精品解析：学易金卷：高一数学上学期期中模拟卷·拔高卷（人教A版，范围：必修第一册第一章～第三章）

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. {或} D. {或} 3. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A. 或 B. C. D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则在R上的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足：对，且，有，且时有，若的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 命题“，”是真命题 C. 集合与集合表示同一集合 D. 已知集合，若，则的值为 11. 已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称，，令，则（ ） A. B. C. 的图像关于点对称 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_________． 13. 已知或.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______． 14. 记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，已知集合， （1）若，求的取值范围； （2）若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 16. 已知函数． （1）用定义法证明：函数 在区间上单调递增； （2）若，且存在，使得，求实数的取值范围． 17. 法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． （1）已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． （2）已知实数，满足，，求的值． 18. 已知奇函数，满足． （1）求实数m，n的值； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若对，对恒成立，求实数p的取值范围． 19. 已知函数和，定义集合 . （1）设 ，求； （2）设，当 时，求的取值范围； （3）设 ，若 ，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得，所以，又， 根据交集的定义，是由所有既属于集合又属于集合的元素构成的集合， 因此需满足不等式组，取两个解集的公共部分，可得， 即． 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. {或} D. {或} 【答案】A 【解析】 【详解】等价于且，得， 故不等式的解集是. 3. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围. 【详解】若“，”是真命题， 即判别式，解得：， 所以命题“，”是假命题， 则实数的取值范围为或. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，由已知条件确定，且，展开后利用均值不等式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，则， 所以， ，当且仅当， 即时等号成立，故的最小值为. 5. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则在R上的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当时，， 当时，，则， 是定义在上的奇函数， ， ，即， 当时，，则， 当时，，则， 综上，在上的解析式是． 6. 若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为6或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 7. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用偶函数性质求得参数b，再结合求得a，从而得到函数的解析式，分析的单调性，再结合函数是偶函数，求解不等式，即可得到m的取值范围. 【详解】函数的定义域为R， 因为函数在其定义域内为偶函数， 所以，， 即 ， ， 所以，所以，， 所以. 又，所以，解得. 所以.  当时，单调递增，且， 所以单调递减，且， 故在上单调递增； 所以由， 所以，即， ， 解得， 即实数的取值范围为. 8. 定义在上的函数满足：对，且，有，且时有，若的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用赋值法，分别令与可得函数为奇函数，再令，结合函数单调性定义可得函数单调递增，即可得单调性，从而可得的最大值、最小值，即可得解. 【详解】令， 则， 令，则，即有， 令，则，即有， 又，故为奇函数， 由时有，故时有， 令，则， 故， 故，故在上单调递增， 则在上单调递增， 故 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A、D作差分解后符号不能确定，分别用与的反例否定；B、C直接由同向不等式可加性与不等式两边同加同一个数的不变性证得. 【详解】由得，，，； 对于A，，由知该差的符号由的符号决定， 取，，得，A错误； 对于B，由与相加得，B正确； 对于C，由两边同加得，C正确； 对于D，，由知仅当时才有， 取（此时）得，D错误. 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 命题“，”是真命题 C. 集合与集合表示同一集合 D. 已知集合，若，则的值为 【答案】AD 【解析】 【详解】选项：由命题的性质得，命题“，使得”的否定是“，都有”，故正确； 选项：因为，所以，则不存在实数满足，故不正确； 选项：集合是点集，集合是数集，则集合与集合表示的不是同一集合，故不正确； 选项：因为， 若，得，此时，不符合已知条件的集合含有2个元素，故不符合； 若，得，（舍去），此时，符合已知条件的集合含有2个元素，故符合，故正确. 11. 已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称，，令，则（ ） A. B. C. 的图像关于点对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，代入即可判断选项；利用函数关于点对称，则的关系，进行赋值，结合周期函数的定义，即可判断选项，，. 【详解】解：由，令，则， 所以，正确； 由函数的图像关于点对称，令，当时，， 所以的图像关于对称，即的图像关于点对称，正确； 由，用替换得①， 又的图像关于点对称，则， 用替换得②， ①②得，所以，错误； 由，则， 由上可知， 所以，正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求定义域为. 13. 已知或.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 故答案为： 14. 记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中定义，由基本不等式求解即可. 【详解】由均值不等式得：， 当，即时，， 当 时，即，， 综上的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，已知集合， （1）若，求的取值范围； （2）若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由元素与集合的关系得到，求解即可； （2），集合中有且仅有3个整数元素，得到，构造不等式求解即可. 【小问1详解】 因为 所以， 即，解得， 所以的取值范围是 【小问2详解】 因为中整数元素为， 且， 所以中有且仅有3个整数元素，也必是， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 16. 已知函数． （1）用定义法证明：函数 在区间上单调递增； （2）若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明即可； （2）根据条件得出，再利用参变分离求函数最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 17. 法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． （1）已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． （2）已知实数，满足，，求的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）将看作方程的两个不等实根，利用韦达定理求、后代入目标式计算； （2）换元设、，构造方程求解的两组值，代入完全平方公式并验证判别式合理性即可得结果. 【小问1详解】 由题意，不相等的实数满足、， 因此是一元二次方程的两个不等实根. 根据韦达定理得，， 因此. 【小问2详解】 令，，将已知条件变形可得 . 根据韦达定理逆定理，是一元二次方程的两个实根， 解方程得，，即有两组解和. 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时； 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时. 综上，的值为46或65. 18. 已知奇函数，满足． （1）求实数m，n的值； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若对，对恒成立，求实数p的取值范围． 【答案】（1） （2） 在上单调递增，证明如下： 令，则 ， 由，则，， 故，故在上单调递增； （3）或或 【解析】 【分析】（1）结合奇函数性质计算即可得； （2）借助单调性定义，令，比较与的大小关系即可得； （3）求出最大值后，结合一次函数性质计算即可得. 【小问1详解】 由奇函数性质及其定义域为，可得，则， 又，则，即， 检验：当时，有， 又定义域为，故为奇函数，符合要求； 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由在上单调递增，则， 则对恒成立， 即对恒成立， 令，则当时，，符合要求； 当时，为关于的一次函数， 则有，解得或； 综上所述：实数的取值范围为或或. 19. 已知函数和，定义集合 . （1）设 ，求； （2）设，当 时，求的取值范围； （3）设 ，若 ，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）解不等式即可； （2）转化为对任意恒成立求解； （3）分别求解不等式与，转化为不等式组有解求解即可. 【小问1详解】 已知 ， 由即 ， 解得 ， 则； 【小问2详解】 已知， 由题意得，对任意恒成立， ，即 恒成立， 当时，恒成立； 当时，由， 解得； 综上，当时，的取值范围为； 【小问3详解】 已知 ， 由 得，不等式组有解， 由 ， 又 ， 当 ，即时，对任意 恒成立， 则满足 ； 当 ，即时， 或， 要使 ，则 或 ， 解得，则有； 当 ，即时， 或 ， 要使 ，则 或 ， 解得，则有 ； 综上所述，的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $