2.4.1 圆的标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 32100 1.能描述确定圆的几何要素，能根据给定圆的几何要素推导出圆的标准方程. 2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义. 3.会根据不同的已知条件求圆的标准方程. 4.理解点与圆位置关系的条件，能准确判断点与圆的位置关系. 学习目标 32100 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 情景导入 32100 定义：平面上到定点的距离等于定长 的 点的集合. 圆心 半径 圆上点 问题1：类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素。在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 一、圆的标准方程 问题2：根据圆的定义，圆上任意一点的坐标要满足什么条件？ 新知讲解 32100 4 称为圆心为，半径为r的圆的标准方程. 特别地，圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是. 当时，方程表示点； 当时，方程表示圆，圆心为，半径为. 思考1：方程一定是圆的方程吗？ 32100 1.判断正误. (1)方程一定表示圆.( ) (2)圆的圆心坐标是，半径是.( ) (3)若圆的标准方程为，则圆的半径一定是.( ) 【答案】 2.以为圆心，为半径的圆的方程为( ) . . . . 巩固练习 32100 6 例1：求圆心为，半径为的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上. 解：圆心为，半径为的圆的标准方程是 把点的坐标代入方程的左边， 得，左右两边相等， 点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上. 把点的坐标代入方程的左边， 得，左右两边不相等， 点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上. 例题讲解 32100 7 位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 ＝ ＝ > > < < 思考2：点不在这个圆上，那是在圆内还是圆外？如何判断？ 问题3：如何确定点与圆的位置关系？请完成下表. 32100 8 3.点和圆的位置关系是( 　　) ．在圆上 ．在圆外 ．在圆内 ．以上都不对 巩固练习 32100 9 例2：的三个顶点分别是，，，求外接圆标准方程. 该三角形的外接圆满足怎样的数量关系？如何列方程求解? 例题讲解 32100 10 例2的三个顶点分别是，，，求外接圆标准方程. 解：设所求的方程是① 因为三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组解此方程组，得 代入，得. 所以，的外接圆的标准方程是. 还有其他方法可以证明吗 思考 32100 11 解法一：设圆心的坐标为.因为圆心在直线上， 所以.① 因为，是圆上两点，所以. 根据两点间距离公式，有， 即.② 由①②可得，. 所以圆心的坐标是. 圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程. 32100 12 解法二：如图，设线段的中点为. 由两点的坐标为，，可得， 点的坐标为， 直线的斜率为. 因此，线段的垂直平分线的方程是， 即.由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上， 所以它的坐标是方程组的解.解得 所以圆心的坐标是.圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 32100 13 4.以和两点为直径端点的圆的方程是( ) . . . . 解: 由AB为圆的直径，可知AB的中点即为圆的圆心, 且为圆的半径. 巩固练习 32100 14 5.求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的方程. 解：设圆的标准方程为， 则有解得 ∴圆的标准方程是. 巩固练习 32100 15 点与圆的位置关系 与圆有关的几何问题 圆的标准方程 两要素：圆心 A(a,b) 半径 r 求圆的标准方程 几何法 待定系数法 思想方法 类比法 坐标法 代数法 数形结合等 三条件 课堂小结 32100 1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心、半径是(　　) A.(1，-2)，4 B.(1，-2)，2 C.(-1，2)，4 D.(-1，2)，2 2.点(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则实数a的取值范围是(　　) D D 随堂小练 基础 32100 3．已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________． 解：点A(8，－6)与圆C的圆心(0，0)的距离等于 ＝10，圆C的半径r＝5， 故|AP|min＝10－5＝5． 5 随堂小练 提升 32100 A.(-1,1) B. C. D. $