精品解析：福建省福州则徐中学2026-2027学年第一学期九年级数学10月学情自测

2026~2027学年第一学期初三数学适应性练习（一） （满分150分，时间120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程的两个根互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 7. 某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 9. 二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数的图象经过四个象限，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若二次函数的图象开口向上，则a的取值范围是___________． 12. 一元二次方程的根是______． 13. 方程的两根分别为，则______． 14. 已知点都在抛物线 上，则 的大小关系为___________． 15. 廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 16. 二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 19. 一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长多1，比另一直角边的长多2，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ 20. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）当时，相应函数值的取值范围是________． 21. 已知抛物线的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）经过怎样的平移可得到二次函数． 22. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． （1）如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； （2）如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 23. 某标准篮球场中，篮筐中心A到地面的距离米．小明在篮筐正前方，且与篮筐中心水平距离为4.5米的点C处练习投篮，基本上能保持篮球被投出时，球心位于点C正上方的点D处，且米．在某一次投篮中，篮球抛出后，当球心与点C的水平距离米时，篮球到达最高点F，此时球心到地面的距离米，且点B，C，E在同一条直线上．以所在直线为x轴，取向右为正方向． （1）补全平面直角坐标系（其中，y轴取向上为正方向），并求在该坐标系下篮球球心运动轨迹对应的抛物线的解析式； （2）投篮时，若篮球在入筐过程中未与篮筐和篮板任何部位发生接触，且其球心的运动轨迹恰好经过篮筐中心A，则称此次投篮为一次“完美进球”．通过计算判断小明此次投篮是否为“完美进球”． 24. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 25. 如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期初三数学适应性练习（一） （满分150分，时间120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次函数可化为顶点式， ∴顶点坐标为． 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 4. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5. 如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，底面长方形的长为，宽为， ∵要使长方体盒子的底面积为， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和宽是解题的关键． 6. 下列一元二次方程的两个根互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法解题即可． 【详解】解：A：， ， ∴，；故该选项符合题意； B：， ， ∴，；故该选项不合题意； C：， ∴，；故该选项不合题意； D：， ， ∴；故该选项不合题意． 7. 某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用该种药品经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 8. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误， 设、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，故选项C正确，选项D错误， ∴两根的符号相反，故选项B错误， 故选：C． 9. 二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，利用函数值的符号变化锁定根的位置是解题关键． 对于开口向上的连续二次函数，当函数值由负变正时，对应区间内必有方程的一个根，据此对选项进行判断． 【详解】解：据表可知，当时，， 当时，， ∵，二次函数图象是连续的抛物线且开口向上， ∴在这个区间内，函数值由负变正，即存在使得， ∴方程的一个根的取值范围为． 故选：． 10. 若二次函数的图象经过四个象限，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及一元二次方程根与系数的关系，将“图象经过四个象限”转化为“方程有两个异号实根”是解题的关键． 二次函数图象经过四个象限，则必须与轴有两个交点且分别位于原点两侧，即方程有两异号实根，故根的积，从而得． 【详解】解：∵二次函数图象经过四个象限， ∴方程有两个实根、，且两根异号，即， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若二次函数的图象开口向上，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系．根据开口向上的二次函数的解析式中二次项系数为正数进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 故答案为：． 12. 一元二次方程的根是______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】方程已因式分解为两个一次式乘积等于0的形式，利用“若两个数乘积为0，则至少其中一个数为0”即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ， ∴ ，． 13. 方程的两根分别为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之积，也可先求解方程得到两根再计算乘积． 【详解】解：方法一：利用根与系数的关系， ∵方程中，， ∴， 方法二：先解方程再计算， ， ， ∴， ∴． 14. 已知点都在抛物线 上，则 的大小关系为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别将、、代入函数表达式计算，再比较函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故 15. 廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【详解】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 16. 二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】二次函数开口方向不确定，分和两种情况讨论，根据对称轴位置确定区间内最小值的位置，列方程求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，且在区间内， 分两种情况讨论：当时，抛物线开口向上， ∴在对称轴处取得最小值， ∵最小值为， ∴将，代入函数得，解得； 当时，抛物线开口向下， ∴顶点处取得最大值，最小值出现在区间端点，需计算两个端点的函数值， 当时，，当时，， ∵， ∴，即最小值为， 由题意得， 解得； 综上，的值为或． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．熟练掌握根的判别式的应用是解决此题的关键， 根据方程有两个不相等的实数根得到，进而求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为． 19. 一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长多1，比另一直角边的长多2，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ 【答案】 存在，有1个 【解析】 【详解】设斜边长为正整数，根据勾股定理列一元二次方程，求解后结合边长为正的条件筛选有效解，即可得到符合条件的三角形个数. 【点睛】解：设斜边长为（为正整数），则两直角边长分别为，， 由勾股定理得：  ， 整理得： ， 因式分解得：， 解得，， ∵三角形边长为正整数， ∴，即， ∴不符合题意，舍去， ∴，此时三边长为3，4，5，均符合条件， 综上所述，这样的直角三角形存在，且有1个. 20. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）当时，相应函数值的取值范围是________． 【答案】（1），直线 （2）所画函数图象如图所示 （3） 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴； （2）先求出5个点的坐标，再描点、连线，即可得到抛物线的图象； （3）根据（2）中函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； 【小问2详解】 解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． 【小问3详解】 解：当时，由图象可得：． 21. 已知抛物线的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）经过怎样的平移可得到二次函数． 【答案】（1） （2）将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将一般式化为顶点式，根据平移规则进行判断即可. 【小问1详解】 解：把点代入，得， 解得， 该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， 的顶点坐标是 的顶点坐标是， 将点向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到 将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数． 22. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． （1）如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； （2）如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：设，，则． ∵， ∴， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解。 ∵线段的长度不能为负数， ∴， ∴， ∴黄金比为． （2） 如图，点P即为的黄金分割点． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）代入数据，再解一元二次方程即可； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某标准篮球场中，篮筐中心A到地面的距离米．小明在篮筐正前方，且与篮筐中心水平距离为4.5米的点C处练习投篮，基本上能保持篮球被投出时，球心位于点C正上方的点D处，且米．在某一次投篮中，篮球抛出后，当球心与点C的水平距离米时，篮球到达最高点F，此时球心到地面的距离米，且点B，C，E在同一条直线上．以所在直线为x轴，取向右为正方向． （1）补全平面直角坐标系（其中，y轴取向上为正方向），并求在该坐标系下篮球球心运动轨迹对应的抛物线的解析式； （2）投篮时，若篮球在入筐过程中未与篮筐和篮板任何部位发生接触，且其球心的运动轨迹恰好经过篮筐中心A，则称此次投篮为一次“完美进球”．通过计算判断小明此次投篮是否为“完美进球”． 【答案】（1） （2）小明此次投篮不是“完美进球” 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）以射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，由题意可得该抛物线的顶点坐标为，则设该抛物线的解析式为，再结合题意得出该抛物线经过点．将代入，得，求出的值即可得出结果； （2）由题意可得点A的坐标是．将代入，求出的值，比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示，以射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系． 当球心与点C的水平距离米时，篮球到达最高点F，此时球心到地面的距离米， 该抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， 篮球被投出时，球心位于点C正上方的点D处，且米， 该抛物线经过点． 将代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：小明在篮筐正前方，且与篮筐中心水平距离为4.5米的点C处练习投篮，且篮筐中心A到地面的距离米， ∴点A的坐标是． 将代入，得， ∴该抛物线不经过点A， 故小明此次投篮不是“完美进球”． 24. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】（1）；1 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． 【小问2详解】 解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 25. 如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），当时，S有最大值，最大值为 （3）存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）求出直线的函数解析式，用含t的式子表示出点H、N的坐标，得出，再根据求出S关于t的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可； （3）求出点B坐标，得到的长，再分、M在点A的左侧且，和当M点在点A的右侧，时三种情况，画出图形解答即可求解． 【小问1详解】 解：将和代入得 , 解得, ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为，把和代入得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为，轴，交于点， ∴，, ∴， ∴, ∵, ∴当时，S有最大值，最大值为; 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 把代入得， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点M在点A的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于D，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点Q的纵坐标为， 把代入得， 解得，（不符合，舍去）， ∴点M的横坐标为， ∴； 如图，当M点在点A的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于E，则， 同理可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $