3.3.1 抛物线及其标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦抛物线及其标准方程，通过直尺、绳子和三角板的动手操作引出定义，类比椭圆与双曲线知识，构建圆锥曲线学习支架，衔接坐标法解决几何问题的思路。 以探究活动驱动学习，结合典例与分层练习，融入大桥桥孔、太阳灶等实际应用案例。通过定义推导培养数学思维，实际问题解决提升模型意识，助力学生用数学眼光观察现实，发展创新与应用能力。

3.3.1　抛物线及其标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.结合教材实例掌握抛物线的定义. 2.掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程. 3.通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高坐标法解决几何问题的能力. 一、抛物线的定义 探究1　如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线，这条曲线是什么曲线？ ⚪梳理教材 1.文字语言：把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2.集合语言：P＝{M｜｜MF｜＝d}（d为点M到准线l的距离）. ⚪温馨提示　定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点M；一个定点F（抛物线的焦点）；一条定直线（抛物线的准线）；一个定值（点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1）. 【典例1】　方程＝｜x＋y－3｜所表示的曲线为（　 ） A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ⚪解题感悟 　　判断曲线轨迹是否为抛物线要严格依照抛物线定义，注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线. 【练习1】　如图，若正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面BCC1B1内动点P到棱A1B1的距离等于它到棱BC的距离，则点P所在的曲线为（　 ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 二、抛物线的标准方程 探究2　仿照椭圆与双曲线方程的建立，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.设｜KF｜＝p（p＞0），那么焦点F的坐标为（，0），准线l的方程为x＝－.试推导抛物线的标准方程. ⚪梳理教材 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ⚪温馨提示　四个标准方程的区分 焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口朝向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口朝向坐标轴的负方向. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.（　 ） （2）抛物线的方程都是二次函数.（　 ） （3）抛物线y2＝2px（p＞0）中p是焦点到准线的距离.（　 ） （4）方程x2＝2ay（a≠0）表示开口向上的抛物线.（　 ） 【典例2】　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. （1）经过点（－3，－1）； （2）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. ⚪解题感悟 抛物线标准方程的求法 （1）定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程. （2）待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值. 【练习2】　（1）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝ ，准线方程为 . （2）焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为 . 三、抛物线定义的应用 探究3　若点M（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段MF叫做抛物线的焦半径.试探求焦半径的长度与点M坐标的关系. ⚪梳理教材 抛物线的焦半径公式为： 图形 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 焦半径 （｜MF｜） x0＋ －x0 y0＋ －y0 ⚪温馨提示　（1）由焦半径公式｜MF｜＝x0＋可知｜MF｜的最小值为，此时M在顶点. （2）焦半径的夹角形式：设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，α为弦AB所在直线的倾斜角，则｜AF｜＝，｜BF｜＝. 【典例3】　（1）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，｜AF｜＝x0，则x0＝（　 ） A.1 B.2 C.4 D.8 （2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值. ⚪解题感悟 　　利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化.四种转化情况如下： （1）若点M（x，y）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则｜MF｜＝x＋； （2）若点M（x，y）在抛物线y2＝－2px（p＞0）上，则｜MF｜＝－x； （3）若点M（x，y）在抛物线x2＝2py（p＞0）上，则｜MF｜＝y＋； （4）若点M（x，y）在抛物线x2＝－2py（p＞0）上，则｜MF｜＝－y. 解此类最值、定值问题时，还要注意平面几何知识的应用，例如：两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等. 【练习3】　已知点P是抛物线C：x2＝12y上的一点，过点P作直线y＝－1的垂线，垂足为M，若G（4，0），则｜PG｜＋｜PM｜的最小值为（　 ） A.3 B.4 C.5 D.6 四、与抛物线有关的轨迹方程 【典例4】　已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋（y＋3）2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程. ⚪解题感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法 轨迹为抛物线的问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解，后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件. 【练习4】　平面上动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程. 五、抛物线中的最值问题 【典例5】　已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A（4，2），求｜PA｜＋｜PF｜的最小值，并求出取最小值时点P的坐标. 【变式探究】　（变条件，变设问）将本例点A坐标改为（3，4），点P到抛物线准线的距离为d，其他条件不变，则｜PA｜＋d的最小值为 . ⚪解题感悟 利用抛物线的定义求最值的策略 当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题时，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到点F的距离与点P到准线距离的转化. 【练习5】　（1）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　 ） A. B.3 C. D. （2）已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是点M，点A的坐标是（4，a），则当｜a｜＞4时，｜PA｜＋｜PM｜的最小值是 .（用含a的代数式表示） 六、抛物线的实际应用 【典例6】　某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，如图，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ ⚪解题感悟 用抛物线解决实际应用的五个步骤 【练习6】　如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，反光镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度. ⚪课堂达标 1.对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是（　 ） A.开口向上，焦点为（0，1） B.开口向上，焦点为（0，） C.开口向右，焦点为（1，0） D.开口向右，焦点为（，0） 2.已知抛物线y＝2px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（　 ） A.（1，0） B.（，0） C.（0，） D.（0，1） 3.一动圆过点（0，1）且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为（　 ） A.x＝1 B.x＝ C.y＝－1 D.y＝－ 4.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为 . 5.若点P在抛物线y2＝4x上，点A（5，3），F为抛物线的焦点，则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为 . 解析版 ⚪学习目标　1.结合教材实例掌握抛物线的定义. 2.掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程. 3.通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高坐标法解决几何问题的能力. 一、抛物线的定义 探究1　如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线，这条曲线是什么曲线？ 提示：抛物线. ⚪梳理教材 1.文字语言：把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离　相等　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2.集合语言：P＝{M｜｜MF｜＝d}（d为点M到准线l的距离）. ⚪温馨提示　定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点M；一个定点F（抛物线的焦点）；一条定直线（抛物线的准线）；一个定值（点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1）. 【典例1】　方程＝｜x＋y－3｜所表示的曲线为（　D　） A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析：由原方程得＝， 几何意义为动点到定点的距离与它到直线x＋y－3＝0的距离相等， 且点不在直线x＋y－3＝0上，所以此方程表示的曲线为抛物线.故选D. ⚪解题感悟 　　判断曲线轨迹是否为抛物线要严格依照抛物线定义，注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线. 【练习1】　如图，若正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面BCC1B1内动点P到棱A1B1的距离等于它到棱BC的距离，则点P所在的曲线为（　C　） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解析：由题意知，点P到棱A1B1的距离即为点P到点B1的距离； 又动点P到棱A1B1的距离等于它到棱BC的距离， ∴平面BCC1B1内动点P到定直线BC和到定点B1距离相等. ∴点P的轨迹为抛物线的一部分，即点P所在的曲线为抛物线.故选C. 二、抛物线的标准方程 探究2　仿照椭圆与双曲线方程的建立，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.设｜KF｜＝p（p＞0），那么焦点F的坐标为（，0），准线l的方程为x＝－.试推导抛物线的标准方程. 提示：由抛物线的定义，抛物线上点M的集合P＝{M｜｜MF｜＝d}. 设M（x，y），则M到F的距离为｜MF｜＝， M到直线l的距离为｜x＋｜， 所以＝｜｜， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px（p＞0）. ⚪梳理教材 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 　y2＝2px　 　（p＞0）　 　（，0）　 　x＝－　 　y2＝－2px　 　（p＞0）　 　（－，0）　 　x＝　 　x2＝2py　 　（p＞0）　 　（0，）　 　y＝－　 　x2＝－2py　 　（p＞0）　 　（0，－）　 　y＝　 ⚪温馨提示　四个标准方程的区分 焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口朝向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口朝向坐标轴的负方向. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.（　✕　） （2）抛物线的方程都是二次函数.（　✕　） （3）抛物线y2＝2px（p＞0）中p是焦点到准线的距离.（　√　） （4）方程x2＝2ay（a≠0）表示开口向上的抛物线.（　✕　） 【典例2】　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. （1）经过点（－3，－1）； （2）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. 解：（1）因为点（－3，－1）在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px（p＞0）或x2＝－2py（p＞0）. 若抛物线的标准方程为y2＝－2px（p＞0）， 则由（－1）2＝－2p×（－3），解得p＝，此时抛物线的标准方程为y2＝－x； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py（p＞0）， 则由（－3）2＝－2p×（－1），解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－9y. 故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. （2）对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为（0，－3）或（4，0）. 当焦点为（0，－3）时，＝3，所以p＝6， 此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为（4，0）时，＝4，所以p＝8， 此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. ⚪解题感悟 抛物线标准方程的求法 （1）定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程. （2）待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值. 【练习2】　（1）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝　2　，准线方程为　x＝－1　. （2）焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为　x2＝10y和x2＝－10y　. 解析：（1）因为抛物线的焦点坐标为（1，0）， 所以＝1，p＝2； 准线方程为x＝－＝－1. （2）设抛物线方程为x2＝2my（m≠0）， 由焦点到准线的距离为5， 知｜m｜＝5，m＝±5， 所以满足条件的抛物线有两条， 它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 三、抛物线定义的应用 探究3　若点M（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段MF叫做抛物线的焦半径.试探求焦半径的长度与点M坐标的关系. 提示：如图所示，过点M作l的垂线段MH，由抛物线的定义可知｜MF｜＝｜MH｜＝x0＋. ⚪梳理教材 抛物线的焦半径公式为： 图形 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 焦半径 （｜MF｜） x0＋ －x0 y0＋ －y0 ⚪温馨提示　（1）由焦半径公式｜MF｜＝x0＋可知｜MF｜的最小值为，此时M在顶点. （2）焦半径的夹角形式：设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，α为弦AB所在直线的倾斜角，则｜AF｜＝，｜BF｜＝. 【典例3】　（1）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，｜AF｜＝x0，则x0＝（　A　） A.1 B.2 C.4 D.8 （2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值. 解：方法一：根据已知条件，设抛物线方程为y2＝－2px（p＞0），则焦点为F（－，0）. ∵点M（－3，m）在抛物线上，且｜MF｜＝5， ∴ 解得或 ∴抛物线的方程为y2＝－8x，m的值为±2. 方法二：由已知条件，设抛物线的方程为y2＝－2px（p＞0），则准线方程为x＝. ∵M（－3，m）是抛物线上的点，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离，∴｜－3｜＋＝5， 解得p＝4. ∴所求抛物线的方程为y2＝－8x. 又点M（－3，m）在抛物线上， 故m2＝（－8）×（－3）＝24， ∴m＝±2. ⚪解题感悟 　　利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化.四种转化情况如下： （1）若点M（x，y）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则｜MF｜＝x＋； （2）若点M（x，y）在抛物线y2＝－2px（p＞0）上，则｜MF｜＝－x； （3）若点M（x，y）在抛物线x2＝2py（p＞0）上，则｜MF｜＝y＋； （4）若点M（x，y）在抛物线x2＝－2py（p＞0）上，则｜MF｜＝－y. 解此类最值、定值问题时，还要注意平面几何知识的应用，例如：两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等. 【练习3】　已知点P是抛物线C：x2＝12y上的一点，过点P作直线y＝－1的垂线，垂足为M，若G（4，0），则｜PG｜＋｜PM｜的最小值为（　A　） A.3 B.4 C.5 D.6 四、与抛物线有关的轨迹方程 【典例4】　已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋（y＋3）2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解：设动圆圆心为M（x，y），半径为r， 则由题意可得，M到圆心C（0，－3）的距离与到直线y＝3的距离相等. 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C（0，－3）为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，所以＝3，2p＝12，其方程为x2＝－12y. ⚪解题感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法 轨迹为抛物线的问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解，后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件. 【练习4】　平面上动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程. 解：设点P的坐标为（x，y），则有＝｜x｜＋1. 两边平方并化简，得y2＝2x＋2｜x｜. 所以y2＝ 即动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）. 五、抛物线中的最值问题 【典例5】　已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A（4，2），求｜PA｜＋｜PF｜的最小值，并求出取最小值时点P的坐标. 解：如图，作PN⊥l于N（l为准线），作AB⊥l于点B， 则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋｜PN｜≥｜AB｜， 当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号. ∴（｜PA｜＋｜PF｜）min＝｜AB｜＝4＋1＝5. 此时yP＝2，代入抛物线方程得xP＝1， ∴点P的坐标为（1，2）. 【变式探究】　（变条件，变设问）将本例点A坐标改为（3，4），点P到抛物线准线的距离为d，其他条件不变，则｜PA｜＋d的最小值为　2　. 解析：由题意可知点（3，4）在抛物线的外部，d＝｜PF｜. ∵｜PA｜＋d＝｜PA｜＋｜PF｜≥｜AF｜，当且仅当P，A，F三点共线且P在A，F之间时取等号， ∴｜PA｜＋d≥｜AF｜＝＝＝2. 即｜PA｜＋d的最小值为2. ⚪解题感悟 利用抛物线的定义求最值的策略 当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题时，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到点F的距离与点P到准线距离的转化. 【练习5】　（1）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　A　） A. B.3 C. D. （2）已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是点M，点A的坐标是（4，a），则当｜a｜＞4时，｜PA｜＋｜PM｜的最小值是　－1　.（用含a的代数式表示） 解析：（1）设抛物线的焦点为F. 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离. ∴点P到准线x＝－的距离d＝｜PF｜， 易知点A（0，2）在抛物线y2＝2x的外部， 连接AF，交抛物线于点P'， 欲使所求距离之和最小，只需A，P'，F三点共线， ∴其最小值为｜AF｜＝＝. （2）把x＝4代入y2＝4x，可得｜y｜＝4.∵｜a｜＞4，∴点A在抛物线外.设抛物线的焦点为F，则F（1，0）.连接PF，AF，易知｜PF｜＋｜PA｜≥｜AF｜＝＝，当且仅当A，P，F三点共线且点P在点A，F之间时取等号，∴（｜PF｜＋｜PA｜）min＝｜AF｜＝，又｜PF｜＝｜PM｜＋1，从而（｜PA｜＋｜PM｜）min＝－1. 六、抛物线的实际应用 【典例6】　某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，如图，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ 解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，BB'为水面. 因为跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米， 所以A（10，－2）. 设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py（p＞0）， 则102＝－2p×（－2），所以p＝25， 所以抛物线方程是x2＝－50y， 即y＝－x2， 若货船沿正中央航行，船宽16米，即船体在x＝±8之间通过， 当x＝8时，y＝－×82＝－1.28， 此时该点距水面6＋（－1.28）＝4.72（米）. 而船体高为5米，所以无法通行. 又因为5－4.72＝0.28（米），0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050（吨）， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔. ⚪解题感悟 用抛物线解决实际应用的五个步骤 【练习6】　如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，反光镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度. 解：如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于镜口直径. 由已知，得点A的坐标是（2，6）， 设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）， 则36＝2p×2，解得p＝9. 所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x，焦点坐标是F（，0）. 因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长. ｜AF｜＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5米. ⚪课堂达标 1.对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是（　A　） A.开口向上，焦点为（0，1） B.开口向上，焦点为（0，） C.开口向右，焦点为（1，0） D.开口向右，焦点为（，0） 2.已知抛物线y＝2px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（　C　） A.（1，0） B.（，0） C.（0，） D.（0，1） 解析：由抛物线y＝2px2过点（1，4），可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为（0，）. 3.一动圆过点（0，1）且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为（　C　） A.x＝1 B.x＝ C.y＝－1 D.y＝－ 解析：由抛物线方程可知抛物线焦点为（0，1），所以定点为抛物线焦点.因为动圆过点（0，1）且与定直线l相切，所以动圆圆心到点（0，1）的距离与它到定直线l的距离相等，由抛物线定义可知，定直线l为抛物线的准线，所以l的方程为y＝－1. 4.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为　2　. 解析：∵y2＝2px的准线方程为x＝－，由题意，得＋3＝4，∴p＝2. 5.若点P在抛物线y2＝4x上，点A（5，3），F为抛物线的焦点，则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为　6　. 解析：抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1，焦点F（1，0），过点A作AA'⊥l，A'为垂足，由抛物线定义得P到F的距离等于P到准线l的距离，设为d，要求｜PA｜＋｜PF｜的最小值，即求｜PA｜＋d的最小值，当点P为AA'与抛物线的交点时，｜PA｜＋d最小，∴｜PF｜＋｜PA｜的最小值为｜AA'｜＝6. 页 学科网（北京）股份有限公司 $