专题04 函数的最值13大题型（期中专项训练）高一数学上学期北师大版

专题04 函数的最值 基础·固本强基 题型 1 直接利用函数性质求最值、值域 题型 2 新定义函数求最值 题型 3 由图像信息判断最值相关结论 提升·进阶突破 题型 4 奇偶性、对称性辅助求值域、最值 题型 5 恒成立问题 题型 6 能成立（有解）问题 题型 7 双变量：任意存在型值域包含问题 题型 8 实际应用问题求最值 拔高·压轴破难 题型 9 含参函数在闭区间上求最值 题型 10 新定义高阶综合 题型 11 抽象函数结合最值、值域 题型 12 恒成立、能成立压轴 题型 13 已知值域反求参数 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 直接利用函数性质求最值、值域 【模型】利用一次、二次、对勾、飘带、分段函数本身单调性，代入端点、极值点得到最值与值域。 【步骤】 ①确定函数定义域；②判断区间上单调性；③代入端点 / 极值点；④写出值域、最大、最小值。 1．（期中真题汇编，陕晋）表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 2．（期中真题汇编，安徽）形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 3．（期中真题汇编，江西）已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 4．（期中真题汇编，安徽）已知，函数的图象类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，“囧函数”的图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，则当时，下列结论正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数的“囧点”为 C．函数的图象关于直线对称 D．当时，的最大值为 题型 2 新定义函数求最值 【模型】读懂题目新定义，把新定义翻译成分段解析式，画图或者分类讨论求最值。 【步骤】 ①拆解新定义，写出分段表达式；②画出简易示意图；③分区间计算函数值，比较得到最值。 1．期中真题汇编，陕晋）设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（   ） A． B．对任意的，都有 C．对任意的，都有 D．当时，的最大值为1 2．（期中真题汇编，江西），定义：．记，若，，则函数的最大值为___________． 题型 3 由图像信息判断最值相关结论 【模型】看图读单调区间、最高点最低点，判断选项中值域、最值是否成立。 【步骤】看图读出最高点、最低点，注意空心点代表取不到该值。 1．（期中真题汇编，江西）下列说法不正确的是（    ） A．若对，都有，则的最大值为． B．若，则 C．函数为增函数． D．函数为偶函数． 2．（期中真题汇编，江西）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 提升·进阶突破 题型 4 奇偶性、对称性辅助求值域、最值 【模型】奇函数、偶函数、中心对称，利用对称区间的函数值关系求值域。 【步骤】 ①利用奇偶性把区间转化到熟悉一侧；②求出一侧值域，再由对称性得到完整区间值域。 1．（期中真题汇编，江西）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 题型 5 恒成立问题 【步骤】 ①识别关键词 “任意、恒成立”；②求\(f(x)\)在定义域上的最值；③转化为参数不等式求解。 1．（期中真题汇编，陕晋）若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 14．（专题04 函数的基本性质02（期中真题汇编，江西专用）高一数学上学期）已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 2．（期中真题汇编，江西）已知函数，对任意，恒成立，则实数a的取值范围为______． 3．（期中真题汇编，安徽）已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 _______． 题型 6 能成立（有解）问题 【模型】 【步骤】 ①识别关键词 “存在、有解”；②求函数最值；③建立参数不等式。 1．（期中真题汇编，陕晋）已知，则下列选项正确的是（   ） A．函数的解析式是 B．若不等式对任意的恒成立，则或 C．若关于的不等式的解集为空集，则 D．若存在使得不等式成立，则 2．（期中真题汇编，安徽）已知为奇函数，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 题型 7 双变量：任意存在型值域包含问题 【模型】 【步骤】 ①分别求两个函数的值域；②写出集合包含关系；③解参数。 1．（期中真题汇编，安徽）已知为奇函数，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 题型 8 实际应用问题求最值 【模型】根据文字题意建立函数解析式，确定实际定义域，再求最大最小值。 【步骤】 ①读懂题意，列出函数；②确定实际意义下定义域；③利用单调性、基本不等式求最值；④回到实际问题作答。 1．（期中真题汇编，安徽）某地政府为方便市民出行，计划在本市的市民中心站到机场开通特快轻轨专线列车.已知机场到市民中心站最快需要30分钟，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为640人；当时，载客量会减少，减少的人数为（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客量为493人.记列车载客量为，为连续函数. (1)求的解析式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到532人时，列车才发车，问列车发车时间间隔至少为多少分钟? (3)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 2．（期中真题汇编，安徽）由于某种有害化学物质泄漏对湖泊造成了污染，现决定向湖中投放净化剂，1个单位的净化剂在水中逐步溶化，水中的净化剂浓度与时间的关系，可近似地表示为只有当湖泊中净化剂的浓度不低于2时，才能对污染产生有效的净化作用． (1)判断函数的单调性（不必证明）； (2)如果只投放1个单位的净化剂，则能够维持有效净化作用的时间有多长？ (3)若一共投放两次净化剂，第一次投放1个单位的净化剂，当湖泊中的净化剂浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的净化剂，此后，每一时刻湖泊中的净化剂浓度认为是各次投放的净化剂在该时刻相应的净化剂浓度的和，求第二次投放净化剂后湖泊中净化剂浓度的最大值． 拔高·压轴破难 题型 9 含参函数在闭区间上求最值 【模型】二次函数，对称轴含有参数，讨论对称轴与给定区间的位置关系：对称轴在区间左侧、区间内部、区间右侧，分三类求最值。 【步骤】 ①写出对称轴；②分三类讨论位置；③每一类求对应最值；④解参数，检验分类前提，舍去不符合的解。 1．（期中真题汇编，陕晋）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（期中真题汇编，安徽）已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求的最小值，并写出的值域. 3．（期中真题汇编，江西）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性； (3)记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 4．（期中真题汇编，江西）已知幂函数在上单调递增. (1)求解析式； (2)若在上的最小值为，求m的值. 题型 10 新定义高阶综合 【模型】题目自定义新概念，结合最值、恒成立，把定义翻译成不等式，再结合函数单调性求解。 【步骤】 ①翻译题干新定义，写出对应的不等式；②分析函数单调性；③转化为最值问题；④求参数范围。 1．（期中真题汇编，江西）对于定义在区间上的函数，定义：，． (1)已知，，，，试写出、、的表达式； (2)若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知，函数是上的“阶收缩函数”，求的取值范围． 2．（期中真题汇编，江西）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”． (1)下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由． (2)已知函数，当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值； (3)已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值． 题型 11 抽象函数结合最值、值域 【模型】抽象函数关系式，先赋值，判断单调性，再求区间最值。 【步骤】 ①赋值法求特殊函数值；②定义法证明单调性；③利用单调性求区间最大最小值。 1．（期中真题汇编，江西）已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是（    ） A． B．恰有三个零点 C．在上单调递增 D．存在最大值和最小值 2．（期中真题汇编，江西）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 3．（期中真题汇编，江西）已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最小值； (3)解关于的不等式：． 题型 12 恒成立、能成立压轴 【模型】换元，把复杂函数转化二次 / 对勾函数，参变分离，转化为求新函数最值。 【步骤】 ①换元简化函数，写明新元取值范围；②参变分离；③求新函数的最值；④得到参数范围。 1．（期中真题汇编，江西）已知函数，且． (1)若函数在上单调递增，求的取值范围； (2)若，函数，，若对，都，使得，求的取值范围． 2．（期中真题汇编，安徽）已知函数的定义域均为，且的图象分别关于原点､轴对称. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 3．（期中真题汇编，安徽）设是偶函数，是奇函数，且， (1)求函数的解析式； (2)证明在区间上单调递增； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 4．（期中真题汇编，安徽）已知函数，且在上的最小值为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)当，且时，不等式恒成立，求的取值范围． 5．（期中真题汇编，安徽）已知函数，为常数. (1)若，证明：； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．（期中真题汇编，安徽）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对任意的，，都有，求m的取值范围. 7．（期中真题汇编，安徽）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为y关于x的奇函数，给定函数． (1)求的对称中心； (2)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 8．（期中真题汇编，安徽）已知函数，. (1)求证：的值为常数； (2)记集合，求集合的所有子集； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 题型 13 已知值域反求参数 【模型】已知函数在某区间上值域，反过来求参数，利用单调性、二次函数根的分布。 【步骤】 ①分析函数单调性；②值域条件翻译成方程 / 不等式；③解方程；④检验。 1．（期中真题汇编，江西）已知是定义在上的奇函数，函数．若在上的值域为，则的值域为______． 2．（期中真题汇编，安徽）已知奇函数的定义域为，且． (1)求的解析式； (2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，若存在，求的最大值； (3)若，函数在区间上的值域是，求的取值范围． 3．（期中真题汇编，江西）已知奇函数的定义域为.当时，. (1)求的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明：在区间上单调递减； (3)设，若函数在区间上的值域也为，求的值. 4．（期中真题汇编，江西）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． $专题04 函数的最值 基础·固本强基 题型 1 直接利用函数性质求最值、值域 题型 2 新定义函数求最值 题型 3 由图像信息判断最值相关结论 提升·进阶突破 题型 4 奇偶性、对称性辅助求值域、最值 题型 5 恒成立问题 题型 6 能成立（有解）问题 题型 7 双变量：任意存在型值域包含问题 题型 8 实际应用问题求最值 拔高·压轴破难 题型 9 含参函数在闭区间上求最值 题型 10 新定义高阶综合 题型 11 抽象函数结合最值、值域 题型 12 恒成立、能成立压轴 题型 13 已知值域反求参数 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 直接利用函数性质求最值、值域 【模型】利用一次、二次、对勾、飘带、分段函数本身单调性，代入端点、极值点得到最值与值域。 【步骤】 ①确定函数定义域；②判断区间上单调性；③代入端点 / 极值点；④写出值域、最大、最小值。 1．（期中真题汇编，陕晋）表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】就、、分类讨论可得，再分类求值域后可得其最小值. 【详解】设，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，， 当时，， 故函数的最小值为0. 故选：C. 2．（期中真题汇编，安徽）形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【分析】应用待定系数法求函数解析式和定义域，再由奇偶性的定义判断，根据解析式判断区间单调性，进而确定最值情况，最后代入自变量求函数值判断各项正误. 【详解】由题意得，解得，则且， 因为，所以是奇函数，①错． 因为均在内单调递减，所以在内单调递减，没有最小值，②对③错， 由得，，④对. 故选：D 3．（期中真题汇编，江西）已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可. 【详解】令，则，且 故，，故 且令，，可得 设，则， 则，故在上单调递增 的最大值是 故选：A 【点睛】本题需要考生先求出特殊值，后判断抽象函数的单调性，再求出端点值即可. 判断抽象函数的单调性时需要记忆或推理常见的抽象函数模型. 4．（期中真题汇编，安徽）已知，函数的图象类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，“囧函数”的图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，则当时，下列结论正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数的“囧点”为 C．函数的图象关于直线对称 D．当时，的最大值为 【答案】ABD 【分析】由，可得，再确定定义域，即可判断A，由“囧点”的概念即可确定B；根据与的关系判断C；再根据单调性确定最值即可． 【详解】当时，，， 对于A的定义域为，定义域关于原点对称，且， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，当时，，所以函数的图象与轴的交点为， “囧点”为，故B正确； 对于C，由，得， 时，， 所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，当时，， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以当时，的最大值为，故D正确， 故选：ABD． 题型 2 新定义函数求最值 【模型】读懂题目新定义，把新定义翻译成分段解析式，画图或者分类讨论求最值。 【步骤】 ①拆解新定义，写出分段表达式；②画出简易示意图；③分区间计算函数值，比较得到最值。 1．期中真题汇编，陕晋）设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（   ） A． B．对任意的，都有 C．对任意的，都有 D．当时，的最大值为1 【答案】ABD 【分析】画出函数图象，结合图象分析可得的解析式，根据奇偶性的定义及图象对选项逐一分析即可. 【详解】 画出函数的图象， 对于：，所以，故正确； 对于：由图可知，函数的图象关于轴对称， 所以任意的，都有，故正确；错误； 对于：设与的交点横坐标为，则， 在和上单调递增，在上单调递减， 由的对称性可知. 所以当时，的最大值为1，故正确. 故选：ABD. 2．（期中真题汇编，江西），定义：．记，若，，则函数的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】先分和解，进而根据定义得，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有：当时，，所以， 由有：，即，解得， 所以当时，， 当时，，所以， 由有：，即，解得， 所以当时，， 所以当时，， 所以， 作出的图像： 所以， 故答案为：. 题型 3 由图像信息判断最值相关结论 【模型】看图读单调区间、最高点最低点，判断选项中值域、最值是否成立。 【步骤】看图读出最高点、最低点，注意空心点代表取不到该值。 1．（期中真题汇编，江西）下列说法不正确的是（    ） A．若对，都有，则的最大值为． B．若，则 C．函数为增函数． D．函数为偶函数． 【答案】ABC 【分析】对于A，利用最值的定义即可判断，对于B利用作差法即可判断，对于C取特殊值即可判断，对于D利用偶函数的定义即可判断. 【详解】对于A，对，都有，存在，使得，则的最大值为，故A错误； 对于B，由，又，所以， 所以，即，故B错误； 对于C，因为，又，所以， 所以函数不是增函数，故C错误； 对于D，由的定义域为，对，所以， 对，所以， 所以， 所以为偶函数，故D正确. 2．（期中真题汇编，江西）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 【答案】ABD 【解析】作出函数的图象，先计算，然后计算，判断A，根据图象判断BC，而利用参变分离可判断D． 【详解】画出函数图象.如图， A项，，， B项，由图象易知，值域为 C项，有图象易知，区间内函数不单调 D项，当时，恒成立， 所以即在上恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 令， 当时，，当时，，故； 令， 当时，，当时，，故； 所以. 故在R上恒成立时，有. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围． 提升·进阶突破 题型 4 奇偶性、对称性辅助求值域、最值 【模型】奇函数、偶函数、中心对称，利用对称区间的函数值关系求值域。 【步骤】 ①利用奇偶性把区间转化到熟悉一侧；②求出一侧值域，再由对称性得到完整区间值域。 1．（期中真题汇编，江西）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)为偶函数，理由如下： 由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； (2)证明：由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 【分析】（1）利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【详解】（1）略； （2）略. 题型 5 恒成立问题 【步骤】 ①识别关键词 “任意、恒成立”；②求\(f(x)\)在定义域上的最值；③转化为参数不等式求解。 1．（期中真题汇编，陕晋）若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】设，则，所以问题转化为，恒成立． 因为 在上单调递减，所以 所以． 14．（专题04 函数的基本性质02（期中真题汇编，江西专用）高一数学上学期）已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先得到，的解析式，由的单调性得恒成立，结合基本不等式得到答案 【详解】由题意得，， 由①， 得，即②， 联立①②得，， 显然为上单调递增函数，且， 由得，故，即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，所以的取值范围是. 2．（期中真题汇编，江西）已知函数，对任意，恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，等价变形给定不等式并分离参数，利用对勾函数求出指定区间上的最大值即可. 【详解】函数，对任意，恒成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当或时，，因此， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 3．（期中真题汇编，安徽）已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 _______． 【答案】 【分析】将问题分为对，均有或和存在当时，两部分进行求解． 【详解】首先分析对，均有或，令，解得， 故当时需要， 易得二次函数的对称轴为， 故需确保且右边根， ,解得， ，解得， 综上，①； 再分析存在当时，， 故存在，， 故左边根，解得②， 综合①②取交集，可得， 故答案为：． 题型 6 能成立（有解）问题 【模型】 【步骤】 ①识别关键词 “存在、有解”；②求函数最值；③建立参数不等式。 1．（期中真题汇编，陕晋）已知，则下列选项正确的是（   ） A．函数的解析式是 B．若不等式对任意的恒成立，则或 C．若关于的不等式的解集为空集，则 D．若存在使得不等式成立，则 【答案】ACD 【分析】对A，利用配凑法求解；对BC，利用一元二次不等式解集的特征求解；对D，问题转化为存在，使得，利用函数单调性求出最值，得解. 【详解】对于A，由，所以，故A正确； 对于B，不等式对任意恒成立，即恒成立， 所以，得，故B错误； 对于C，不等式的解集为空集，即解集为空集， 所以，得，故C正确； 对于D，若存在使得不等式成立，即， 等价于存在，使得， 又易知在上单调递增，故， 所以，故D正确. 故选：ACD. 2．（期中真题汇编，安徽）已知为奇函数，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由函数为奇函数，求得时，，转化为，得到，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】设，则， 因为函数为奇函数，可得， 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为恒成立，即， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型 7 双变量：任意存在型值域包含问题 【模型】 【步骤】 ①分别求两个函数的值域；②写出集合包含关系；③解参数。 1．（期中真题汇编，安徽）已知为奇函数，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由函数为奇函数，求得时，，转化为，得到，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】设，则， 因为函数为奇函数，可得， 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为恒成立，即， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型 8 实际应用问题求最值 【模型】根据文字题意建立函数解析式，确定实际定义域，再求最大最小值。 【步骤】 ①读懂题意，列出函数；②确定实际意义下定义域；③利用单调性、基本不等式求最值；④回到实际问题作答。 1．（期中真题汇编，安徽）某地政府为方便市民出行，计划在本市的市民中心站到机场开通特快轻轨专线列车.已知机场到市民中心站最快需要30分钟，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为640人；当时，载客量会减少，减少的人数为（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客量为493人.记列车载客量为，为连续函数. (1)求的解析式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到532人时，列车才发车，问列车发车时间间隔至少为多少分钟? (3)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】(1) (2)4 (3)3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元 【分析】（1）当时，，且，代入求得值，即可解； （2）分段求解不等式； （3）因为，当时，利用基本不等式求最值，当时，利用单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，当时，； 当时，，且， 则，解得， 此时， 综上， （2）由题意得，， 当时，，满足题意； 当时，， 即，解得，所以. 综上，要使载客量至少达到532人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为4分钟. （3）由（1）知， 当时，，当且仅当等号成立， 所以当时，. 当时，单调递减，则， 又，所以当时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元. 2．（期中真题汇编，安徽）由于某种有害化学物质泄漏对湖泊造成了污染，现决定向湖中投放净化剂，1个单位的净化剂在水中逐步溶化，水中的净化剂浓度与时间的关系，可近似地表示为只有当湖泊中净化剂的浓度不低于2时，才能对污染产生有效的净化作用． (1)判断函数的单调性（不必证明）； (2)如果只投放1个单位的净化剂，则能够维持有效净化作用的时间有多长？ (3)若一共投放两次净化剂，第一次投放1个单位的净化剂，当湖泊中的净化剂浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的净化剂，此后，每一时刻湖泊中的净化剂浓度认为是各次投放的净化剂在该时刻相应的净化剂浓度的和，求第二次投放净化剂后湖泊中净化剂浓度的最大值． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增 (2) (3). 【分析】（1）利用函数单调性的定义以及一次函数的性质判断即可； （2）根据题意建立不等式，解不等式分析即可； （3）根据题意利用基本不等式和函数单调性求最值分析得出结论. 【详解】（1）当时，令， 任取，且， 所以 ， 因为，所以， 即， 所以， 又，所以， 所以， 所以函数在上单调递增， 当时，在上单调递减. （2）当时，令， 即， 整理得， 解得， 结合，可得满足不等式， 当时，令，解得， 结合，得到， 所以能维持有效净化作用的时间为. （3）由（1）知，当时函数单调递增， 当时函数单调递减， 所以当时，第一次投放的净化剂浓度开始下降， 第二次投放后，当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 当时，. 综上，净化剂浓度的最大值为. 拔高·压轴破难 题型 9 含参函数在闭区间上求最值 【模型】二次函数，对称轴含有参数，讨论对称轴与给定区间的位置关系：对称轴在区间左侧、区间内部、区间右侧，分三类求最值。 【步骤】 ①写出对称轴；②分三类讨论位置；③每一类求对应最值；④解参数，检验分类前提，舍去不符合的解。 1．（期中真题汇编，陕晋）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递增，依题意，，而， 因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根， 得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 2．（期中真题汇编，安徽）已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求的最小值，并写出的值域. 【答案】(1) (2)，的值域为 【分析】（1）根据对称轴位于区间之间可得结果； （2）根据以及的单调性求解出的表达式，然后分段讨论的值域，由此可求结果. 【详解】（1）因为的对称轴， 若在上不单调，则， 所以实数的取值范围是. （2）当时，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递减，所以， 所以； 当时，，所以的值域为， 当时，在上单调递减，所以的值域为，即为； 当时，在上单调递减，所以的值域为，即为， 综上所述，的值域为. 3．（期中真题汇编，江西）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性； (3)记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值. 【答案】(1) (2)由（1）知，则在上单调递减， 下面用定义证明： 任取且， 则 ， 因为，故，，所以，即， 所以在上单调递减. (3)1或 【分析】（1）根据求出的值，再代入检验即可； （2）由（1）可得，再根据单调性的定义证明即可； （3）结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，再分、两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可. 【详解】（1）因是上的奇函数，故， 当时，，，满足题意. 综上知，. （2）略 （3）由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增， 显然， 当时，在和上单调递减，在上单调递增， 故，， 于是有，解得，舍去； 当时，在单调递增，， ，于是有，整理得， 即，解得或或（舍去）. 综上，实数的值为或. 4．（期中真题汇编，江西）已知幂函数在上单调递增. (1)求解析式； (2)若在上的最小值为，求m的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得，进而求解即可； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. 【详解】（1）由题意得，，解得， 则. （2）由，对称轴为， 当时，，则，即； 当时，， 则，即（舍去）或（舍去）； 当时，，则，即. 综上所述，或3. 题型 10 新定义高阶综合 【模型】题目自定义新概念，结合最值、恒成立，把定义翻译成不等式，再结合函数单调性求解。 【步骤】 ①翻译题干新定义，写出对应的不等式；②分析函数单调性；③转化为最值问题；④求参数范围。 1．（期中真题汇编，江西）对于定义在区间上的函数，定义：，． (1)已知，，，，试写出、、的表达式； (2)若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知，函数是上的“阶收缩函数”，求的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性即可求解； （2）根据题意，结合在上的单调性和值域，分、、三种情况讨论即可求解. 【详解】（1）根据定义：，， ①，在区间上单调递减， 其最大值为，故，， ②，是单调递增函数， 因此在区间上的最大值为，故，， ③，是开口向上的二次函数， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增． 当时，在上单调递减，最小值为； 当时，在上的最小值为； 故． （2）当时，函数在上单调递减， 则 ，， 由题意，对于任意的 恒成立， 即对于任意的恒成立，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 由题意，当 时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，不恒成立，不符合题意； 当 时，，即，不恒成立，不符合题意； 综上所述，的取值范围为. 2．（期中真题汇编，江西）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”． (1)下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由． (2)已知函数，当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值； (3)已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值． 【答案】(1) 对于①，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，符合题意； 对于②，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意； 对于③，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意， 所以①是在上的美好函数. (2)或 (3) 【分析】（1）根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可. （2）求出二次函数的对称轴，再按，，和分类求函数在给定范围上的最值，并利用列方程即可求出的值. （3）由二次函数的性质知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【详解】（1）略 （2）当时，二次函数的对称轴为直线， 且在上单调递增，在上单调递减， 当，；当时，，当时，， 当时，函数在上单调递增， 则，解得，舍去； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减， 则，解得，舍去， 综上所述，或. （3）由（2）知，二次函数对称轴为直线， 由，即，得，则， 函数在上单调递增， 此函数在处取得最大值，在处取得最小值， 因此， 由为整数，且，得，则，即的值为5， 又，因此，解得， 所以. 题型 11 抽象函数结合最值、值域 【模型】抽象函数关系式，先赋值，判断单调性，再求区间最值。 【步骤】 ①赋值法求特殊函数值；②定义法证明单调性；③利用单调性求区间最大最小值。 1．（期中真题汇编，江西）已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是（    ） A． B．恰有三个零点 C．在上单调递增 D．存在最大值和最小值 【答案】ABC 【分析】选项A，利用条件，赋值即可得出结果；再利用定义法证明在上单调递增，即可判断出选项C的正误，结合条件及奇函数的性质得出函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可判断出选项D的正误，再根据条件得到，，，结合函数的单调性，即可判断出选项B的正误. 【详解】对于选项A，因为，取，得到， 即，所以选项A正确， 对于选项C，任取，且，则，且， 则， 又在区间上单调递增，且为奇函数，所以在区间上也单调递增， 所以，得到，即，所以在上单调递增，故选项C正确， 对于选项B，因为定义在上奇函数，所以，又，所以，故或或是的根， 结合选项C、由奇函数的性质及条件知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故选项B正确， 对于选项D，因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故函数不存在最大值和最小值，所以选项D错误， 故选：ABC. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于，根据条件，利用定义法证明在上单调递增，再利用条件及奇函数的性质得到函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可解决问题. 2．（期中真题汇编，江西）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明如下： 取，则，所以， 取，则， 所以对任意恒成立， 所以为奇函数． (2)； (3) . 【分析】（1）通过对进行赋值，结合奇函数定义即可证明； （2）根据函数单调性的定义，可证明函数在上为减函数，即函数的最大值为，再通过赋值结合函数的奇偶性，即可求解； （3）由题意，对所有的，恒成立，即，根据函数单调性，可得恒成立，再结合一次函数的图像性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）任取且，则， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以． 故为上的减函数． 所以在上的最大值为， 因为， 所以， 故在上的最大值为6． （3）因为在上是减函数，所以， 因为，对所有，恒成立． 所以，对所有恒成立， 即，对所有恒成立， 令，则， 即，解得：或． 所以实数的取值范围为． 3．（期中真题汇编，江西）已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最小值； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1) 为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得所以对任意恒成立，所以为奇函数， (2) (3) 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 【分析】(1)令,得，再令，结合奇偶性定义可证； (2)先证明单调性，利用单调性求解即可； (3)先化为，再利用单调性转化为，最后根据含参二次不等式的分类讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）任取，且，则.因为当时，，所以. ，即，所以在上单调递增， 所以在区间的最小值为， 因为，令得， 令，得， 在区间的最小值为， （3）由， 得， 由得， 由在上单调递增得整理得，即， 当时，，解得；当时，， 当时，，，解集为， 当时，， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 【点睛】关键点睛：这道题的关键之处为第（3）问，需要对含参的二次函数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的． 题型 12 恒成立、能成立压轴 【模型】换元，把复杂函数转化二次 / 对勾函数，参变分离，转化为求新函数最值。 【步骤】 ①换元简化函数，写明新元取值范围；②参变分离；③求新函数的最值；④得到参数范围。 1．（期中真题汇编，江西）已知函数，且． (1)若函数在上单调递增，求的取值范围； (2)若，函数，，若对，都，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，令，分、两种情况讨论，根据复合函数的单调性结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）令，因为，则，利用基本不等式求出函数的值域，分析可知函数在上的值域是的子集，即，然后对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的单调性以及可得出关于的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）令，则， 令，则二次函数的图象开口向上，对称轴方程为． ①当时，在上单调递减，故． 要使单调递增，需二次函数在上单调递减，则， 即，该不等式组无解； ②当时，在上单调递增，故． 要使单调递增，需二次函数在上单调递增，则， 即，解得. 综上，的取值范围为． （2）当时，，令，因为，则， 则， 当且仅当时，即时取等号，此时，即， 故的最小值为，即函数的值域为． 若对，都，使得， 需满足函数在上的值域是的子集，即． ①当时，，对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，即， 令，解得，此时； ②当时，，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，即， 令，解得，此时； ③当时，因为，故，不符合题意． 综上，的取值范围为． 2．（期中真题汇编，安徽）已知函数的定义域均为，且的图象分别关于原点､轴对称. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)由函数奇偶性构造方程组即可求解； (2)由(1)将转换成，再构造函数，由其单调性得到最值，即可求解. 【详解】（1）依题意，①，， 依题意可知， ②， 由①—②得，， 由①+②得，； （2） ∴由（1）得，，整理得， ； 令， 根据指数函数性质可知在上单调递减， ， ∴实数的取值范围为. 3．（期中真题汇编，安徽）设是偶函数，是奇函数，且， (1)求函数的解析式； (2)证明在区间上单调递增； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 设， 则， 由，可得， 则，即， 所以在上单调递增； (3)． 【分析】（1）由函数奇偶性及题干得，解方程组即可求解； （2）按照单调性的定义证明即可； （3）参变分离得在时有解，，然后利用基本不等式求解最值即可求解. 【详解】（1）由，得， 又因为是偶函数，是奇函数，所以， 与联立解得； （2）略 （3）由条件知，，得在时有解，所以， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以， 即的取值范围为. 4．（期中真题汇编，安徽）已知函数，且在上的最小值为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)当，且时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)33 (3) 【分析】（1）令，由二次函数性质计算可解； （2）由二次函数性质求解即可； （3）由函数单调可知在上恒成立，采用分离常数法令，由二次函数性质求解即可. 【详解】（1）令， 则开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； （2）由（1）知，时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，所以最大值为. （3）由（1）知，在上单调递增， 又， 由， 得在上恒成立， 所以问题即为在上恒成立， 所以， 设，令，则， 所以. 由二次函数性质可知函数在区间上单调递减， 所以当时，， 所以，即的取值范围为. 5．（期中真题汇编，安徽）已知函数，为常数. (1)若，证明：； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，， 所以， 所以成立； (2) 【分析】（1）代入，计算出的值即可完成证明； （2）将问题转化为“”，再结合对勾函数性质可求解出的取值范围. 【详解】（1）略 （2），不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，即， 令，则， 由对勾函数函数性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，故的取值范围是. 6．（期中真题汇编，安徽）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对任意的，，都有，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下： ，且， 有， 当时，，所以，则， 所以在上单调递增； 当时，，所以，则， 所以在上单调递减. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质得到关于的方程，解后再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （3）根据题意，将问题转化为，结合（2）中结论得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）由为奇函数，定义域为，可得， 即，解得， 此时，又，满足为奇函数，所以. （2）略 （3）若对任意的，都有， 只需， 由（2）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 所以， 所以，解得或， 故的取值范围是. 7．（期中真题汇编，安徽）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为y关于x的奇函数，给定函数． (1)求的对称中心； (2)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造函数，由列方程组，从而求得对称中心. （2）先求得在区间上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）假设的图象存在对称中心， 则的图象关于原点中心对称， 因为的定义域为，所以恒成立， 即恒成立， 所以，解得， 所以的图象存在对称中心. （2）函数在区间上单调递减，在区间上值域为， 由题意可知：对恒成立， 因为开口向下，对称轴为， 若，即时，则在上单调递减， 则，解得，不合题意； 若，即时，则在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 若，即时，则在上单调递增， 则，解得，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 8．（期中真题汇编，安徽）已知函数，. (1)求证：的值为常数； (2)记集合，求集合的所有子集； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题意得，. 所以的值为常数. (2)，，， (3) 【分析】（1）本题考查函数值的计算与化简，解题思路是先分别求出, 和的表达式，再计算它们的差，并化简； （2）本题考查方程的求解以及集合子集的求法，解题思路是先根据已知条件求出集合M，再根据集合M的元素个数求出其所有子集； （3）先将转化为，利用换元法令，转化为二次不等式在区间上得能成立问题. 【详解】（1）略 （2）由题意得，， 由，得， 得到，解得，则. 的子集为：，，，. （3）由题意得，等价于， 即. 易得在上单调递增，则当时，. 令，则问题转化为存在，使得成立， 则当时，， 所以，解得，即实数的取值范围为. 题型 13 已知值域反求参数 【模型】已知函数在某区间上值域，反过来求参数，利用单调性、二次函数根的分布。 【步骤】 ①分析函数单调性；②值域条件翻译成方程 / 不等式；③解方程；④检验。 1．（期中真题汇编，江西）已知是定义在上的奇函数，函数．若在上的值域为，则的值域为______． 【答案】 【分析】结合幂函数的性质可得的图象关于直线对称，在上单调递减，在上单调递增，，由题意可设的值域为（），进而分析求解即可. 【详解】因为函数的图象关于轴对称， 且时，函数单调递增， 则的图象关于直线对称， 且在上单调递减，在上单调递增， 又. 由题意，已知是定义在上的奇函数， 显然不是常值函数（否则是常值函数，与题意不符）， 可设的值域为（）， 若在上的值域为,即在. 为保证能取到，则，所以. 则和中较大的值为，即. 因为，所以，则. 因此，解得或（舍去），故. 所以的值域为． 故答案为：. 2．（期中真题汇编，安徽）已知奇函数的定义域为，且． (1)求的解析式； (2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，若存在，求的最大值； (3)若，函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)2. (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质建立关于a，b的方程组，解之即可求解； （2）根据函数的对称性可知的图象关于点对称，进而，求得，结合基本不等式计算可得，即可求解； （3）根据不等式的性质可得，由（1），结合函数的单调性可得，进而的方程有两个互异实根，利用换元法（）可知关于的方程有两个互异正根，结合根的判别式计算即可求解. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 由可得， 因为，所以， 即，验证知是奇函数，符合题意. （2）把区间等分成份， 则等分点的横坐标为， 又为奇函数， 所以的图象关于点对称， 所以， 所以 因为， 当且仅当即时，等号成立. 由，得. 又，所以的最大值为2. （3）因为，所以，所以， 由，得，所以， 由（1）知，函数为上的增函数. 因为函数在区间上的值域是， 所以，即， 所以关于的方程有两个互异实根. 令，所以关于的方程有两个互异正根， 所以，解得， 所以. 3．（期中真题汇编，江西）已知奇函数的定义域为.当时，. (1)求的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明：在区间上单调递减； (3)设，若函数在区间上的值域也为，求的值. 【答案】(1) (2) 设， ， 因为，所以，又因为，所以， 所以，所以，即， 所以，所以在上单调递减； 当时，，所以， 所以； 综上所述：在区间上单调递减； (3)或 【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可； （2）根据函数的单调性的定义进行证明即可. （3）利用二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，求得的值域，进而可知，进而可得值域不连续，计算可知，进而计算可得结论. 【详解】（1）设，则。 。 因为是上的奇函数，所以， 所以； 当时，可得，解得； 综上所述：； （2）略 （3）当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当，函数值域为，所以， 令，则， 即，值域为， 又， 所以时，可得函数在区间上的值域也为， 若时，存在，使得函数在区间上的值域也为， 则有，即，解得或（舍去）， 结合函数的对称性，可知在区间上的值域为， 所以或. 4．（期中真题汇编，江西）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意得，化简可求出的值； （2）对两函数变形得，，再根据的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，然后根据指数函数的性质可求出的值域； （3）令，由其在上递增，结合题意可得，则将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，得， 所以，，得； （2）由（1）得， ， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以函数的值域为； （3）由（1）得， 令， 因为在上递增，所以在上递减， 所以在上递增， 因为函数在上的值域为， 所以， 所以， 因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以，解得， 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，考查函数图象平移问题，第（3）问解题的关键是根据函数的单调性结合题意将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. $