专题06 函数的奇偶性13大题型（期中专项训练）高一数学上学期北师大版

专题06 函数的奇偶性 基础·固本强基 题型 1 判断函数的奇偶性 题型 2 利用奇偶性求参数值 题型 3 奇偶函数图像识别（识图题） 题型 3 奇偶函数图像识别（识图题） 提升·进阶突破 题型 5 奇偶性 + 单调性比较函数值大小 题型 6 奇偶性 + 单调性解函数不等式（高频重点） 题型 7 利用奇偶性求对称区间的函数解析式 题型 8 抽象函数判断奇偶性（赋值法） 题型 9 函数对称性拓展：中心对称、轴对称（推广型） 拔高·压轴破难 题型 10 奇偶性 + 周期性综合 题型 11 新定义问题 题型 12 奇偶背景下恒成立、能成立、任意存在综合 题型 13 奇偶函数背景下动区间、分段含参综合大题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 判断函数的奇偶性 【模型】根据定义判断：第一步看定义域是否关于原点对称；第二步计算f(-x)，对比f(x)、-f(x)，区分奇函数、偶函数、非奇非偶、既奇又偶。 【步骤】 ①求函数定义域，检验是否关于原点对称； ②计算f(-x)； ③比较f(-x)与f(x),-f(x))，给出结论。 1．（期中真题汇编，陕晋）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的性质逐一判断即可. 【详解】函数的增区间为和，减区间为和，故A错误； 函数，定义域为，，即函数为奇函数， 当时，在上单调递增， 由于函数为奇函数，所以在上为增函数，故B正确； 函数的增区间为和，在定义域内不单调，故C错误； 函数为偶函数，故D错误； 故选：B. 2．（期中真题汇编，安徽）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由求解，并验证即可. 【详解】因是定义域上的奇函数， 所以，得， 经验证时，是奇函数，故. 故选：C 3．（期中真题汇编，陕晋）下列函数既是增函数，又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义及基础函数的单调性判断ACD；利用指数函数单调性判断B. 【详解】对于A，令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以是奇函数. 当时，，且在上单调递增；当时，， 且在上单调递增；又，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，函数在其定义域上为单调递增，且为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，且， 所以是奇函数，在定义域上不单调，故C错误； 对于D，函数的定义域为R，关于原点对称， 因为，所以函数是偶函数，故D错误. 故选：A 4．（期中真题汇编，陕晋）下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质判断ABC；画出函数图象判断D. 【详解】对于A，函数定义域为，是上的奇函数和减函数，A错误； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，在定义域上不单调，B错误； 对于C，函数的定义域为，为非奇非偶函数，C错误； 对于D，函数的定义域为，其图象如图： 因此函数在上既是奇函数，又是增函数，D正确. 故选：D 5．（期中真题汇编，江西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义及基础函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A：令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以，且当时，.所以是非奇非偶函数.故选项A不正确； 对于B：令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以是偶函数，故选项B不正确； 对于C：令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以是奇函数. 当时，，且在上单调递增；当时，，且在上单调递增；又，所以在上单调递增；故选项C正确； 对于D：令，其定义域为，且，所以是奇函数. 在和上分别单调递减，且在其定义域上不是严格单调函数，故选项D不正确. 故选：C. 6．（期中真题汇编，江西）下列说法不正确的是（    ） A．若对，都有，则的最大值为． B．若，则 C．函数为增函数． D．函数为偶函数． 【答案】ABC 【分析】对于A，利用最值的定义即可判断，对于B利用作差法即可判断，对于C取特殊值即可判断，对于D利用偶函数的定义即可判断. 【详解】对于A，对，都有，存在，使得，则的最大值为，故A错误； 对于B，由，又，所以， 所以，即，故B错误； 对于C，因为，又，所以， 所以函数不是增函数，故C错误； 对于D，由的定义域为，对，所以， 对，所以， 所以， 所以为偶函数，故D正确. 题型 2 利用奇偶性求参数值 【模型】奇函数：定义域包含 0 时f(0)=0；通用f(-x)=-f(x)恒成立；偶函数：f(-x)=f(x)恒成立，对应同类项系数相等。 【步骤】 ①奇函数优先尝试f(0)=0求出参数； ②回代检验，必须满足f(-x)=-f(x)； ③偶函数利用，多项式各项系数等于 0。 1．（期中真题汇编，陕晋）已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先由偶函数性质求，再求. 【详解】由函数为偶函数， 定义域为关于原点对称，所以， 所以符合题意，所以. 故选：D. 2．（期中真题汇编，安徽）已知定义域为的奇函数，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据为奇函数求出的值，则的值可求. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，所以， 因为为奇函数，所以， 所以，所以，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 题型 3 奇偶函数图像识别（识图题） 【模型】奇函数图像关于原点中心对称；偶函数图像关于 y 轴对称；结合特殊点、函数正负排除选项。 【步骤】 ①利用对称性先排除部分选项； ②代入特殊自变量看函数正负，进一步筛选。 1．（期中真题汇编，江西）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数的定义域为. ， 且， 为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除D； 又且时，，故排除C； 当时，，故A不正确，B正确. 2．（期中真题汇编，江西）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 3．（期中真题汇编，安徽）函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据定义域可排除D，根据的函数值正负可排除A，根据的函数值正负可排除B． 【详解】可得的定义域为，故D错误； ∵，∴是奇函数，图象关于原点对称， 当时，，，则＞0，图象在轴上方，故A错误， 当时，，，则＜0，图象在轴下方，故B错误． 故选：C 4．（期中真题汇编，陕晋）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的奇偶性及当时函数值的正负即可判断. 【详解】因为定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项A，C； 又时，，排除选项D，故选项B正确. 故选：B. 题型 4 奇偶性简单求值（不涉及不等式） 【模型】利用f(-x)=-f(x)、f(-x)=f(x)，把负自变量转化为正自变量代入已知解析式；奇函数 + 偶函数方程组（给f(x)+g(x)求f(x),g(x)。 【步骤】 ①把负自变量转化为正； ②代入已知解析式计算函数值； ③奇偶方程组：x换\(-x\)联立二元一次方程组求解。 1．（期中真题汇编，江西）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设，先判断的奇偶性，利用奇偶性即可求解. 【详解】由， 设，函数定义域为，则， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，所以， 因为，所以. 故选：B. 2．（期中真题汇编，江西）已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先得到，的解析式，由的单调性得恒成立，结合基本不等式得到答案 【详解】由题意得，， 由①， 得，即②， 联立①②得，， 显然为上单调递增函数，且， 由得，故，即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，所以的取值范围是. 3．（期中真题汇编，安徽）已知是上的奇函数，且当时，，则的值是___________． 【答案】/ 【分析】根据奇偶性可得函数对称中心，利用对称性求函数值即可. 【详解】因为是上的奇函数， 所以的图象关于对称． 故 故答案为： 提升·进阶突破 题型 5 奇偶性 + 单调性比较函数值大小 【模型】偶函数：f(x)=f(|x|)，统一转到正区间；奇函数：对称区间单调性保持一致；轴对称函数，比较自变量离对称轴距离。 【步骤】 ①利用奇偶性把自变量全部转换到同一个单调区间； ②比较自变量大小； ③根据单调性得到函数值大小。 1．（期中真题汇编，江西）已知是定义域为的偶函数，且对任意不相等的，，都有，记，则不等式的解集为（   ） A．（-2，3） B． C． D． 【答案】B 【分析】应用已知不等式化简结合单调性定义得出在上单调递增，再结合偶函数性质列式，最后解一元二次不等式即可. 【详解】因为，所以. 由，得对任意不相等的，恒成立， 所以在上单调递增. 因为为偶函数，易知为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于，即. 当，即时，，解得或，所以； 当，即时，，解得，所以. 综上所述，所求不等式的解集为. 故选：B. 2．（期中真题汇编，陕晋）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的对称性及区间单调性得，求解即可. 【详解】由题设，又偶函数在区间上单调递增， 所以. 故选：D 3．（期中真题汇编，陕晋）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用是偶函数可判断出函数的对称轴，再利用当时，恒成立，判断出函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，恒成立， 当时，，即， 函数在上为增函数， 函数是偶函数，即， 函数的图象关于直线对称，， 又函数在上为增函数，， 即，. 故选：B. 3．（期中真题汇编，江西）已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A D，通过举例可以判断，对于BC，由函数奇偶性和单调性即可判断. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增，由奇函数性质可知在上单调递增， 偶函数在区间上单调递增， 对于A：取， 则，故A错误； 对于B：由题意得，且， ， 所以，即，故B正确； 对于C：，所以， 所以，故C正确； 对于D，取， ，， 所以，故D错误. 题型 6 奇偶性 + 单调性解函数不等式（高频重点） 【模型】 奇函数：脱去f，同时带上定义域； 偶函数：比较。 【步骤】 ①确定奇偶、单调性； ②把不等式整理成； ③偶函数统一换成绝对值形式； ④脱去f，和定义域取交集。 1．（期中真题汇编，安徽）已知函数是定义在上的奇函数，当，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质求出的单调性，分情况拆绝对值求解 【详解】由题意可知在上单调递增，，且， 又函数是定义在上的奇函数，，则有在上单调递增， 则是在上的增函数，， 则不等式等价于或 解得或． 故选：C. 2．（期中真题汇编，江西）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性解函数不等式，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得的不等式组，解出可得答案 【详解】由题意得，函数的定义域是，且，所以是奇函数， 又函数与函数都是R上的增函数，则在上单调递增， 所以可化为：， 由递增知：，即， 则对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：D． 3．（期中真题汇编，江西）定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的图象是把的图象向左平移2个单位得到的,作出函数的示意图，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得的图象是把的图象向左平移2个单位得到的, 故关于点对称,,, 它的单调性示意图,如图所示: 根据不等式可得,的符号和的符号相反, 的解集为， 故选：C 4．（期中真题汇编，陕晋）已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数是定义在上的奇函数，结合平移变换得到函数的图象关于点对称，然后再根据函数在上单调递增求解. 【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以函数图象关于原点对称， 由函数的图象向左平移一个单位得到函数的图象， 所以函数的图象关于点对称； 又因为对于任意的且，满足不等式， 所以函数在上单调递增， 又不等式等价于， 所以，解得， 故选：D． 题型 7 利用奇偶性求对称区间的函数解析式 【模型】已知x>0解析式，求x<0解析式；设x<0则-x>0，代入已知，再用奇偶性转换。 【步骤】 ①设所求区间自变量x； ②则\(-x\)落在已知解析式区间，写出f(-x)； ③利用)反解f(x)； ④单独处理x=0。 1．（期中真题汇编，陕晋）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)在坐标系中作出函数的图象； (3)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数定义求解时的解析式，进而求得答案. （2）利用二次函数图象，结合偶函数图象性质作出函数图象. （3）利用图象求出函数的单调递增区间，再结合集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）由函数是偶函数且时，， 当时，，， 所以函数在上的解析式为. （2）函数的图象在轴右侧是开口向上且过点和， 顶点为的抛物线在轴及右侧部分， 再将在轴右侧的图象关于轴对称得在轴左侧的图象，如图： （3）由图象知，函数的单调递增区间为和， 由函数在上单调递增，得或 即或，解得或， 所以实数的取值范围． 2．（期中真题汇编，江西）已知是定义在上的偶函数，当时， （1）在给定的坐标系中画出函数在上的图像（不用列表）；并直接写出的单调区间； （2）当时，求的解析式. 【答案】 (1)如图所示， 的单调递增区间为和；单调递减区间为和． （2） 【分析】（1）    根据题意，利用偶函数的图像关于y轴对称，先根据函数解析式画出时的图像，再补全函数在上的图像； （2）设，则，将代入，根据偶函数的性质，即可得到时的解析式，再设，同理即可得到的解析式， 将得到的解析式用分段函数的形式表示出来即可得到时，求的解析式． 【详解】（1）略 （2）设，则， 将代入，得， 又因为偶函数满足， 当时，， 设，则，将代入，得 当时，； 综上所述，当时，求的解析式为． 题型 8 抽象函数判断奇偶性（赋值法） 【模型】给出函数方程f(x+y)、f(xy)，令x=0、y=0；y=-x赋值。 【步骤】 ①令x=0求f(0)； ②令y=-x构造f(-x)与f(x)关系； ③根据定义判定奇 / 偶。 1．（期中真题汇编，安徽）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A：赋值令，代入运算即可；对于B：根据题意赋值分析即可；对于C：构造，结合奇偶性的定义分析判断；对于D：分析可知函数在上为增函数，结合单调性分析求解. 【详解】对任意的实数、满足， 对于选项A： 令，可得，解得，故A正确； 对于选项B：令，可得， 则，故B错误； 对于选项C：令， 由，可得， 即，且， 令，则， 即，所以， 所以函数为偶函数，故C正确； 对于选项D：对于， 令，可得， 即，解得， 由题意可知，当时，， 则，， 可知当时，， 任取，且， 则， 可知函数在上为增函数， 因为， 则， 可得，解得， 所以不等式的解集为，故D正确 2．（期中真题汇编，安徽）已知定义在上的函数满足以下条件：①对任意，，都有；②当时，；③.则下列说法正确的是（   ） A．且函数是奇函数 B．函数是上的单调递增函数 C．当时， D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】A：令可求，令可证明奇偶性；B：根据结合条件构造出，然后判断出正负即可知的单调性；C：根据条件将变形，结合可求；D：根据单调性和奇偶性先将问题转化为“”，构造新函数并求出，则的取值范围可求. 【详解】对于A：令，则，所以， 令，则，所以， 且定义域为关于原点对称，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B：对任意且， 因为，所以， 因为当时，，且，所以， 所以，所以， 所以函数是上的单调递减函数，故B错误； 对于C：由条件可知，， 所以，故C错误； 对于D：因为，且函数是上的单调递减函数， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立，所以， 令，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，所以，故D正确； 故选：AD. 3．（期中真题汇编，安徽）已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法可判断AC，利用赋值法与奇偶函数的定义可判断B，利用赋值法得到，再依次赋值可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 令，，则， 又，所以，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为， 又令，得， 所以，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，则， 即，所以，故C正确； 对于D，令，得， 所以， 所以当时，得，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，故D正确. 故选：BCD. 4．（期中真题汇编，江西）函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)为偶函数，证明如下： 令，，则， 结合（1）有，即，所以为偶函数． (3) 【分析】（1）令，可得，再令，即可求出； （2）令，，进而根据偶函数的定义，即可得到结论； （3）先根据得到，从而将不等式转化为，再结合函数的单调性和奇偶性转化为，且，，进而求解即可得到答案． 【详解】（1）由对任意，有， 令，则，解得， 令，则，解得． （2）略 （3）由，则， 由，得，即， 结合（2）知为偶函数，又因为在上是增函数， 所以，且，，解得，且，， 所以的取值范围为． 题型 9 函数对称性拓展：中心对称、轴对称（推广型） 【模型】关于原点对称奇函数； 关于(a,0)中心对称：f(2ax)=-f(x)； 关于x=a轴对称：f(2ax)=f(x)； 新定义：图像关于点(a,b)对称等价y=f(x+a)-b是奇函数。 【步骤】 ①翻译对称条件得到等式； ②结合奇偶、单调性综合解题。 1．（期中真题汇编，安徽）已知函数，定义在上的函数满足，若函数的图象与函数的图象有且仅有三个交点，，，其中，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】由题可得和的图象关于点对称，根据函数的对称性即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 所以，的图象关于点对称， 由，得的图象也关于点对称， 因此，，则. 故选：A. 2．（期中真题汇编，安徽）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.依据推广结论，则（    ） A．若的图象关于点中心对称，则 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于点中心对称 D．若的图象关于点中心对称，则 【答案】BCD 【分析】根据题中函数性质的新定义，结合选项，逐项计算、判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数为奇函数， 可得，解得，所以A错误； 对于B，由函数， 所以为奇函数，所以B正确； 对于C，由函数， 不妨设，则，可得， 且，所以函数为奇函数，所以C正确； 对于D，由， 因为函数为奇函数，可得，解得，所以D正确. 故选：BCD. 3．（期中真题汇编，江西）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（    ） A．直线是的对称轴 B．是的对称中心 C． D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D． 【详解】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象的对称轴为直线，故A正确，B错误； 又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误； 由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确， 故选：AD． 4．（期中真题汇编，陕晋）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则以下说法正确的有（    ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数的一个周期为4 D． 【答案】ABC 【分析】根据为偶函数可判断关于对称，根据为奇函数可判断关于点对称，化简可求出周期. 【详解】若为偶函数，则，所以的图象关于对称，故A正确； 因为为奇函数，所以，即，则可得的图像关于点对称，故B正确， 因为，， 所以，， 则，故函数的一个周期为4，故C正确； 由，令，可得，周期为4，无法确定的值，故D错误. 故选：ABC. 拔高·压轴破难 题型 10 奇偶性 + 周期性综合 【模型】同时具备奇偶性 + 一条对称轴 / 一个对称中心，可以推导函数周期。 偶函数 + 对称轴 奇函数 + 对称轴 【步骤】 ①由奇偶、对称条件推导周期； ②大自变量利用周期归到已知解析式区间求值。 1．（期中真题汇编，安徽）已知定义域为的偶函数满足，且时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的性质及偶函数的性质得解. 【详解】根据为偶函数及， . 故选：D 2．（期中真题汇编，江西）已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是（   ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．关于对称 D． 【答案】B 【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性即可得到函数的奇偶性，根据函数在的函数解析式判断函数在上的单调性，最后根据周期性与奇偶性求出即可 【详解】对于A，因为的定义域为，其函数图象关于直线对称，所以， 又，所以， 所以，即，所以函数为偶函数，故A正确； 对于B：因为，所以，即， 所以函数是周期为的周期函数，当时，， 因为当时，函数在上单调递增， 所以当时，，函数在上单调递增，故B错误； 对于C：因为函数图象关于直线对称，所以， 又函数是偶函数，所以，即，， 所以，所以关于对称，故C正确； 对于D：， 又时，，所以，故D正确； 故选：B 3．（期中真题汇编，安徽）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的奇偶性和周期性，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解即可. 【详解】因为定义在上的奇函数，所以， 又对任意的，都有，即，即， 所以是以4为周期的周期函数， 所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 又， 而当时，， 所以， 故选：A 题型 11 新定义问题 【模型】题干自定义新概念，读懂定义转化成方程、图像交点，结合奇偶性处理。 【步骤】 ①把文字定义翻译成数学式子； ②转化为图像交点、方程有解； ③利用奇偶对称性简化。 1．（期中真题汇编，江西）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在三对“隐对称点”，则实数的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，函数的图象上存在点关于原点对称，设函数的图象与函数的图象关于原点对称，求出，则问题转化为方程有解，参变分离结合基本不等式的性质计算即可. 【详解】由“隐对称点”的定义可知， 函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与图象关于原点对称， 设，则，即 ， 所以， 故函数的图象与的图象有3个交点， 如图①所示，， 当时，，即有两个交点，如图②所示， 且，当且仅当时取等号， 所以， 当时，，即有一个交点， 因为函数在单调递增，即, 综上所示，. 故选：B. 2．（期中真题汇编，江西）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式，结合函数单调性的定义可以判断出函数的单调性，再根据函数平移的性质，结合已知定义可以判断函数的奇偶性，最后利用函数的单调性、奇偶性，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】对任意，都有， 不妨设，由， 所以函数是上的减函数. 函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数是以为中心的“中心捺函数”， 所以函数是以为中心的“中心捺函数”， 因此函数是奇函数. 由 ， 当时，则有，此时没有意义， 当时，由， ，由， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据不等式判断函数的单调性，利用函数平移判断函数的对称性. 3．（期中真题汇编，安徽）已知，函数的图象类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，“囧函数”的图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，则当时，下列结论正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数的“囧点”为 C．函数的图象关于直线对称 D．当时，的最大值为 【答案】ABD 【分析】由，可得，再确定定义域，即可判断A，由“囧点”的概念即可确定B；根据与的关系判断C；再根据单调性确定最值即可． 【详解】当时，，， 对于A的定义域为，定义域关于原点对称，且， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，当时，，所以函数的图象与轴的交点为， “囧点”为，故B正确； 对于C，由，得， 时，， 所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，当时，， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以当时，的最大值为，故D正确， 故选：ABD． 题型 12 奇偶背景下恒成立、能成立、任意存在综合（解答压轴） 【模型】结合奇偶化简不等式，再转化为最值；任意看最小 / 最大；存在看最大 / 最小；任意存在看值域包含。 【步骤】 ①奇偶性化简不等式； ②识别关键词：任意 / 存在； ③转化函数最值或者值域关系； ④求解参数，检验定义域。 1．（期中真题汇编，安徽）已知函数的定义域均为，且的图象分别关于原点､轴对称. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)由函数奇偶性构造方程组即可求解； (2)由(1)将转换成，再构造函数，由其单调性得到最值，即可求解. 【详解】（1）依题意，①，， 依题意可知， ②， 由①—②得，， 由①+②得，； （2） ∴由（1）得，，整理得， ； 令， 根据指数函数性质可知在上单调递减， ， ∴实数的取值范围为. 2．（期中真题汇编，安徽）设是偶函数，是奇函数，且， (1)求函数的解析式； (2)证明在区间上单调递增； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 设， 则， 由，可得， 则，即， 所以在上单调递增； (3)． 【分析】（1）由函数奇偶性及题干得，解方程组即可求解； （2）按照单调性的定义证明即可； （3）参变分离得在时有解，，然后利用基本不等式求解最值即可求解. 【详解】（1）由，得， 又因为是偶函数，是奇函数，所以， 与联立解得； （2）略 （3）由条件知，，得在时有解，所以， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以， 即的取值范围为. 3．（期中真题汇编，安徽）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对任意的，，都有，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下： ，且， 有， 当时，，所以，则， 所以在上单调递增； 当时，，所以，则， 所以在上单调递减. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质得到关于的方程，解后再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （3）根据题意，将问题转化为，结合（2）中结论得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）由为奇函数，定义域为，可得， 即，解得， 此时，又，满足为奇函数，所以. （2）略 （3）若对任意的，都有， 只需， 由（2）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 所以， 所以，解得或， 故的取值范围是. 4．（期中真题汇编，安徽）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对任意的，，都有，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下： ，且， 有， 当时，，所以，则， 所以在上单调递增； 当时，，所以，则， 所以在上单调递减. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质得到关于的方程，解后再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （3）根据题意，将问题转化为，结合（2）中结论得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）由为奇函数，定义域为，可得， 即，解得， 此时，又，满足为奇函数，所以. （2）略 （3）若对任意的，都有， 只需， 由（2）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 所以， 所以，解得或， 故的取值范围是. 题型 13 奇偶函数背景下动区间、分段含参综合大题 【模型】偶函数，给含参单调区间，求参数范围；奇函数结合二次、分式函数求参，综合单调性证明、解不等式。 【步骤】 ①利用奇偶化简解析式； ②分析单调区间； ③集合包含关系列不等式； ④解参数，回代检验。 1．（期中真题汇编，江西）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. (3) 【分析】（1）由奇函数的性质利用和分别计算和的值； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证明的单调性； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式可得结果. 【详解】（1）由题意可知，故， 又由解得，所以， 此时的定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意，所以. （2）略 （3）由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 2．（期中真题汇编，安徽）已知是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2) 在上单调递增.证明如下： 由（1）知，，设， 则， 因为，所以，， 所以， 即，故函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用待定系数法求得，再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可证明； （3）根据，再利用函数的单调性与定义域列出关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，解得. 当时，，此时， 经验证满足题意，则. （2）略 （3）因为，所以不等式化为， 因为在上单调递增，所以， 解得或， 故不等式的解集为. 3．（期中真题汇编，江西）已知函数是奇函数． (1)求的值： (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； (3)若函数满足不等式，求出的范围． 【答案】(1)； (2) 是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. (3). 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为在上是奇函数，则， 即，可得，解得，故. （2）略 （3）因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 4．（期中真题汇编，陕晋）已知函数为奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则 ， ， 又，且， 所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）由题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值，进而得到函数的解析式； （2）利用增函数定义即可证得函数在上的单调递增； （3）利用奇函数在上单调递增将题给不等式转化为，解之即可得到题给不等式的解集. 【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为， 所以，即恒成立，所以， 又，所以，所以. （2）在上单调递增，证明略； （3）由（2）知在上单调递增， 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 令，解得或， 因为，且， 所以， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 5．（期中真题汇编，江西）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及求得，也即求得的解析式. （2）先判断的单调性，根据单调性和奇偶性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）∵ 是定义在上的偶函数， ∴ ，，即， 又，即 ，解得， 所以，经检验符合题意． （2）由（1）知：，∴在上为单调递减函数， 因为，即， 又∵为偶函数，可得， 综上可得：，  解得或， 所以不等式的解集为． $专题06 函数的奇偶性 基础·固本强基 题型 1 判断函数的奇偶性 题型 2 利用奇偶性求参数值 题型 3 奇偶函数图像识别（识图题） 题型 3 奇偶函数图像识别（识图题） 提升·进阶突破 题型 5 奇偶性 + 单调性比较函数值大小 题型 6 奇偶性 + 单调性解函数不等式（高频重点） 题型 7 利用奇偶性求对称区间的函数解析式 题型 8 抽象函数判断奇偶性（赋值法） 题型 9 函数对称性拓展：中心对称、轴对称（推广型） 拔高·压轴破难 题型 10 奇偶性 + 周期性综合 题型 11 新定义问题 题型 12 奇偶背景下恒成立、能成立、任意存在综合 题型 13 奇偶函数背景下动区间、分段含参综合大题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 判断函数的奇偶性 【模型】根据定义判断：第一步看定义域是否关于原点对称；第二步计算f(-x)，对比f(x)、-f(x)，区分奇函数、偶函数、非奇非偶、既奇又偶。 【步骤】 ①求函数定义域，检验是否关于原点对称； ②计算f(-x)； ③比较f(-x)与f(x),-f(x))，给出结论。 1．（期中真题汇编，陕晋）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，安徽）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 3．（期中真题汇编，陕晋）下列函数既是增函数，又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（期中真题汇编，陕晋）下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（期中真题汇编，江西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（期中真题汇编，江西）下列说法不正确的是（    ） A．若对，都有，则的最大值为． B．若，则 C．函数为增函数． D．函数为偶函数． 题型 2 利用奇偶性求参数值 【模型】奇函数：定义域包含 0 时f(0)=0；通用f(-x)=-f(x)恒成立；偶函数：f(-x)=f(x)恒成立，对应同类项系数相等。 【步骤】 ①奇函数优先尝试f(0)=0求出参数； ②回代检验，必须满足f(-x)=-f(x)； ③偶函数利用，多项式各项系数等于 0。 1．（期中真题汇编，陕晋）已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（期中真题汇编，安徽）已知定义域为的奇函数，则的值为__________. 题型 3 奇偶函数图像识别（识图题） 【模型】奇函数图像关于原点中心对称；偶函数图像关于 y 轴对称；结合特殊点、函数正负排除选项。 【步骤】 ①利用对称性先排除部分选项； ②代入特殊自变量看函数正负，进一步筛选。 1．（期中真题汇编，江西）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，江西）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（期中真题汇编，安徽）函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（期中真题汇编，陕晋）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型 4 奇偶性简单求值（不涉及不等式） 【模型】利用f(-x)=-f(x)、f(-x)=f(x)，把负自变量转化为正自变量代入已知解析式；奇函数 + 偶函数方程组（给f(x)+g(x)求f(x),g(x)。 【步骤】 ①把负自变量转化为正； ②代入已知解析式计算函数值； ③奇偶方程组：x换\(-x\)联立二元一次方程组求解。 1．（期中真题汇编，江西）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（期中真题汇编，江西）已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 3．（期中真题汇编，安徽）已知是上的奇函数，且当时，，则的值是___________． 提升·进阶突破 题型 5 奇偶性 + 单调性比较函数值大小 【模型】偶函数：f(x)=f(|x|)，统一转到正区间；奇函数：对称区间单调性保持一致；轴对称函数，比较自变量离对称轴距离。 【步骤】 ①利用奇偶性把自变量全部转换到同一个单调区间； ②比较自变量大小； ③根据单调性得到函数值大小。 1．（期中真题汇编，江西）已知是定义域为的偶函数，且对任意不相等的，，都有，记，则不等式的解集为（   ） A．（-2，3） B． C． D． 2．（期中真题汇编，陕晋）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（期中真题汇编，陕晋）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（期中真题汇编，江西）已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 题型 6 奇偶性 + 单调性解函数不等式（高频重点） 【模型】 奇函数：脱去f，同时带上定义域； 偶函数：比较。 【步骤】 ①确定奇偶、单调性； ②把不等式整理成； ③偶函数统一换成绝对值形式； ④脱去f，和定义域取交集。 1．（期中真题汇编，安徽）已知函数是定义在上的奇函数，当，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，江西）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（期中真题汇编，江西）定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（期中真题汇编，陕晋）已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 题型 7 利用奇偶性求对称区间的函数解析式 【模型】已知x>0解析式，求x<0解析式；设x<0则-x>0，代入已知，再用奇偶性转换。 【步骤】 ①设所求区间自变量x； ②则\(-x\)落在已知解析式区间，写出f(-x)； ③利用)反解f(x)； ④单独处理x=0。 1．（期中真题汇编，陕晋）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)在坐标系中作出函数的图象； (3)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 2．（期中真题汇编，江西）已知是定义在上的偶函数，当时， （1）在给定的坐标系中画出函数在上的图像（不用列表）；并直接写出的单调区间； （2）当时，求的解析式. 题型 8 抽象函数判断奇偶性（赋值法） 【模型】给出函数方程f(x+y)、f(xy)，令x=0、y=0；y=-x赋值。 【步骤】 ①令x=0求f(0)； ②令y=-x构造f(-x)与f(x)关系； ③根据定义判定奇 / 偶。 1．（期中真题汇编，安徽）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 2．（期中真题汇编，安徽）已知定义在上的函数满足以下条件：①对任意，，都有；②当时，；③.则下列说法正确的是（   ） A．且函数是奇函数 B．函数是上的单调递增函数 C．当时， D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 3．（期中真题汇编，安徽）已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 4．（期中真题汇编，江西）函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 题型 9 函数对称性拓展：中心对称、轴对称（推广型） 【模型】关于原点对称奇函数； 关于(a,0)中心对称：f(2ax)=-f(x)； 关于x=a轴对称：f(2ax)=f(x)； 新定义：图像关于点(a,b)对称等价y=f(x+a)-b是奇函数。 【步骤】 ①翻译对称条件得到等式； ②结合奇偶、单调性综合解题。 1．（期中真题汇编，安徽）已知函数，定义在上的函数满足，若函数的图象与函数的图象有且仅有三个交点，，，其中，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 2．（期中真题汇编，安徽）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.依据推广结论，则（    ） A．若的图象关于点中心对称，则 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于点中心对称 D．若的图象关于点中心对称，则 3．（期中真题汇编，江西）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（    ） A．直线是的对称轴 B．是的对称中心 C． D．不等式的解集为 4．（期中真题汇编，陕晋）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则以下说法正确的有（    ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数的一个周期为4 D． 拔高·压轴破难 题型 10 奇偶性 + 周期性综合 【模型】同时具备奇偶性 + 一条对称轴 / 一个对称中心，可以推导函数周期。 偶函数 + 对称轴 奇函数 + 对称轴 【步骤】 ①由奇偶、对称条件推导周期； ②大自变量利用周期归到已知解析式区间求值。 1．（期中真题汇编，安徽）已知定义域为的偶函数满足，且时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，江西）已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是（   ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．关于对称 D． 3．（期中真题汇编，安徽）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（   ） A． B． C． D． 题型 11 新定义问题 【模型】题干自定义新概念，读懂定义转化成方程、图像交点，结合奇偶性处理。 【步骤】 ①把文字定义翻译成数学式子； ②转化为图像交点、方程有解； ③利用奇偶对称性简化。 1．（期中真题汇编，江西）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在三对“隐对称点”，则实数的取值可以是（   ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，江西）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（期中真题汇编，安徽）已知，函数的图象类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，“囧函数”的图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，则当时，下列结论正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数的“囧点”为 C．函数的图象关于直线对称 D．当时，的最大值为 题型 12 奇偶背景下恒成立、能成立、任意存在综合（解答压轴） 【模型】结合奇偶化简不等式，再转化为最值；任意看最小 / 最大；存在看最大 / 最小；任意存在看值域包含。 【步骤】 ①奇偶性化简不等式； ②识别关键词：任意 / 存在； ③转化函数最值或者值域关系； ④求解参数，检验定义域。 1．（期中真题汇编，安徽）已知函数的定义域均为，且的图象分别关于原点､轴对称. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 2．（期中真题汇编，安徽）设是偶函数，是奇函数，且， (1)求函数的解析式； (2)证明在区间上单调递增； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 3．（期中真题汇编，安徽）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对任意的，，都有，求m的取值范围. 4．（期中真题汇编，安徽）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对任意的，，都有，求m的取值范围. 题型 13 奇偶函数背景下动区间、分段含参综合大题 【模型】偶函数，给含参单调区间，求参数范围；奇函数结合二次、分式函数求参，综合单调性证明、解不等式。 【步骤】 ①利用奇偶化简解析式； ②分析单调区间； ③集合包含关系列不等式； ④解参数，回代检验。 1．（期中真题汇编，江西）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围. 2．（期中真题汇编，安徽）已知是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 3．（期中真题汇编，江西）已知函数是奇函数． (1)求的值： (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； (3)若函数满足不等式，求出的范围． 4．（期中真题汇编，陕晋）已知函数为奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)解关于的不等式. 5．（期中真题汇编，江西）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． $