高一数学上学期期中模拟·素养提升卷（北师大版，范围：北师大版必修第一册第1～2章）

2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合那么（    ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】首先可求出直线与的交点坐标，然后根据交集的相关性质即可得出结果. 【详解】由于直线与的交点坐标为， 已知集合， 则，故D正确. 2．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，将问题转化为已知，求的最值问题，再结合基本不等式求解即可. 【详解】令，则，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 3．命题：“”是命题：“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由，则，解得； 由，则，解得， 则是的充分不必要条件. 4．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 5．设函数，若，则实数的值为（     ） A．6 B． C．6和 D．4 【答案】B 【分析】分和两种情况，代入对应的解析式，解方程便可得到实数的值. 【详解】1.当时，，若，则有，得或（舍去）；2.当时，，若，则有，方程无解.所以实数的值为. 故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题. 6．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 7．函数的大致图象为（    ） A．     B．     C．     D．     【答案】D 【分析】利用奇偶函数定义可知为奇函数，且函数符号 即可知正确选项； 【详解】因为，所以为奇函数， 当时，，，， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性以及区间函数值符号确定函数图象； 8．已知为定义在上的奇函数，且，当时，，求（    ） A．8 B．6 C．2 D．0 【答案】A 【分析】由抽象函数为奇函数且可得为周期的函数，结合时，且，利用函数周期性求出一个周期内各自变量的函数值，最后将目标式的自变量转化到已知函数值的周期内即可求值 【详解】∵，且为奇函数，有 则，即 ∴的周期 ∵，，又 ∴，， ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，利用奇偶性、周期性将目标式中各函数的自变量转化到一个已知函数值的区间内，进而求目标式的值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式的性质、二次函数最值、不等式放缩等方法逐项判断，注意基本不等式取等号的条件是否满足. 【详解】选项A：正实数满足，由基本不等式， 可得，当且仅当时取等号，A正确； 选项B：令，则，原式转化为， 由基本不等式得，但等号成立条件为，与矛盾，等号无法取到，B错误； 选项C：由，得， 则， 当时，取最大值为，选项C正确； 选项D，因为正数，满足，则， 前面等号在时取到，后面等号当且仅当，即①时取等号， 又因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 10．若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题设条件：对任意，有， 构造函数，则是严格递增函数， （因差商）， 由，得，利用，逐一分析选项： 选项A：，代入得：，即， 因，；又，严格递增，故 ， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，A可能成立． 选项B：，代入得：，即， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，B可能成立． 选项C：，代入得：， 即 ，但（），严格递增， 故 ，矛盾，C不可能成立． 选项D：，代入得：，即 ， 取（严格递增，），，则， 对应，D可能成立． 11．函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．在上单调递增 D．关于x的不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用赋值法求出，即可判断选项A，B；利用函数单调性的定义证明的单调性，然后利用单调性求解不等式的解集即可判断选项C，D. 【详解】因为， 令，则，故A正确； 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则，所以，故B错误； 任取，则，， 所以， 所以，所以在上单调递增，故C正确； 关于x的不等式，所以， 所以，由于在上单调递增，所以， 所以，关于x的不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 【答案】 【详解】由幂函数在上单调递减， 得，解得. 13．若，且恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 因恒成立，则 ， 故实数的取值范围是. 14．已知函数为增函数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先确保两段函数在各自定义域内单调递增，再结合分段点处左段函数值不大于右段函数值列不等式求解的范围，即可得到的最小值. 【详解】一次函数的斜率为，在上恒为增函数； 对勾函数的单调递增区间为， 要使其在上单调递增，需满足 ①； 增函数要求分段点处左段函数的最大值不大于右段函数的最小值，即时满足： ， 由于，得，整理得， 因式分解为，解得或 ②； 取①②的交集得，因此的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为集合A中有两个元素， 所以关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且， 即且， 所以实数的范围是. （2）因为集合A最多有两个子集，所以集合A至多有1个元素， 即关于x的方程无解或只有一个解， 当时，，，只有1个解，符合题意； 当时，若方程有两个相等的实数根，则集合A只有1个元素， 此时，； 若方程没有实数根，则集合A没有元素， 此时，； 综上所述，a的取值范围是. 16．（15分）已知集合、集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合A，先根据，列出相应不等关系，求出的取值范围，进而求解即可； （2）由题意可判断B是A的真子集，由此列出相应不等关系，即可求得答案. 【详解】（1）集合，而， 若，故当时，，即； 当时，或，解得. 综合上述，若，则或， 则时，，即实数的取值范围为. （2）命题：；命题：， 因为命题是命题的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 当时，即，解得； 当时，或，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性. 【答案】(1) (2)单调递增. 取任意，且， 则. 因为，所以. 因为，所以，即. 所以. 所以函数在区间上单调递增. 【分析】（1）由奇函数求出的值，由求出的值，即可写出函数解析式； （2）由定义法确定函数在区间上的单调性即可. 【详解】（1）由题意可知，所以， 又因为，所以，则. 则. 又，为奇函数，满足题意. 所以. （2）略 18．（17分）已知函数. (1)求函数的最小值的表达式； (2)若函数在区间上的最大值为10，求实数的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意，利用二次函数的图象与性质，分，和，三种情况分类讨论，即可求解； （2）根据题意，利用二次函数的对称性，分和，两种情况分类讨论，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得抛物线的开口向上，且对称轴为， ①当时，函数在区间上单调递增，此时； ②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时； ③ 当时，函数在区间上单调递减，此时， 综上可得，函数的最小值. （2）解：由函数，可得其图象开口向上，且对称轴为， 当时，根据抛物线的对称性，可得，解得； 当时，根据抛物线的对称性，可得， 解得，前后矛盾，舍去， 综上可得，实数的值为. 19．（17分）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及奇偶性求出解析式. （2）由（1）的结论求出，按分类并结合二次函数性质求出最小值. （3）求出当时，在上的最大值，进而建立不等式，利用恒成立求解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版必修第一册第1~2章 5．难度系数：0.66 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合那么（    ） A．， B． C． D． 2．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．命题：“”是命题：“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．设函数，若，则实数的值为（     ） A．6 B． C．6和 D．4 6．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 7．函数的大致图象为（    ） A．     B．     C．     D．     8．已知为定义在上的奇函数，且，当时，，求（    ） A．8 B．6 C．2 D．0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 10．若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 11．函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．在上单调递增 D．关于x的不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 13．若，且恒成立，则实数的取值范围是___________. 14．已知函数为增函数，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 16．（15分）已知集合、集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性. 18．（17分）已知函数. (1)求函数的最小值的表达式； (2)若函数在区间上的最大值为10，求实数的值. 19．（17分）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版必修第一册第1~2章 5．难度系数：0.66 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合那么（    ） A．， B． C． D． 2．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．命题：“”是命题：“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．设函数，若，则实数的值为（     ） A．6 B． C．6和 D．4 6．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 7．函数的大致图象为（    ） A．     B．     C．     D．     8．已知为定义在上的奇函数，且，当时，，求（    ） A．8 B．6 C．2 D．0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 10．若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 11．函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．在上单调递增 D．关于x的不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 13．若，且恒成立，则实数的取值范围是___________. 14．已知函数为增函数，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 16．（15分已知集合、集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（15分已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性. 18．（17分已知函数. (1)求函数的最小值的表达式； (2)若函数在区间上的最大值为10，求实数的值. 19．（17分已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A A B B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） (1) (2) 【详解】（1）因为集合A中有两个元素， 所以关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且，（3分） 即且， 所以实数的范围是.（6分） （2）因为集合A最多有两个子集，所以集合A至多有1个元素， 即关于x的方程无解或只有一个解， 当时，，，只有1个解，符合题意；（8分） 当时，若方程有两个相等的实数根，则集合A只有1个元素， 此时，；（10分） 若方程没有实数根，则集合A没有元素， 此时，；（12分） 综上所述，a的取值范围是.（13分） 16．（15分）(1) (2) 【分析】（1）求出集合A，先根据，列出相应不等关系，求出的取值范围，进而求解即可； （2）由题意可判断B是A的真子集，由此列出相应不等关系，即可求得答案. 【详解】（1）集合，而， 若，故当时，，即；（2分） 当时，或，解得.（6分） 综合上述，若，则或， 则时，，即实数的取值范围为.（7分） （2）命题：；命题：， 因为命题是命题的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 当时，即，解得；（10分） 当时，或，解得.（13分） 综上所述，实数的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【分析】（1）由奇函数求出的值，由求出的值，即可写出函数解析式； （2）由定义法确定函数在区间上的单调性即可. 【详解】（1）由题意可知，所以， 又因为，所以，则.（3分） 则. 又，为奇函数，满足题意. 所以.（7分） （2）单调递增. 取任意，且， 则.（12分） 因为，所以. 因为，所以，即. 所以. 所以函数在区间上单调递增.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）解：由函数，可得抛物线的开口向上，且对称轴为， ①当时，函数在区间上单调递增，此时；（3分） ②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时；（5分） ③ 当时，函数在区间上单调递减，此时， 综上可得，函数的最小值.（8分） （2）解：由函数，可得其图象开口向上，且对称轴为，（9分） 当时，根据抛物线的对称性，可得，解得；（13分） 当时，根据抛物线的对称性，可得，（15分） 解得，前后矛盾，舍去， 综上可得，实数的值为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为.（4分） （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，；（6分） 当，即时，若，则；； 若，则，；（8分） 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得，（10分） 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以.（12分） （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，，（15分） 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是.（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $