2026-2027学年人教版九年级数学上学期期中测试卷测.

2026-2027学年人教版九年级数学上学期期中测试卷测·培优卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 测试范围：第25章 一元二次方程~第28章 旋转 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟， 本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，全部是经典习题和高频考题，可量化学生的掌握程度！ 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（湖北十堰市茅箭区十堰二中等校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷）根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 5．（25-26九八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 6．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（     ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y取最大值 C．当时， D．当时， 7．（2026·河南洛阳·三模）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 8.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 9.（2026·安徽亳州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 10.（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，点是等边三角形内部一点，连接、、，且，现将绕点顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中结论正确的是（    ）（选序号）． A．①③． B．①④． C．③④． D．①③④． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________． 12．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是_______． 13．（25-26九年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是______． 14．（2022·陕西咸阳·二模）在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度与水平距离之间的关系如图所示，点B为落地点，且，，羽毛球到达的最高点到y轴的距离为，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为____________． 15．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）距离水面，当水面下降时，水面的宽度为________． 16．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数，）．（1）当时，抛物线的顶点坐标________；（2）设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为，当为等边三角形时，的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分8分）（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）用合适的方法解方程 （1） （2） (3)； (4)． 18．（8分）（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； (1)求的函数解析式；(2)若的面积为8，求m的值． 19．（8分）（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式．(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．(3)当时，则图象对应的函数值的取值范围是_____． 20．（8分）（25-26八年级下·北京·期末）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）；(2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 21．（8分）（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． (1)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ (2)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 22．（8分）（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与y轴交于点，顶点为．(1)请求出点，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 23．（10分）（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． （1）正方形中的“旋转”：如图①，点、点分别是正方形的边、上的点，连接、，若，则之间的数量关系为_____． 问题解决：将绕点顺时针旋转，得到，可证明_____，从而得出结论．请你完成之间的数量关系的证明． （2）如图②，为正方形内一点，且，，，请你确定的度数：_____．小杰同学的思路是：设法将、、相对集中，于是将绕点顺时针旋转得到，连接，确定与的形状分别为：_____，问题得以解决． （3）等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题： 如图③，点是等边三角形内一点，若，请你直接写出：以线段、、的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为_____． 24.（12分）（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测） 【实际情境】某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； 【解决问题】(2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线．①求该平台的高度；②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版九年级数学上学期期中测试卷测·培优卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 测试范围：第25章 一元二次方程~第28章 旋转 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟， 本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，全部是经典习题和高频考题，可量化学生的掌握程度！ 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出，然后整体代入计算即可． 解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象和反比例函数图象经过的象限分别求出一次函数的解析式中k的符号和反比例函数的解析式中k的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，即，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，即，二者不一致，不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，此种情况不成立，不符合题意； C、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，此种情况不成立，不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，即，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，即，二者一致，符合题意； 3．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出平移前的顶点坐标，再根据平移方式可得平移后的顶点坐标． 解：∵平移前抛物线的解析式为， ∴平移前的顶点坐标为， ∵将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的顶点坐标为，即． 4．（湖北十堰市茅箭区十堰二中等校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷）根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ∴方程的一个解的取值范围为． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即， ∵方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， 即此时且； 当方程是一元一次方程时， ，即， 方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 综上，的取值范围是． 6．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（     ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y取最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，，结合图象可知当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，即A选项错误，不符合题意； B．由A知，当时，y有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，或，即选项C错误，不符合题意； D．当时，由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 7．（2026·河南洛阳·三模）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据方程无实数根求出的范围，再判断两个函数图象所在象限，即可得到交点个数． 解：关于的一元二次方程无实数根， ∴， 化简得， 解得， 可知正比例函数的图象经过第二、四象限， 对于反比例函数，， 可得， ∴反比例函数的图象也分布在第二、四象限， 因此两个函数图象共有2个交点． 8.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，作，易得，进而求出的长即可. 解：∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴， ∴，即点A到直线的距离为. 9．（2026·安徽亳州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于D，则四边形为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出，，则四边形的面积． 【详解】解：如图，延长交y轴于D，则四边形为矩形． ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴四边形的面积． 10.（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，点是等边三角形内部一点，连接、、，且，现将绕点顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中结论正确的是__________（填序号）． A．①③． B．①④． C．③④． D．①③④． 【答案】D 【分析】由题意知旋转角，，，可得是等边三角形；，，可知是直角三角形，有；由知，可得与不全等；，，可得；进而可得正确答案． 解：由题意知旋转角，， ∴是等边三角形 ∴ 故①正确； ∵ ∴ ∴与不全等 故②错误； ∵ ∴ ∴是直角三角形 ∴ 故③正确； ∵， ∴ ∴ ∴ 故④正确； 故答案为：①③④． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的逆应用，三角形的内角和定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，根据等腰直角三角形的性质得出的度数，由旋转的性质得出，，结合点在上得出，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， ，， ， 由旋转的性质可知，，， 点落在线段上， ， ， 在中，由勾股定理得． 12．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是_______． 【答案】26 【知识点】三角形三边关系的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：原方程因式分解得， 解得， ∵三角形边长为正数， ∴第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 13．（25-26九年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点B的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 14．（2022·陕西咸阳·二模）在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度与水平距离之间的关系如图所示，点B为落地点，且，，羽毛球到达的最高点到y轴的距离为，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为____________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数)、从函数的图象获取信息、构造二元一次方程组求解 【分析】由题意，设抛物线的顶点式为y=a（x-）2+k，将A，B两点坐标代入求解即可． 【详解】解：∵， 由图可知A（0，1），B（4，0） ∵羽毛球到达的最高点到y轴的距离为 ∴设抛物线的顶点式为y=a（x-）2+k 将A（0，1），B（4，0）代入解析式，得 解得 ∴羽毛球到达最高点时离地面的高度为 【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与坐标轴的交点坐标以及最值问题，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 15．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）距离水面，当水面下降时，水面的宽度为________． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出对应抛物线的解析式，再求出时x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 设该抛物线的解析式为， 由题意得，点在该抛物线上，则， ∴， ∴该抛物线的解析式为， 当时，则，解得， ∴当水面下降时，水面的宽度为． 16．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数，）． （1）当时，抛物线的顶点坐标________； （2）设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为，当为等边三角形时，的值为________． 【答案】 或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、等边三角形的性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）当时，把抛物线的解析式化为顶点式即可得出结果； （2）先求出，，从而可得，求出，从而可得，，最后结合等边三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，， ∴当时，抛物线的顶点坐标； （2）在中，当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 解得或， ∴的值为或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分8分）（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测） 用合适的方法解方程 （1） （2） (3)； (4)． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：由，得，，， ∴， ∴，即 ，． (3)∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得，． 18．（8分）（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，中心对称，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点B的坐标为，得出，根据的面积为8，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴， ∴的函数解析式为； （2）解：∵点A关于原点对称的对称点为C， ∴点C的坐标为， ∵过点A作轴交函数的图象于点B， ∴点B的坐标为， ∴， ∵的面积为8， ∴， 解得：． 19．（8分）（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)当时，则图象对应的函数值的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)二次函数图象的顶点坐标为， 画出函数图象，如图， (3) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，画二次函数的图象． （1）利用待定系数法解答，即可求解. （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，再画图即可. （3）根据二次函数的性质以及当时，图象对应的函数最小值为，最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为. （2）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， （3）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，则图象对应的函数值的取值范围是. 20．（8分）（25-26八年级下·北京·期末）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】(1) (2)或 (3)解：假设该实验田的面积能为240平方米， ∴， ∴， ∴， 方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、整式加减的应用、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）直接根据建造要求计算即可； （2）根据“面积为180平方米”求出x的值，再根据墙长求出x的取值范围，进而可知x的值； （3）假设该实验田的面积能为240平方米，列出方程，根据根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：米； （2）解：由题意得：， 解得：， 又∵， ∴， ∴或； （3）略． 21．（8分）（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． (1)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ (2)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每盒月饼的售价应定为74元； (2)当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据总利润等于每盒利润乘以销量，列出函数关系式，令，求出的值，即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，； 当时， 解得， ∵尽快减少库存， ∴，此时售价为（元）； 答：每盒月饼的售价应定为74元； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下，当时，函数有最大值为； 故当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 22．（8分）（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与y轴交于点，顶点为． (1)请求出点，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1), (2) 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）本题考查二次函数的性质，解题的关键在于求解抛物线与坐标轴的交点坐标． （2）本题考查二次函数的性质以及二次函数最值问题，解题的关键在于通过求解抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点坐标，再利用二次函数的性质来求解线段长度的最大值． 【详解】（1）解：令，得，即， 解得， 点在点的左侧， ， ， 顶点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 将代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：线段长度的最大值为． 23．（10分）（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． （1）正方形中的“旋转”：如图①，点、点分别是正方形的边、上的点，连接、，若，则之间的数量关系为_____． 问题解决：将绕点顺时针旋转，得到，可证明_____，从而得出结论．请你完成之间的数量关系的证明． （2）如图②，为正方形内一点，且，，，请你确定的度数：_____．小杰同学的思路是：设法将、、相对集中，于是将绕点顺时针旋转得到，连接，确定与的形状分别为：_____，问题得以解决． （3）等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题： 如图③，点是等边三角形内一点，若，请你直接写出：以线段、、的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为_____． 【答案】（1），， 理由如下 证明：在正方形中，， 绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴点G、点B、点F三点共线； ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴ ∴， 即 故答案为： （2），等腰直角三角形、直角三角形 （3） 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点，利用类比的思想解答是解题的关键． （1）将绕点顺时针旋转，得到，通过证明，从而得出结论． （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明为等腰直角三角形，为直角三角形即可解决问题． （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，证明为等边三角形，再利用角的等量关系，和差关系及三角形的内角和为即可求出各个角的度数． 解：（1） 略 （2）将绕点顺时针旋转得到，连接， 为等腰直角三角形，， ，， 有：， 为直角三角形，． ． 故答案为：，等腰直角三角形、直角三角形， （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接， ， 为等边三角形，， 以线段、、的长度为边长的三角形为 ， ， 又， ， ， 故答案为： 24.（12分）（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测） 【实际情境】某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； 【解决问题】 (2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法，即可解出抛物线的解析式； （2）①先根据题意列出抛物线的解析式，然后根据题意，安全距离不少于，因为该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，所以点上方处的点恰好在抛物线，把该点坐标代入的解析式，即可解出的高度； ②求出两无人机飞行路线解析式的交点，并根据图像特点，划出两个自变量范围，继而求出两个范围内的最大值，最后比较两个最大值，就可以求出最大高度差． 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的解析式为， 将点代入，解得， 抛物线的解析式为 ． （2）①根据题意可设抛物线的解析式为 ． 因为，，此时点正好在抛物线最高点的下方，与最高点的距离超过，点的坐标为．． 因为无人机乙从平台上的点处起飞后刚好安全通过障碍物，所以点恰好在抛物线上， 将点代入 ， 解得， 即该平台的高度为； ②由①得，抛物线的解析式为 ． 当 时， 解得， 综合图像可得，当时，有最大高度差，此时高度为， 当时，有最大高度差，此时高度为， ， 最大高度差为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、二次函数的平移性质、二次函数与一次函数的交点问题，正确理解题意是关键． 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