专题05一元二次不等式15大题型（期中专项训练）高一数学上学期北师大版

专题05 一元二次不等式 基础·固本强基 题型 1 直接求解一元二次不等式（不含参数） 题型 2 由一元二次不等式的解集反求参数（韦达定理应用） 题型 3 分式不等式求解 题型 4 命题与充分必要条件结合二次不等式 提升·进阶突破 题型 5 含参数一元二次不等式分类讨论求解 题型 6 一元二次恒成立问题 题型 7 能成立（存在性、不等式有解）问题 题型 8 一元二次方程根的分布问题 题型 9 二次结合基本不等式综合 题型 10 区间长度、根的代数式变形问题 拔高·压轴破难 题型 11 命题真假转换：恒成立命题为假命题 题型 12 新定义题型 题型 13 二次不等式实际应用 题型 14 双变量二次不等式、视主元转换 题型 15二次函数区间综合 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 直接求解一元二次不等式（不含参数） 【模型】求对应方程根，大于取两边，小于取中间。 【步骤】 ①化二次项系数为正数； ②求解对应一元二次方程的根； ③结合开口方向，大于取两边，小于取中间；有等号包含端点。 1．（期中真题汇编，江西）若，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以 ， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解集为或. 2．（期中真题汇编，江西）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，记，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求解一元二次不等式，再根据的定义求解. 【详解】由，解得. 由定义可知，可取0，1，2，则2， 故或. 故选：D 题型 2 由一元二次不等式的解集反求参数（韦达定理应用） 【模型】已知不等式解集\(x_1<x<x_2\)或\(x<x_1或x>x_2\)，解集端点就是对应二次方程的根，用韦达定理\(\begin{cases}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{cases}\)。 【步骤】 ①解集端点为方程的根； ②注意：解集是 “两根之间” 说明二次项系数\(a<0\)； ③韦达定理列方程，解参数。 1．（期中真题汇编，江西）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得和1是方程的根，且，然后由根与系数的关系用表示出，，代入中化简后，再解不等式即可 【详解】因为关于的不等式的解集是， ∴和1是方程的根，且， ∴，得， ∴不等式转化为， 因为，∴，，得， ∴不等式的解集为. 故选：B. 2．（期中真题汇编，陕晋）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出常数和，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可得， 乙的常数正确，由韦达定理可得， 所以原不等式为，解得， 所以解集为，故A正确. 故选：A. 3．（期中真题汇编，安徽）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据不等式的解集求出，然后根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为不等式的解集为，所以，即，. 所以不等式即为， 所以不等式的解集为. 故选：B 4．（期中真题汇编，陕晋）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再应用一元二次不等式的解法求解集即可. 【详解】由题设是的两个根，则， 所以，可得， 所以不等式的解集为. 故选：A 5．（期中真题汇编，陕晋）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据已知是方程的两个根，且，结合根与系数关系及各项的描述判断正误即可. 【详解】由题设，是方程的两个根，且，A错， 所以，故，C对， 由，即解集为，B对， 由，即，可得，故解集为，D对. 故选：BCD 6．（期中真题汇编，陕晋青宁）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项，逐一求解. 【详解】对于A，不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得或， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AB. 7．（期中真题汇编，陕晋）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 【答案】当 时，的解集为；当 时，的解集为；当 时，的解集为. 【分析】先根据已知二次不等式的解集得的两个根为，3，且，然后利用韦达定理求得，进而把不等式化为，分类讨论求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以的两个根为，3，且， 所以由韦达定理有，所以， 所以不等式，即不等式，即不等式. 则，因为，所以， 当即 时，的解为； 当即 时，即，无解； 当即 时，的解为； 综上所述，当 时，的解集为； 当 时，的解集为； 当 时，的解集为. 题型 3 分式不等式求解 【模型】。 【步骤】 ①移项通分，右侧化为 0； ②转化整式不等式； ③分母不能等于 0，要挖去分母为 0 的点。 1．（期中真题汇编，江西）不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求得. 【详解】依题意，不等式等价于，即， 解得，或，所以原不等式的解集为或. 故选： 2．（期中真题汇编，陕晋）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）结合题意并利用一元二次方程根与系数的关系求解即可. （2）结合题意将原不等式化为分式不等式，再求解解集即可. （3）对目标式合理变形，再结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以，且，解得，故. （2）因为， 所以不等式，可化为，即， 而，，可得，解得且， 则不等式的解集为或. （3）由题意得关于的方程有两实数根， 则有两实数根， 所以，易知此式恒成立， 因为，由韦达定理，， 所以， 故. 题型 4 命题与充分必要条件结合二次不等式 【模型】解不等式得到集合，利用集合的包含关系处理充分、必要、必要不充分条件；小集合大集合。 【步骤】 ①分别解不等式得到两个集合； ②充分不必要：条件集合结论集合； ③必要不充分：结论集合条件集合。 1．（期中真题汇编，陕晋）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由集合的运算得到，再分和不是空集两种情况由集合的包含关系解不等式组可得； （2）先由是的必要不充分条件得到是的真子集，再由集合包含关系解不等式组可得. 【详解】（1）∵． ∴． 又∵，． ∴当，即时，，符合； 当，即时，只需，解得． 综上，的取值范围为． （2）∵是的必要不充分条件． ∴是的充分不必要条件，即是的真子集，， 故只需，解得． 综上，的取值范围是． 提升·进阶突破 题型 5 含参数一元二次不等式分类讨论求解 【模型】，讨论维度：①二次项系数a=0（退化为一次不等式）；②，判别式正负；③两根大小比较。 【步骤】 ①讨论a=0，按一次不等式解； ②，计算判别式； ③，比较两个根的大小； ④分情况写出每一类解集。 1．（期中真题汇编，江西）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【答案】（1）当时，解集为{或}；当时，解集为{且}；当时，解集为{或}． （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】（1）根据题意，将二次函数因式分解，分类讨论的取值范围即可求解； （2）根据题意，将不等式转化为，分类讨论的取值范围即可求解. 【详解】（1）由题：，二次函数开口向上，方程的根为，， 当时，开口向上，不等式的解集为：{或}； 当时，不等式变为，解集为：{且}； 当时，开口向上，不等式的解集为{或}； 综上所述，当时，解集为{或}； 当时，解集为{且}； 当时，解集为{或}． （2）由题：，即， 当时（即），； 当时（即），； 当时（即），； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 2．（期中真题汇编，安徽）已知函数. (1)当时，求满足的实数的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求的值； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3) 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【分析】（1）将转化为一元二次不等式，由此可求实数的取值范围； （2）将转化为一元二次不等式，根据解集直接确定出的值； （3）对进行分类讨论，根据的大小关系求解出不等式解集. 【详解】（1）当时，，解得或， 所以实数的取值范围是. （2）因为，且的解集为， 所以的解集为， 所以，所以. （3）， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为， 当，即时，不等式解集为； 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 3．（期中真题汇编，安徽）已知关于x的不等式. (1)若时，不等式成立，求实数a的取值范围； (2)若a为实数，解关于x的不等式. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据题意得到，再解不等式即可. （2）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）因为时，不等式成立， 所以. 所以实数的取值范围为. （2）， 当时，，解得. 当时，，解得或. 当时，不等式可化为. 当即时，解得. 当即时，解得. 当即时，解集为. 综上可知：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为. 4．（期中真题汇编，江西）已知函数. (1)已知曲线恒过定点，，求它们的纵坐标之和； (2)求的解集. 【答案】(1) (2) 当时，； 当时，； 当时，. 【分析】（1）由，令，解出即可得坐标，进而求解； （2）当时，解出的解集，当时，先求，先求方程的根，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）由题意有：，令，解得或， 所以，所以， 所以纵坐标之和为：； （2）由， 当时，，所以； 当时，由， 所以方程有两个不等实根，不妨令， 所以， 当时，，由有， 所以的解集为， 当时，，所以，即， 由有或， 所以的解集为； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 5．（期中真题汇编，安徽）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小值为 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数，通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得出最小值即可. （2）根据一元二次不等式解集的端点是对应方程的根，利用韦达定理列出关于的方程组，解出的值即可. （3）先对二次函数因式分解，得到，然后根据零点的大小分类讨论，并结合和，即可得出的取值范围. 【详解】（1）当时，函数， 则当时，函数取得最小值，最小值为. （2）因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是一元二次方程的两个根， 所以，解得. （3）由，可得， ①当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得或； ②当，即时，，满足； ③当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得. 综上，实数的取值范围为. 题型 6 一元二次恒成立问题 【模型】 对恒成立：； 对恒成立：； 注意a=0退化为一次不等式也要讨论。 区间上恒成立：转化函数最值，。 【步骤】 ①二次项系数是否为 0； ②全体实数上恒成立看开口 + 判别式； ③给定区间恒成立，分析二次函数在区间上的最值。 1．（期中真题汇编，安徽）已知函数，若对于，都有或成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的取值情况，再根据一次函数与二次函数的性质列出不等式求解. 【详解】当时，当时，，不合题意； 当时，， 当时，当时，；当时，， 若对于，都有或成立， 只需在时恒成立， 若，即时，满足题意； 若，即时，只要即可， 解得，则． 综上可知， 故选：B． 2．（期中真题汇编，江西）命题，恒成立为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设在上恒成立，得，结合对应二次函数的性质研究不等式恒成立求参数范围. 【详解】由题意在上恒成立，显然， 令，其对称轴为，且， 当，即时，恒成立， 当，即时，只需，可得，所以， 综上，. 故选：A 3．（期中真题汇编，陕晋）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 4．（期中真题汇编，江西）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集是，分别求的值； (2)若且不等式的解集为，求取值范围 (3)若，，讨论此不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据韦达定理即可求解； （2）根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解； （3）分、、三种情况进行讨论即可求解； 【详解】（1）由题意可知和4是方程的两个根，且， 所以，， 解得； （2）若，则不等式为， 当，不等式即为，不合题意； 当，则有，解得， 所以的取值范围是； （3）若，则不等式为，即， 当时，，则不等式的解集为； 当时，不等式即为，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型 7 能成立（存在性、不等式有解）问题 【模型】 恒成立看另一边最值，能成立看本侧最值，二者不要混淆。 【步骤】 ①识别关键词：存在、有解； ②求函数在对应区间的最值； ③转化最值不等式求参数。 1．（期中真题汇编，江西）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用基本不等式求得的最小值，存在使成立，即，解不等式即可. 【详解】正实数满足，得 . 当且仅当且，即时，等号成立. 存在使不等式有解，即 ，可解得或，即. 故选：B. 2．（期中真题汇编，陕晋）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 3．（期中真题汇编，陕晋）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】不等式在区间内有解，转化为，利用二次函数求最值即可得出的取值范围. 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为 的对称轴为，，， 所以，所以. 故选：AB 4．（期中真题汇编，安徽）若命题“，使”为真命题，实数的取值范围为__________. 【答案】或 【分析】把看作是的函数，讨论该函数的单调性，求得该函数的最小值.令最小值大于零，即可得到实数的取值范围. 【详解】若命题“，使”为真命题， 则命题：“，使”为真命题， 即命题：“，使的最小值大于零”为真命题. 令，. 当，即，即，或时，是增函数， 所以当时，取得最小值，最小值为. 由，得或.所以或. 当，得或， 若，则，不满足题意；若，则满足题意，所以. 当，即，是减函数， 所以当时，取得最小值，最小值为. 由，得或.所以. 综上所述：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 方法二：命题“，使”为真命题. 令，则方程的实数根为. 因为，所以函数的图象开口向上. 所以当时，，或. 因为此时的最小值为-2，所以，或. 当时，，或. 因为此时的最大值为，所以，或. 综上所述：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 题型 8 一元二次方程根的分布问题 【模型】根在给定区间内；一正一负根；至少一个负根；两个根都落在某区间；从：开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值列不等式组。 【步骤】 ①设二次函数f(x)； ②列条件：开口方向、、对称轴范围、区间端点函数符号； ③联立不等式组求解参数。 1．（期中真题汇编，江西）已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据根的分布情况，由对称轴和特殊点处函数值等得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 的两不等实根都在内， 则需满足，解得. 故选：A 2．（期中真题汇编，江西）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 3．（期中真题汇编，江西）已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，方程有两个不等根、，由题意可得出，利用韦达定理结合，可求得实数的值； （2）分析可知，方程在区间上有个不等根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，方程有两个不等根、， 所以，，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，， 即，解得（舍去）或. （2）方程在区间上有个不等根， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型 9 二次结合基本不等式综合 【模型】已知等式条件，用基本不等式求代数式最值，再转化二次不等式恒成立、有解。 【步骤】 ①基本不等式求目标式最值，注意验证等号条件； ②把最值代入二次不等式条件； ③解参数范围。 1．（期中真题汇编，江西）已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化为，解之即可. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以. 故选：A 2．（期中真题汇编，江西）已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化为，解之即可. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以. 故选：A 3．（期中真题汇编，陕晋）已知、且，设的最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个正实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）分析可知方程有两个正实根，根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为、，且， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，故. （2）由（1）可知，方程有两个正实根，设这两个正根分别为、， 由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 3．（期中真题汇编，安徽）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)3． 【分析】（1）由的两个根为，结合韦达定理即可求解； （2）由即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以的两个根为，且， 由根与系数的关系： ，得， 又因为，即，得， 所以； （2）由题意，可得， 可得 当且仅当，即时，等号成立， 可得的最小值为3． 题型 10 区间长度、根的代数式变形问题 【模型】不等式有解，解集区间长度限制；已知两根，求，利用。 【步骤】 ①判别式保证有解； ②韦达定理，； ③结合长度条件列不等式。 1．（期中真题汇编，陕晋）对于区间，我们将的值称为该区间的长度．若关于的不等式有解，且解集的区间长度不超过，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据关于的不等式有解，则判别式大于0，得到的取值范围，再由区间长度不超过，得出，根据韦达定理代入再确定的取值范围，最后取交集即可. 【详解】因为关于的不等式有解， 所以，解得或， 设方程的两个根分别为和，则，， 又因为解集区间长度不超过个单位长度，所以，所以， 即，所以，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故选：B. 2．（期中真题汇编，安徽）已知．当时，的两根为，则的最小值为___________；当时，恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 6 【分析】第一空：由韦达定理结合配方法即可求解；第二空，通过，讨论的符号，得到时，，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，， 则， 当时等号成立， 故的最小值为． 由，可知函数在上单调递增， 易知当时， 当时，． 由在时恒成立， 则当时，； 当时，， 所以当时，，即， 所以有，即， 故， 从而，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6． 故答案为：． 拔高·压轴破难 题型 11 命题真假转换：恒成立命题为假命题 【模型】“” 为假命题，等价于它的否定 “” 为真命题；先求真命题参数范围，再取补集。 【步骤】 ①先求原命题为真时参数范围； ②在全集内取补集得到命题为假的范围。 1．（期中真题汇编，江西）已知“，不等式恒成立”为假命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先假设原命题为真命题求出的范围，再求其补集即可. 【详解】假设“，不等式恒成立”为真命题，即恒成立， 则. 所以若“，不等式恒成立”为假命题， 则的取值范围为. 故选：B 题型 12 新定义题型 【模型】给出新概念、新运算，把文字翻译成不等式，结合二次不等式求解。 【步骤】 ①读懂定义，翻译成代数式子； ②转化一元二次不等式求解； ③结合定义约束筛选结果。 1．（期中真题汇编，江西）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．对任意的， C．若对任意实数x，，则实数a的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 【答案】BCD 【分析】代入可判选项A，利用基本不等式可判选项B，利用二次函数恒成立可判选项C，利用不等式 能成立的条件可判选项D. 【详解】对于A，，所以选项A错误； 对于B，，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以选项B正确； 对于C，， 所以， 所以对任意实数x恒成立， 所以，所以，故选项C正确； 对于D，存在，使，所以， 因为在为单调增函数， 所以，所以，所以，所以选项D正确. 故选：BCD. 2．（期中真题汇编，江西）已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（    ） A．中最大的元素不超过1 B．中最小的元素可以小于 C．若集合中只有一个元素，则或 D．若集合中有两个元素，则 【答案】AC 【分析】对于A，设为数集中最大的元素，可知也是数集的元素，由,解不等式即可判断； 对于B,设为数集中最小的元素，可知和都是数集的元素，则,解不等式即可判断； 对于C,设为数集中唯一的元素，可知也是数集的元素，则,解方程即可求解； 对于D,举出也满足条件即可判断. 【详解】对于A，设为数集中最大的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素， 则,解得：,所以数集中最大的元素不超过1，故A正确； 对于B,设为数集中最小的元素，根据数集的定义可知和都是数集的元素， 则,即,解得或， 所以数集中最小的元素不小于，故B不正确； 对于C,设为数集中唯一的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素 ，则,解得：或,则或，故C正确； 对于D,设集合中有两个元素分别为,， 当时，，，由于，所以，解得或(舍去)，此时； 当，时，，，，所以集合中有两个元素，则也满足条件,故D不正确； 故选：AC 题型 13 二次不等式实际应用 【模型】应用题，建立二次函数模型，列不等式求参数范围，基本不等式求最值，注意实际定义域。 【步骤】 ①审题设变量，建立函数； ②根据题意列出不等式； ③求解结合实际意义舍去不符合的解。 1．（期中真题汇编，陕晋）某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3，深为3m，其底面为长方形，其中.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元. (1)若贮水池的总造价不超过78000元，求边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1) (2)当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元. 【分析】（1）设，利用总造价不超过78000元列不等式，由此求得的取值范围. （2）利用基本不等式求得总造价的最小值以及设计方案. 【详解】（1）设m，m，且， 则依题意可得，且，则，且， 则总造价， 则，即， 整理得，解得，又， 所以边长的范围是. （2）结合（1）有， 且总造价， 当且仅当时，等号成立， 所以当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元. 2．（期中真题汇编，陕晋）如图，在中，，，，分别为，，上一点，且，，四边形为矩形.    (1)求面积的最小值； (2)若的面积大于16，求长度的取值范围. 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）设，则.可得三角形的面积，再利用基本不等式求出面积的取值范围； （2）的面积大于16，即，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）设，则. 因为，所以， 所以， 所以的面积. 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为12. （2）由（1）得，即， 所以， 所以或， 所以长度的取值范围为. 3．（期中真题汇编，江西）某工厂生产件产品的总成本（单位：元）与生产件数之间满足二次函数. (1)若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； (2)试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意列出不等式直接计算，结合实际意义即可得解； （2）表示出平均成本，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）若要求生产总成本不超过30000元，则， 即，解得， 又，所以满足生产总成本要求的产品件数的取值范围为. （2）由题意知，生产件数为时，每件的平均成本为， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即该工厂生产件产品时，每件产品的平均成本最小. 题型 14 双变量二次不等式、视主元转换 【模型】式子含有x、a两个变量，把a当自变量，x当参数，一次函数恒成立处理；二元函数求最值。 【步骤】 ①分清主元，把哪个变量看成自变量； ②转换为一次 / 二次不等式； ③列条件求解参数。 1．（期中真题汇编，江西）对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】先将不等式看成的不等式，利用判别式法求得，再利用判别式法求解实数的取值范围即可. 【详解】由题意，对任意的实数，不等式恒成立， 所以其， 即，从而任意的实数，恒成立， 所以其，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．（期中真题汇编，安徽）已知命题，不等式恒成立，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分为和两种情况分别讨论，根据一元二次不等式恒成立，即可求得答案； （2）根据充分不必要条件得出是的真子集，根据集合的包含关系列不等式求得结果. 【详解】（1）当时，，不等式恒成立，此时命题为真命题，符合题意； 当时，若命题为真命题，则，解得， 综上，，所以集合. （2），即， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 3．（期中真题汇编，陕晋）已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）设，若存在实数，使得，求的取值范围； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）设二次函数，利用恒等式求出可得结果； （2）求出，再解不等式即可得解； （3）将不等式恒成立转化为当，时，成立，然后分类讨论对称轴与区间的关系，求出最大值和最小值，代入，解不等式可得解. 【详解】（1）因为，所以设二次函数， 因为，所以， 所以， 所以，解得， 所以. （2）因为， 所以， 所以，解得或. （3）因为对任意，都有恒成立， 所以当，时，， 因为的对称轴为， 所以当，即时，在上先递减后递增， 所以， 或， 当时，由， 得，又，所以， 当时，由， 得，又，所以， 当，即时，在上单调递减， ，， 所以，解得， 当时，在上单调递增， 所以，， 由，解得， 综上所述：实数的取值范围是. 4．（期中真题汇编，江西）已知函数. (1)求； (2)若，且，，证明：； (3)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)0 (2)证明： 因为，所以，解得，所以， 由题意在恒成立， 所以，所以，即，得证； (3) 【分析】（1）先求得，进而，得解； （2） 先根据求得，然后将恒成立问题转化为在恒成立，由判别式法即可证明； （3）结合分析得，从而将化为在上恒成立，参变分离得，然后利用基本不等式求解最值，即可得解. 【详解】（1），则，所以 （2）略 （3）由（1）可知，则要使在上恒成立，则需， 又，所以，所以，即. 由题意在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，所以. 因为，所以，所以 ，当且仅当即时等号成立， 所以，即的取值范围为. 题型 15二次函数区间综合 【模型】给定区间，二次函数值域已知，反求参数；区间上存在 / 恒成立综合。 【步骤】 ①分析对称轴与给定区间位置关系； ②分三类：对称轴在区间左侧、内部、右侧； ③结合值域条件列方程不等式，回代检验。 1．（期中真题汇编，江西）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．当时，，上的值域为，则的取值范围是 D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】A选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B，由解集得到，，从而化为，求出解集； C选项，先确定，进而求出或时，，进而可求解；D选项，先求出，从而根据不等式有解得到，求出答案， 【详解】因的解集是，所以，A错误； －2，3是关于x的方程的两个根，且， 于是得，，即， 不等式化为：，解得，B正确； 当时，因为，所以， 则，， 依题意，，由得，或， 因在上的最小值为， 从而得，或，， 两种情况均有，C正确． ，令，由对勾函数得在上单调递增， 即有，因有解，则， 解得或，D不正确； 故选：BC 2．（期中真题汇编，陕晋）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求在上的值域； (3)求关于的不等式的解集（其中）． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）利用换元法即可得到解析式； （2）根据二次函数单调性即可得到值域； （3）因式分解得，再对分类讨论即可. 【详解】（1）由题意，函数，令，所以， 则，所以. （2）在上单调递减，在上单调递增， 则其值域为，即. （3）由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 3．（期中真题汇编，陕晋）已知函数． (1)若函数对恒成立，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的值； (3)求函数在上的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用列式求解即可； （2）根据一元二次不等式的解集得方程的根，再运用韦达定理可解； （3）分类讨论，结合二次函数性质求解最值. 【详解】（1）因为函数对恒成立， 所以，整理得，解得； （2）不等式的解集为， 所以是方程的两根，运用韦达定理，得到，解得； （3）由于， ①当即时，在上单调递增， 所以. ②当即时， 则， ③当即时，在上单调递减， 所以 . 则. 4．（期中真题汇编，江西）已知二次函数满足，且： (1)求的解析式； (2)若在区间上，的值域为，求的取值范围. (3)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设二次函数，利用题目条件可以得到关于的方程组，解方程组得到，即可得到解析式； （2）根据的图象、值域可得答案； （3）分讨论，结合的图象求解可得答案. 【详解】（1）设二次函数，，由题意知： ，整理得：， 即：，解得：， ∴； （2）因为， 所以其图象的对称轴为直线，当时，， 因为当时，，由二次函数图象可知 ，解得， 所以的取值范围是； （3）由（1）知，的图象开口向上， 时，，解得：或， ∴当，，图象在轴下方， 当，，图象在轴上方， 对于，当时，，当时， 图象在图象的上方，不合题意，舍去； 当时，，开口向上，当时， 图象在图象的上方，不合题意，舍去； 当时，，开口向下，函数的图象恒在图象的上方， 即恒成立， 即恒成立， 即恒成立，， 即有：，即：. 综上，的取值范围是. 5．（期中真题汇编，陕晋）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数． (1)求的值，并写出相应的函数的解析式； (2)对于（1）中的，设． (ⅰ)是否存在实数，使得在区间上的值域是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (ⅱ)已知点是曲线上的一点，直线与曲线交于两点，若不等式的解集为，求的面积． 【答案】(1)， (2)(ⅰ) 存在，或 ；(ⅱ) 【分析】（1）利用偶函数的性质确定的值即可； （2）（i）先求出的表达式，然后讨论二次函数的对称轴位置再结合二次函数的单调性可得； （ii）利用一元二次不等式根与系数的关系求出的表达式，再解出点，然后过点作轴的垂线，直曲联立解出点，然后由三角形面积组合求出可得. 【详解】（1）∵幂函数在上是增函数． ∴，解得． 又∵．            ∴． 当或时，，为非奇非偶函数，不符合题意； 当时，，其为偶函数，符合题意． 综上，，． （2）由（1）可知，． (ⅰ)①当，即时，在递减，此时、 ，无解． ②当，即时，在递增，此时、，无解． ③当，即时，在递增、在递减，此时． 若，即时，故、，符合； 若，即时，故、，符合． 综上，或． (ⅱ) ∵的解集为． ∴和是方程的两个实数根，故，则，则． 过点作轴的垂线，设其与直线的交点为，则，故两点间的距离为． 由可得，，解得． 不妨设，所以． 综上，的面积为． 6．（期中真题汇编，江西）已知二次函数的图象经过三点. (1)求的解析式; (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围; (3)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设函数解析式，用待定系数法求解； （2）将函数转化为，求最值即可； （3）分析区间与对称轴的位置关系，分三种情况讨论. 【详解】（1）设函数解析式为， 因为二次函数的图象经过三点， 则，解得，所以函数解析式为. （2）因为，即化简为 ，由当时，恒成立，即， 令，对称轴为，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是 （3）由可知，对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，则， 即； 当，即时，，即； 当时，函数在区间上单调递增，则，即； 综上. $专题05 一元二次不等式 基础·固本强基 题型 1 直接求解一元二次不等式（不含参数） 题型 2 由一元二次不等式的解集反求参数（韦达定理应用） 题型 3 分式不等式求解 题型 4 命题与充分必要条件结合二次不等式 提升·进阶突破 题型 5 含参数一元二次不等式分类讨论求解 题型 6 一元二次恒成立问题 题型 7 能成立（存在性、不等式有解）问题 题型 8 一元二次方程根的分布问题 题型 9 二次结合基本不等式综合 题型 10 区间长度、根的代数式变形问题 拔高·压轴破难 题型 11 命题真假转换：恒成立命题为假命题 题型 12 新定义题型 题型 13 二次不等式实际应用 题型 14 双变量二次不等式、视主元转换 题型 15二次函数区间综合 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 直接求解一元二次不等式（不含参数） 【模型】求对应方程根，大于取两边，小于取中间。 【步骤】 ①化二次项系数为正数； ②求解对应一元二次方程的根； ③结合开口方向，大于取两边，小于取中间；有等号包含端点。 1．（期中真题汇编，江西）若，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 2．（期中真题汇编，江西）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，记，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型 2 由一元二次不等式的解集反求参数（韦达定理应用） 【模型】已知不等式解集\(x_1<x<x_2\)或\(x<x_1或x>x_2\)，解集端点就是对应二次方程的根，用韦达定理\(\begin{cases}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{cases}\)。 【步骤】 ①解集端点为方程的根； ②注意：解集是 “两根之间” 说明二次项系数\(a<0\)； ③韦达定理列方程，解参数。 1．（期中真题汇编，江西）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，陕晋）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（期中真题汇编，安徽）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（期中真题汇编，陕晋）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 5．（期中真题汇编，陕晋）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 6．（期中真题汇编，陕晋青宁）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 7．（期中真题汇编，陕晋）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 题型 3 分式不等式求解 【模型】。 【步骤】 ①移项通分，右侧化为 0； ②转化整式不等式； ③分母不能等于 0，要挖去分母为 0 的点。 1．（期中真题汇编，江西）不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 2．（期中真题汇编，陕晋）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 题型 4 命题与充分必要条件结合二次不等式 【模型】解不等式得到集合，利用集合的包含关系处理充分、必要、必要不充分条件；小集合大集合。 【步骤】 ①分别解不等式得到两个集合； ②充分不必要：条件集合结论集合； ③必要不充分：结论集合条件集合。 1．（期中真题汇编，陕晋）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 提升·进阶突破 题型 5 含参数一元二次不等式分类讨论求解 【模型】，讨论维度：①二次项系数a=0（退化为一次不等式）；②，判别式正负；③两根大小比较。 【步骤】 ①讨论a=0，按一次不等式解； ②，计算判别式； ③，比较两个根的大小； ④分情况写出每一类解集。 1．（期中真题汇编，江西）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 2．（期中真题汇编，安徽）已知函数. (1)当时，求满足的实数的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求的值； (3)解关于的不等式. 3．（期中真题汇编，安徽）已知关于x的不等式. (1)若时，不等式成立，求实数a的取值范围； (2)若a为实数，解关于x的不等式. 4．（期中真题汇编，江西）已知函数. (1)已知曲线恒过定点，，求它们的纵坐标之和； (2)求的解集. 5．（期中真题汇编，安徽）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 题型 6 一元二次恒成立问题 【模型】 对恒成立：； 对恒成立：； 注意a=0退化为一次不等式也要讨论。 区间上恒成立：转化函数最值，。 【步骤】 ①二次项系数是否为 0； ②全体实数上恒成立看开口 + 判别式； ③给定区间恒成立，分析二次函数在区间上的最值。 1．（期中真题汇编，安徽）已知函数，若对于，都有或成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，江西）命题，恒成立为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（期中真题汇编，陕晋）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（期中真题汇编，江西）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集是，分别求的值； (2)若且不等式的解集为，求取值范围 (3)若，，讨论此不等式的解集． 题型 7 能成立（存在性、不等式有解）问题 【模型】 恒成立看另一边最值，能成立看本侧最值，二者不要混淆。 【步骤】 ①识别关键词：存在、有解； ②求函数在对应区间的最值； ③转化最值不等式求参数。 1．（期中真题汇编，江西）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，陕晋）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（期中真题汇编，陕晋）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（期中真题汇编，安徽）若命题“，使”为真命题，实数的取值范围为__________. 题型 8 一元二次方程根的分布问题 【模型】根在给定区间内；一正一负根；至少一个负根；两个根都落在某区间；从：开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值列不等式组。 【步骤】 ①设二次函数f(x)； ②列条件：开口方向、、对称轴范围、区间端点函数符号； ③联立不等式组求解参数。 1．（期中真题汇编，江西）已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，江西）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 3．（期中真题汇编，江西）已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型 9 二次结合基本不等式综合 【模型】已知等式条件，用基本不等式求代数式最值，再转化二次不等式恒成立、有解。 【步骤】 ①基本不等式求目标式最值，注意验证等号条件； ②把最值代入二次不等式条件； ③解参数范围。 1．（期中真题汇编，江西）已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，江西）已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（期中真题汇编，陕晋）已知、且，设的最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个正实根，求实数的取值范围． 3．（期中真题汇编，安徽）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)若，求的最小值． 题型 10 区间长度、根的代数式变形问题 【模型】不等式有解，解集区间长度限制；已知两根，求，利用。 【步骤】 ①判别式保证有解； ②韦达定理，； ③结合长度条件列不等式。 1．（期中真题汇编，陕晋）对于区间，我们将的值称为该区间的长度．若关于的不等式有解，且解集的区间长度不超过，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，安徽）已知．当时，的两根为，则的最小值为___________；当时，恒成立，则的最小值为___________． 拔高·压轴破难 题型 11 命题真假转换：恒成立命题为假命题 【模型】“” 为假命题，等价于它的否定 “” 为真命题；先求真命题参数范围，再取补集。 【步骤】 ①先求原命题为真时参数范围； ②在全集内取补集得到命题为假的范围。 1．（期中真题汇编，江西）已知“，不等式恒成立”为假命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型 12 新定义题型 【模型】给出新概念、新运算，把文字翻译成不等式，结合二次不等式求解。 【步骤】 ①读懂定义，翻译成代数式子； ②转化一元二次不等式求解； ③结合定义约束筛选结果。 1．（期中真题汇编，江西）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．对任意的， C．若对任意实数x，，则实数a的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 2．（期中真题汇编，江西）已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（    ） A．中最大的元素不超过1 B．中最小的元素可以小于 C．若集合中只有一个元素，则或 D．若集合中有两个元素，则 题型 13 二次不等式实际应用 【模型】应用题，建立二次函数模型，列不等式求参数范围，基本不等式求最值，注意实际定义域。 【步骤】 ①审题设变量，建立函数； ②根据题意列出不等式； ③求解结合实际意义舍去不符合的解。 1．（期中真题汇编，陕晋）某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3，深为3m，其底面为长方形，其中.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元. (1)若贮水池的总造价不超过78000元，求边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 2．（期中真题汇编，陕晋）如图，在中，，，，分别为，，上一点，且，，四边形为矩形.    (1)求面积的最小值； (2)若的面积大于16，求长度的取值范围. 3．（期中真题汇编，江西）某工厂生产件产品的总成本（单位：元）与生产件数之间满足二次函数. (1)若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； (2)试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 题型 14 双变量二次不等式、视主元转换 【模型】式子含有x、a两个变量，把a当自变量，x当参数，一次函数恒成立处理；二元函数求最值。 【步骤】 ①分清主元，把哪个变量看成自变量； ②转换为一次 / 二次不等式； ③列条件求解参数。 1．（期中真题汇编，江西）对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______ 2．（期中真题汇编，安徽）已知命题，不等式恒成立，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 3．（期中真题汇编，陕晋）已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）设，若存在实数，使得，求的取值范围； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 4．（期中真题汇编，江西）已知函数. (1)求； (2)若，且，，证明：； (3)当时，，求的取值范围. 题型 15二次函数区间综合 【模型】给定区间，二次函数值域已知，反求参数；区间上存在 / 恒成立综合。 【步骤】 ①分析对称轴与给定区间位置关系； ②分三类：对称轴在区间左侧、内部、右侧； ③结合值域条件列方程不等式，回代检验。 1．（期中真题汇编，江西）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．当时，，上的值域为，则的取值范围是 D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 2．（期中真题汇编，陕晋）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求在上的值域； (3)求关于的不等式的解集（其中）． 3．（期中真题汇编，陕晋）已知函数． (1)若函数对恒成立，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的值； (3)求函数在上的最小值． 4．（期中真题汇编，江西）已知二次函数满足，且： (1)求的解析式； (2)若在区间上，的值域为，求的取值范围. (3)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 5．（期中真题汇编，陕晋）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数． (1)求的值，并写出相应的函数的解析式； (2)对于（1）中的，设． (ⅰ)是否存在实数，使得在区间上的值域是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (ⅱ)已知点是曲线上的一点，直线与曲线交于两点，若不等式的解集为，求的面积． 6．（期中真题汇编，江西）已知二次函数的图象经过三点. (1)求的解析式; (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围; (3)求在区间上的最小值. $