福建省福州则徐中学2026-2027学年第一学期九年级数学10月学情自测

2026~2027学年第一学期初三数学适应性练习（一） （满分150分，时间120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程的两个根互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 7. 某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 9. 二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数的图象经过四个象限，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若二次函数的图象开口向上，则a的取值范围是___________． 12. 一元二次方程的根是______． 13. 方程的两根分别为，则______． 14. 已知点都在抛物线 上，则 的大小关系为___________． 15. 廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 16. 二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 19. 一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长多1，比另一直角边的长多2，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ 20. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）当时，相应函数值的取值范围是________． 21. 已知抛物线的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）经过怎样的平移可得到二次函数． 22. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． （1）如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； （2）如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 23. 某标准篮球场中，篮筐中心A到地面的距离米．小明在篮筐正前方，且与篮筐中心水平距离为4.5米的点C处练习投篮，基本上能保持篮球被投出时，球心位于点C正上方的点D处，且米．在某一次投篮中，篮球抛出后，当球心与点C的水平距离米时，篮球到达最高点F，此时球心到地面的距离米，且点B，C，E在同一条直线上．以所在直线为x轴，取向右为正方向． （1）补全平面直角坐标系（其中，y轴取向上为正方向），并求在该坐标系下篮球球心运动轨迹对应的抛物线的解析式； （2）投篮时，若篮球在入筐过程中未与篮筐和篮板任何部位发生接触，且其球心的运动轨迹恰好经过篮筐中心A，则称此次投篮为一次“完美进球”．通过计算判断小明此次投篮是否为“完美进球”． 24. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 25. 如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2026~2027学年第一学期初三数学适应性练习（一） （满分150分，时间120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（每题4分，共24分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ， 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】或 三、解答题（共9小题，满分86分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】 存在，有1个 【20题答案】 【答案】（1），直线 （2）所画函数图象如图所示 （3） 【21题答案】 【答案】（1） （2）将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数 【22题答案】 【答案】（1） 解：设，，则． ∵， ∴， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解。 ∵线段的长度不能为负数， ∴， ∴， ∴黄金比为． （2） 如图，点P即为的黄金分割点． 【23题答案】 【答案】（1） （2）小明此次投篮不是“完美进球” 【24题答案】 【答案】（1）；1 （2） （3）3 【25题答案】 【答案】（1） （2），当时，S有最大值，最大值为 （3）存在，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $