专题01 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版九年级上学期

专题01 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 考点01 根的判别式与含参方程的高阶应用 考点02 韦达定理的灵活变形与求值 考点03 一元二次方程与几何图形、新定义综合 考点01 根的判别式与含参方程的高阶应用 1．关于x的方程，如果方程的两个不相等的实数根的平方和是15，则_________． 2．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根； (2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值． 5．已知实数，，（），且满足，． (1)求证：的值为定值； (2)若，同号，求的取值范围． 考点02 韦达定理的灵活变形与求值 6．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 8．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 9．已知关于的一元二次方程的两根分别为和，求． 10．【回归课本】一元二次方程有两个根，，则可得到一元二次方程根与系数的关系：，． (1)已知关于的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数的取值范围：________； ②是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． (2)利用上式结论解题：已知关于的一元三次方程有三个根，，，求的最小值． 考点03 一元二次方程与几何图形、新定义综合 11．等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 12．任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为36，面积为16，则它的减半矩形的长和宽分别为________ ；原矩形的两边长分别为m和2，若存在另一个矩形是它的“减半矩形”，则m满足的取值范围是__________． 13．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 14．已知抛物线（a为常数）经过点 ，过点作两条直线、分别交抛物线于点A、B和C、D，如图所示（点A、C在y轴左侧）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点 、，求的值； (3)当直线垂直于y轴时，若四边形 的面积为，求的解析式． 15．综合与实践 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为． 【特例感知】 （1）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______； 【类比探究】 （2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； 【一般验证】 （3）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 考点01 根的判别式与含参方程的高阶应用 考点02 韦达定理的灵活变形与求值 考点03 一元二次方程与几何图形、新定义综合 考点01 根的判别式与含参方程的高阶应用 1．关于x的方程，如果方程的两个不相等的实数根的平方和是15，则_________． 【答案】或 【分析】先根据方程有两个不相等的实数根得到判别式大于零，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将两根平方和配方变形后得到关于的一元二次方程，求解后结合判别式的范围得到的值． 【详解】解：设方程的两根为，． 由方程有两个不相等的实数根，得． ∵ ∴， 解得． 由题意得， 根据根与系数的关系可得：，． ∴ 即 整理得： 解得，． ，，均满足条件． 2．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m的取值范围，再分和两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个数． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴， ①当时，方程化为，是一元一次方程， ∴方程有1个实数根； ②当时，方程是一元二次方程， 此时， ∵， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程的实数根有1个或2个， 故选：D． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：对于方程， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根； (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，因式分解法解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可； （2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据题意可得，，据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 因式分解得， 即或， ∴， ∵ 方程有一个实数根为负数，且， ∴ ， ∴ ， 故的取值范围为． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根； (2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值． 【答案】(1) 解：关于x的一元二次方程， ， ， 无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根． (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将一元二次方程根的判别式用含有k的式子表示出来，跟0作比较，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，代入，化简得，再根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：关于x的一元二次方程的两根为，， ， ， ， 当时， 有最小值， 此时，解得． 5．已知实数，，（），且满足，． (1)求证：的值为定值； (2)若，同号，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：由，，（）， ∴，为关于的方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， ∴的值为定值； (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键； （1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解； （2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，为关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∵，同号， ∴，解得：． 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 考点02 韦达定理的灵活变形与求值 6．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 7．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系进行求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 8．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 9．已知关于的一元二次方程的两根分别为和，求． 【答案】 【分析】本题是一元二次方程根与系数的关系的有关知识．解答本题的关键是熟知一元二次方程的定义，根与系数的关系完全平方公式变形求值．依据一元二次方程定义解出a的值，a值代入把方程化成最简一般形式，根据根与系数的关系求得，得，即得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原方程为， 化简，得， ∴， ∴， ∴． 10．【回归课本】一元二次方程有两个根，，则可得到一元二次方程根与系数的关系：，． (1)已知关于的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数的取值范围：________； ②是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． (2)利用上式结论解题：已知关于的一元三次方程有三个根，，，求的最小值． 【答案】(1)① ②存在， (2)最小值为 【分析】（1）①一元二次方程有两个实数根，因此判别式，代入系数计算判别式，解不等式求出的取值范围； ②根据一元二次方程根与系数的关系，化简等式，代入求解的值，最后筛选出符合条件的k值． （2）根据一元三次方程根与系数的关系，求出、以及的值，然后对所求式子变形，用上述计算出的式子来表示，代入化简为二次函数后，配成顶点式来求最小值． 【详解】（1）解：①∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得． ②∵，是方程两个实数根， ∴，． ∴， 整理得，解得，． 又∵， ∴． （2）一元三次方程中，，，，， 有三个根，，， ∴，，． ∴， 代入上述的值：原式． 配方：， ∵， ∴当时，原式取得最小值． 考点03 一元二次方程与几何图形、新定义综合 11．等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 【答案】或 【分析】当底边长为4时，则腰长为方程的两个根，利用判别式得到m的值,再求出方程的解，然后运用三角形的三边关系加以判断即可；当腰长为4，则将代入方程求解，然后根据三角形三边的关系加以判断即可． 【详解】解：∵方程， ∴方程， 当底边长为4时，则腰长为方程的两个根， ∴，解得； 方程可化为，解得， ∵， ∴4、3、3符合三角形三边的关系． 当腰长为4，则为方程的一个根， ∴，解得， 方程可化为，解得， ∵， ∴2、4、4符合三角形三边的关系． 综上，m的值为或． 12．任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为36，面积为16，则它的减半矩形的长和宽分别为________ ；原矩形的两边长分别为m和2，若存在另一个矩形是它的“减半矩形”，则m满足的取值范围是__________． 【答案】 8，1 或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．第一问：原矩形周长为36，面积为16，减半矩形周长为18，面积为8．设减半矩形长和宽为x和y，则，解方程组即可求解；第二问：原矩形长m、宽2，周长，面积．则减半矩形周长，面积m．设减半矩形长p、宽q，则．根据根与系数的关系，p和q是方程的两个根，由判别式且，解不等式得m的取值范围． 【详解】解：第一问： 原矩形周长36，面积16，减半矩形周长18，面积8． 设减半矩形长x、宽y，则 ， 整理得方程，得或， 当时，；当时，； 故长和宽为8和1； 第二问：原矩形的两边长分别为m和2，周长，面积． 则减半矩形周长，面积m． 设减半矩形长p、宽q，则 ，即， ∴p和q是方程的两个根． 则判别式， 即． 解方程， 得． 由于，故或． 故答案为：或． 13．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) 证明：关于x的一元二次方程， 这里，，， ， 无论k取何值，这个方程总有实数根． (2)这个等腰三角形的周长为21或18 【分析】本题考查了一元二次方程和等腰三角形，掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质和三角形成立的条件等知识点是解决本题的关键． （1）先计算根的判别式，再利用完全平方式的非负性得结论； （2）先求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质确定k，最后求出三角形的周长． 【详解】（1）略 （2）解：当等腰三角形的腰长为8时，则方程的一个根为8， 将代入方程，得， 解得， 将代入方程，得， 解得，， 所以这个等腰三角形的周长为：， 当等腰三角形的底长为8时，则方程有两个相等的实数根， 所以，即， 所以方程为，解得， 所以这个等腰三角形的周长为：， 综上所述，这个等腰三角形的周长为21或18． 14．已知抛物线（a为常数）经过点 ，过点作两条直线、分别交抛物线于点A、B和C、D，如图所示（点A、C在y轴左侧）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点 、，求的值； (3)当直线垂直于y轴时，若四边形 的面积为，求的解析式． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线为，联立方程组得，进而得，再由，即可求解； （3）把代入求得，，设直线的解析式为，联立方程组求得，，再根据得，，再利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵点过直线， 设直线为， 联立方程组得， 消去y整理得：， ∴， ∴； （3）解：∵轴，直线与抛物线交于点A、B， 把代入得，， 解得，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 联立方程组得， 消去y整理得， 解这个方程得，， ∴，， 由得，， 整理得， 解得：或（舍去）， ∴， ∴的解析式为或． 15．综合与实践 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为． 【特例感知】 （1）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______； 【类比探究】 （2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； 【一般验证】 （3）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 【答案】（1）12，2 （2）不存在， 理由：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴方程组无解， ∴不存在； （3）设其2倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程有解， 又，， ∴方程有正数解， ∴方程组有正数解， ∴无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根与系数的关系等知识，解题的关键是： （1）设其2倍矩形长为，宽为，根据“2倍矩形”定义列出方程组，然后解方程组即可； （2）设其倍矩形长为，宽为，根据“倍矩形”定义列出方程组，将二元方程组转化为一元二次方程，然后判断即可； （3）设其2倍矩形长为，宽为，根据“2倍矩形”定义列出方程组，然后解方程组，将二元方程组转化为一元二次方程，然后判断即可． 【详解】解：（1）设其2倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为12，2； （2）不存在， 理由：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴方程组无解， ∴不存在； （3）设其2倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程有解， 又，， ∴方程有正数解， ∴方程组有正数解， ∴无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $