．（期中真题安徽）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 2．(期中真题，江西）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 3．（期中真题，江西）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 题型 3 比较函数值的大小关系（奇偶性 + 单调性） 【模型】利用奇偶性、对称性，把自变量归到同一个单调区间，再比较自变量大小，推出函数值大小。 【步骤】 ①偶函数：f(x)=f(|x|)；轴对称函数：转化到对称轴同一侧； ②利用单调性：增函数自变量大函数值大，减函数自变量大函数值小。 1．（期中真题，江西）已知函数的定义域为，且为偶函数，当时，恒成立，设，，，，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． A． B． C． D． 3．（期中真题，陕）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（期中真题，安徽）已知幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)设，试比较与的大小关系． 题型 4 判断函数奇偶性（和单调性结合） 【模型】定义域关于原点对称；f(-x)=f(x)偶；f(-x)=-f(x)奇；抽象函数用赋值法判断奇偶。 【步骤】 ①检验定义域是否关于原点对称；②计算f(-x)；③抽象函数用赋值：令x=0、y=-x。 1．（期中真题，江西）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A． B．为奇函数 C． D．若，则的取值范围为 2．（期中真题，陕晋）下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（期中真题，安徽）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 4．（期中真题，安徽）已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并证明. 提升·进阶突破 题型 5 定义法证明函数单调性（重点） 【模型】五步法：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论 【步骤】 ①任取定义域内；②作差；③因式分解、通分、分子有理化变形；④判断差正负；⑤写单调增 / 减结论。 1．（期中真题，江西）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围. 2．（期中真题，江西）已知函数的定义域是，对任意的正数，，都有，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)求不等式的解集. 3．（期中真题，安徽）已知是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 4．（期中真题，安徽）已知函数，，且，. (1)求，的值；判断并证明该函数的奇偶性. (2)判断函数的单调性，并用定义法证明该函数单调性； (3)解关于（）的不等式. 5．（期中真题，江西）已知是幂函数，且在上单调递增. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设，，，请比较a，b，c的大小并说明理由. 6．（期中真题，安徽）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并证明函数在定义域上的单调性. 7．（期中真题，安徽）已知函数，定义域为． (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 题型 6 复合函数的单调性（同增异减） 【模型】同增异减：内外层单调性相同则复合为增，内外相反则复合为减。 【步骤】 ①优先求定义域；②拆外层函数、内层函数；③分别判断内外单调性；④同增异减给出单调区间。 1．（期中真题，江西）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 2．（期中真题，江西）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 题型 7 利用单调性解函数不等式（重点，含抽象函数） 【模型】脱 f 增函数：； 减函数：； 偶函数：【步骤】 ①判断函数奇偶、单调性；②把不等式整理成；③脱掉f转化普通不等式；④和定义域取交集。 1．（期中真题，江西）定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（期中真题，陕晋）定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（  　） A． B． C． D． 3．（期中真题，江西）函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 4．（期中真题，江西）已知函数是奇函数． (1)求的值： (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； (3)若函数满足不等式，求出的范围． 5．（期中真题，江西）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 题型 8 利用单调性求函数值域、最值 【模型】值域 = 判断单调性 + 区间端点代入；对勾 / 二次函数看极值点和区间位置。 【步骤】 ①判断函数在区间单调性；②端点、极值点代入计算；③综合写出值域。 1．（期中真题，陕晋） 已知函数的图象经过点. (1)求的解析式，并用定义其在上证明的单调性； (2)求在上的值域. 2．（期中真题，安徽）由于某种有害化学物质泄漏对湖泊造成了污染，现决定向湖中投放净化剂，1个单位的净化剂在水中逐步溶化，水中的净化剂浓度与时间的关系，可近似地表示为只有当湖泊中净化剂的浓度不低于2时，才能对污染产生有效的净化作用． (1)判断函数的单调性（不必证明）； (2)如果只投放1个单位的净化剂，则能够维持有效净化作用的时间有多长？ (3)若一共投放两次净化剂，第一次投放1个单位的净化剂，当湖泊中的净化剂浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的净化剂，此后，每一时刻湖泊中的净化剂浓度认为是各次投放的净化剂在该时刻相应的净化剂浓度的和，求第二次投放净化剂后湖泊中净化剂浓度的最大值． 题型 9 抽象函数性质（赋值法求特殊值、判奇偶、判单调） 【模型】给等式，用赋值法：令x=0，y=0；y=-x 【步骤】 ①赋值求f(0)；②令y=-x判断奇偶；③构造，作差证明单调性。 1．（期中真题，江西）已知函数的定义域是，且，都有，当时， ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．函数在上是减函数 D． 2．（期中真题，安徽）已知函数的定义域为，且，则（　　） A． B．函数在上单调递增 C． D． 3．（期中真题，安徽）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 拔高·压轴破难 题型 10 已知函数单调性求参数（难点：分段函数、二次、对勾） 【模型】二次函数：比较对称轴和给定区间位置； 分段函数单调：每一段各自单调 + 分段衔接点满足左段函数值 ≤（递增）/≥（递减）右段函数值。 【步骤】 ①二次函数：写出对称轴，列不等式限定对称轴在区间外侧； ②分段函数：每一段单调，再补充分段点函数值大小不等式； ③解不等式组求参数。 1．（期中真题，安徽）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（期中真题，安徽）已知在上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（期中真题，陕晋）已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（期中真题，江西）设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（期中真题，陕晋）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型 11 根据函数的最值求参数 【模型】讨论极值点（对称轴、对勾极值点）和给定区间的位置关系；分三类：极值点在区间左边、区间内部、区间右边。把最值条件代入，求解参数，回代检验条件。 【步骤】 ①分类讨论极值点和区间位置；②每种情况写出最值表达式；③解方程；④检验该分类前提，舍去不符合的解。 1．（专题04 函数的基本性质03（期中真题汇编，江西专用）高一数学上学期）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性； (3)记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 2．（期中真题，陕晋） 已知函数奇函数． (1)求a的值； (2)判断在上的单调性并用定义证明； (3)设，求在上的最小值． 题型 12 恒成立问题（重难点：任意） 【模型】任意； 任意 【步骤】 ①识别关键词：任意、恒成立；②转化为函数最值不等式；③参变分离或者直接求最值；④解参数范围。 1．（期中真题，江西）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（期中真题，江西）已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 3．（期中真题，安徽）已知函数，且在上的最小值为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)当，且时，不等式恒成立，求的取值范围． 题型 13 能成立（有解）问题（难点：存在） 【模型】 和恒成立对比：恒成立看另一边的最值，能成立看另一边最值。 【步骤】 ①识别关键词：存在、有解；②转化为最值不等式；③求函数最值；④解参数。 1．（期中真题，安徽）设是偶函数，是奇函数，且， (1)求函数的解析式； (2)证明在区间上单调递增； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 题型 14 双变量综合：任意存在问题（高频压轴） 【模型】 【步骤】 ①分别求两个函数在对应区间的值域；②写出集合包含关系；③解参数。 1．（期中真题汇编，江西）已知函数，且． (1)若函数在上单调递增，求的取值范围； (2)若，函数，，若对，都，使得，求的取值范围． 2．（期中真题汇编，江西）已知函数有如下性质；如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值． 题型 15 新定义函数（高斯函数、自定义 “捺函数” 等） 1．（期中真题汇编，江西）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过的最大整数，我们称为高斯函数，则关于函数，下列说法错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．函数的值域为 C． D．的值域为 2．（期中真题汇编，江西）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（期中真题汇编，陕晋青宁）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（   ） A．在上是减函数 B． C．的值域是 D．的值域是 4．（期中真题汇编，陕晋）符号表示不超过的最大整数，如， ，定义函数：，则下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．函数的定义域为，值域为 D．函数是增函数 $专题03 函数的单调性 基础·固本强基 题型 1 根据解析式直接判断函数单调性 题型 2 求函数单调区间（读图、去绝对值、分段函数） 题型 3 比较函数值的大小关系（奇偶性 + 单调性） 题型 4 判断函数奇偶性（和单调性结合） 题型 5 定义法证明函数单调性（重点） 提升·进阶突破 题型 6 复合函数的单调性（同增异减） 题型 7 利用单调性解函数不等式（重点，含抽象函数） 题型 8 利用单调性求函数值域、最值 题型 9 抽象函数性质（赋值法求特殊值、判奇偶、判单调） 拔高·压轴破难 题型 10 已知函数单调性求参数（难点） 题型 11 根据函数的最值求参数 题型 12 恒成立问题（重难点：任意） 题型 13 能成立（有解）问题（难点：存在） 题型 14 双变量综合：任意存在问题（高频压轴） 题型 15 新定义函数 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 根据解析式直接判断函数单调性 【模型】识别基本初等函数（一次、二次、反比例、对勾、分段、绝对值函数）直接套用增减结论。 【步骤】 ①确定函数定义域；②拆解成基础函数；③逐个判断增减。 【易错】 反比例、对勾函数不能写 “定义域上单调”，只能写分区间； 二次函数看对称轴，R 上不单调； 分段函数必须兼顾每一段。 1．（期中真题陕晋）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的性质逐一判断即可. 【详解】函数的增区间为和，减区间为和，故A错误； 函数，定义域为，，即函数为奇函数， 当时，在上单调递增， 由于函数为奇函数，所以在上为增函数，故B正确； 函数的增区间为和，在定义域内不单调，故C错误； 函数为偶函数，故D错误； 故选：B. 2．（期中真题陕晋）下列函数既是增函数，又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义及基础函数的单调性判断ACD；利用指数函数单调性判断B. 【详解】对于A，令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以是奇函数. 当时，，且在上单调递增；当时，， 且在上单调递增；又，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，函数在其定义域上为单调递增，且为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，且， 所以是奇函数，在定义域上不单调，故C错误； 对于D，函数的定义域为R，关于原点对称， 因为，所以函数是偶函数，故D错误. 故选：A 题型 2 求函数单调区间（读图、去绝对值、分段函数） 【模型】由图像、绝对值解析式转化分段，读出增减区间，不需要证明。 【步骤】 ①有图像直接读横坐标范围；②去绝对值改写分段函数；③分开写区间。 1．（期中真题安徽）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去绝对值分段，画出图象，进而判断选项区间是否单调递减. 【详解】依题意，，画出图象， 观察可知在和上单调递增，在上单调递减. 故选：D. 2．(期中真题，江西）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，，即，解得或，函数的定义域为， 令，则的对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 在上单调递减，在上单调递增. 故选：. 3．（期中真题，江西）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.值域为. 【分析】（1）解析式化为，直接画出图形即可； （2）由分段函数的性质结合二次函数的性质可得. 【详解】（1）因为，画出其大致图象如下， （2）， 由图象可知：的单调递增区间是，，单调递减区间为， 值域为. 题型 3 比较函数值的大小关系（奇偶性 + 单调性） 【模型】利用奇偶性、对称性，把自变量归到同一个单调区间，再比较自变量大小，推出函数值大小。 【步骤】 ①偶函数：f(x)=f(|x|)；轴对称函数：转化到对称轴同一侧； ②利用单调性：增函数自变量大函数值大，减函数自变量大函数值小。 1．（期中真题，江西）已知函数的定义域为，且为偶函数，当时，恒成立，设，，，，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，得函数的图象关于对称，且在上单调递增，利用函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，为偶函数，所以函数的图象关于对称， 又当时，恒成立， 可得函数在上单调递增，故在递减， 设，，，， 所以. 故选：B 2．（期中真题，陕晋） 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的对称性及区间单调性得，求解即可. 【详解】由题设，又偶函数在区间上单调递增， 所以. 故选：D 3．（期中真题，陕）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用是偶函数可判断出函数的对称轴，再利用当时，恒成立，判断出函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，恒成立， 当时，，即， 函数在上为增函数， 函数是偶函数，即， 函数的图象关于直线对称，， 又函数在上为增函数，， 即，. 故选：B. 4．（期中真题，安徽）已知幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)设，试比较与的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质即可求解； （2）根据（1）的结论及幂函数的性质，结合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或． 当时，，此时在上单调递减，不满足题意； 当时，，满足在上单调递增． 所以； （2），， 因为， 所以，即． 题型 4 判断函数奇偶性（和单调性结合） 【模型】定义域关于原点对称；f(-x)=f(x)偶；f(-x)=-f(x)奇；抽象函数用赋值法判断奇偶。 【步骤】 ①检验定义域是否关于原点对称；②计算f(-x)；③抽象函数用赋值：令x=0、y=-x。 1．（期中真题，江西）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A． B．为奇函数 C． D．若，则的取值范围为 【答案】D 【分析】用赋值法先令求得，再令求得，进而即可判断A；令得函数奇偶性，进而即可判断B；任取，令，得到，从而得到函数单调性，进而即可判断C；利用函数的奇偶性与单调性解不等式即可判断D． 【详解】对于A，在中， 令，得，因此， 再令，得，则，故A错误； 对于B，令，得，又结合选项A知，所以， 又定义域为，关于原点对称，所以是偶函数，故B错误； 对于C，设，令，则， 所以，则在上是增函数， 所以，故C错误； 对于D，结合选项B知是偶函数，则等价于， 又结合选项C知在上是增函数，所以，解得，且， 所以的取值范围为，故D正确． 2．（期中真题，陕晋）下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质判断ABC；画出函数图象判断D. 【详解】对于A，函数定义域为，是上的奇函数和减函数，A错误； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，在定义域上不单调，B错误； 对于C，函数的定义域为，为非奇非偶函数，C错误； 对于D，函数的定义域为，其图象如图： 因此函数在上既是奇函数，又是增函数，D正确. 故选：D 3．（期中真题，安徽）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A：赋值令，代入运算即可；对于B：根据题意赋值分析即可；对于C：构造，结合奇偶性的定义分析判断；对于D：分析可知函数在上为增函数，结合单调性分析求解. 【详解】对任意的实数、满足， 对于选项A： 令，可得，解得，故A正确； 对于选项B：令，可得， 则，故B错误； 对于选项C：令， 由，可得， 即，且， 令，则， 即，所以， 所以函数为偶函数，故C正确； 对于选项D：对于， 令，可得， 即，解得， 由题意可知，当时，， 则，， 可知当时，， 任取，且， 则， 可知函数在上为增函数， 因为， 则， 可得，解得， 所以不等式的解集为，故D正确 4．（期中真题，安徽）已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并证明. 【答案】(1) 为奇函数，证明如下： 的定义域为，所以定义域关于原点对称， 因为，所以为奇函数. (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增. 提升·进阶突破 题型 5 定义法证明函数单调性（重点） 【模型】五步法：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论 【步骤】 ①任取定义域内；②作差；③因式分解、通分、分子有理化变形；④判断差正负；⑤写单调增 / 减结论。 1．（期中真题，江西）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. (3) 【分析】（1）由奇函数的性质利用和分别计算和的值； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证明的单调性； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式可得结果. 【详解】（1）由题意可知，故， 又由解得，所以， 此时的定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意，所以. （2）略 （3）由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 2．（期中真题，江西）已知函数的定义域是，对任意的正数，，都有，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)0 (2) 在上单调递减.               证明：设，则， 因为，所以，故， 所以，所以在上单调递减. (3) 【分析】（1）利用赋值法令，求得求解；    （2）利用函数的单调性定义证明；     （3）利用，且，将不等式转化为，利用单调性求解. 【详解】（1）令，得，所以，           所以. （2）略 （3）因为，且， 所以不等式可化为，           由（2）知在上单调递减， 所以解得即. 故不等式的解集为. 3．（期中真题，安徽）已知是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2) 在上单调递增.证明如下： 由（1）知，，设， 则， 因为，所以，， 所以， 即，故函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用待定系数法求得，再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可证明； （3）根据，再利用函数的单调性与定义域列出关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，解得. 当时，，此时， 经验证满足题意，则. （2）略 （3）因为，所以不等式化为， 因为在上单调递增，所以， 解得或， 故不等式的解集为. 4．（期中真题，安徽）已知函数，，且，. (1)求，的值；判断并证明该函数的奇偶性. (2)判断函数的单调性，并用定义法证明该函数单调性； (3)解关于（）的不等式. 【答案】(1) 由题意，所以. 因为函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数. (2) 函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以即. 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据已知条件求的值，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性. （2）利用函数单调性的概念证明函数在给定区间上的单调性. （3）根据函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为， 所以. 故不等式的解集为. 5．（期中真题，江西）已知是幂函数，且在上单调递增. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)设，，，请比较a，b，c的大小并说明理由. 【答案】(1)； (2) 在上单调递增，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则 因为，所以， 因为，所以，故， 故，在上单调递增； (3) ，理由如下： 由（2）知，在上单调递增， 故，即， 即 【分析】（1）根据幂函数定义和单调性得到方程和不等式，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）在（2）基础上，得到，故. 【详解】（1）由题意得，解得或， 在上单调递增，故，故； （2）略 （3）略 6．（期中真题，安徽）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并证明函数在定义域上的单调性. 【答案】(1) (2) 在和单调递减，在和单调递增， 证明：任取，且， 则， 因为，且， 所以，，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减， 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 又函数为奇函数， 所以在单调递减，在单调递增， 综上在和单调递减，在和单调递增. 【分析】（1）根据函数是奇函数，由，得，两者联立解得a，b，进而可得函数的解析式； （2）利用单调性的定义证明函数的单调性. 【详解】（1）因为，且是奇函数， 所以， 所以，解得， 此时，定义域为，关于原点对称， 且，满足题意， 所以. （2）略 7．（期中真题，安徽）已知函数，定义域为． (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) 单调递增，证明如下： 设，则， 化简得：， 因为，所以，，， 那么，即， 所以函数在上单调递增； (2)； (3) 或. 【分析】（1）通过作差比较函数值大小来判断； （2）结合单调性确定函数取值范围； （3）解不等式则依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系. 【详解】（1）略 （2）因为，即， 则，可得， 所以， 因此函数在区间上的值域为. （3）因为在上单调递增，且，所以可得， 解，，； 解，，； 解，即，因式分解得， 则或， 时，，取； 时，，取； 综合可得或. 题型 6 复合函数的单调性（同增异减） 【模型】同增异减：内外层单调性相同则复合为增，内外相反则复合为减。 【步骤】 ①优先求定义域；②拆外层函数、内层函数；③分别判断内外单调性；④同增异减给出单调区间。 1．（期中真题，江西）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【答案】B 【分析】先根据的定义域求出的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 故选：B. 2．（期中真题，江西）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于A，利用复合函数单调性即可判断，对于B由即可判断，对于C令，则，根据的情况，分类讨论即可判断，对于D，由对恒成立，根据的情况，分类讨论即可判断. 【详解】对于A，若，，令， 由得或， 则函数的定义域为， 在单调递增，且在单调递增， 所以函数的递增区间为，故A错误； 对于B，由，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，若的值域为，令，则， 当时，，解得，满足题意， 当时，，所以， 当时，不满足题意，所以，故C正确； 对于D，若的定义域为，则对恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，，所以，故D错误. 题型 7 利用单调性解函数不等式（重点，含抽象函数） 【模型】脱 f 增函数：； 减函数：； 偶函数：【步骤】 ①判断函数奇偶、单调性；②把不等式整理成；③脱掉f转化普通不等式；④和定义域取交集。 1．（期中真题，江西）定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的图象是把的图象向左平移2个单位得到的,作出函数的示意图，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得的图象是把的图象向左平移2个单位得到的, 故关于点对称,,, 它的单调性示意图,如图所示: 根据不等式可得,的符号和的符号相反, 的解集为， 故选：C 2．（期中真题，陕晋）定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（  　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据＜0，得到在上递减，然后由，得到， 将不等式转化为求解. 【详解】因为定义在上的函数满足：＜0， 所以在上递减， 因为， 所以， 因为不等式， 所以， 所以， 所以， 即， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3．（期中真题，江西）函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)为偶函数，证明如下： 令，，则， 结合（1）有，即，所以为偶函数． (3) 【分析】（1）令，可得，再令，即可求出； （2）令，，进而根据偶函数的定义，即可得到结论； （3）先根据得到，从而将不等式转化为，再结合函数的单调性和奇偶性转化为，且，，进而求解即可得到答案． 【详解】（1）由对任意，有， 令，则，解得， 令，则，解得． （2）略 （3）由，则， 由，得，即， 结合（2）知为偶函数，又因为在上是增函数， 所以，且，，解得，且，， 所以的取值范围为． 4．（期中真题，江西）已知函数是奇函数． (1)求的值： (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； (3)若函数满足不等式，求出的范围． 【答案】(1)； (2) 是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. (3). 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为在上是奇函数，则， 即，可得，解得，故. （2）略 （3）因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 5．（期中真题，江西）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及求得，也即求得的解析式. （2）先判断的单调性，根据单调性和奇偶性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）∵ 是定义在上的偶函数， ∴ ，，即， 又，即 ，解得， 所以，经检验符合题意． （2）由（1）知：，∴在上为单调递减函数， 因为，即， 又∵为偶函数，可得， 综上可得：，  解得或， 所以不等式的解集为． 题型 8 利用单调性求函数值域、最值 【模型】值域 = 判断单调性 + 区间端点代入；对勾 / 二次函数看极值点和区间位置。 【步骤】 ①判断函数在区间单调性；②端点、极值点代入计算；③综合写出值域。 1．（期中真题，陕晋） 已知函数的图象经过点. (1)求的解析式，并用定义其在上证明的单调性； (2)求在上的值域. 【答案】(1)，证明如下： 任取，则， 因为，所以，， 所以，则，即， 所以在上单调递减； (2) 【分析】（1）代入点于解析式中，求得的值，则的解析式可知；通过取值、作差、变形、判断符号，可证明在上的单调性；， （2）根据的单调性以及，，可求解出在上的值域. 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，解得，所以； 在上单调递减，证明略； （2）由（1）知在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为. 2．（期中真题，安徽）由于某种有害化学物质泄漏对湖泊造成了污染，现决定向湖中投放净化剂，1个单位的净化剂在水中逐步溶化，水中的净化剂浓度与时间的关系，可近似地表示为只有当湖泊中净化剂的浓度不低于2时，才能对污染产生有效的净化作用． (1)判断函数的单调性（不必证明）； (2)如果只投放1个单位的净化剂，则能够维持有效净化作用的时间有多长？ (3)若一共投放两次净化剂，第一次投放1个单位的净化剂，当湖泊中的净化剂浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的净化剂，此后，每一时刻湖泊中的净化剂浓度认为是各次投放的净化剂在该时刻相应的净化剂浓度的和，求第二次投放净化剂后湖泊中净化剂浓度的最大值． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增 (2) (3). 【分析】（1）利用函数单调性的定义以及一次函数的性质判断即可； （2）根据题意建立不等式，解不等式分析即可； （3）根据题意利用基本不等式和函数单调性求最值分析得出结论. 【详解】（1）当时，令， 任取，且， 所以 ， 因为，所以， 即， 所以， 又，所以， 所以， 所以函数在上单调递增， 当时，在上单调递减. （2）当时，令， 即， 整理得， 解得， 结合，可得满足不等式， 当时，令，解得， 结合，得到， 所以能维持有效净化作用的时间为. （3）由（1）知，当时函数单调递增， 当时函数单调递减， 所以当时，第一次投放的净化剂浓度开始下降， 第二次投放后，当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 当时，. 综上，净化剂浓度的最大值为. 题型 9 抽象函数性质（赋值法求特殊值、判奇偶、判单调） 【模型】给等式，用赋值法：令x=0，y=0；y=-x 【步骤】 ①赋值求f(0)；②令y=-x判断奇偶；③构造，作差证明单调性。 1．（期中真题，江西）已知函数的定义域是，且，都有，当时， ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．函数在上是减函数 D． 【答案】ACD 【分析】采用赋值法可判断A选项；结合题意由计算判断B选项；证明函数在上的单调性，判断C选项，代入分析可得：，判断D选项. 【详解】对A：令得：，故A正确； 对B：由题意，故B不正确； 对C：设，则， 因为，所以，即， 所以函数在上是减函数，故C正确； 对D：因为， 所以，故D正确. 2．（期中真题，安徽）已知函数的定义域为，且，则（　　） A． B．函数在上单调递增 C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，令，即可求出；对于B，采用举反例来进行判断；对于C，先证明，再令，得到，从而判断；对于D，采用赋值法，求出和，再结合进行比较. 【详解】对于选项A，令，则，故A正确； 对于选项B，因为，而，不符合单调递增的定义，故B错误； 对于选项C，令，则，则， ，则.又，则. 令，，则，故C正确； 对于选项D，由，则， 所以，， 又，则，即，故D错误. 3．（期中真题，安徽）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 【答案】ACD 【分析】对于A，用赋值法即可求值；对于B，根据增函数的定义证明即可；对于C，对条件进行适当变形即可得结论；对于D，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，，即， 所以函数为减函数，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，由得到，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：ACD. 拔高·压轴破难 题型 10 已知函数单调性求参数（难点：分段函数、二次、对勾） 【模型】二次函数：比较对称轴和给定区间位置； 分段函数单调：每一段各自单调 + 分段衔接点满足左段函数值 ≤（递增）/≥（递减）右段函数值。 【步骤】 ①二次函数：写出对称轴，列不等式限定对称轴在区间外侧； ②分段函数：每一段单调，再补充分段点函数值大小不等式； ③解不等式组求参数。 1．（期中真题，安徽）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象与性质及函数图象的翻折可求解. 【详解】， 当时，在内单调递增，满足题意． 当时，令，其对称轴为，零点为和， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，不合题意， 当，时，因为，所以， 所以， 所以函数在内单调递增，满足题意． 综上知，实数的取值范围是． 故选：A 2．（期中真题，安徽）已知在上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得在上单调递减，则函数在各段单调递减且断点左侧函数值不小于右侧函数值，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为在上满足， 所以在上单调递减， 又，则，解得， 则实数的取值范围为. 故选：C 3．（期中真题，陕晋）已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得， 即a的取值范围为. 故选：B. 4．（期中真题，江西）设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数单调递增，需要满足在每一段上函数都是单调递增的，并且在分段点处左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值.我们将分别分析两段函数的单调性，再根据分段点处的条件确定的取值范围. 【详解】当时，. 对于反比例函数（），当时，在各自区间上单调递减. ，要使在上单调递增，则，解不等式得.    当时，，对于指数函数（且）， 当时函数单调递增.所以，解这个不等式得到.    在处，需要满足，即， 解得.   综合以上三个条件，取交集得到实数的取值范围是. 故选：C. 5．（期中真题，陕晋）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围. 【详解】对任意的实数，都有成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故选：C 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及对数函数的性质的应用，考查基本知识的应用.是中档题. 题型 11 根据函数的最值求参数 【模型】讨论极值点（对称轴、对勾极值点）和给定区间的位置关系；分三类：极值点在区间左边、区间内部、区间右边。把最值条件代入，求解参数，回代检验条件。 【步骤】 ①分类讨论极值点和区间位置；②每种情况写出最值表达式；③解方程；④检验该分类前提，舍去不符合的解。 1．（专题04 函数的基本性质03（期中真题汇编，江西专用）高一数学上学期）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性； (3)记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 【答案】(1) (2)由（1）知，则在上单调递减， 下面用定义证明： 任取且， 则 ， 因为，故，，所以，即， 所以在上单调递减. (3)1或 【分析】（1）根据求出的值，再代入检验即可； （2）由（1）可得，再根据单调性的定义证明即可； （3）结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，再分、两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可. 【详解】（1）因是上的奇函数，故， 当时，，，满足题意. 综上知，. （2）略 （3）由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增， 显然， 当时，在和上单调递减，在上单调递增， 故，， 于是有，解得，舍去； 当时，在单调递增，， ，于是有，整理得， 即，解得或或（舍去）. 综上，实数的值为或. 2．（期中真题，陕晋） 已知函数奇函数． (1)求a的值； (2)判断在上的单调性并用定义证明； (3)设，求在上的最小值． 【答案】(1) (2)在上单调递增．证明如下： ， 则， 因为， 所以，所以，， 可得． 即当时，有 所以在上单调递增． (3)答案见解析 【分析】（1）根据是定义域为的奇函数，由求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）由，令，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）解：是定义域为的奇函数， ； 经检验符合题意； （2）略 （3） ， 令，又，则， 所以，，对称轴为， 则当时，； 当，； 当时，． 题型 12 恒成立问题（重难点：任意） 【模型】任意； 任意 【步骤】 ①识别关键词：任意、恒成立；②转化为函数最值不等式；③参变分离或者直接求最值；④解参数范围。 1．（期中真题，江西）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性解函数不等式，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得的不等式组，解出可得答案 【详解】由题意得，函数的定义域是，且，所以是奇函数， 又函数与函数都是R上的增函数，则在上单调递增， 所以可化为：， 由递增知：，即， 则对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：D． 2．（期中真题，江西）已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先得到，的解析式，由的单调性得恒成立，结合基本不等式得到答案 【详解】由题意得，， 由①， 得，即②， 联立①②得，， 显然为上单调递增函数，且， 由得，故，即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，所以的取值范围是. 3．（期中真题，安徽）已知函数，且在上的最小值为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)当，且时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)33 (3) 【分析】（1）令，由二次函数性质计算可解； （2）由二次函数性质求解即可； （3）由函数单调可知在上恒成立，采用分离常数法令，由二次函数性质求解即可. 【详解】（1）令， 则开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； （2）由（1）知，时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，所以最大值为. （3）由（1）知，在上单调递增， 又， 由， 得在上恒成立， 所以问题即为在上恒成立， 所以， 设，令，则， 所以. 由二次函数性质可知函数在区间上单调递减， 所以当时，， 所以，即的取值范围为. 题型 13 能成立（有解）问题（难点：存在） 【模型】 和恒成立对比：恒成立看另一边的最值，能成立看另一边最值。 【步骤】 ①识别关键词：存在、有解；②转化为最值不等式；③求函数最值；④解参数。 1．（期中真题，安徽）设是偶函数，是奇函数，且， (1)求函数的解析式； (2)证明在区间上单调递增； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 设， 则， 由，可得， 则，即， 所以在上单调递增； (3)． 【分析】（1）由函数奇偶性及题干得，解方程组即可求解； （2）按照单调性的定义证明即可； （3）参变分离得在时有解，，然后利用基本不等式求解最值即可求解. 【详解】（1）由，得， 又因为是偶函数，是奇函数，所以， 与联立解得； （2）略 （3）由条件知，，得在时有解，所以， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以， 即的取值范围为. 题型 14 双变量综合：任意存在问题（高频压轴） 【模型】 【步骤】 ①分别求两个函数在对应区间的值域；②写出集合包含关系；③解参数。 1．（期中真题汇编，江西）已知函数，且． (1)若函数在上单调递增，求的取值范围； (2)若，函数，，若对，都，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，令，分、两种情况讨论，根据复合函数的单调性结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）令，因为，则，利用基本不等式求出函数的值域，分析可知函数在上的值域是的子集，即，然后对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的单调性以及可得出关于的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）令，则， 令，则二次函数的图象开口向上，对称轴方程为． ①当时，在上单调递减，故． 要使单调递增，需二次函数在上单调递减，则， 即，该不等式组无解； ②当时，在上单调递增，故． 要使单调递增，需二次函数在上单调递增，则， 即，解得. 综上，的取值范围为． （2）当时，，令，因为，则， 则， 当且仅当时，即时取等号，此时，即， 故的最小值为，即函数的值域为． 若对，都，使得， 需满足函数在上的值域是的子集，即． ①当时，，对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，即， 令，解得，此时； ②当时，，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，即， 令，解得，此时； ③当时，因为，故，不符合题意． 综上，的取值范围为． 2．（期中真题汇编，江西）已知函数有如下性质；如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值． 【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为，值域为. (2) 【分析】（1）结合题目所给性质，求函数的单调性和值域； （2）求出函数的值域，根据值域的包含关系求解. 【详解】（1）, 令， 所以在单调递减，单调递增， 令，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为， 且， 所以的值域为. （2）因为在单调递减， 所以， 因为对任意，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得. 题型 15 新定义函数（高斯函数、自定义 “捺函数” 等） 1．（期中真题汇编，江西）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过的最大整数，我们称为高斯函数，则关于函数，下列说法错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．函数的值域为 C． D．的值域为 【答案】B 【分析】根据的图像及定义分别判断各个选项即可. 【详解】作出的部分图像如下所示： A．由图像知在区间上单调递增，A选项正确； B．的值域为，B选项错误； C．，C选项正确； D．根据高斯函数的定义及的值域为，所以的值域为，D选项正确． 故选：B． 2．（期中真题汇编，江西）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式，结合函数单调性的定义可以判断出函数的单调性，再根据函数平移的性质，结合已知定义可以判断函数的奇偶性，最后利用函数的单调性、奇偶性，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】对任意，都有， 不妨设，由， 所以函数是上的减函数. 函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数是以为中心的“中心捺函数”， 所以函数是以为中心的“中心捺函数”， 因此函数是奇函数. 由 ， 当时，则有，此时没有意义， 当时，由， ，由， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据不等式判断函数的单调性，利用函数平移判断函数的对称性. 3．（期中真题汇编，陕晋青宁）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（   ） A．在上是减函数 B． C．的值域是 D．的值域是 【答案】BCD 【分析】对分离常数得到，再探讨函数的单调性和值域，进而可得的值域与得解. 【详解】函数， 而在上单调递增，且，在上单调递增， 因此函数在上是增函数，A错误； 且，，C正确； 所以，D正确； 而，B正确. 故选：BCD 4．（期中真题汇编，陕晋）符号表示不超过的最大整数，如， ，定义函数：，则下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．函数的定义域为，值域为 D．函数是增函数 【答案】ABC 【分析】利用符号的含义，结合函数的定义域、值域以及单调性和奇偶性的定义，依次分析四个选项即可. 【详解】由题意， ，则，故A正确； 当时，，故B正确； 函数的定义域为，由新定义知表示不超过的最大整数， 所以当是整数时，，， 当不是整数时，设，其中，， 所以，所以，故C正确； 当时，；当时，， 当时，，当时，， 即，所以不是增函数，故D错误. 故选：ABC $