专题02 二次函数与几何图形综合（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版九年级上学期

专题02 二次函数与几何图形综合 考点01 二次函数综合之线段周长问题 考点02 二次函数综合之面积问题 考点03 二次函数综合之角度问题 考点04 二次函数综合之特殊三角形问题 考点05 二次函数综合之特殊四边形问题 考点01 二次函数综合之线段周长问题 1．已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点 (1)当时，求此抛物线顶点的坐标； (2)当时，若的面积为4，求此抛物线的解析式； (3)将抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位；得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有 ，直按写出的值和四边形周长的最小值． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，点C在y轴的负半轴上，且，D是线段上的动点（点D不与点B，C重合）．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将沿x轴翻折得到，当点E恰在抛物线上时，求点D的坐标； (3)如图2，G是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交x轴于点C，P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作，垂足为D，轴，交于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的周长取得最大值时，求点P的坐标和周长的最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，，直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)当点在线段上时，求的最大值； (3)设点，到直线的距离分别为，，当时，对应的值有________个． 5．如图1，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点，顶点的坐标是．经过点的直线交轴于点，，与抛物线交于另外一点，连接，点是直线上的一个动点，连接． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求的和的最小值； (3)如图2，作的平分线交抛物线于点，连接，试判断的形状，并说明理由． 考点02 二次函数综合之面积问题 6．如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，抛物线经过，，三点，顶点为．    (1)点的坐标________，点的坐标________ (2)求抛物线的解析式及点，的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上，且其中有两个顶点在线段上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由． 9．抛物线与x轴正半轴交于A点，与y轴交于B点，抛物线也经过A，B两点． (1)抛物线的表达式； (2)如图1，点M是抛物线上的一点，且位于直线的下方，过M作，交直线于点D，连接，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线，在A，B两点之间的部分形成一个封闭曲线，试证明该封闭曲线所围成的面积大于8． 10．已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 考点03 二次函数综合之角度问题 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线上的一点（不与点重合），设点的横坐标为，连接． ①若点在第一象限，且，求点的坐标． ②若点在的下方，求点到的最大距离，并写出点的坐标． 12．抛物线：交轴于两点（在的左边），交轴于点，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)如图（1），点是抛物线第一象限上一点，过点作，交于点，连接．若，求点的坐标； (3)如图（2），将抛物线向左平移得到抛物线，使其顶点在轴上，直线和分别交抛物线于点，直线和分别交轴于点，．若是关于的一元二次方程的两个实数根，探究与的数量关系． 13．如图1，抛物线与直线交于两点，． (1)求抛物线与直线的函数表达式； (2)将直线沿着轴向上平移个单位，与轴、轴分别交于点，．直线对应的函数表达式记作．若有且仅有唯一的的值，使得，求的值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 15．定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 考点04 二次函数综合之特殊三角形问题 16．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，是抛物线上一动点，设点横坐标为． (1)填空： ______，点坐标为（____，____）． (2)若点是第一象限内抛物线上的点，过点作轴交直线于． ①用含的代数式表示线段的长． ②过点作轴于，连接，若平分，求的值． (3)直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），当为锐角三角形时，求的取值范围． 17．如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线与轴交于两点、与轴交于点，这条抛物线的顶点为． (1)求这条抛物线的解析式； (2)为线段上一点，过点向轴引垂线，垂足为．若点在线段上运动（点不与点B、M重合），设的长为，四边形的面积为．求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 20．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 考点05 二次函数综合之特殊四边形问题 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 22．如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与关于原点对称，设抛物线的顶点为M，抛物线与x轴分别交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形的面积为S．若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形的面积S与运动时间之间的关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当t为何值时，四边形的面积S有最大值，并求出此最大值； (4)在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，点为抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)若此抛物线在点右侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为时，求的值； (3)已知点，点，以为邻边作．当抛物线在▱内部的图象的函数值随的增大而减小，且抛物线与的边交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 25．已知抛物线经过点，与轴交于点，顶点在直线上． (1)如图1，若点的坐标为，点的横坐标为． ①试确定抛物线的解析式． ②若当时，的最小值为，最大值为，请求出的取值范围． ③已知：点在抛物线上，点的坐标为，且，请直接写出符合题意的点的坐标． (2)如图2，若点在第一象限，且，过点作轴于点，将抛物线平移，平移后的抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，试探究四边形的形状，并说明理由． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与几何图形综合 考点01 二次函数综合之线段周长问题 考点02 二次函数综合之面积问题 考点03 二次函数综合之角度问题 考点04 二次函数综合之特殊三角形问题 考点05 二次函数综合之特殊四边形问题 考点01 二次函数综合之线段周长问题 1．已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点 (1)当时，求此抛物线顶点的坐标； (2)当时，若的面积为4，求此抛物线的解析式； (3)将抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位；得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有 ，直按写出的值和四边形周长的最小值． 【答案】(1) 顶点的坐标为 (2) 抛物线的解析式为 (3) 的值为，四边形周长的最小值为 【分析】（1）先由抛物线过点求出的值，再将代入解析式，配方得到顶点坐标． （2）先写出顶点的坐标，利用割补法表示的面积，结合面积为和的条件求，进而得到抛物线解析式． （3）先根据平移规律得到点、的坐标，利用轴对称性质找到周长最小时点、的位置，结合的条件求出的值，再计算周长的最小值． 【详解】（1）解：∵（为常数，）过点， ∴， ∴， 当时，抛物线， ∴此抛物线顶点的坐标为； （2）解：由（1）可知，， ∵抛物线， ∴此抛物线顶点的坐标为， 设直线的表达式为，代入点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， 过点作轴交直线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此抛物线的解析式为：； （3）解：∵原抛物线顶点的坐标为， 将抛物线向左平移个单位，向下平移个单位， ∴新顶点的坐标为，即． ∵抛物线，向左平移个单位，向下平移个单位， ∴新抛物线的解析式为， 令，得， ∴． ∵的长度为定值， ∴四边形的周长最小等价于最小． 作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点， 由对称性质得，， ∴， 当且仅当、、、四点共线时，等号成立，此时四边形周长最小． 由对称性质可得： 的坐标为， 的坐标为． 此时在直线上， ∵， ∴． 过点作轴，过点作轴，交于点， 则， 则，，． 过点作轴，过点作轴，交于点， 则， 则，，． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 当时， ， ， ∴四边形周长的最小值为． 综上所述，的值为，四边形周长的最小值为． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，点C在y轴的负半轴上，且，D是线段上的动点（点D不与点B，C重合）．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将沿x轴翻折得到，当点E恰在抛物线上时，求点D的坐标； (3)如图2，G是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的表达式，再设点D的坐标为，则点，代入求解得到，据此计算即可求解； （3）过点C作轴且，得到，推出，当A，D，三点共线时，有最小值为的长度，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得． 解得． ∴抛物线的表达式为； （2）解：由得，点B的坐标为， ， 点C的坐标为， 设直线的表达式， 将代入，得， 将代入，得， ， 直线的表达式， 设点D的坐标为，则点E的坐标为， 将点代入， 得， 解得，（舍去）， 点D的坐标为； （3）解：如图，过点C作轴且，连接，，    轴， ， ，， ， ， ， 当A，D，三点共线时， 有最小值为的长度， 在中， ，， ， 点的坐标为， 又 ， ． 即的最小值为． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交x轴于点C，P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作，垂足为D，轴，交于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的周长取得最大值时，求点P的坐标和周长的最大值． 【答案】(1) (2)，最大值为 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式，即可解决问题； （2）求出直线的函数表达式，进而得到，设，根据轴可知P、E纵坐标相等，求出E点坐标，进而求出，证明，求出的周长，令的周长为l，根据相似三角形周长比等于线段比得到，进而得到l的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的函数表达式为， ∵，， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，得， 解得，， ∴， 设，其中， ∵点E在直线上， ∴设 ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为， 令的周长为l， 则 ， ∵， ∴当时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 当时，， ∴此时点P的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，，直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)当点在线段上时，求的最大值； (3)设点，到直线的距离分别为，，当时，对应的值有________个． 【答案】(1)， (2) (3)2 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得图象的解析式为，结合题意得出，，从而可得，最后由二次函数的性质即可得出结果； （3）作于点，于点，设交于点，求出直线的解析式为，从而可得、均为等腰直角三角形，由题意可得，，则，，求出，结合题意可得，从而可得，由（2）可得，当时，的值最大，最大值为，结合图象即可得出结果． 【详解】（1）解：在二次函数中，当时，，即， 当时，，解得，， ∴，， ∵二次函数的图象（记为）经过点，， ∴， 解得：，； （2）解：由（1）可得图象的解析式为， ∵直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：如图：作于点，于点，设交于点， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴、均为等腰直角三角形， 由题意可得：，， ∴，， 由题意可得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得，当时，的值最大，最大值为， ∵， ∴结合图象可得，当或时，共2个t值，满足， 故对应的值有2个． 5．如图1，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点，顶点的坐标是．经过点的直线交轴于点，，与抛物线交于另外一点，连接，点是直线上的一个动点，连接． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求的和的最小值； (3)如图2，作的平分线交抛物线于点，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2) (3) 解：是直角三角形，理由如下： 如图，设与轴交于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 又∵，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可得；再求出点的坐标，利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）作点关于直线的对称点，交直线于点，连接，则，根据两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，再求出点的坐标，利用两点之间的距离公式求解即可得； （3）设与轴交于点，过点作于点，先求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用勾股定理的逆定理求解即可得． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 将代入得：，解得或， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：联立，解得或， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 如图，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴，即， 设点的坐标为， ∴，解得， ∴， ∵顶点的坐标是， ∴， 由轴对称的性质可知，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∴的和的最小值为． （3）略 考点02 二次函数综合之面积问题 6．如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 7．如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，抛物线经过，，三点，顶点为．    (1)点的坐标________，点的坐标________ (2)求抛物线的解析式及点，的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上，且其中有两个顶点在线段上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为；顶点的坐标为． (3)能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为 【分析】（1） 令一次函数的求与轴交点，令求与轴交点； （2） 将、坐标代入抛物线解析式，求出、，再令求点坐标，用顶点坐标公式或配方法求顶点坐标； （3） 设矩形的一边长，利用相似三角形表示另一边长，建立面积的二次函数表达式，求其最大值． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， 解得， 所以点的坐标为； 当时，， 所以点的坐标为 故答案为：； （2）解：将，代入，得， 解得， 所以抛物线解析式为． 令，则， 即， 解得，， 因为点在轴正半轴上， 所以点的坐标为． ， 所以顶点的坐标为． （3）解：能截出面积最大的矩形． 设矩形中，、在上，在上，在上，矩形的高为， 直线的解析式：设为， 将，代入，得，解得， 所以； 直线的解析式为． 当时，在中，，在中，， 所以矩形的长为， 矩形面积， ， 当时，有最大值，． 答：能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为 9．抛物线与x轴正半轴交于A点，与y轴交于B点，抛物线也经过A，B两点． (1)抛物线的表达式； (2)如图1，点M是抛物线上的一点，且位于直线的下方，过M作，交直线于点D，连接，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线，在A，B两点之间的部分形成一个封闭曲线，试证明该封闭曲线所围成的面积大于8． 【答案】(1) (2)面积的最大值为；此时点M的坐标为 (3) 证明：如图所示，过点B作轴交抛物线于点T，设抛物线的顶点为L，抛物线的顶点为T，连接； ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线； 抛物线的对称轴为直线， ∴由对称性可得， ∴轴，，， ∴，，， ∴， 又∵该封闭曲线所围成的面积一定大于， ∴该封闭曲线所围成的面积大于8． 【分析】（1）求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）过点M作轴，交于点N，过点D作于点T，可证明是等腰直角三角形，得到；求出直线的表达式为；设，则，可推出，则可得到，再利用二次函数的性质求解即可； （3）过点B作轴交抛物线于点T，设抛物线的顶点为L，抛物线的顶点为T，连接；可证明，而该封闭曲线所围成的面积一定大于，故该封闭曲线所围成的面积大于8． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， 当时，则，解得或， ∴； ∵抛物线也经过A，B两点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图所示，过点M作轴，交于点N，过点D作于点T， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴； 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∴， ∴点D到的距离为， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时点M的坐标为； （3）略 10．已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①，；② 【分析】（1）把， 代入解析式，再把解析式化为顶点式，即可； （2）①先把原解析式化为，再根据对于任意实数，抛物线G总经过定点，即可求解； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点，求出m的取值范围，再求出直线的解析式，过点P作轴交得延长线于点Q，则点，根据，可得S关于m的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当，时， ， 所以抛物线G的对称轴为直线； （2）解：①， 当时，， ∵对于任意实数，抛物线G总经过定点， ∴， ∴； ②由①得：，，， ∴抛物线的解析式为， ∵点，在抛物线G上，且线段与轴有交点， ∴， 把点，代入得： ， ， ∴，点，， 解得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交的延长线于点Q，则点， ∴， ∴ ∵， ， ， ∵当时，随m的增大而减小， ∴当时， 随m的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 此时， 当时，取得最小值， 此时， ∴S的取值范围为． 考点03 二次函数综合之角度问题 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线上的一点（不与点重合），设点的横坐标为，连接． ①若点在第一象限，且，求点的坐标． ②若点在的下方，求点到的最大距离，并写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为；②最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）根据抛物线与轴交点可直接确定的值，再结合点和对称轴，通过待定系数法列方程组求解、，从而得到抛物线的函数表达式． （2）①先由抛物线表达式求出点的坐标，结合得到，再根据推出，进而求出直线的表达式，最后联立抛物线与直线的方程，求解并舍去不合理解，得到点的坐标． ②先求出直线的表达式，设点的横坐标为，表示出、的坐标，用表示出的长度，再利用三角形面积公式和点到直线的距离公式，将点到的距离转化为关于的二次函数，通过求二次函数的最值，得到最大距离及对应点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 解得 抛物线的函数表达式为. （2）解：①如图1，设与轴交于点． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 点 . 点在第一象限，且， ， 点. 设直线的函数表达式为， 则 解得 直线的函数表达式为. 联立抛物线与直线，得， 解得（舍去），. 将代入，得， 点的坐标为. ②如图2，过点作轴，交于点，连接． 点的横坐标为点． 点， 直线的函数表达式为，且， 点， ，1 ． 设点到的距离为， 则. 当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为. 12．抛物线：交轴于两点（在的左边），交轴于点，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)如图（1），点是抛物线第一象限上一点，过点作，交于点，连接．若，求点的坐标； (3)如图（2），将抛物线向左平移得到抛物线，使其顶点在轴上，直线和分别交抛物线于点，直线和分别交轴于点，．若是关于的一元二次方程的两个实数根，探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)点的坐标是（2，3） (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的平移、一元二次方程根与系数关系等知识，综合性较强，难度较大， 属于压轴题． （1）分别取和即求出点的坐标； （2）延长，交轴于点，求出．待定系数法求出直线的解析式是．联立抛物线，得：，解方程即可求出答案； （3）抛物线的对称轴是直线，    将向左平移个单位长度后的抛物线的解析式为．联立抛物线解析式和一次函数解析式并利用根与系数关系即可求出答案． 【详解】（1）解： 当时，， ∴， 当时，， 解得：， ∴； （2）如图，延长，交轴于点， ， ， ． 设直线的解析式是，将点坐标代入得到 可得， 直线的解析式是． 联立抛物线，得：， 解得：（舍去）， 即：点的坐标是． （3） ∴抛物线的对称轴是直线，    将向左平移个单位长度后的抛物线的解析式为． 联立直线和抛物线，可得： ． 设两点的横坐标分别为，则， 设两点的横坐标分别为，同理可得：， ． 设直线的解析式为，联立抛物线， 整理可得：，所以； 同理，设直线的解析式为， ，整理：． 和是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 即：． 13．如图1，抛物线与直线交于两点，． (1)求抛物线与直线的函数表达式； (2)将直线沿着轴向上平移个单位，与轴、轴分别交于点，．直线对应的函数表达式记作．若有且仅有唯一的的值，使得，求的值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)4 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将直线沿着轴向上平移个单位，得到，直线对应的函数表达式记作．故，根据有且仅有唯一的的值，使得，得到方程有相等的实数根，利用判别式等于零解答即可； （3）作线段的垂直平分线交于点E，交y轴于点P，连接，则，，，设直线的表达式为，得到表达式为：．在直线上截取，设，确定或；当时，过点F作轴于点N，过点A作轴于点Q，则，解答即可． 本题考查了待定系数法，函数的平移，二次函数的其他综合，熟练掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于两点，， 故，， 故， 故 解得， 故抛物线的表达式为； 故，， 故， 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． （2）解：根据题意，将直线沿着轴向上平移个单位，得到， 又直线对应的函数表达式记作． 故， 又有且仅有唯一的的值，使得， 故方程有两个相等的实数根， 故的判别式等于零， 故， 解得． （3）解：根据题意，得，直线的表达式为：． 设直线与y轴交于点G，交x轴于点H，交x轴于点M， 则，，， ∴， ∴， ∴作线段的垂直平分线交于点E，交y轴于点P，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将，分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 在直线上截取， 设， ∴， 整理，得， 解得或， ∴或； 当时，过点F作轴于点N，过点A作轴于点Q， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故符合题意； 当时，不符合将线段绕点顺时针旋转得到线段，故舍去， 综上所述，存在这样的点F，使得，且． 14．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1) (2)当时，线段有最大值 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式即可得到答案； （2）设点，根据题意，得到抛物线及直线解析式，求出点的坐标，由两点之间距离公式表示出，由抛物线图象与性质求出最值即可得到答案； （3）根据题意，分两种情况，作出图形，由含的直角三角形性质求出长，由待定系数法求直线解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， 设抛物线， 抛物线与轴交于点， ， 解得， 即， 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 由（1）知抛物线的解析式为， 当时，， 即； 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当时，， 即； ， ， 抛物线开口向上，当时，线段有最大值； （3）解： 、， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 由可知，分两种情况， 当点在上方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当点在下方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 解得，则， 设， 将、代入解析式得 ， 解得， ； 综上所述，直线的解析式为或． 15．定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解； （2）设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解； （3）设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得①，②，与③，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴令，即，解得， 令，； ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，即， ∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点， ∴设二次函数解析式为， 将点代入，得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，过点作轴于点， ， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴令，解得，（舍去）， ∴； （3）解：设， ∴，， ∵在抛物线上，在抛物线上， ∴①，②， ∵③， ∴联立①②③，得到，解得，（舍去）， ∴， 如图，过点作轴于点， ∴轴， ∴． 考点04 二次函数综合之特殊三角形问题 16．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，是抛物线上一动点，设点横坐标为． (1)填空： ______，点坐标为（____，____）． (2)若点是第一象限内抛物线上的点，过点作轴交直线于． ①用含的代数式表示线段的长． ②过点作轴于，连接，若平分，求的值． (3)直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），当为锐角三角形时，求的取值范围． 【答案】(1)；，0 (2)①；② (3) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式即可得的值；令，解一元二次方程，即可得出点的坐标； （2）①求出直线解析式，可得、坐标，用点纵坐标减去点纵坐标即可得解； ②作于点，易得，利用相似三角形的判定与性质求出表达式，建立方程求解即可； （3）易得直线经过定点，当时，不是锐角三角形；当时，利用找临界值，即直角三角形，构造三垂直相似，求出坐标，即可得值． 【详解】（1）解：将点代入，得 ，解得， ∴抛物线解析式为． 令，则， 解得，， ． （2）解：①如图，当时，， 设：， 将，代入，得 ，解得， ∴：． ∴． ∴． ②如图，作， 平分，轴， ∴． ∵，， ，， ． ∵轴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， 解得，． ∵， ∴． （3）解：∵， ∴． 可知该直线恒过定点． 当时，如图，点M位于第二象限，点N在B点右侧，为钝角，不是锐角三角形． 当时， 情形1：当时，过作轴，过作于，过作于， 设， ∵，， ∴，， ，． ∵， ∴， ∴， 整理得：， ，解得，． ∵为直线与抛物线右侧交点， ∴，． ∴，解得． 情形2：当时，连接， 同理可得，， ∴由，解得，， ∴． 17．如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． （2）当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 （3）存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 18．如图，抛物线与轴交于两点、与轴交于点，这条抛物线的顶点为． (1)求这条抛物线的解析式； (2)为线段上一点，过点向轴引垂线，垂足为．若点在线段上运动（点不与点B、M重合），设的长为，四边形的面积为．求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在线段BM上存在点N，使为等腰三角形，点N的坐标为：． 【分析】（1）把，代入，求出，的值，即可求出二次函数的解析式． （2）由于四边形不是规则的四边形，因此可将其分成直角三角形和直角梯形两部分进行计算．先求出直线的解析式，然后将代入直线的解析式中即可求出的长，然后根据梯形的面积计算公式即可求出梯形的面积．然后根据四边形的面积计算方法即可得出S，t的函数关系式． （3）可分三种情况进行讨论：①；②；③．可根据直线的解析式设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式表示出各线段的长，根据上面不同的等量关系式可得出不同的方程，经过解方程即可得出N点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由知，顶点， 令，得 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 所以，直线的解析式为 ∵当时，； ； 即 （3）解：存在． 点N在上，设N点坐标为， 则， 或 为等腰三角形，有以下三种可能： ①若，则 解得（舍去）． 则． ②若，则 解得． 舍去． ③若，则 解得 综上所述，在线段BM上存在点N，使为等腰三角形，点N的坐标为：． 19．已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2) 证明：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. (3)或 【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）略 （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 20．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 考点05 二次函数综合之特殊四边形问题 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】(1)； (2)的值最大为，； (3)解：或或，过程如下： 由（2）可知：， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线先向右移动4个单位长度，再向下移动4个单位长度， 故平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，联立，解得， ∴， ∵点N为新抛物线对称轴上一点， ∴设， 由（2）知：， ∴ 当以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况： ①，此时为菱形的对角线， 则，解得或， 设，则， ∴， ∴或，即或； ②当，此时为菱形的对角线， 则，解得； 设，则， ∴， ∴，即； 综上：或或. 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到，延长交轴于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，得到，转化为二次函数求最值即可； （3）先求出平移后的抛物线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，设，分，两种情况，结合菱形的对角线互相平分，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于，， ∴，解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 延长交轴于点，设， ∵轴， ∴，，轴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴ ∴当时，的值最大为，此时； （3）略 22．如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与关于原点对称，设抛物线的顶点为M，抛物线与x轴分别交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形的面积为S．若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形的面积S与运动时间之间的关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当t为何值时，四边形的面积S有最大值，并求出此最大值； (4)在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)时，四边形的面积S有最大值，最大值为 (4)秒 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）先根据抛物线与关于原点对称，求出抛物线的解析式为，进而求出t秒后，，，然后根据求解即可； （3）根据（2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可得出S的最大值及对应的t的值． （4）根据矩形的性质可知：当时，据此可求出t的值． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入，得 解得， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵抛物线与关于原点对称， ∴设抛物线的解析式为即， ∴． 解，得， ∴． t秒后，，． 当A与D重合时，， 解得， ∴．` 过点N作，垂足为H． 当运动到时刻t时，，． 根据中心对称的性质， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴； （3）解：∵ ∴时，四边形的面积S有最大值，最大值为； （4）解：在运动过程中四边形能形成矩形． 由（2）知四边形是平行四边形，对角线是， ∴当时四边形是矩形， ∵， ∴ ∴． 解得，（舍）． ∴在运动过程中四边形可以形成矩形，此时． 23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，点为抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)若此抛物线在点右侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为时，求的值； (3)已知点，点，以为邻边作．当抛物线在▱内部的图象的函数值随的增大而减小，且抛物线与的边交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)m的值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况进行解答即可； （3）根据抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而减小，得到．分两种情况：①与抛物线相交，②与抛物线相交，根据抛物线与的边交点的纵坐标之差为列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去），； 综上所述，m的值为1或． （3）解：∵抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而减小， ∴在对称轴的左侧，即， ∵， ∴， ①当与抛物线相交时，如图3， 则抛物线与交点的纵坐标为， ∵抛物线与的边交点的纵坐标之差为， ∴， 解得：； ②当与抛物线相交时， 设过点，点的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴抛物线与线段的交点为， ∵抛物线与的边交点的纵坐标之差为， ∴ 解得：（，不合题意，舍去）， （，不合题意，舍去）； 综上所述，m的值为． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 25．已知抛物线经过点，与轴交于点，顶点在直线上． (1)如图1，若点的坐标为，点的横坐标为． ①试确定抛物线的解析式． ②若当时，的最小值为，最大值为，请求出的取值范围． ③已知：点在抛物线上，点的坐标为，且，请直接写出符合题意的点的坐标． (2)如图2，若点在第一象限，且，过点作轴于点，将抛物线平移，平移后的抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，试探究四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；②；③点的坐标为或 (2) 四边形是矩形． 理由如下：如图，过点作轴于点， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式可化为， ∴，，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∵平移后的抛物线经过点，， 设平移后的抛物线的解析式为， ∴， 解得：， ∴平移后的抛物线的解析式为， 令，得：， 解得：，， ∴， ∴， 令，得：， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）①先确定直线的解析式，继而得到，再将，代入求解即可； ②点关于对称轴的对称点的坐标为，当时，的最小值为，最大值为，即可求解； ③当点在直线上方时，由，得到直线的表达式为，进而求解；当点在直线下方时，得到直线的表达式为，进而求解； （2）证明，又，得到四边形是平行四边形，进而求解． 【详解】（1）解：①设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵顶点在直线上，点的横坐标为， ∴， ∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②令，解得，， 由（1）知的顶点， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， ∵当时，的最小值为，最大值为， ∴； ③∵抛物线与轴交于点， 当时，得：， ∴， 又∵， ∴轴， 如图，当点在直线上方时， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设交于点，过点作于点， ∵，轴， ∴，轴， ∴是边上的中线，即点为的中点， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∵，直线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （2）略 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $