3.3.2 抛物线的简单几何性质导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦抛物线的简单几何性质，通过“温故”回顾抛物线定义及标准方程，类比椭圆、双曲线研究方法，以“知新”引导探究范围、对称性等性质，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料亮点在于预习提要明确探究方向，课前自测结合实际问题（如卫星信号接收器），反思环节强调数形转化与数学审美，助力学生用数学眼光观察几何特征，用数学思维推理性质，提升数学核心素养。

3.3.2 抛物线的简单几何性质 预习提要 1.回顾抛物线的标准方程，类比椭圆、双曲线的研究方法，思考利用方程探究曲线几何特征，体会坐标法思想，做好预习铺垫. 2.阅读课本内容，探究抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质，掌握抛物线简单几何特征，会解决基础相关问题. 【温故】 1.抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离___________的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的________，直线叫做抛物线的________． 2.抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ___________ ___________ ___________ ___________ 【知新】 抛物线的简单几何性质 标准方程 顶点 _________ 开口方向 右 左 上 下 对称轴 x轴 y轴 x的取值 范围 _________ _________ R y的取值 范围 R _________ _________ 离心率 _________ 课前自测 1.抛物线上一点P到的距离的最小值为( ) A.1 B. C. D.2 2.若抛物线C的顶点在原点，焦点到准线的距离为3，且C的开口朝左，则C的标准方程为( ) A. B. C. D. 3.若抛物线上一点M到准线及对称轴的距离分别为5和3，则p的值为( ) A.1 B.2 C.1或9 D.2或9 4.某校科技节中，同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器，其镜面的剖面轮廓符合抛物线.为提高信号接收的稳定性，需要在镜面剖面上安装三个信号源A，B，C，使得抛物线焦点F恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心，则这三个信号源到焦点F的距离之和为( ) A.8 B.10 C.12 D.14 5.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B两点到直线的距离之和等于7，则( ) A.3 B.4 C.5 D.7 反思 抛物线核心几何性质体系简洁独特，图象仅有一条对称轴、一个顶点、无对称中心，属于无心圆锥曲线. 抛物线离心率恒为1，是三类圆锥曲线中唯一定值离心率的曲线，表征其等距轨迹的本质特征. 参数决定抛物线开口大小，越大，开口越开阔. 结合定义可得到焦半径公式、焦点弦相关结论，抛物线上点到焦点的距离可灵活转化为到准线的距离，是简化解题运算的核心技巧. 大道至简，殊途同归. 抛物线以恒定离心率、纯粹的等距轨迹，展现出简洁通透的数学之美. 无繁杂参数、无渐近束缚，单向延展的曲线形态，诠释了纯粹专一、向阳延伸的数学意境. 对比三类圆锥曲线的差异与共性，类比归纳、融会贯通，能锤炼数形转化、辩证辨析、灵活解题的数学核心素养. 答案及解析 【温故】 1.相等 焦点 准线 2. 【知新】 1 课前自测 1.答案：C 解析：设，，则，当且仅当时取等号. 2.答案：A 解析：依题意可设C的标准方程为，因为C的焦点到准线的距离为3，所以，所以C的标准方程为. 3.答案：C 解析：因为点M到对称轴的距离为3，所以不妨设.又点M到准线的距离为5，所以，所以，解得或，均满足题设.故选C. 4.答案：C 解析：由题意可知，抛物线，焦点.因为A，B，C三点均在抛物线上，且F是的重心，所以，所以，根据抛物线定义可知. 5.答案：C 解析：抛物线中，.设，，则A，B两点到直线的距离之和为，故，所以.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $