精品解析：福建省厦门第一中学2026-2027学年上学期10月随堂评估练习八年级数学试卷

福建省厦门第一中学2026—2027学年（上） 10月随堂评估练习 初二年数学试卷 2026.10 考生注意：所有答案都必须写在答题卡指定的框内位置，答在框外一律不得分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 城市LOGO是一座城市的名片，它可以是山河图腾的浓缩，也可以是地标文化的符号．以下是我国四个城市的LOGO图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下面是某同学的折纸示意图，则是中线的图形是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 以上都不是 5. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 6. 综合实践课上，小莹先画出了，然后用尺规按如下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E、F； ②以点F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； ③作射线． 她通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 把一张正方形纸片按如图方式对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 角平分线上的点到_________________距离相等 12. 如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，则的度数为___________． 13. “等腰三角形是轴对称图形”请写出它的逆命题：___________________________________． 14. 如图，在中，若，，，则______． 15. 如图，在中，点D为的中点，点E是下方一点，连接平分，，若，，则的长为__________． 16. 如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则_______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，，平分，求证：． 18. 在古希腊，尺规作图（仅使用无刻度的直尺和圆规）被视为几何学的至高准则，它源于柏拉图学派对“纯粹”与“精确”的追求．欧几里得在《几何原本》中系统总结并严格规定了这一方法，使所有作图步骤都必须基于基本事实与已证定理．如图，已知，．请用尺规作图法在边上求作点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，等腰三角形中，，，，若，求证：是中点． 20. 命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题． 已知：如图，，______． 求证：______． 证明： 21. 在直角坐标系内的位置如图． （1）分别写出A、B点的坐标； （2）请在这个坐标系内画出了，使与关于x轴对称． （3）若与关于y轴对称，请写出点和点的坐标． 22. 如图，在中， 是上的一点，连接，作交于点， 交于点，且平分，连接． （1）证明： 垂直平分． （2）若面积为，．求的周长． 23. 如图，中，点D在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，且，求的面积． 24. 【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． （1）【灵活运用】的取值范围是_______________________； （2）【问题拓展】如图3，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 25. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2026—2027学年（上） 10月随堂评估练习 初二年数学试卷 2026.10 考生注意：所有答案都必须写在答题卡指定的框内位置，答在框外一律不得分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 城市LOGO是一座城市的名片，它可以是山河图腾的浓缩，也可以是地标文化的符号．以下是我国四个城市的LOGO图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可． 【详解】解：A．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该文字上方的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质找出对应角即可作答． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ∴， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系点对称的性质求解，关于x轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特征，点关于x轴的对称点的坐标是． 4. 如图，下面是某同学的折纸示意图，则是中线的图形是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 以上都不是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，根据三角形中线的定义可得，再根据三位同学折纸方法和折叠的性质判断即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，只有丙同学的折叠图中，即是中线， 故选：C． 5. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【详解】解：，， ， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质． 6. 综合实践课上，小莹先画出了，然后用尺规按如下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E、F； ②以点F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； ③作射线． 她通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定方法，根据作图步骤得到，结合，得到即可． 【详解】解：由作图可知：， 又∵， ∴ ∴判定的依据是． 故选：A． 7. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：A． 8. 把一张正方形纸片按如图方式对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形，在靠近直角三角形直角顶点位置剪去一个圆，则直角顶点处完好，展开后四个圆关于对角线对称，且都靠近正方形的中心，据此即可得到答案． 【详解】解：由折叠方法可知展开后四个圆关于对角线对称，且都靠近正方形的中心， ∴只有C选项符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了图形的折叠和动手操作能力，对此类问题，在不容易想象的情况下，动手操作不失为一种解决问题的有效方法． 9. 如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作，证明，得到，再证明，得到，进而求出的长，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴剩余木板（阴影部分）的面积为 ； 故选B． 10. 如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 角平分线上的点到_________________距离相等 【答案】角两边的 【解析】 【详解】角平分线上的点到角两边的距离相等. 故答案为角两边的. 12. 如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，则的度数为___________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质可得即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴， ∴， 故答案为：． 13. “等腰三角形是轴对称图形”请写出它的逆命题：___________________________________． 【答案】轴对称图形是等腰三角形 【解析】 【详解】解：“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是轴对称图形是等腰三角形． 14. 如图，在中，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． 15. 如图，在中，点D为的中点，点E是下方一点，连接平分，，若，，则的长为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】连接并延长，交于点F，延长到点G，使，连接，证明，得出，再证明，得出，进而得出，即可求出结论． 【详解】解：连接并延长，交于点F， ， ， ∵点D为的中点， ， 在和中， ， ， ， 延长到点G，使，连接， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 16. 如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形判定和性质等．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再证明，继而得到后计算即可． 【详解】解：连接， ， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，，平分，求证：． 【答案】 证明：平分 在和中， ， 【解析】 【分析】首先根据角平分线的定义得到再利用定理便可证明其全等． 【详解】略 【点睛】判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 18. 在古希腊，尺规作图（仅使用无刻度的直尺和圆规）被视为几何学的至高准则，它源于柏拉图学派对“纯粹”与“精确”的追求．欧几里得在《几何原本》中系统总结并严格规定了这一方法，使所有作图步骤都必须基于基本事实与已证定理．如图，已知，．请用尺规作图法在边上求作点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：根据题意，作图如下： 则点P即为所求． 【解析】 【分析】根据同角的余角相等，只需过点A作于点P，即可得解． 【详解】解：根据基本作图，已知，得， 故，作图略． 19. 如图，等腰三角形中，，，，若，求证：是中点． 【答案】 证明：如图，连接， ∵，，， ∴平分， ∵在等腰三角形中，， ∴是中点（等腰三角形的三线合一）． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．连接，先根据角平分线的判定定理可得平分，再根据等腰三角形的三线合一即可得证． 【详解】略 20. 命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题． 已知：如图，，______． 求证：______． 证明： 【答案】和分别平分和，， 证明：， ． 分别是和的角平分线， ， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，命题的题设和结论，掌握相关知识是解决问题的关键．由可证，进而得出，可证． 【详解】略 21. 在直角坐标系内的位置如图． （1）分别写出A、B点的坐标； （2）请在这个坐标系内画出了，使与关于x轴对称． （3）若与关于y轴对称，请写出点和点的坐标． 【答案】（1）， （2） 如图所示： （3），． 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，平面直角坐标系，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系即可确定点的坐标； （2）根据关于轴对称的点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可确定点和点的坐标； （3）根据关于轴对称的点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”即可确定点和点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，在中， 是上的一点，连接，作交于点， 交于点，且平分，连接． （1）证明： 垂直平分． （2）若面积为，．求的周长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴点和点 在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线的性质和判定，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定得到，进而得到，，根据垂直平分线的判定方法可证明结论； （2）首先根据三角形全等的性质证明，再利用面积法求出，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得， ∴，， ， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 23. 如图，中，点D在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：过E点分别作于M，于N， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过E点作，，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）根据和三角形的面积公式列方程求得，即可求的面积． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解： ，， 即， 解得， ， 24. 【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． （1）【灵活运用】的取值范围是_______________________； （2）【问题拓展】如图3，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：线段与的关系为：且．理由如下： 过点C作于点． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵ ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，得到，利用三角形三边关系定理解答即可． （2）过点C作于点．证明，根据三角形全等的性质，解答即可． 【小问1详解】 解：如图2，延长到点E,使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵, ∴， ∵，， ∴ 故． 【小问2详解】 解：略． 25. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）不成立，；（3）或或 【解析】 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：； （2）结论不成立，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $