精品解析：数学福建省福州市晋安区福州第三十二中学2024-2025学年上学期九年级12月考试数学试题

福州第三十二中学2024-2025学年第一学期初三数学适应性练习（二） 试卷 （完卷时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 直角三角形 B. 圆 C. 等边三角形 D. 四边形 2. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A 确定性事件 B. 随机事件 C 不可能事件 D. 必然事件 3. 下列函数中，变量是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A=33°，∠B=30°，则∠ACE的大小是（　　　） A. 63° B. 58° C. 54° D. 52° 7. 如图，四边形内接于，，则的度数是（ ） A. 70° B. 110° C. 120° D. 140° 8. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 13. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，该圆锥的侧面积为____． 14. 兴趣学习小组对某品种小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示，通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为______．（精确到0.1） 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 发芽的麦粒数m 91 178 450 900 1820 发芽的频率 0.91 0.89 0.90 0.90 0.91 15. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 16. 函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点．交的图象于点．下结论正确有__________． ①与的面积相等；②与始终相等；③；④四边形面积不变； 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根，满足，求m的值． 19. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图： （1）作出关于坐标原点成中心对称的； （2）作出以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到的． （3）求在（2）的旋转过程中，点旋转到所经过的路程长．（结果保留） 20. 某单位食堂为全体900名职工提供了 A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取了240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图所示： （1）补全条形统计图； （2）依据本次调查的结果，估计全体900名职工中最喜欢 D套餐的人数； （3）现从四名职工（两男两女）中任选两人担任“食品安全监督员”，请用列表法或画树状图法求选中两人为一男一女的概率. 21. 如图，已知的直径为，点在圆周上（异于，），． （1）若，求的长； （2）若是的平分线，求证：直线是的切线． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 23. 是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如其函数图像形状酷似双勾，故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”，，函数图像如下图所示，根据图像对函数的图像和性质进行了探究。 （1）绘制函数图像： 列表：下表是x与y的几组对应值 x … 1 2 3 … y … 2 2 … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将．图像补充完整： （2）观察发现： ①写出函数的一条性质______ ②函数图像与直线有______个交点， 所以对应的方程有______个实数根． （3）分析思考： ①方程的的解为______ ②不等式，x取值范围为______ 24. 如图，是外接圆，于点D，直径交于点E． （1）若，求的度数． （2）求证：． （3）若，求长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，将沿着翻折，使点落在点处． （1）求二次函数的表达式及点的坐标． （2）求直线的表达式． （3）为抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第三十二中学2024-2025学年第一学期初三数学适应性练习（二） 试卷 （完卷时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 直角三角形 B. 圆 C. 等边三角形 D. 四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可. 【详解】∵直角三角形不是中心图形，不符合题意， ∴A选项错误； ∵圆是中心图形，也是轴对称图形，符合题意， ∴B选项正确； ∵等边三角形不是中心图形，是轴对称图形，不符合题意， ∴C选项错误； ∵四边形无法确定其对称性，不符合题意， ∴D选项错误； 故选B. 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟记两种对称图形的定义是解题的关键. 2. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是随机事件． 故选：B． 3. 下列函数中，变量是的反比例函数的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如(为常数， )的函数叫反比例函数．根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、函数是反比例函数，故本选项符合题意； B、函数是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、函数不是反比例函数，故本选项不符合题意； D、函数不是反比例函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：物线的顶点坐标为， 故选：A． 5. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全班的人数，可得出每个同学需送出张相片，再利用全班同学送出的相片的张数=全班的人数×（全班人数），即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班有名学生， 每个同学需送出张相片， 依题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是要明确题意，找准等量关系． 6. 如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A=33°，∠B=30°，则∠ACE的大小是（　　　） A 63° B. 58° C. 54° D. 52° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的外角性质求出，再由绕点C按逆时针方向旋转得到，从而得到，证明，再利用平角为即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴∠ACB=∠DCE， ∴， ∴， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得． 7. 如图，四边形内接于，，则的度数是（ ） A. 70° B. 110° C. 120° D. 140° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理解题． 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠A=110°， ∴∠C=180°110°=70°， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据反比例函数图象所在的象限，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴； 故选D． 9. 如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【详解】解：在正方形中，，， ，，， ， ， 故选：A． 10. 已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，如图所示，由三角形内心性质结合三角形内角和定理得到，再由三角形外心定义，由圆周角定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 是的内心， 是的角平分线、是的角平分线， ，， 在中，，则由三角形内角和定理可知， ， 在中，， 点恰好又是的外心， 由圆周角定理可得， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及三角形内心性质、角平分线定义、三角形内角和定理、三角形外心定义及圆周角定理等知识，熟记三角形内心性质及外心定义是解决问题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 13. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，该圆锥的侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥的侧面积公式：计算即可 【详解】解∶， 故答案为：． 14. 兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示，通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为______．（精确到0.1） 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 发芽的麦粒数m 91 178 450 900 1820 发芽的频率 0.91 0.89 0.90 0.90 0.91 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定于某一个固定值，这个值是概率；据此即可求解． 【详解】解：由题意知，发芽的频率约为0.9，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为0.9； 故答案为：0.9． 15. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 16. 函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点．交的图象于点．下结论正确有__________． ①与的面积相等；②与始终相等；③；④四边形面积不变； 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义以及利用分割图形法求图形面积．设点的坐标为，则，，，．①根据反比例函数系数的几何意义即可得出；②由点的坐标可找出，，由此可得出只有时；③结合点的坐标即可找出，，由此可得出该结论成立；④利用分割图形法求图形面积结合反比例系数的几何意义即可得知该结论成立．问题得解． 【详解】解：设点的坐标为，则，，，． ①，， 与的面积相等，故①正确； ②，， 令，即， 解得：． 当时，，故②不正确； ③，， ， ，故③正确． ④． 四边形的面积大小不会发生变化，故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ， 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m取值范围； （2）若方程的两个根，满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于m的一元二次方程，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：，． 又∵在（1）中求出， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记当时，方程有实数根；（2）根据，，结合，得到关于m的一元二次方程． 19. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图： （1）作出关于坐标原点成中心对称的； （2）作出以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到的． （3）求在（2）的旋转过程中，点旋转到所经过的路程长．（结果保留） 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用中心对称和旋转的性质作图，弧长公式，勾股定理； （1）根据中心对称的定义作图，即可求解； （2）根据旋转的性质作图，即可求解； （3）由旋转的性质得点旋转到所经过路程为的长，再由弧长公式，即可求解； 理解性质及弧长公式，掌握作图的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， 为所求作； 【小问2详解】 解：如图 为所求作； 【小问3详解】 解：如图， 点旋转到所经过路程为的长， ， ， ， 故点旋转到所经过路程为． 20. 某单位食堂为全体900名职工提供了 A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取了240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图所示： （1）补全条形统计图； （2）依据本次调查的结果，估计全体900名职工中最喜欢 D套餐的人数； （3）现从四名职工（两男两女）中任选两人担任“食品安全监督员”，请用列表法或画树状图法求选中两人为一男一女的概率. 【答案】（1）图见解析 （2）90人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查条形和扇形统计图及概率，熟练掌握条形和扇形统计图及概率的求解是解题的关键； （1）用被抽取的职工人数乘以最喜欢A套餐所占百分比，可得其人数，然后再利用抽取的人数减去A、B、D的人数，可得C套餐的人数，进而问题可求解； （2）根据条形统计图可得最喜欢D套餐所占百分比，然后利用总人数乘以百分比即可； （3）利用列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由统计图可知： 最喜欢A套餐的人数为（人）， 最喜欢C套餐的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：由统计图可知： （人）， 答：全体900名职工中最喜欢D套餐的人数为90人． 【小问3详解】 解：由题意可列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 / （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） / （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） / （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） / 由上表可知：共有12种情况，其中选中两人为一男一女的有8种情况，所以选中两人为一男一女的概率为． 21. 如图，已知的直径为，点在圆周上（异于，），． （1）若，求的长； （2）若是的平分线，求证：直线是的切线． 【答案】（1）8 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到是直角三角形后，直接利用勾股定理即可求解； （2）连结，证明，再得到，利用切线的判定即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 为直径， ， ，， ∴根据勾股定理可得：， ∴的长为8． 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ， 是的角平分线， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴直线是的切线． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理、角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定定理等内容，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 23. 是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如其函数图像形状酷似双勾，故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”，，函数图像如下图所示，根据图像对函数的图像和性质进行了探究。 （1）绘制函数图像： 列表：下表是x与y的几组对应值 x … 1 2 3 … y … 2 2 … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将．图像补充完整： （2）观察发现： ①写出函数的一条性质______ ②函数图像与直线有______个交点， 所以对应的方程有______个实数根． （3）分析思考： ①方程的的解为______ ②不等式，x的取值范围为______ 【答案】（1）图象见解析 （2）①关于y轴对称， ②2,2 （3）① ②或 【解析】 【分析】本题主要考查了画函数图象，函数图象的性质，函数与方程，函数与不等式， 对于（1），观察表格，描点，连线可得图象； 对于（2），①根据图象对称性可得答案；②画出图象可得交点个数，再结合函数图象交点个数与该方程的解的关系解答； 对于（3），①求出方程的解，再根据方程的特点可得答案； ②先求出方程的解，再观察图象可得答案. 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：①通过观察图象可得的图象关于y轴对称； 故答案为：关于y轴对称； ②如图所示，函数图象与直线有两个交点，即方程有两个实数根， 故答案为：2，2； 【小问3详解】 解：①∵的解， ∴方程的解是方程的解向右平移1个单位， 即； 故答案为：； ②当时，结合表格，由下图象可得解， ∴不等式的解集是或. 故答案为：或. 24. 如图，是的外接圆，于点D，直径交于点E． （1）若，求的度数． （2）求证：． （3）若，求长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）1 【解析】 【分析】对于（1），根据“直径所对的圆周角是直角”得，即可求出，再根据“同弧所对圆周角相等”得出答案； 对于（2），先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得，再根据“等角的余角相等”可得答案； 对于（3），先根据“等角的余角相等”得，进而得出，根据“等角对等边”得，再设，表示，然后根据勾股定理得，求出解可得，最后根据得出答案． 【小问1详解】 ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 所以的长为1． 【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余等，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，将沿着翻折，使点落在点处． （1）求二次函数表达式及点的坐标． （2）求直线的表达式． （3）为抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为，； （2）； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由得为直角三角形，则点是的中点，求出点，即可求解； （3）当点在直线下方的抛物线上时，则，则点与关于对称轴对称，当点在直线的上方时，设交轴于，则，设，则，在中，由勾股定理得方程，可求出点的坐标，从而求出直线的解析式，与抛物线求交点即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，则或， 即点； 【小问2详解】 解：由点、、的坐标得，，，， 则， 即为直角三角形， 由将沿着翻折，使点落在点处知，点是的中点， 由中点坐标公式得，点， 由、的坐标得，直线的表达式为：； 【小问3详解】 解：当点在直线下方的抛物线上时，则， 点与关于对称轴直线对称， ， 当点在直线的上方时， 设交轴于， 则， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得， ， 直线的解析式为， ， 解得，（舍）， ， 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程的解法等知识，分点在直线的上方和下方两种情形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $