四川省泸县第一中学2025-2026学年高三上学期一诊模拟考试数学试题（一）

**基本信息** 泸县一中高2023级一诊模拟数学试题，以集合、函数、几何等知识为载体，通过声学振动、种植补贴等现实情境，考查数学抽象、运算推理及数据分析能力，适配高三一模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数求值、几何最值|结合“高考必胜”情境考查集合交并，声学振动叠加考查三角函数应用| |多选题|3/18|函数性质、数列概念|以函数单调性、切线垂直考查逻辑推理，辨析等比数列定义强化概念理解| |填空题|3/15|等差数列求和、扇形弧长、二项式定理|等腰梯形铺瓦问题考查数列应用，扇形小区路径计算体现几何直观| |解答题|5/77|数列、三角函数、统计回归、导数|种植果树回归分析考查数据意识，导数证明题培养逻辑推理与创新思维|

泸县一中高2023级2025年秋期一诊模拟考试数学试题（一） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知集合{高，考，必，胜}，{一，中，必，胜}，则（   ） A．{必，胜} B．{一，中，高，考} C．{一，中，必，胜} D．{一，中，高，考，必，胜} 2．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为（　　） A．50 B． C． D．100 4. 已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 5．某班级组织抽奖活动，共有10个外观相同的抽奖盒，其中3个盒子有奖品，7个盒子为空盒．现甲、乙两名同学依次抽奖（甲抽完后不放回），则在甲没有抽到奖品的情况下，乙抽到奖品的概率是（   ） A． B． C． D． 6．在声学实验中，两个同频率声波的振动方程分别为： 和，当声波叠加时，合成振动的振幅为（    ） A． B．2 C． D． 7．甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（   ） A．36种 B．72种 C．60种 D．96种 8．如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．已知函数，则（     ） A．函数在上单调递增 B．存在使得 C．函数图象存在两条相互垂直的切线 D．存在使得 10．下列关于数列的说法正确的是（    ） A．等差数列的前项和一定是二次函数 B．等比数列的公比不能为0 C．若首项不等于零的数列满足，则是等比数列 D．等差数列中，若，则 11．已知为锐角，角的始边均为轴正半轴，终边关于轴对称，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片 块. 13．如图，某小区的平面图是半径为300米，圆心角的扇形，小路平行于，且点在上，点在上，若米，则劣弧的长为 米． 14．的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分． 15．已知等比数列的前项和为，且. （1）求； （2）定义为取整数的个位数，如，求的值 . 16．已知 (1)求的值； (2)若，求的值. 17．已知的面积为，为边的中点，，． (1)求的长； (2)求角的正弦值． 18. 某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树.该地区统计局考察了四户不同人口（含家庭园丁等）的家庭种植情况，统计结果如下表： 家庭 人口人 3 4 5 6 种植果树数棵 10 20 40 50 (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程. (2)假设该地区政府对种植果树的家庭发放100元每棵的净化环境补贴. （i）若该区家庭为大户人家，人口数为8人，根据（1）的结论估计该区政府要给家庭净化环境补贴的总金额； （ii）若将补贴细化到个人，且种植为个人独立完成，已知家庭中的两个小孩小明、小红至多种植一棵果树，且种植一棵果树的概率分别为，，若该地区政府对小明、小红两人的补贴总金额的期望不超过140元，求的取值范围. （参考公式：，．） 19．已知函数,,曲线与在点处有相同的切线. （1）求、的值; （2）求函数的极值; （3）证明:. 试卷第1页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C A B B D AD BC 题号 11 答案 BCD 1．D 2．B 【详解】因为，则. 故选：B. 3．A 【详解】设矩形的长和宽分别为，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积最大的一个矩形的面积为50. 故选：A 4．C 【详解】是平面内两个不共线的向量， 对于A，，即向量共线，A不是； 对于B，，即向量共线，B不是； 对于D，，即向量共线，D不是； 对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是. 故选：C 5．A 【详解】10个外观相同的抽奖盒，其中3个盒子有奖品，7个盒子为空盒． 现甲、乙两名同学依次抽奖，则在甲没有抽到奖品的情况下，乙抽到奖品的概率是. 故选：A. 6．B 【详解】当声波叠加时，合成振动的方程， 故振幅为2． 故选：B 7．B 【详解】先安排甲乙，分别在甘肃、贵州两省中人选一处，方法数有种， 然后安排丙丁，在三省中任选两处并考虑顺序，方法数有种， 最后安排戊，在三省中任选一处，方法数有种， 根据分步乘法计数原理，这五人不同的选择共有种. 故选：B 8．D 【详解】，， 梯形为直角梯形， ， ，即， 由，同理可得， 又向量在向量上的投影向量的模为4，所以， 以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， ， 所以， 由且可得， 令，则由对勾函数单调性知， 当时单调递减，时单调递增， 故，由知，， 故， 故选：D 9．AD 【详解】由，即在上都递增，A正确，错误； 由，故B错误， 由解析式知，由零点存在性定理可知存在使得，D正确； 故选：. 10．BC 【详解】对于A，因为公差为0时是正比例函数，故A错误； 根据等比数列的第一年可知BC在正确； 对于D，当数列是常数列时，结论不正确，故D错误. 故选：BC. 11．BCD 【详解】对于A选项，不能确定的值，A选项错误； 对于B选项，由题意，可得，是锐角，，，B选项正确； 对于C选项，由题意，由可得，，选项C正确； 对于D选项，由，，， 两边平方，得到，，D选项正确. 故选：BCD 12．570 【详解】从上面一层开始每层瓦片数依次记为，则它是等差数列，且，且公差， 则， 故答案为：570. 13． 【详解】连接，设，因为，所以， 因为，所以， 由正弦定理，因为，所以， 因为，所以，所以劣弧的长为. 故答案为： 14．924 【详解】的展开式中常数项是. 故答案为：． 15．（1）；（2）495. 【详解】（1） 是等比数列 （2）， 易知，从第二项起，是周期为4的数列 16.（Ⅰ）（Ⅱ） 【详解】解：（I）       ①            ②   由①+②得 ③ 由①-②得  ④   由③÷④得 （II）∵， ，     17．(1) (2) 【详解】（1）由已知为边的中点， 所以， 即， 又， 则， 即， 又 则， 即，； （2）由（1）得，， 则， 在中，由余弦定理可知， 即， 则， 又由正弦定理可知， 则. 18．(1) (2)（i）7900元；（ii）. 【详解】（1）由题意得，， ，，， 所以，故得关于的经验回归方程为. （2）（i）将代入，得， 所以估计该地区政府要给家庭净化环境补贴的总金额为元. （ii）设小明、小红两人中种植果树的人数为，则的所有可能值为，，， 则， ， . . ，且，，故的取值范围为. 19．（1）,．（2）（3）答案见解析 【详解】（1）,, 曲线与在点处有相同的切线． ,, 即 ,． （2） 由（1） 当; 当, 当, 故在处取得极小值, 极小值为: （3） ,. 由,得． , 原问题即证:． 令, , 当时,, 当时,． 的单调递减区间为,单调递减区间为． , ． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $