第29章 圆 数学活动（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆”的数学活动，核心内容包括尺规四等分圆周的技能及原理，探究“对角互补的四边形四个顶点共圆”的判定条件，通过生活中圆形铜镜、车轮等图片情境导入，衔接圆的性质旧知，搭建从操作到推理的学习支架。 导学案以“操作—猜想—验证”为主线，四等分圆周原理结合直径所对圆周角为90°，四点共圆判定运用反证法验证，融入“天圆地方”传统文化，培养几何直观与逻辑推理能力，典型例题与合作探究结合，提升学生创新意识和应用能力。

第二十九章 圆 数学活动 （导学案） （1）掌握尺规作图技能：能用尺规将圆周四等分，并清晰地说明作图原理；了解八等分、十六等分圆周的基本思路. （2）探究并归纳判定定理：经历“操作—猜想—验证”的探究过程，归纳出“对角互补的四边形的四个顶点共圆”这一判定条件，并能用圆内接四边形性质和反证法进行验证. (3)发展核心素养：通过数学活动，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想，发展几何直观和逻辑推理能力，积累数学活动经验. 重点：“探究四点共圆的条件”的完整探究过程（操作→猜想→证明→归纳）. 难点：活动1中“四等分圆周”作图原理的严谨说明（利用直径所对圆周角为90°）.活动2中利用反证法说明“不能作圆时对角和不等于180°”的两种情况（点C′在圆内和圆外）.从具体四边形案例中抽象出一般性判定条件. 第一环节 自主学习 温故知新： 复习旧知、类比导入 情境呈现：多媒体展示一组图片——圆形铜镜背面的精美花纹、古代车轮、现代钟表表盘，以及故宫藻井中的圆形图案。 问题1：这些图片中的美丽图案和精巧设计，都离不开同一个数学图形——圆。请大家观察铜镜背面的花纹，这些花纹是如何制作出来的？（需要将圆等分成若干份.） 问题2：我们已经学完了“圆”这一章的全部内容.今天这节数学活动课，我们将把这些知识用起来——做尺规作图、探究数学规律、设计美丽图案. 揭示课题：数学活动——圆的综合探究. 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ140－141内容 【学法指导】自研课本Ｐ140－141内容 （一）活动1：四等分圆周 问题呈现：如何用尺规将一个圆周三等分、四等分、六等分？今天我们首先研究四等分圆周. 学生尝试：请学生在学案上画一个⊙O，尝试用尺规将圆周四等分，使A、B、C、D四个点将⊙O四等分. 引导探究： 追问1：要将圆周四等分，实际上是要将什么角四等分？（圆心角，360°÷4=90°.） 追问2：你能想到哪些方法构造90°的圆心角？（利用垂直：两条直径互相垂直时，相邻半径夹角为90°.） 追问3：如何用尺规作两条互相垂直的直径？ 任意作⊙O的直径AB，过圆心O作AB的垂线，交⊙O于C、D两点，则A、B、C、D四个点将⊙O四等分. 追问4：为什么这样作图就能实现四等分？ （AB是直径，CD⊥AB于O且CD也是直径，所以∠AOC=90°，∠BOC=90°等，四个圆心角均为90°，因此对应的四条弧相等.） 延伸：如何实现八等分？十六等分？ （在四等分基础上，再作各圆心角的角平分线，或作相邻等分点连线的垂直平分线，逐步等分圆心角即可.） 传统文化介绍：在我国，圆不仅是一种几何图形，还具有许多传统文化中的象征意义，如“天圆地方”的哲学观、“团圆”“和谐”的美好愿望等，观察一下你的周围，你会发现很多圆和圆的美，尝试用圆去创造美吧！ （二）活动2探究四点共圆的条件 活动①：操作与猜想 问题呈现：过任意一个三角形的三个顶点一定能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点一定能作一个圆吗？ 活动：学案上给出四组四边形：图1（平行四边形）、图2（矩形）、图3（菱形）、图4（正方形）. 学生分组操作： 尝试过每个四边形的四个顶点作圆（利用三角形外接圆的方法，先过三点作圆，看第四点是否在圆上）. 用量角器测量每个四边形相对两个内角的度数，并记录. 学生汇报：平行四边形：不能作圆；∠A+∠C≠180°（特殊平行四边形除外）. 矩形：能作圆；∠A+∠C=180°. 菱形：不能作圆；∠A+∠C≠180°（特殊菱形——正方形除外）. 正方形：能作圆；∠A+∠C=180°. 猜想：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和为180°（对角互补）. 活动②：验证与证明 情形一（能作圆时） ：若四边形ABCD内接于⊙O，由圆内接四边形性质可知：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。这一结论已在本章学习中证明过. 情形二（不能作圆时） ：如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之和不等于180°. 引导分析：假设∠A+∠C=180°，但A、B、C、D不共圆.过A、B、C三点作⊙O（因为A、B、C不共线），点D有两种位置关系： 情况1：点D在⊙O内部.连接AC并延长交⊙O于D′，连接BD′和DD′. 由圆周角定理，∠BD′C=∠BAC（对同弧BC），且∠D′BC=∠DAC（对同弧DC）……最终可得∠BCD+∠BAD≠180°. 情况2：点D在⊙O外部.连接AD交⊙O于D′，连接BD′. 由圆周角定理，∠BD′C=∠BAC（对同弧BC），且∠D′BC=∠DAC（对同弧DC）……最终可得∠BCD+∠BAD≠180°. （教师以几何画板演示或板书简图，引导学生理解“点D在圆内/圆外”两种情形下，结论均为对角和≠180°.） 归纳判定条件：四边形的四个顶点共圆 四边形对角互补（即相对两个内角之和为180°）. 【自研自探】 自研课本Ｐ140－141内容 典型例题 例1.如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的花卉，请你提供设计方案． 【分析】过点O作互相垂直的直线EF，CD即可解决问题． 【详解】解：过点O作互相垂直的直线EF，CD，⊙O被直线EF，CD分成面积相等的四个部分． 例2. 如图1，作一个对角线相等的平行四边形． 步骤： 1.任意作两条相交的直线，交点记为； 2.以点为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； 3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形． 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是否是矩形． [问题解决] (1)如图1求证：四边形是矩形． [结论应用] (2)如图①，是的两条直径（圆的半径都相等），四边形是矩形吗？（只需要回答“是”或“不是”，不需要证明） [发现结论] (3)矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上． [结论应用]图②，已知线段，以线段为对角线构成矩形，矩形面积的最大值为_____； 【分析】（1）根据对角线相等的平行四边形为矩形，即可得证； （2）根据同圆的直径相同，半径相同，结合对角线相等的平行四边形为矩形，即可得出结果； （3）根据勾股定理得到，根据完全平方的非负性，得到，即可得出结果. 【详解】（1）(1)证明：由题意，， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形. （2）解：∵是的两条直径， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：∵以线段为对角线构成矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形面积的最大值为. 第二环节 合作探究 1.讨论如何四、八、十六等分圆周？ 2.讨论四点共圆的条件？ 1.阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D，． ，（依据1），． ∵四边形内接于，．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为____________________，依据2为____________________； (2)将上述证明过程补充完整． 【详解】（1）解：上述证明过程中的依据1为在同圆中相等的弧所对的弦相等，依据2为圆内接四边形的对角互补． (2)证明：如图2，连接， 于点D，． ， ， ， ，． ∵四边形内接于， ． ， ， 在和中， ， . 复习题29第10题. 1.（2026·揭阳校测）如图，A，B，C，D是上的四点，且，求和的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C=100°， ∴=180°-100°=80°． ∵与是同弧所对的圆心角与圆周角， ∴=2=160°． 2．（2026·甘肃兰州）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 【详解】(1)①作的任意直径，如图： ②过点作的垂线，与相交于，两点，四等分圆周如图所示： 依据：,得到的圆心角,在中，相等的圆心角所对的弧相等，所以得到四段相等的圆弧,故点，，，将四等分． (2)圆周八等分如图所示： 知识技能：一种作图方法：用尺规四等分圆周——作两条互相垂直的直径；延伸可得八等分、十六等分. 一个判定条件：对角互补的四边形的四个顶点共圆（四点共圆 ⇌ 对角互补）. 思想方法： 从特殊到一般：通过具体四边形案例的探究，归纳出四点共圆的一般判定条件.转化思想：活动2中将“四点共圆问题”转化为“圆内接四边形的对角互补问题”.反证法思想：在验证“不能作圆”的情形时，运用反证法的逻辑框架. 易错提醒：活动1：四等分圆周的关键是圆心角90°，作图时垂线的作法和准确性直接影响等分效果.活动2：判定四点共圆时，必须满足“对角互补”即∠A+∠C=180°，不是“邻角互补”. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆 数学活动 （导学案） （1）掌握尺规作图技能：能用尺规将圆周四等分，并清晰地说明作图原理；了解八等分、十六等分圆周的基本思路. （2）探究并归纳判定定理：经历“操作—猜想—验证”的探究过程，归纳出“对角互补的四边形的四个顶点共圆”这一判定条件，并能用圆内接四边形性质和反证法进行验证. (3)发展核心素养：通过数学活动，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想，发展几何直观和逻辑推理能力，积累数学活动经验. 重点：“探究四点共圆的条件”的完整探究过程（操作→猜想→证明→归纳）. 难点：活动1中“四等分圆周”作图原理的严谨说明（利用直径所对圆周角为90°）.活动2中利用反证法说明“不能作圆时对角和不等于180°”的两种情况（点C′在圆内和圆外）.从具体四边形案例中抽象出一般性判定条件. 第一环节 自主学习 温故知新： 复习旧知、类比导入 情境呈现：多媒体展示一组图片——圆形铜镜背面的精美花纹、古代车轮、现代钟表表盘，以及故宫藻井中的圆形图案。 问题1：这些图片中的美丽图案和精巧设计，都离不开同一个数学图形——圆。请大家观察铜镜背面的花纹，这些花纹是如何制作出来的？ 问题2：我们已经学完了“圆”这一章的全部内容.今天这节数学活动课，我们将把这些知识用起来——做尺规作图、探究数学规律、设计美丽图案. 揭示课题：数学活动——圆的综合探究. 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ140－141内容 【学法指导】自研课本Ｐ140－141内容 （一）活动1：四等分圆周 问题呈现：如何用尺规将一个圆周三等分、四等分、六等分？今天我们首先研究四等分圆周. 学生尝试： 引导探究： 追问1：要将圆周四等分，实际上是要将什么角四等分？ 追问2：你能想到哪些方法构造90°的圆心角？ 追问3：如何用尺规作两条互相垂直的直径？ 追问4：为什么这样作图就能实现四等分？ 延伸：如何实现八等分？十六等分？ 传统文化介绍：在我国，圆不仅是一种几何图形，还具有许多传统文化中的象征意义，如“天圆地方”的哲学观、“团圆”“和谐”的美好愿望等，观察一下你的周围，你会发现很多圆和圆的美，尝试用圆去创造美吧！ （二）活动2探究四点共圆的条件 活动①：操作与猜想 问题呈现：过任意一个三角形的三个顶点一定能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点一定能作一个圆吗？ 活动：学案上给出四组四边形：图1（平行四边形）、图2（矩形）、图3（菱形）、图4（正方形）. 学生分组操作： 尝试过每个四边形的四个顶点作圆 用量角器测量每个四边形相对两个内角的度数，并记录. 学生汇报：平行四边形： 矩形 菱形： 正方形： 猜想：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和为180°（对角互补）. 活动②：验证与证明 情形一（能作圆时） ：若四边形ABCD内接于⊙O，由圆内接四边形性质可知：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。这一结论已在本章学习中证明过. 情形二（不能作圆时） ：如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之和不等于180°. 引导分析：假设∠A+∠C=180°，但A、B、C、D不共圆.过A、B、C三点作⊙O（因为A、B、C不共线），点D有两种位置关系： 情况1：点D在⊙O内部.连接AC并延长交⊙O于D′，连接BD′和DD′. 情况2：点D在⊙O外部.连接AD交⊙O于D′，连接BD′. 归纳判定条件：四边形的四个顶点共圆 四边形对角互补（即相对两个内角之和为180°）. 【自研自探】 自研课本Ｐ140－141内容 典型例题 例1.如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的花卉，请你提供设计方案． 例2. 如图1，作一个对角线相等的平行四边形． 步骤： 1.任意作两条相交的直线，交点记为； 2.以点为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； 3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形． 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是否是矩形． [问题解决] (1)如图1求证：四边形是矩形． [结论应用] (2)如图①，是的两条直径（圆的半径都相等），四边形是矩形吗？（只需要回答“是”或“不是”，不需要证明） [发现结论] (3)矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上． [结论应用]图②，已知线段，以线段为对角线构成矩形，矩形面积的最大值为_____； 第二环节 合作探究 1.讨论如何四、八、十六等分圆周？ 2.讨论四点共圆的条件？ 1.阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D，． ，（依据1），． ∵四边形内接于，．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为____________________，依据2为____________________； (2)将上述证明过程补充完整． 复习题29第10题. 1.（2026·揭阳校测）如图，A，B，C，D是上的四点，且，求和的度数． 2．（2026·甘肃兰州）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 知识技能：一种作图方法：用尺规四等分圆周——作 ；延伸可得 、 . 一个判定条件：对角 共圆（四点共圆 ⇌ ）. 思想方法： 从特殊到一般：通过具体四边形案例的探究，归纳出 判定条件.转化思想：活动2中将“四点共圆问题”转化为“ ”.反证法思想：在验证“ ”的情形时，运用 逻辑框架. 易错提醒：活动1：四等分圆周的关键是 °，作图时 效果.活动2：判定四点共圆时，必须满足“ ”即 ，不是“ ”. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $