高一数学上学期期中模拟·能力进阶卷（北师大版，范围：北师大版必修第一册第1～3章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版必修第一册第1~3章 5．难度系数：0.71 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若关于的不等式的解集为，则的最小值为（     ） A．8 B．9 C．3 D．4 3．函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为R，若为偶函数，且，则一定有（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为3 D．的最小值为 10．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 11．已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的周期为 C．的图象关于中心对称 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_______． 13．函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 14．已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为___． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）已知，求的最大值． （2），且满足，若恒成立，求的取值范围． （3）已知，求的最小值． 16．（15分）已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 17．（15分）已知函数满足，且. (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值； 18．（17分）已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)若实数满足，求的取值范围. 19．（17分）已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版必修第一册第1~3章 5．难度系数：0.71 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若关于的不等式的解集为，则的最小值为（     ） A．8 B．9 C．3 D．4 3．函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为R，若为偶函数，且，则一定有（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为3 D．的最小值为 10．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 11．已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的周期为 C．的图象关于中心对称 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_______． 13．函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 14．已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为___． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）已知，求的最大值． （2），且满足，若恒成立，求的取值范围． （3）已知，求的最小值． 16．（15分）已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 17．（15分）已知函数满足，且. (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值； 18．（17分）已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)若实数满足，求的取值范围. 19．（17分）已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系判断求解即可. 【详解】由，得集合中一定包含集合中的所有元素且集合是集合的真子集， 所以集合或或. 故满足条件的集合的个数为3个. 2．若关于的不等式的解集为，则的最小值为（     ） A．8 B．9 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理将所求代数式转化为关于的表达式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】∵ 关于的不等式的解集为， ∴ 二次项系数，且、是方程的两个实根， 由韦达定理得：，即，（）， 所以，令，由得，则， 代入上式得： ，根据基本不等式，对任意， 有，当且仅当即时等号成立， 因此，当即时等号成立，故最小值为. 3．函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设条件可以得到函数在上单调递减，再分别根据一次函数单调性、二次函数单调性、分段点处的函数值约束列不等式，求解得到的取值范围. 【详解】由，都有成立，得函数在上单调递减. 当时，为一次函数，则，解得； 当时，为开口向上的二次函数，对称轴为，则，解得. 由函数在上单调递减，得分段点处左段函数值不小于右段函数值， 即，解得. 综上所述，，则实数的取值范围为. 4．已知函数的定义域为R，若为偶函数，且，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为偶函数得关于对称，由得关于中心对称，联立推出周期为4，再利用周期性化简即可． 【详解】为偶函数，则，故关于对称， ； ，令，则， 故关于点中心对称，； 则， 把替换为，则， 故，故是周期为4的周期函数； ，故． 5．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义列式即可求解. 【详解】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的定义求解． 【详解】的定义域为，， 的定义域为 则的定义域为，且 故选：D． 7．已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数在上单调递增，可得两段函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解即可. 【详解】由为上的增函数，可得：，即， 解得，即实数的取值范围是. 8．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数和都是上的增函数，所以函数在上单调递增， 不等式可得，解得， 所以不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，求各式的最值. 【详解】对A，由，所以，即的最大值为，当且仅当时取等号.故A错误； 对B，因为，当且仅当时取等号. 所以，故B正确； 对C，因为，当且仅当即时取等号.故C错误； 对D，因为，当且仅当即时取等号，故D正确. 10．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【分析】结合函数的性质依次判断选项即可． 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项不正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确. 11．已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的周期为 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】AD 【分析】由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B. 周期，判断 B 错；C.验证不是函数对称中心，C 错误；D. 利用的周期，求出，结合计算. 【详解】由，得关于直线对称，即， 由是奇函数，得，即， 所以关于点中心对称，且， 由，，所以， 得到，周期， 已知，， A选项：由，令得，A 正确； B选项：的周期是 ，B错误； C选项：由得， 由，，得， 即，所以是奇函数， 因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 所以函数的对称中心为， 令，得，不符合，所以不是对称中心，C 错误； D选项：的周期，， 所以，，所以，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】命题“”为假命题， 它的否定：为真命题， 即， 令， 二次函数对称轴， ， 存在性：只需， ， 实数的取值范围：. 13．函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由函数的奇偶性将不等式化为，再利用单调性即可求解． 【详解】由函数是定义在上的奇函数， 又在上单调递增， 由，得， 得， 得，解得， 故的取值范围是． 14．已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为___． 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得 ，解之即可. 【详解】由题意得，当时，函数单调递减，且当时，， 当时，函数 单调递减，且当时，， 得 ，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）已知，求的最大值． （2），且满足，若恒成立，求的取值范围． （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）因为，所以, 当且仅当，即时等号成立; （2） 当且仅当，即时等号成立, 的最小值是4, 若恒成立， 则： 解得： （3）已知，设：,则 当且仅当即时等号成立. 16．（15分）已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)已知二次函数顶点，设顶点式，代入求出参数a得到解析式； (2)直接代入解析式，解一元二次不等式，利用平方大于0的性质写出解集； (3)先整理，由区间不单调求出对称轴t的取值范围，再比较区间两端点函数值，分段写出最大值. 【详解】（1）由时取得最小值0，可设，， ，，解得，. （2）由或， 或， 所以，原不等式的解集为. （3）. 是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 在区间上不单调，， ∴当时，在区间上的最大值为， 当时，在区间上的最大值为， 综合，函数在区间上最大值的表达式为. 17．（15分）已知函数满足，且. (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值； 【答案】(1)， (2) 由（1）得，函数在上单调递增. 证明：设，则，   因为，所以，，，   所以，即，   所以函数在上单调递增. (3)． 【分析】（1）将和代入函数解析式，得到关于的方程组，解方程组即可； （2）由第一问得，用单调性定义证明：设，作差并判断符号，从而证明函数在上单调递增； （3）由第二问知在上递增，最大值为；将“存在使不等式成立”转化为，解不等式求出的最大值． 【详解】（1）由题意得方程组：，  即， 解得：，. （2）略． （3）由（2）知函数在上是递增函数，最大值为. 由命题“存在，使得成立”为真命题，得  ， 所以，所以得，所以实数的最大值为. 18．（17分）已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是增函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数的性质，运用代入法进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）利用奇函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为函数在区间上为奇函数，且， 所以，解得，， 检验：，为奇函数，故. （2）任取，则， 而，，，且，即， ，，在上是增函数. （3）因为，所以， 又在上是增函数，所以，解得：. 19．（17分）已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 【答案】(1)，． (2)在上单调递增． 证明：任取，，且， 所以 ， 又，，且，所以，，所以， 即，所以在上单调递增． (3)-2． 【详解】（1）由题可得的定义域为，因为函数为奇函数， 所以， 解得，经检验当时，为奇函数． 又，所以，解得． （2）略 （3）由题意知 令，则，， 即在区间的最小值为2， 当，即，所以在上单调递增， 所以，解得，满足条件； 当，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解； 当，即，所以在上单调递减， 所以，解得，不满足条件． 综上，m的值为． 【点睛】本题考查了定义法证明函数的单调性，利用换元法解决函数的值域问题，解决二次函数最小值的经典类型“轴动区间定”，通过分类讨论对称轴的位置确定最小值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A C A D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）；（2）；（3） 【详解】（1）因为，所以, 当且仅当，即时等号成立;（4分） （2） 当且仅当，即时等号成立, 的最小值是4, 若恒成立， 则： 解得：（8分） （3）已知，设：,则 当且仅当即时等号成立.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由时取得最小值0，可设，， ，，解得，.（3分） （2）由或， 或， 所以，原不等式的解集为.（7分） （3）. 是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 在区间上不单调，， ∴当时，在区间上的最大值为，（10分） 当时，在区间上的最大值为， 综合，函数在区间上最大值的表达式为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题意得方程组：，  即， 解得：，.（5分） （2）由（1）得，函数在上单调递增. 证明：设，则，   因为，所以，，，   所以，即，   所以函数在上单调递增.（10分） （3）由（2）知函数在上是递增函数，最大值为. 由命题“存在，使得成立”为真命题，得  ， 所以，所以得，所以实数的最大值为.（15分） 18． （17分） 【详解】（1）因为函数在区间上为奇函数，且， 所以，解得，， 检验：，为奇函数，故.（5分） （2）任取，则， 而，，，且，即， ，，在上是增函数.（11分） （3）因为，所以， 又在上是增函数，所以，解得：.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题可得的定义域为，因为函数为奇函数， 所以， 解得，经检验当时，为奇函数． 又，所以，解得．（5分） （2）在上单调递增． 证明：任取，，且， 所以 ， 又，，且，所以，，所以， 即，所以在上单调递增．（11分） （3）由题意知 令，则，，（13分） 即在区间的最小值为2， 当，即，所以在上单调递增， 所以，解得，满足条件；（15分） 当，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解； 当，即，所以在上单调递减， 所以，解得，不满足条件． 综上，m的值为．（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $